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Full text of "Der Constructeur. Ein Handbuch zum gebrauch beim Maschinen-Entwerfen. Für Maschinen- und Bau-ingenieure, Fabrikanten und technische Lehranstalten"

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DER 



CONSTRUCTEUß 



Holzstiche 

»Ol dem xylographlsctten Atelier 

von Friedrich Yieweg und Sohn 

in Braanschwelg. 



Papier 

ans der mechanlechen Pftpler-Fftbrik 

der Gebrüder Yieweg zu Wendtiausen 

bei Bmonschwelg. 



DER 



CONSTRUCTEUR 



EIN HANDBUCH 



, zuw. GEBRAUCH BEIM 



MASCHINEN-EKTWERFEN. 



PUB 



MASCHINEN- UND BAU -INGENIEURE, FABRIKANTEN 
UND TECHNISCHE LEHRANSTALTEN. 



VON 



F. REULEAUX, 



Professor, 
üirector der Könlglicheii Gewerbe -Akademie in Berlin, Mitglied der KOulgl. tecluüscheu 

Deputation fllr Gewerbe. 



DRITTE, 

SORGSAM DURCHGEARBEITETE UND ERWEITEKTK 

AUFLAGE. 



HIT ZAHLBSIGHBN IN DBN TBXT BINOSDBÜCKTBN HOLZSTIÜUBN. 

BRAUNSCIIWEIG, 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN. 

18 69. 



tnuiiiuKinu umsti 



VI Vorrede zur dritten Auflage. 

will unter Festigkeit den Zustand, welcher unmittelbar dem Bruche 
vorangeht, verstehen. Ganz klar ist nicht, welche Unterscheidung 
gemacht werden soll, aber gleichviel, nach meiner Ueberzeugung 
macht man mit dieser modernen Bezeichnung einen bedenklichen 
logischen Fehler, auf welchen hinzudeuten hier gestattet sei. Die 
festen Körper besitzen gewisse Eigenschaften hinsichtlich ihrer 
Wirkung gegen äussere Kräfte; zu diesem Eigenschatten gehört die 
eine, dass sie bis zu gewissen Grenzen, welche schwankend und 
Ott verschiebbar sind, elastisch, und jenseits derselben nachgiebig 
sind, zunächst ohne den Zusammenhang ihrer Theilchen zu ver- 
lieren i bei stärkerer Einwirkung aber nicht ohne zu zerfallen, zu 
zerbrechen. Die Gesammtheit dieser Erscheinungen ist es, 
welche den festen Aggregatzustand kennzeichnet Die Eigen- 
schatt, fest zu sein, oder die „Festigkeit*' schliesst also die 
der Elasticität in sich. 

Nun ist aber ein Name nicht bestimmt, das Ganze und seine 
Theile zu bezeichnen. Es ist z. B. verkehrt, von dem Bau der 
Häuser und der Dächer, von der Taktik der Cavallerie 
und der Dragoner zu- sprechen, weil der Begriff Haus den des 
Daches, der Begriff Cavallerie den der Dragoner einschliesst 
Wohl lässt sich von den Dächern oder den Dragonern allein, 

also auch von der Elasticitätslehre allein handeln, da jedes 

• 

dieser Gebiete für sich abgeschlossen sein kann, nicht aber von der 
Lehre von der Elasticität nnd Festigkeit der Materialien, da die 
Festigkeit der Materialien die Elasticität der Materialien enthält 
Hierbei bleibt, wohlverstanden, die Elasticitätslehre für sich, 
welche eine gesonderte eigentlich nicht technische, sondern rein 
mathematisch-mechanische Disciplin ist, unverrückt auf ihrem Bo- 
den der Abstraction stehen. 

Ich würde von der Sache schweigen, da ich ja bei dem richti- 
gen alten Ausdrucke, den man in zwar guter Meinung aber mit zu 
wenig Prüfung verdrängen will, geblieben bin, auch keineswegs zur 
Polemik neige, wenn es nicht dem Lehrer mit den Definitionen un- 
verbrüchlich ernst sein müsste, und wenn nicht Stillschweigen hier 



Vorrede zur dritten Auflage. Vll 

wie Zustimmung ausgelegt werden könnte. Auf einer einzelnen 
Lehranstalt mögen immerhin unbeabsichtigte Verstösse gegen die 
Classicität der AuiFassung hingehen; sie corrigiren sich bei reger 
Studienthätigkeit von selbst Jeder Einbruch aber in die Logik, 
wenn er auf ganzen Klassen von Schulen Eingang findet, droht 
geradezu Nachtheil. Halte man diesen im vorliegenden Falle nicht 
für unwichtig, und wähne man doch ja nicht, däss die unbeugsame 
Logik der mathematischen Sätze, die gleich hinter einer mangel- 
haften Erläuterung ihren festen Schritt gehen, die Wirkung para- 
lysire. Die Logik wirkt nicht ein Zehnttheil so stark aus der Mathe- 
matik heraus, als in ihr; wenigstens bei der grossen Masse der 
Lernenden nicht. Es ist immer nur das Wort, das lebendige Wort, 
wodurch das Denken angeregt und in eine Richtung gebracht wird. 
In jungen Köpfen ist daher mit einem scheinbaren Coup de maitre, 
mit welchem man, wie hier, die ältere Definition absetzen möchte, 
sehr bald eine Wirkung hervorgebracht Das hier zu Grunde 
liegende Missverständniss liegt in der irrigen Annahme, dass 
der Name eine Definition sein müsse, und hat so viel 
lockenden Schein für sich, dass die unlogische Ausdrucksweise, 
obgleich sie unendlich schwerfällig und unbequem ist, an Ver- 
breitung nach unten hin gewinnt, ja sogar, in bequemer Sorg- 
losigkeit adoptirt, bereits niederwärts bis in die elementaren Lehr- 
bücher sickert Und so ist es denn nicht mehr unmöglich , dass 
dieselbe mit ihren üblen Folgen in unseren sämmtlichen technischen 
Mittelschulen Verbreitung findet Dies würde sehr zu beklagen 
sein, um so mehr, als die Vorbereitung, welche wir den Lehrern 
für diese Mittelschulen geben, zur Zeit noch nicht jene Sicherheit 
und Rückhaltigkeit hat, welche den jungen Docenten ohne wei- 
teres befähigt, unlogischen Eindringlingen eigenen geistigen Wider- 
stand entgegen zu setzen. Möchte meine Warnung noch zeitig 
genug gekommen sein, damit man nicht später mit endloser Mühe 
entwurzeln müsse, was jetzt noch nicht allzutief eingedrungen ist. 

Der zweite Abschnitt, die Hilfslehren aus der Grapho- 
8tatik,i8t neu hinzugekommen. VonCulmann, der diese Discipliu 



VIII Vorrede zur dritten Auflage. 

als solche bei uns eingeführt, sie überhaupt abgerundet gestaltet 
hat, bin ich in einem prinzipiellen Hauptpunkte abgewichen. Er 
„unterscheidet zweierlei Multiplicationen und Divisionen, erstens 
die von Linien mit Verhältnissen, bei denen das Resultat immer 
wieder eine Linie ist, und bei der daher keine Aenderung der 
räumlichen Dimensionenzahl stattfindet; und zweitens die Multi- 
plication von Linien mit Linien zu Flächen, von Flächen mit Linien 
zu Körpern etc. und umgekehrt die Division •...". Ich habe eine 
solche Unterscheidung, zu welcher nach meiner Meinung kein 
Grund vorliegt, nicht gemacht. Materiell erhält man dieselben 
Resultate hier wie dort, bei meiner Anschauung, wie mir scheinen 
will, unter grösserer Sicherung des Verständnisses. 

Der dritte Abschnitt, von denMaschinenelementen han- 
delnd, hat bedeutende Erweiterungen, und stellenweise auch innere 
Aenderungen erfahren. Durchweg habe ich ein Hauptprinzip 
deutlicher hervortreten lassen, als früher. Es ist dasjenige, dass 
die Construction der Maschinenelemente nach zwei Hauptrich- 
tungen dem Zwecke gerecht werden müsse: der Festigkeit einer- 
seits und der Erhaltung der Form der reibenden Theile 
andererseits. Ich habe an anderer Stelle nachgewiesen*), dass 
diese Spaltung der Zwecke tief im Wesen der Maschine begründet 
ist. Auf ihre gleichzeitige Erfüllung habe ich nach Möglichkeit 
überall gesehen. Eine andere durchgreifende Neuerung habe ich 
in der Behandlungs weise des einzelnen Falles durchgeführt, darin 
bestehend, dass über die Materialspannungen in den Theilen und über 
die Belastung der reibenden Flächen weit mehr Aufschluss gegeben 
ist als früher. Das Ganze hat dadurch , wie ich hoffe , an Durch- 
sichtigkeit zugenommen; dem Leser ist mehr als früher die Mög- 
lichkeit geboten, das Gegebene noch weiter zu entwickeln, Neues 
daraus noch abzuleiten. Allerdings hat damit das Buch seinen 
Charakter etwas geändert; es ist in eine Richtung geschoben, bei 



*) S. Kinematische Mittheilungen in den Verhandlungen des Vereins für 
GewerbÜeisB in Preussen, 1871, 8. 185. 



Vorrede zur dritten Auflage. rx 

welcher dem Construirenden mehr freie Wahl gelassen ist, also 
seine eigene Thätigkeit mehr herausgefordert wird. Damit geht 
die für den Anfanger und die Schule so wichtige Bestimmtheit der 
Regel verloren. Allein die fortschreitende Entwicklung, deren sich 
der deutsche Maschinenbau in den Zeichensälen der Fabriken erfreut, 
drängte dahin. Wo mein Können nicht hinter dem Wollen zurück- 
geblieben ist, hoffe ich, dass das Buch durch die Aenderung immer- 
hin gewonnen habe. 

Von den grösseren Erweiterungen einzelner Kapitel nenne 
ich: die Besprechung der Schraubensicherungen bei den 
Schrauben, wo die Präcisirung des Begriffes, welcher einer formen- 
reichen Constructionenreihe zu Grunde lag, eine wie es scheint 
Vielen fühlbar gewesene Lücke ausgefüllt hat; sodann ein ganz 
kleines Kapitel über die Keile und Keil Verbindungen; dann die 
Erweiterungen bei den Kupplungen, wo die beweglichen und die 
lösbaren Kupplungen, durch mehrere wichtige Beispiele ver- 
treten, hinzugekommen sind; ferner die bei den Lagerstühlen, wo ein 
grösserer Artikel über die Säulen angereiht ist; bei den Zahn- 
rädern sind neben manchen Einzelheiten zwei ganze Artikel , über 
die Schraubenräder und über die Hyperbelräder, zugefugt; 
die Röhren mit hohem Drucke sind weit ausführlicher als früher 
behandelt und an vielen Beispielen erläutert worden; das Kapitel 
über die Ketten wurde mit Rücksicht auf die Entwicklung des 
Kranbaues und der Schiffahrt um eine Reihe von Details bereichert. 
Prinzipielle Aenderungen in der rechnerischen Behandlung haben 
namentlich erfahren: die Stützzapfen, wo die Abnützungsfrage 
besser als früher berücksichtigt wurde, die Wellen, die Zahn- 
räder bei der Berechnung der Theilung und Breite, die Hebel- und 
Kurbelachsen, und die Pleuelstangen. Ich muss es hinnehmen, 
wenn man mich wegen dieser Verbesserungen, welche, allmählich 
gereift, jetzt vorgelegt werden, der Inconsequenz zeiht. Ich werde 
mich mit einer Bemerkung Lessing's zu trösten wissen, der ein- 
mal sagt: „Charakter und Stetigkeit berichtigen sogar mit der 
Zeit die Grundsätze; denn es ist unmöglich, dass ein Mensch lange 



X Vorrede zur dritten Auflage. 

nach Grundsätzen handeln kann, ohne es wahrzunehmen, wenn sie 
falsch sind. Wer viel rechnet, wird es bald merken, ob ihm ein 
richtiges Einmaleins beiwohnt oder nichf 

Viele praktische Ingenieure haben die Güte gehabt, mich durch 
interessante und lehrreiche Mittheilungen über bewährte und nicht 
bewährte Constructionen zu erfreuen; zahlreiche praktische Winke, 
die im Buche verstreut sind, verdanke ich denselben. Es sei dieser 
Mitarbeiterschaft hiermit der freundlichste Dank gesagt. Ich hoffe 
auch femer auf diese Art der Unterstützung in meinem Bestreben, 
den Fortschritten des Faches gerecht zu werden. 



Berlin, im Juli 1871. 



Der Verfasser. 



INHALTS-VERZEICHNISS. 



Erster Abschnitt« 

Festigkeit der Materialien. 



Seite 

Vorbemerkungen . . 1 

Festigkeits-GoSfficienten 3 

Zug- und Druckfestigkeit 6 

Körper von gleicher Zug- und Druckfestigkeit 7 

Schub- oder Gleitungsfestigkeit 9 

Biegungsfestigkeit 9 

Querschnitt-Tabelle 16 

Werthe der Spannung © 26 

Querschnitte von gleicher Festigkeit 27 

Körper von gleicher Biegungsfestigkeit 29 

Scheerfestigkeit in der neutralen Schicht 36 

Trager mit gemeinsamer Belastung 38 

Drehungsfestigkeit 40 

Polare Trägheitsmomente und Querschnittmodel 44 

Körper von gleicher Drehungsfestigkeit 45 

Rückwirkende, Zerknickungs- oder Strebfestigkeit 46 

Körper von gleicher Strebfestigkeit 50 

Zusammengesetzte Festigkeit 51 

Festigkeit der Gefasswände 55 

§. 20. Berechnung der Federn 59 



§. 


1. 


§• 


2. 


§• 


3. 


§. 


4. 


§• 


6. 


§• 


6. 


§• 


7. 


§• 


8. 


§• 


9. 


§• 


10. 


§• 


11. 


§• 


12. 


§■ 


18. 


§• 


14. 


§• 


15. 


§• 


16. 


§• 


17. 


§• 


18. 


§• 


19. 



Xfl Inhalts- Verzeichnis^. 



Zweiter Abschnitt. 



Hilfslehren aus der Graphost atik. 



Seite 

J. 21. Vorbemerkungen 69 

§. 22. Maltiph'cation von Strecken 70 

g. 23. Divinion von Strecken 75 

g. 24. Multiplication verbanden mit Division 76 

§. 25. Flächeninhalt dei Dreiecks 77 

§. 26. Flücheninhalt de« Viereck« 79 

^. 27. Flächeninhalt von Polygonen 80 

§. 28. PoU;nziren von Strecken . . . . • 81 

§. 29. Potenziren der trigonometrischen Functionen 85 

g. 30. Wurzel ausziehen 86 

§. 31. Da« Addircn und Subtrahiren von Kräften . . . • 87 

§. 32. Resultirende oder Mittelkraft eines Krafbbüschels 89 

g. 33. Zerstreut wirkende Kräfte in der Ebene. Seilpolygon .... 90 

g. 34. Gleichgewicht der äusseren Kraft« am Seilpolygon 91 

g. 35. Gleichgewicht der inneren Kräfte am Seilpolygon 96 

g. 36. Mittelkraft von zerstreut in der Ebene wirkenden Kräften . . 99 

g. 37. Bedingung für das Gleichgewicht zerstreut wirkender Kräfte in 

der El)ene 100 

g. 88. Kräftepaare 102 

g. 89. Trlcichgewicht zwischen drei parallelen Kräft;en 105 

g. 40. Mittelkraft beliebig vieler» Parallelkräfte 108 

g. 41. Zerlegung von Kräften in zwei oder mehr parallele Kräfte . . 110 

g, 42. Gleichförmig vertheilte parallele Kräfte 114 

g. 48. Statische Momente paralleler Kräfte 115 

g. 44. Zusammensetzung und Zerlegung statischer Momente 117 

g. 45. Verdrohcude Momente und deren graphische Vereinigung mit 

biegenden 118 

g. 46. Bestimmung des Schwerpunktes mittelst des Kräfteplanes ... 119 

g. 47. Mittelkraft der Wasserbelastung eines Wasserrades 120 

g. 48. Kräftepläuc für Zimmerwerke 124 

g. 49. KräfU^pUlne für zusammengesetzte Träger 125 

g. 50. Kräftepläne für Dachstühle 130 

g. 51. Kräftei)lan für einen Dachstuhl mit Winddruck 135 

g. 52. Kräftepläne für gitterförmige Freiträger '. . 139 

g. 53. Schlussbcmerkungen 143 




Inhalts- Verzeichniss. XIII 



Dritter Abschnitt. 

Construction der Maschinen-Elemente. 



t 



Seite 

§. 54. Vorbemerkungen 144 

L Schrauben und Verschraubungen. 

§. 55. Das Whitworth'sche Schraubensystem 145 

§. 56. Bolzendicke, Schraubenmutter, Schraubenkopf 146 

§. 57. Tabelle über die scharfgängigen Schrauben 147 

§. 58. Das Sellers'sche Schraubensystem 149 

§. 59. Proportionsriss der Schraubenmutter 150 

§. 60. Gewichte der Muttern, Scheiben und Köi)fe 152 

§. 61. Gewichte der schmiedeisernen Rundeisenstäbe 153 

§. 62. Andere Formen für Befestigungsschrauben 156 

§. 63. Schraubenschlüssel 160 

§. 64. Schraubensicherungen 161 

§. 65. Besondere Gewindeformen 165 

§. 66. Die erweiterte Schraube. Press-Schrauben 166 

§. 67. Verschraubungen oder Schraubenverbiudungen 167 

II. Keile und Keilverbindungen. 

§. 68. Der Verbindungskeil 171 

§. 69. Keilverbindungen 172 

§. 70. Keilsicherungen 174 

III. Nieten und Nietungen. 

§. 71. Nieten 175 

§. 72. Festigkeit der Nietungen 178 

§. 73. Tabelle über die Festigkeit der Nietungen 180 

§. 74. Dampfkesselnietungen 180 

§. 75. Tabelle über die Nietungen der Dampfkessel 183 

§. 76. Tabelle über die Gewichte der Metallplatten 184 

§. 77. Andere Formen von Nietverbindungen 185 

IV. Zapfen. 
§. 78. Eintheilung der Zapfen 190 

A. Cylindrische Tragzapfen. 

§. 79. Stimzapfen 191 

§. 80. Tabelle über die schmied- und gusseisernen Stirnzapfen . . . 194 

§. 81. Abänderungen der Zapfenlänge 196 

§. 82. Erweiterte und verengte Zapfen. Gabelzapfen 197 



XII Inhalts- Verzeichnisb. 



Zweiter Abschnitt. 



Hilfslehren aus der Graphostatik. 



Seite 

§. 21. Vorbemerkungen 69 

§. 22. Multiplication von Strecken 70 

§. 23. Division von Strecken 75 

§. 24. Multiplication verbunden mit Division 76 

§. 25. Flächeninhalt des Dreiecks 77 

§. 26. Flächeninhalt des Vierecks 79 

§. 27. Flächeninhalt von Polygonen 80 

§. 28. Potenziren von Strecken . . . . • 81 

§. 29. Potenziren der trigonometrischen Functionen 85 

§. 30. Wurzelausziehen 86 

§. 31. Das Addiren und Subtrahiren von Kräften . . . • 87 

§. 32. Resultirende oder Mittelkraft eines Kraftbüschols 89 

§. 33. Zerstreut wirkende Kräfte in der Ebene. Seilpolygon .... 90 

§. 34. Gleichgewicht der äusseren Kräfte am Seilpolygon 91 

§. 35. Gleichgewicht der inneren Kräfte am Seilpolygon 96 

§. 36. Mittelkraft von zerstreut in der Ebene wirkenden Kräften . . 99 

§. 37. Bedingung für das Gleichgewicht zerstreut wirkender Kräfte in 

der Ebene 100 

§. 38. Kräftepaare 102 

§. 39. Gleichgewicht zwischen drei parallelen Kräften ....... 105 

§. 40. Mittelkraft beliebig vieler» Parallelkräfte 108 

§. 41. Zerlegung von Kräften in zwei oder mehr parallele Kräfte . . 110 

§. 42. Gleichförmig vertheilte parallele Kräfte 114 

§. 43. Statische Momente paralleler Kräfte 115 

§. 44. Zusammensetzung und Zerlegung statischer Momente 117 

§. 45. Verdrehende Momente und deren graphische Vereinigung mit 

biegenden 118 

§. 46. Bestimmung des Schwerpunktes mittelst des Kräfteplanes ... 119 

§. 47. Mittelkraft der Wasserbelastung eines Wasserrades 120 

§. 48. Kräftepläne für Zimmerwerke 124 

§. 49. Kräftepläne für zusammengesetzte Träger 125 

§. 50. Kräftepläne für Dachstühle 130 

§. 51. Kräfteplan für einen Dachstuhl mit Winddruck 135 

§. 52. Kräftepläne für gitterf5rmige Freiträger *. . 139 

§. 53. Schlussbemerkungen 143 



Inhalts-Verzeichniss. XIII 



Dritter Abschnitt. 

Construction der Maschinen-Elemente. 



t 



Seite 

§. 54. Vorbemerkungen 144 

I. Schrauben und Verschraubungen. 

§. 65. Das Whitworth*8che Schraubensystem 145 

§. 56. Bolzendicke, Schraubenmutter, Schraubenkopf 146 

§. 57. Tabelle über die scharfgängigen Schrauben 147 

§. 58. Das Sellers'sche Schraubensystem 149 

§. 59. Proportionsriss der Schraubenmutter 150 

§. 60. Gewichte der Muttern, Scheiben und Köpfe 152 

§. 61. Gewichte der schmiedeisernen Rundeisenstäbe 153 

§. 62. Andere Formen für Befestigungsschrauben 156 

§. 63. Schraubenschlüssel 160 

§. 64. Schraubensicherungen 161 

§. 65. Besondere Gewindeformen 165 

§. 66. Die erweiterte Schraube. Press-Schrauben 166 

§. 67. Verschraubungen oder Schraubenverbindungen 167 

II. Keile und Keilverbindungen. 

§. 68. Der Verbindungskeil 171 

§. 69. Keilverbindungen 172 

§. 70. Keilsicherungen 174 

III. Nieten und Nietungen. 

§. 71. Nieten 175 

§. 72. Festigkeit der Nietungen 178 

§. 73. Tabelle über die Festigkeit der Nietungen 180 

§. 74. Dampfkesselnietungen 180 

§. 75. Tabelle über die Nietungen der Dampfkessel 183 

§. 76. TabeUe über die Gewichte der Metalli)latten 184 

§. 77. Andere Formen von Nietverbindungen 185 

IV. Zapfen. 

§. 78. Eintheilung der Zapfen 190 

A. Cylindrische Tragzapfen. 



. 79. Stimzapfen 191 

§. 80. Tabelle über die schmied- und gusseisernen Stirnzapfen . . . 194 

§. 81. Abänderungen der Zapfenlänge 196 

§. 82. Erweiterte und verengte Zapfen. Gabelzapfen 197 



XIV Inhalts-Verzeichniss. 



B. Stützzapfen. 

Seite 

§. 83. Der cylindrische Spurzapfen 199 

§. 84. Cylindrische Sparzapfen für stehende Triebwellen 202 

§. 85. Kammzapfen • * . 203 

§. 86. Zapfenverbindungen 205 

V. Achsen. 

§. 87. Eintheilung der Tragachsen 207 

A. Die Querschnitte sind kreisförmig. 

§. 88. Gleichschenklige einfache Achse 208 

§. 89. Ungleichschenklige einfache Achse 211 

§. 90. Graphostatische Berechnung der einfachen Achse 212 

§. 91. Untersuchung einer gegebenen Achse auf ihre Festigkeit. 

Probediagramm 216 

§. 92. Achse mit zwei Tragpunkten 218 

§. 93. Graphostatik der vorstehenden zweifach belasteten Achse . . 220 
§. 94. Schief belastete zweifach tragende Achsen. Elisenbahnwagen- 

achse. Eranpfosten 222 

§. 95. Achse mit drei und mehr Tragpunkten 226 

§. 96. Tragachse mit Belastungen in verschiedenen Kraftebenen . . 229 

B. Die Querschnitte sind zusammengesetzt. 

§. 97. Kreisringquerschnitt 230 

§. 98. Reiner Kreuzquerschnitt. Tabelle über denselben 231 

§. 99. Sternförmiger Querschnitt. Tabelle über denselben 232 

§. 100. Die beränderte Flügelachse. Tabelle über dieselbe 234 

§. 101. Verzeichnung der Flügelprofile 237 

§. 102. Hölzerne Achsen 239 

VI. Wellen. 

§. 103. Berechnungsart der cylindrischen Wellen 240 

§. 104. Schmiedeiserne Wellen 243 

§. 105. Triebwerkwellen 244 

§. 106. Berechnung des Verdrehungswinkels der Wellen 247 

§. 107. Drehzapfen der Wellen 249 

§. 108. Zusammengesetzte Querschnitte. Hölzerne Wellen 250 

. 109. Belastete Wellen 250 



Vn. Wellenyerbindungen oder Kupplungen. 

§. 110. Eintheilung der Kupplungen 253 



Inhalts-Verzeichniss. XV 



I. Feste Kuppinngen. 

Seite 

§. 112. Feste Kupplungen 254 

n. Bewegliche Kupplungen 

§. 113. Verschiedene Arten der Beweglichkeit der Kupplungen . . . 258 

§. 114. Längsbewegliche und querbewegliche Kupplungen 258 

. 115. Gelenkige Kupplungen 260 

m. Lösbare oder Ausrück-Kupplungen. 

. 116. Lösbare Zahnkupplungen 267 

. 117. Reibungskupplungen 269 

§. 118. Kraftmaschinenkupplungen 277 

VnL Zapfenlager. 

§. 119. Theile der Lager und verschiedenen Arten derselben . • . . 281 

§. 120. Bezugeinheit oder Model für Lager 281 

A. Traglager. 

§. 121. Stehlager 283 

§. 122. ProportionsrisB des Stehlagers 285 

§. 123. Tabelle über die Gewichte der Stehlager 286 

124. Andere Schalenformen. Holzschalenlager 287 

125. Rumpflager 288 

§. 126. Grosses Stehlager 289 

§. 127. Tabelle über die Gewichte der grossen Stehlager 290 

§. 128. Erhöhtes Stehlager 290 

§. 129. Stehlager mit stellbarer Unterschale 292 

§. 130. Dreischalige Stehlager 293 

§. 131. Gabellager 296 

§. 132. Tabelle über die Gewichte der Gabellager 297 

§. 133. Wandlager 298 

§. 134. Wandarmlager mit Kugelschalen 299 

§. 135. Stimlager 300 

§. 136. Anderes Stimlager 301 

§. 137. Bocklager 302 

§. 138. Tabelle über die Gewichte der Wand-, Stirn- und Bocklager . 303 

§. 139. Rippenhänglager 304 

§. 140. Saulenhänglager 305 

§. 141. Gabelhänglager 306 

§. 142. Tabelle über die Gewichte der Rippen-, Säulen- und Gabel- 

hanglager 306 

ß. Stützlager. 

§. 148. Stehendes Fosslager 306 

§. 144. WandfuBslager 309 



XIV Inhalts-Verzeichniss. 



B. Stützzapfen. 

Seite 

§. 83. Der cylindrische Spurzapfen 199 

§. 84. Cylindrische Sparzapfen für stehende Triebwellen 202 

§. 85. Eammzapfen • • 203 

§. 86. Zapfenverbindungen 205 

V. Achsen. 

§. 87. Eintheilung der Tragachsen 207 

A. Die Querschnitte sind kreisförmig. 

§. 88. Gleichschenklige einfache Achse 208 

§. 89. Ungleichschenklige einfache Achse 211 

§. 90. Graphostatische Berechnung der einfachen Achse 212 

§. 91. Untersuchung einer gegebenen Achse auf ihre Festigkeit. 

Probediagramm 216 

§. 92. Achse mit zwei Tragpunkten 218 

§. 93. Graphostatik der vorstehenden zweifach belasteten Achse . . 220 
§. 94. Schief belastete zweifach tragende Achsen. Eisenbahnwagen- 

achse. Eranpfosten 222 

§. 95. Achse mit drei und mehr Tragpunkten 226 

§. 96. Tragachse mit Belastungen in verschiedenen Krafbebenen . . 229 

B. Die Querschnitte sind zusammengesetzt. 

§. 97. Kreisringquerschnitt 280 

§. 98. Reiner Kreuzquerschnitt. Tabelle über denselben 231 

§. 99. Sternförmiger Querschnitt. Tabelle über denselben 232 

§. 100. Die beränderte Flügelachse. Tabelle über dieselbe 234 

§. 101. Verzeichnung der Flügelprofile 237 

§. 102. Hölzerne Achsen 239 

VI. Wellen. 

§. 103. Berechnungsart der cylindrischen Wellen 240 

§. 104. Schmiedeiserne Wellen 243 

§. 105. Triebwerkwellen 244 

§. 106. Berechnung des Verdrehungswinkels der Wellen 247 

§. 107. Drehzapfen der Wellen 249 

§. 108. Zusammengesetzte Querschnitte. Hölzerne Wellen 250 

. 109. Belastete Wellen 250 



Vn. Wellenyerbindungen oder Kupplungen. 

§. 110. Eintheilung der Kupplungen 253 



Inhalts-Verzeichniss. XV 



I. Feste Kopplungen. 

Seite 

§. 112. Feste Kupplungen 254 

II. Bewegliche Kupplungen 

§. 113. Verschiedene Arten der Beweglichkeit der Kupplungen . . . 258 

§. 114. Längsbewegliche und querbewegliche Kupplungen 258 

§. 115. Gelenkige Kupplungen 260 

m. Lösbare oder Ausrück-Kupplungen. 

§. 116. Lösbare Zahnkupplungen 267 

§. 117. Reibungskupplungen 269 

. 118. Kraftmaschinenkupplungen 277 



Vin. Zapfenlager. 

§. 119. Theile der Lager und verschiedenen Arten derselben .... 281 

. 120. Bezugeinheit oder Model für Lager 281 

A. Traglager. 

Stehlager 283 

Proportionsriss des Stehlagers 285 

Tabelle über die Gewichte der Stehlager 286 

Andere Schalenformen. Holzschalenlager 287 

Rumpflager 288 

Grosses Stehlager 289 

Tabelle über die Gewichte der grossen Stehlager 290 

Erhöhtes Stehlager 290 

Stehlager mit stellbarer Unterschale 292 

Dreischalige Stehlager 293 

Gabellager 296 

Tabelle über die Gewichte der Gabellager 297 

Wandlager 298 

Wandarmlager mit Kugelschalen 299 

Stimlager 300 

Anderes Stimlager 301 

Bocklager 302 

Tabelle über die Gewichte der Wand-, Stirn- und Bocklager . 303 

Rippenhänglager 304 

Säulenhänglager 305 

Gabelhänglager 306 

Tabelle über die Gewichte der Rippen-, Säulen- und Gabel- 
hänglager 308 

ß. Stützlager. 

§. 148. Stehendes Fosslager 808 

§. 144. Wandfasslager 309 



§•] 


121. 


§1 


122. 


§•] 


123. 


§1 


124. 


§. 1 


126. 


§•1 


[26. 


§•1 


127. 


§•1 


128. 


§•] 


129. 


§•1 


190. 


§•1 


131. 


§•1 


132. 


§•1 


133. 


§•1 


134. 


§. 1 


135. 


§•1 


136. 


§1 


137. 


§. 1 


138. 


§•1 


139. 


§•1 


140. 


§•1 


141. 


8.1 


142. 



XVI Inhalt»- Verzeirhniss. 

Seit« 

§, 145. Ta>>eUe über die Gewichte der stehenden nnd Wandfusslager 310 

§. 146. Stellbare Spnrpfanne 311 

§. 147. Kammlager 312 

5. 148. Mehrfache Lager 313 

DL Lagerverbindungen oder Lagerstähle. 

§. 149. AllgemeineB über die Lagerstähle 314 

§. 150. Einfache Lagerstühle 315 

§. 151. Mehrfache Lagerstühle 320 

§. 152. Berechnung der eisernen Säulen 328 

§. 153. Formgebung der eisernen Säulen 336 

X. Riemenscheiben oder Rollen. 

§. 154. Eintheilung der Rader 342 

§. 155. Cylindrische und konische Reibrader 343 

§. 156. Keilrader 345 

§. 157. Regel für die Anordnung der Riemscheiben 346 

§. 158. Selbstleitende Riementriebe 347 

§. 159. Riementriebe mit Leitrollen 349 

§. 160. Der Triebriemen und seine Anspannungen 358 

§. 161. Berechnung des einfachen bandförmigen Riemens 360 

§. 162. Tabelle über die Breite des einfachen Riemens 362 

§. 163. Doppelriemen. Treibschnüre 364 

§. 164. Keilkette 365 

§. 165. Der Kranz oder die Felge der Riemscheibe 367 

§. 166. Die Arme oder Speichen der Riemscheibe 368 

§. 167. Die Nabe der Riemscheibe 371 

§. 168. Tabelle über die Gewichte der Riemscheiben 373 

XI. Der Drahtseiltrieb. 

§. 169. Anordnung des Drahtseiltriebes 374 

§. 170. Das Treibseil und seine Anspannungen 375 

§. 171. Berechnung der Seildicke und TriebroUengrösse 377 

§. 172. Tabelle über die Drahtdicke der Triebseile 379 

§. 173. Die Einsenkungen der Treibseile beim horizontalen Seiltrieb. 

Tabelle über dieselben 382 

g. 174. Straffes Treibseil, oder Treibseil mit verschärfter Anspannung. 386 

§. 176. Der schiefe Seiltrieb 389 

§. 176. Verzeichnung der Seilcurven 891 

§. 177. Dickes Treibseil bei kleinem Rollenstande 392 

§. 178. Der Kranz oder die Felge der Seilscheibe 393 

§. 179. Speichen und Nabe der Seilscheibe 394 

§. 180. Trag- und Zwischenrollen 397 

§. 181. Grösse der Tragrolien 400 




Inhalts-Verzeichniss. XVII 

Seite 

§. 182. Druck auf die Tragrollenachse 401 

§. 183. Pfeiler für die Tragstationen 403 



XIL Zahnräder. 

§. 184. Anordnung der Zahnräder 405 

A. Die Verzahnung der Stirnräder. 

§. 185. Allgemeines über Material und Form der Zähne der Stirn- 
räder 405 

86. Theilkreishalbmesser. Peripheriemaasstab 407 

87. Tabelle über die Theilkreishalbmesser 409 

88. Allgemeine Verzahnung 4l6 

89. lieber den Zahneingriff 413 

90. Die cykliscben Curven 415 

91. Verzeichnung der cyklischen Curven 416 

92. Badlinienverzahnung für Satzräder 417 

93. Radlinien-Kreisverzahnung 419 

94. Geradflankenverzahnung 420 

95. Punktverzahnungen. Gemischte Verzahnungen 422 

96. Evolventenverzahnung für Satzräder 426 

97. Zahnreibung der Stirnräder 428 

98. Vor- und Nachtheile der behandelten Verzahnungsmethoden . 431 

B. Verzahnung der Kegelräder. 



§• 
§- 



§• 
§. 

§• 
§• 
§■ 
§• 



§. 199. Allgemeines über die Kegelradzähne 432 

§. 200. Hilfräder der Kegelräder 434 

§. 201. Das Planrad 435 

C. Die Schraubenräder. 

§. 202. Die Schraube ohne Ende 437 

§. 203. Cylindrische Schraubenräder . . 439 

§. 204. Verzahnung der Schraubenräder und Reibung derselben . . . 444 

§. 205. Kegelschrau1>enräder 447 

D. Die Hyperbelräder. 

§. 206. Grundkörper der Hyperbelräder 447 

§. 207. Verzahnung der Hyperbelräder 452 

E. Berechnung der Theilung und Breite der Radzähne. 

§. 206. Eintheilung der Räder. Zahnquerschnitt 453 

§. 209. Theilung und Zahnbreite der Kranräder 454 

§. 210. Tabelle über die Theilung der Kranräder 455 



XVIII Inhalts- Verzeichniss. 

Seite 

§. 211. Theilung und Zahnbreite der Triebwerkräder 456 

§. 212. Erläuterungen zu den vorstehenden Beispielen 462 

F. Abmessungen des Radkörpers. 

§. 213. Der Radkranz 463 

§. 215. Die Radspeichen. Zahl derselben 465 

§. 216. Tabelle über die Abmessungen der Radspeichen 467 

§. 217. Die Radnabe 468 

§. 218. Gewichte der Zahnräder 468 

XIII. Einfache Hebel. 

§. 219. Hebebsapfen 470 

§. 220. Zapfenverbindung der Hebel 473 

§. 221. Die Hebelachse und Nabe des Hebels 474 

§. 222. Der Hebelarm mit rechteckigem Querschnitt 475 

§. 223. Zusammengesetzte Hebelarm-Querschnitte 477 

§. 224. Tabelle zur Umformung der rechteckigen Armquerschnitte . 478 

XIV. Kurbeln. 

§. 225. Verschiedene Arten von Kurbeln 479 

§. 226. Die schmiedeiseme Stimkurbel 480 

§. 227. Graphostatische Berechnung der Stimkurbel 480 

§. 228. Die gusseiseme Stimkurbel 484 

§. 229. Die Gegenkurbel 485 

§. 230. Graphostatische Berechnung der Gegenkurbel 486 

§. 231. Die einfache Krummachse oder Wellenkröpfung 490 

§. 232. Mehrfache Kurbelachsen. Lokomotivachsen 497 

§. 233. Die excentrische Scheibe 507 

§. 234. Handkurbeln 508 

XV. Zusammengesetzte Hebel. 

§. 235. Verschiedene Arten zusammengesetzter Hebel. Achsendruck . 509 

§. 236. Balancierköpfe 510 

§. 237. Achse und Nabe des Balanciers 512 

§. 238. Der Balancierarm 512 

§. 239. Schmiedeiserner Balancier 515 

XVI. Pleuelstangen. 

§. 240. Theile der Pleuelstangen 516 

§. 241. Pleuelköpfe für Stimzapfen 516 

§. 242. Pleuelköpfe für Gabelzapfen 524 

§. 243. Pleuelköpfe für erweiterte oder Halszapfen 528 



Inhalts- Verzeichniss. XIX 

Seite 

§. 244. Der rande Pleuelschaft 533 

§.^245. Der Yierkantige Pleuelschaft 637 

§. 246. Der geflügelte und gerippte Plenelschafb 541 

§. 247. Schmiedeiseme und guBeeiseme Pleuelstange 545 



XVII. Querhänpter. 

§. 248. Verschiedene Arien von Querhäuptem 546 

§. 249. Freigehende Querhäupter 547 

§. 250. Querhänpter mit Gelenkführung 549 

. 251. Querhänpter mit Schienenführung 550 

. 252. Die Führungsgleise oder Schienen 558 

XVm. Röhren und Röhrenverbindungen. 

§. 253. Empirische Formeln für die Wanddicke der Bohren 561 

§. 254. Berechnung der Rohren mit hohem inneren Druck 563 

§. 255. Tabelle über die Wanddicke cylindrischer Gefasse mit hohem 

inneren Druck 564 

§. 256. Kugelförmige Gefasse mit hohem inneren Druck 568 

§. 257. Wandstärken der Dampfkessel mit innerem Druck 568 

§. 258. Dampfkesselröhren mit äusserem Druck 570 

§. 259. Verbindungen gusseisemer Röhren 572 

§. 260. Verbindung schmiedeiserner Röhren 578 

§. 261. Bleiröhren- Verbindungen. Gemischte Verbindungen 579 

§. 262. Gewichte der gusseisernen Röhren 581 

XIX. Ventile. 

§. 263. Eintheilung der Ventile 583 

A. Gleitungsventile. 

. 264. Der konische Hahn 584 

B. Hebungsventile. 

§. 265. Klappen 586 

§. 266. Einfache Rundventile 588 

§. 267. Doppelsitzventile 590 

XX. Kolben. 

§. 268. Verschiedene Arten von Kolben und Kolbcnverschlüssen . . . 594 

§. 269. Stopfbüchsen 600 

§. 270. Dampf kolben 604 



^X Inkilt^-Wneichnrsss. 

Seit« 

§, ari. fNMttf^^ttkcOWot . . . . , , 008 

$. dra 9iw^*IUftiitt^ «Im' Kk^^mmibc^ 609 

XXL Seile and Ketten. 

§. :i7a Y«wwhi<Nl«ne Arten von Seilen und Ketten 612 

A. Hanfseile. 

§, d74. Kunde Seile 613 

§. :)75. Gewicht der Hanfeeile und Einflnss desselben 614 

§. 276. Tabelle über die dreiHtzigen Hanfseile 615 

B. Drahtseile. 

§. 277. Runde fiisendrahtseile 616 

§. 278. Flache oder Banddrahtseile 617 

§. 279. Gewicht der Drahtseile und Einfluss desselben 618 

§. 280. Tabelle über die Eisendrahtseile 619 

G. Ketten. 

§. 281. Lastketten 620 

§. 282. Berechnung der Schakenkette 622 

§. 283. Berechnung der Gelenkkette 624 

§. 284. Eisenlänge und Gewicht der Ketten 629 

§. 285. Tabelle über die Schakenketten 631 

§. 286. Tabelle über die Gelenkkette, nach Neustadt 632 

XXII. Seil- und Kettenverbindungen. 

§. 287. Verbindungstheile bei stehenden und laufenden Ketten . . . 633 

§. 288. Seil- und Kettenhaken 637 

§. 289. Seilbüchsen. Seilbuffer 641 



Vierter Abschnitt. 

Mathematische Tafeln. 



§. 290. Curven-, Flächen- und Körpertafeln 643 




ERSTER ABSCHNITT. 

FESTIGKEIT DER MATERIALIEN 



§. 1. 

Vorbemerkuiigen. 

Die Lehre von der Festigkeit der Materialien gibt Aufschluss 
über die Widerstände , welche feste Körper den auf sie wirkenden 
Kräften entgegensetzen. Die nachstehenden Kunstausdrücke die- 
ser Lehre sind im Folgenden in dem hier erklärten Sinne ge- 
braucht 

Flächendruck, Druck auf die Flächeneinheit. 

Spannung, gewöhnlich nur bei Anwendungen der Festig- 
keitslehre gebraucht, die auf die Flächeneinheit zurückgeführte 
Anspannung der Molekularfasern; allgemein: Kraft pro Flächen- 
einheit. 

Tragmodul, die Spannung, welche der Elasticitätsgrenze 
entspricht Der Zug- und der Druckfestigkeit entsprechen ein 
Zug- und ein Drucktragmodul. 

Bruchcoefficient oder Bruchmodul, die Spannung, welche 
den Bruch einer Molekularfascr herbeiführt. 

Elasticitätsmodul (das Maass der elastischen Nachgiebig- 
keit eines Materials), die Spannung, bei welcher ein prismatischer, 
in seiner Längenrichtung beanspruchter Körper um seine ganze 
Länge ausgedehnt oder zusammen gepresst wird (eine solche Form- 
änderung als möglich vorausgesetzt). 

Theoretische Tragkraft heisst die Kraft, welche in einem 
von ihr irgendwie (auf Zug, Druck, Drehung, Biegung etc.) bean- 
spruchten Körper in der stärkst gespannten Faser eine Spannung 
gleich dem Tragmodul hervorruft, also die Festigkeit des Körpers 
bis zur Elasticitätsgrenze in Anspruch nimmt. 

Praktische Tragkraft oder Tragkraft schlechthin wird 

BeuIeAux, der Conttniotenr. 1 



l: I t«tiigkeit der Materialien. 

ditfäerue Kräh geuaunt . wenn sie jene Spannung nur bis zu einer 
beabsieiitigiei. und für zulässig ex-achteteu Hübe unterbalb der 
LuistK'iliiisgrenzt tr^iin. i^lragkraft" der Eisenbabnwagen.) 

Tri.^<:' lif'iit::. du^ Verbultniss zviscben der tbeoretiscben 
Tra^Mira:: u*aL. dor I*'.'lasTui!p dc€ Kür]>erb. oder was dasselbe ist, 
rwisoiit^i. ütm. b*Jir>jfi't;uiiei. Irugmodul und der stärksten eintre- 
U'LÜtfL ^l^allTlu::s:. 

1 -ui.: i •:.:: luler I rut Lbelastung beisst die obige Kraft. 
vt»;:i <it i:. dvr s'.iirks: gespHiiiueL laser des Körpers eine Span- 
uuiu: clei:: den. lirucbuividul iiervomift: die Brucbkraft ist in 
i»t*s.»iiäer'. 1. Füllt*! du Kru:: zum Zerreisseu. Zerdrücken, Ab- 
S'/üror-'i. Ai»i« üivit'i.. Abbre-.LeL eic. 

1 ru. i Sil i.t r: t:;. Sicherheit gegen den Bruch, das 
Vt'ri:i.::iu>& rvjsiiiet dtT iirucLkraft und der Belaslung. 

1 tai ^i ru'« '.iir.g. dt-r umgekehrte Werth der Sicherheit 
Al^ aü^ouieiiiv Ke^el für den Mabchinenbau kann es gelten, 
dass ii- deriltgel tiüe zweifache Tragsicherheit den auf einen 
(. uustJUcti'jHJtLfil eiiiwiikeLden statischen Kräften gegenüber pas- 
send is>t. Unter l'ujständeii muss indessen nach oben oder unten von 
dem gi'j.aMiU-n Moa^se abgewichen werden: nach oben darf um so 
luelir abgewichen werden, je genauer die Aufsuchung der statischen 
Kräfte btattgefuuden hat. was z. B. bei Anwendung der grapho- 
statischen Methode häufig leicht zu erreichen ist Nie soll man 
einen MascLinenthcil bei seinem Gebrauche über seine theoretische 
Tragkraft hinaus belasten; dagegen sind bei einzelnen Materialien, 
namentlich z. B. beim Schmiedeisen, solche Probebelastungen, 
welche den Körper bloss über eine seiner Elasticitätsgrenzen hin- 
aus beanRj)ruchen, ohne sich der Bruchkraft zu sehr zu nähern, 
allem Anschein nach nicht schädlich. (Siehe §. 2.) 

Fällt clio Belastung eines Körpers zwischen die theoretische 
Tragkraft und die Bruchkraft, so ruft sie bleibende Formände- 
rungen in dorn Körper hervor; erreicht sie die Bruchkraft, so wer- 
den die stärkst gespannten Fasern zerrissen oder zerdrückt Die 
Firmittelung der Bruchkraft und somit die Benutzung der Bruch- 
model beschränkt sich vorzugsweise auf diejenigen Fälle, wo der 
Bruch (das Zerrcisson, Zerbrechen, Durchlochen etc.) eines Kör- 
pers gerailozn bezweckt wird; für die Berechnung von bleibenden 
Constructionon ist der llanptwerth auf die Tragmodel zu legen. 

Das in den Zahlenbeispielen gebrauchte Zeichen „,^^'' be- 
deutet: ,soi" oder „abgerundet auf*-. 




lieber die Festigkeitscoefficienten. 3 

§.2. 

Festigkeits - Coefflcienten. 

Die in nachstebenden Tabellen zasammengestellten Coefficien- 
ten sind Mittelwerthe aus zahlreichen, von vielen Experimenta- 
toren an den verschiedensten Gattungen der aufgeführten Mate- 
rialien angestellten Versuchen; sie können deshalb unter umstän- 
den von dem wahren bei einem zu brauchenden Material sich fin- 
denden Werth abweichen, ohne deshalb ihre Brauchbarkeit einzu- 
büssen. Schädliche Wirkungen jener allfälligen Abweichungen 
vermeidet man durch Einsetzung von Spannungen, welche ge- 
nügend unter den Tragmodeln bleiben. Die Buchstaben sind 
in den Spaltenüberschriften ausreichend erklärt. Bei dem 
^Holz*' sind die Mittelwerthe für Eichen-, Buchen-, Tannen- und 
Eschenholz, als wenig von einander abweichend, zusammengefasst. 

Man findet die Werthe der zweiten Tabelle aus denen der 
ersten (wo die Zahlen abgerundet sind) durch Multiplication der- 
selben mit 1368. Zur Umwandlung in Schweizermaass (Zoll = 30 
Millimeter, Pfund = V» Kilogramm) dient der Multiplicator 1800, 
für englisches Maass (engl. Zoll und Pfund av. dup.) 1422, und 
für österreichisches Maass (österr. Zoll und Zollpfund) 1387. 

Materialien, welche grosse Unterschiede zwischen den zusam- 
mengehörigen Bruch- und Tragmodeln zeigen, besitzen in hohem 
Grade die Eigenschaft der Zähigkeit. Die Versuche am Schmied- 
eisen zeigen, dass eine nicht gar zu weit über die Elasticitätsgrenze 
hinaus getriebene Belastung, welche also eine bleibende Formän- 
derung in dem belasteten Körper hervorruft, den Elasticitätsmodul 
nicht verändert, den Tragmodul aber erhöht. So zeigt z. B. ^ein 
Schmiedeisenstab, der mit 20* pro Quadratmillimeter ausgedehnt 
wurde, in dem neuen Zustande bei Erneuerung der Belastung einen 
Zutragmodul von 20 statt von 15*. (Benutzung dieser Erschei- 
nung beim Drahtziehen.) Die Zähigkeit ist eine sehr gute Eigen- 
schaft für ein Gonstructionsmaterial ; sie kann wenigstens annä- 
hernd bemessen werden aus den Quotienten Ä": T und Ei : Ti. Ge- 
schwächt wird sofort der obige übertrieben belastete Eisenstab, wenn 
man ihn nach dem Ausdehnen über die andere Elasticitätsgrenze 
hinaus zusammenpresst; zu seinem anfänglichen Tragmodul kehrt 
er nach jener ersten Streckung zurück, wenn man ihn ausglüht. 

1* 



tV^tinkoitscoefficienten für äas metriEche UaaBssfsteni 
Millimeter und KSograjum. 



Mat«rid. 


Etasti- 
ciläls- 
modnl 


Ti«gmodiü 


Bradimodiil 




fQr Zne 


IIBt Drnci 


ffc Zug ; rtr Dnck 






E 


T 


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Ji 


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1 








1 forp^ 


2iXiiX> 


15 


' 15 


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22 






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SO 




70 






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0,4 






ItgchniiiigeD mit den Werthen dieser Tabelle sind die 
,„iB ViUimetero, die Kräfte in Kilogrammen einzusetzen.. 



Festigkeitscoefficienten für das preuss. Maasssystem. 
Preuss. Zoll (= Vi 2 preuss. Fuss) und Pfund. 



Material. 


Elasti- 
citäts- 
modul 


Trag] 


modul 


Bruchmodul 


Specifisches 
Gewicht 


fUr Zug 


fttr Druck 


für Zug 


ITlr Druck 




E 


T 


T, 


K 


Kr 


y 


Schmiedeisen 


27360000 


205^0 


20520 


54720 


30096 


7,60— 7,80 


fiisendraht . 


27360000 


41040 


-— 


95760 




7,60— 7,80 


Eisenblech . 


23256000 


— 





43776 


— 


7,60 


Gnsseisen . . 


13680000 


10260 


20520 


15048 


86148 


7,00— 7,50 


Stahl. . . . 


27360000 


34200 


— 


109440 


— 


7,50— 7,80 


Gussstahl, un- 










w. 




gehärtet . . 


27360000 


41040 


— 


109440 


1* 


7,50— 7,80 


Gussstahly 














geh. u. an- 














gelassen . . 


41040000 


88920 


— 


136800 


— 


7,83— 7,92 


Kupfer , ge- 














hämmert. . 


15048000 


3400 


— 


41000 


95800 


8,88— 9,00 


Kupferdraht 


17784000 


16400 




54720 


— 


8,78— 8,95 


Messing . . 


8892000 


6566 


— 


16416 


150480 


8,40— 8,71 


Messingdraht 


13680000 


17784 


— 


68400 


-^ 


8,34— 8,73 


Glockengut . 


4377600 


2736(?) 


- 


31464 


___ 


8,81 


Blei .... 


684000 


1368 


— 


1778 


6840 


11,33 — 11,45 


Holz .... 


1504800 


2736 


2462 


12312 


6840 


0,59— 0,82 


HanÜBeil, neu 


342000 


6840(?) 
1368(?) 


— 


16416 


-^ 


0,14— 0^1 


alt 
Maschinen- 


68400 




6840 


— 


— 














riemen . . 


21000 bis 














27300 


2200 


— 


4000 


— 


— 


Basalt . . . 






■ 


_ 


12312 


2,36- 2,72 


Granit . * . 




— 


— 


-i- 


10944 


2,50— 3,05 


Kalkstein . . 


— 


— 




— 


6840 


2,46— 2,84 


Quarz . . . 






— 




16416 


2,30— 2,70 


Sandstein . . 


— 


— 


— 


— 


9576 


1,90— 2,70 


Ziegelstein . 


,^ 




, 


.^^ 


881 


1,40— 1,20 


Mörtel . . . 


— 


— 


— 


— 




— . 


Kalkstein- 














mauerwerk 


— 


— 




— 


6840 


1,47- 1,70 


Sandstein- 














mauerwerk 


•.— 


— 


— 


— 


2052 


2,05— 2,12 


Ziegelmauer- 














werk . . •. 


^"- 


^"^ 


^^^ 




647 


2,40- 2,46 



ßei Bechnangen mit den Werthen dieser Tabelle sind die 
Längen in preuss. Zoll, die Kräfte in preuss. Pfunden einzusetzen. 



Fostigkoit der Materialien. 

§.3. 

Zug- und Druckfestigkeit 

Kiu Stuh i^t auf /ugfostigkcit beanspracht, wenn die an- 
((roifotulo Kruft /* ihn \\\ seiner Längenrichtnng aoszudehnen 
sucht. Int diVKogou dio Kraft gerade entgegengesetzt gerichtet, 
80 boau^ipnirhl Hio den Körper auf Druckfestigkeit, vonmsge- 
seixt übriKeun, vlasn die I.ango des Stabes gegen dessen Qaer- 
BohnitttuauHHo uieht /u gross sei (vergl. §. IG)* 
Nennt man uoeh: 

(/ die (^röNAo eine» t\\ betrachtenden Querschnittes des 

Stuben» 
® die ,in deni?»elbeu durch die Kraft P hervorgerufene 
Spannung. 
80 ist bei Yernaebliissigung des Kigongowichtes des Stabes die 
Tragkraft bei der Spannung ^: 

/* v?i/ (l) 

J?fiV|»iVI, f.'m hxU'h<tttM i4iV «IM .«rinrm Fusse einen Horucntal- 
Schub von /(HXH)' (IM«. uu'U'Hi'9' iintrS nne horuontale runde Queratange 
aufgenommen wtnivn $oU ih'xtiUhf man in derselben die Spannung 

€ = 5*, jfi) iVc* m s<t,'<fn /n» J.r s'itiin^pndicke d: vgj = 5 • -j(P=iööOO; 

1/ ^ 
voraus d - r' » \HHHi MK4 \\ •• ^ ' ."ic)--. 

Die Haupt fo r n^ ii n d e r u w g e t\ » welche die Beanspruchung auf 
Zug- oder Druekrestigkeit in einen» Körper hervorruft, sind Ver- 
längerung oder Verkllr/nng deswelben, Kin prismatischer, durch 
die Kraft P auf Zug bennsprnehter Körper verlängert sich dadurch 
um die Grosso A, für welche bei der ursprünglichen Länge I des 
Stabes gilt: 

/ )•: (2) 

welche Formel so lange richtig bleibt, als ® nicht grösser als der 
Zugtragmodul Tist — Dieselbe Formel gilt für die Zusammen- 
Pressung des Stabes durch die Kraft i\ wobei der Drucktrag- 
modul Ti die Grenze der (;ültigkeit der Formel angibt 

Beispiel Die oben bereehnet^ Querstange sei vor dem Einsetzen 
35- lang; sie wird sich dann bei einUetender üelastung verlängern 
^. . _ 35000 , 5 35 ^ 




Zug- und Druckfestigkeit. 7 

Formel (1) gilt, weil bei Zug- und Druckfestigkeit alle Quer- 
schnittelemente gleichstark beansprucht werden, auch über die 
Elasticitätsgrenze hinaus, so dass man mittelst derselben die 
Kraft finden kann, welche einen Körper zerreisst oder zerdrückt. 
Man hat dafür die betreffenden Bruchmodcl einzusetzen. 

Beispiel. Zum Zerreissen der oben berechneten Stange bedarf es 

71 

einer Zugkraft P=rK . q oder, der Tabelle §. J2 gemäss^ P = 40 . 50^ -j- 
= 78540*5 eum Zerdrücken eines niedrigen Stückes derselben bedürfte es 
einer Kraft P^ z= K^ q = 22 , 50^ ^ = ^3197''. 

§•4. 

Körper von gleicher Zug- und Druckfestigkeit. 

Körperformen von gleicher Festigkeit ergeben sich, wenn 
man in einem Körper die Querschnitte so wählt, dass in allen die 
grösste Spannung @ denselben Werth erhält, wodurch eine verhält- 
nissmässig sehr günstige Materialverwendung erzielt werden kann. 
Solche Körperformen werden indessen selten mit Genauigkeit, son- 
dern gewöhnlich nur näherungsweise zur Ausführung gebracht; sie 
dienen in vielen Fällen sogar nur als stilistische Grundformen, die 
einer Construction nur den Ausdruck der gleichen Festigkeit zu 
verleihen haben, ohne dass diese streng eingehalten würde. Dem 
Constructeur sind sie aus beiden Gründen von Werth; ja es möchte 
der Zahl nach die zweite Benutzungsart, die des stilistischen Vor- 
bildes, häufiger sein als die erstere. Sind dem Construirenden 
die Festigkeitsformen recht geläufig geworden, und hat er sich frei 
gemacht von dem G^^nken, dass die für die Gleichhaltung der 
Festigkeit erforderlichen Curven streng eingehalten werden müss- 
ten; so wird er bald dahin gelangen, stets ansprechende gefällige 
Linien für schwer 2u belastende Constructionstheile zu finden, in- 
dem er die Grundform, welche der starre mathematische Ausdruck 
liefert, mit künstlerischer Freiheit und Selbständigkeit in das Le- 
ben überträgt. 

Nachfolgend gegebene Formen gelten für Zug- wie für Druck- 
festigkeit. Als Beispiele technischer Nützlichkeit der beiden 
ersten Formen können die Holzschrauben, die eingegossenen 
Schraubenstifte, Säulchen etc., für die der dritten Form die erst 
neuerdings so gebauten steinernen Kamine mit leiser Einziehung 
im Schafte, sowie hohe Brücken- und Viaductpfeiler *) dienen. 

♦) Vergl. Baumeister, archit. Formenlehre, S. 226. 



XVIII Inhalts-Verzeichniss. 

Seite 

§. 211. Theilung und Zahnbreite der Triebwerkräder 456 

§. 212. Erläuterungen zu den vorstehenden Beispielen 462 

F. AbmessuDgen des Radkörpers. 

§. 213. Der Radkranz 463 

§. 215. Die Radspeichen. Zahl derselben 465 

§. 216. Tabelle über die Abmessungen der Radspeichen 467 

§. 217. Die Radnabe 468 

§. 218. Gewichte der Zahnräder 468 

XIII. Einfache Hebel. 

§. 219. Hebelzapfen 470 

§. 220. Zapfenverbindung der Hebel 473 

§. 221. Die Hebelachse und Nabe des Hebels 474 

§. 222. Der Hebelarm mit rechteckigem Querschnitt 475 

§. 223. Zusammengesetzte Hebelarm-Querschnitte 477 

§. 224. Tabelle zur Umformung der rechteckigen Armquerschnitte . 478 

XIV. Kurbeln. 

§. 225. Verschiedene Arten von Kurbeln 479 

§. 226. Die schmiedeiseme Stimkurbel 480 

§. 227. Graphostatische Berechnung der Stimkurbel 480 

§. 228. Die gusseiseme Stimkurbel 484 

§. 229. Die Gegenkurbel 485 

§. 230. Graphostatische Berechnung der Gegenkurbel 486 

§. 231. Die einfache Krummachse oder Wellenkröpfung 490 

§. 232. Mehrfache Kurbelachsen. Lokomotivachsen 497 

§. 233. Die excentrische Scheibe 507 

§. 234. Handkurbeln 508 

XV. Zusammengesetzte Hebel. 

§. 235. Verschiedene Arten zusammengesetzter Hebel. Achsendruck . 509 

§. 236. Balancierköpfe 510 

§. 237. Achse und Nabe des Balanciers 512 

§. 238. Der Balancierarm 512 

§. 239. Schmiedeisemer Balancier 515 

XVI. Pleuelstangen. 

§. 240. Theile der Pleuelstangen 516 

§. 241. Pleuelköpfe für Stimzapfen 516 

§. 242. Pleuelköpfe für Gabelzapfen 524 

§. 243. Pleuelköpfe für erweiterte oder Halszapfen 528 



Schubfestigkeit. — Biegungsfestigkeit. 9 

§.5. 

Schab- oder Gleitungsfestigkeit. 

Ein Körper wird in einem Querschnitt auf Schub- oder 
Gleitungsfestigkeit, die auch Abscheerungs- oder Scheerfestig- 
keit genannt wird, beansprucht, wenn die angreifende Kraft P 
in der Ebene des Querschnittes wirkt. 

Ist wieder q die Grösse des Querschnittes , und <B die darin 
eintretende Spannung, so hat man wie bei Zug- und Druckfestig- 
keit für die Tragkraft: 

P = ®g (3) 

Die Elasticitätsgrenze wird erreicht, wenn @ = Vö des klei- 
neren der beiden Tragmodel des Materials wird, also beim 
Schmiedeisen, wo T= Ti = 15, bei @ = 12, für Gusseisen, wo 
T < Ti und = 7,5 bei @ = 6. Es tritt nämlich hier die Maxi- 
malspannung nicht in der Ebene des Querschnittes, sondern ge- 
neigt dazu ein, und hat die '^/^fsiche Grösse von @. 

Die Quer Verschiebung, welche die zwei Flächen des auf Glei- 
tungsfestigkeit beanspruchten Querschnittes erleiden, ist innerhalb 
der Elasticitätsgrenze sehr klein, macht sich aber bemerkbar, wenn 
wie bei einem auf Drehungsfestigkeit beanspruchten Stabe viele 
querverschobene Querschnitte aufeinander folgen. 

Gleichung (3) gilt auch für solche Fälle, wo die Trennung 
der beanspruchten Flächen bezweckt wird, also für das Abschnei- 
den, Ausstossen, Durchlochen (d. i. das Arbeiten mit denjenigen 
Maschinen, welche man neuerdings häufig unter dem Namen D ur ch- 
bruch-Maschinen zusammenfasst). Die Spannung ®, bei wel- 
cher der Bruch erfolgt, zeigt sich etwas weniges abweichend von 
dem Bruchmodul für Zug (K). Die Abweichung erklärt sich dar- 
aus, daBs K und Ki beim Abscheeren gleichzeitig zur Wirkung 
kommen (s. übrigens: v. Reiche, lieber das Lochen der Metall- 
platten, Civ.Ing. 1864, S. 235). Für die Berechnung der Durchbruch- 
Maschinen genügt es, etwa 1,1 K als Bruchcoefficient einzuführen. 

§.6. 

Biegungsfestigkeit. 

Tragkraft und elastische Linie. 

Ein stabförmiger Körper, an welchem solche äussere Kräfte 
sich das Gleichgewicht halten, welche senkrecht zur Stabachse ge- 
richtet sind, ist auf Biegungsfestigkeit beansprucht So lange 
die Beanspruchung die Elasticitätsgrenze nicht überschreitet, tritt 
für jeden Normalquerschnitt des Stabes Gleichgewicht ein zwischen 



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ßiegungsfestigkeit. 1 1 

Die die Schwerpunkte der Stabquerschnitte verbindende Achse 
des Stabes erfahrt bei der Biegung keine oder nur eine vernach- 
lässigbar kleine Längenänderung; sie wird nur gebogen, und zwar 
gilt für ihren KrümmungshalbmeBBer q die Formel: 

9 = ir (®> 

Die Gurve, nach welcher die Krümmung stattfindet, heisst eine 
elastische Linie, deren Gleichung der allgemeine Ausdruck 

dx^~JE ^^ 

gibt. 

Li der folgenden Tafel sind nun für eine Reihe von AngrifF- 
arten einer biegenden Kraft auf einen prismatischen Stab die 
Werthe zusammengestellt für 

das Kraftmoment M für den Punkt x, 

die Tragkraft P nach Formel (5), 

die Coordinaten rr, y der elastischen Linie, 

für den Werth / der Abscisse y am Angrifi*punkt der Kraft 

bei den Belastungsweisen Nro. L bis VI., 
und endlich für die stärkste Einsenkung / bei den Fällen VIL 
bis XIII. 

« 

Bei sämmtlichen aufgeführten Fällen ist das eigene Gewicht 
des betrachteten Balkens vernachlässigt, was bei zahlreichen prak- 
tischen Fällen, namentlich des Maschinenbaufaches, zulässig ist 
(weniger beim Brückenbaufach). Die Fälle VII. bis X. können als 
solche benutzt werden, bei denen das Stabgewicht berücksichtigt 
werden soll. In den Fällen XI. und XII. ist gezeigt, wie eine pas- 
sende ungleichförmige Vertheilung der Last eines Balkens des- 
sen Tragkraft wesentlich erhöhen kann, indem bei der Belastungs- 
weise nach XI. und XII. die Tragkraft l^l^tndil so gross ausfällt, 
als bei Nro. VII. und VIII. Gleichzeitig liefern auch die Lastver- 
theilungen in XI. und XII. noch obendrein kleinere Einsenkungen 
als Nro. VII. und VIII. Diese Umstände sind für die Belastung 
von Magazinen, Speichern u, s. w. sehr beachtenswerth. Die 
Lastvertheilung in Nro. XIIL ist dagegen ungünstig für die 
Tragkraft; sie zieht dieselbe auf das V^f^che des Falles Nro. VIII. 
herab und macht auch die Einsenkung/ grösser als dort 

Zu beachten ist, dass die Einsenkung / durchgehends mit der 
dritten Potenz der Längenabmessungen wächst, und dass sie bei 
verschiedener Auflagerungsart des Stabes sehr stark verändert 
auftritt. 



1 Biegungsfestigkeit 

dem Moment der äusseren Kräfte einerseits, und den Momenten 
der in dem Querschnitt widerstehenden inneren Kräfte andererseits, 
beide bezogen auf die neutrale Achse des Querschnittes. Diese 
ist einAequator des Querschnittes, d.h. sie geht durch den Schwer- 
punkt desselben, und steht senkrecht auf der Biegungsebene. Sie 
theilt den Querschnitt in zwei Theile, von denen in dem einen alle 
zur Stabachse parallelen Fasern proportional ihrer Entfernung 
von der neutralen Achse auf Zug beansprucht sind (Zugseite des 
Querschnittes), während in dem anderen die Fasern auf Druck 
beansprucht werden (Druckseite des Quersclinittes), und zwar 
ebenfalls proportional ihrem Abstand von der neutralen Achse. 
Gleichweit von der neutralen Achse entfernte Fasern auf Zug- und 
Druckseite erleiden dabei gleiche aber entgegengesetzt gerichtete 
Formänderungen. Die Biegungsfestigkeit ist sonach eine Vereini- 
gung von Zug- und Druckfestigkeit, wobei beide in einer höheren 
Ordnung, nämlich mit Achsendrehung, vorkommen. 

Ist nun: 
JLTdas statische Moment der einen Querschnitt auf Biegung bean- 
spruchenden Mittelkraft, bezogen auf die neutrale Achse des 
Querschnittes, oder das sogenannte Kraftmoment, 
J das Trägheitsmoment des Querschnittes zu seiner neutralen Achse, 
a der Abstand der stärkst gespannten, d. h. der von der neutralen 
Achse am weitesten entfernten Faser auf der Zug- oder der 
Druckseite des Querschnittes, 
3 die in dieser Faser eintretende Spannung. 

öo ist: ^- ^ J ^.v 

Jz = ^Ä — y^j 

J " 

Das Product 3 — heisst das Spannungsmoment des un- 

tersuchten Querschnittes, oder auch dessen Tragmoment für 
die Spannung 3. Ist der gebogene Stab prismatisch, die biegende 
Mittelkraft P und ihr Hebelarm für irgend einen Querschnitt x^ 
so kann zunächst M = Px für jeden Querschnitt einen anderen 
^Ye^th haben. Derjenige Querschnitt, für welchen Px seinen 
grüssten Werth annimmt, heisst der gefährliche Querschnitt, 
und die biegende Kraft P, welche in ihm die Spannung 3 hervor- 
ruft, ist die Tragkraft des Stabes für die Spannung 3, so dass 
man für die Tragkraft hat: 

P = — (5) 

wobei x,n denjenigen Werth von x bezeichnet, bei welchem {Px) 
ein Maximum ist. 



Biegnngsfestigkeit. 1 1 

Die die Schwerpankte der Stabquerschnitte verbindende Achse 
des Stabes erfahrt bei der Biegnng keine oder nur eine vernach- 
lässigbar kleine Längenänderung; sie wird nur gebogen, und zwar 
gilt für ihren Krümmangshalbmesser q die Formel : 

9 = itf (^) 

Die Gurre, nach welcher die Krümmung stattfindet, heisst eine 
elastische Linie, deren Gleichung der allgemeine Ausdruck 

dx^~JE ^^ 

gibt 

In der folgenden Tafel sind nun für eine Reihe von Angriff- 
arten einer biegenden Kraft auf einen prismatischen Stab die 
Werthe zusammengestellt für 

das Kraftmoment M fxir den Punkt jr\ 

die Tragkraft P nach Formel (5), 

die Coordinaten x, y der elastischen Linie, 

für den Werth / der Abscisse y am Angriffpunkt der Kraft 
bei den Belastungsweisen Nro. L bis VI., 

und endlich für die stärkste Einsenkung/ bei den Fällen VII. 
bis XIIL 

Bei sämmtlichen aufgeführten Fällen ist das eigene Gewicht 
des betrachteten Balkens vernachlässigt, was bei zahlreichen prak- 
tischen Fällen, namentlich des Maschinenbaufaches, zulässig ist 
(weniger beim Brückenbaufach). Die Fälle VII. bis X. können als 
solche benutzt werden, bei denen das Stabgewicht berücksichtigt 
werden soll. In den Fällen XI. und XII. ist gezeigt, wie eine pas- 
sende ungleichförmige Vertheilung der Last eines Balkens des- 
sen Tragkraft wesentlich erhöhen kann, indem bei der Belastungs- 
weise nach XI. und XII. die Tragkraft P ^inal so gross ausHillt, 
als bei Xro. VII. und VIII. Gleichzeitig liefern auch die Lastver- 
theilungen in XI. und XII. noch obendrein kleinere Einsenkungen 
als Nro. VIL und VIII. Diese Umstände sind für die Belastung 
von Magazinen, Speichern u, s. w. sehr beachtenswerth. Die 
Lastvertheilung in Nro. XUL ist dagegen ungünstig für die 
Tragkraft; sie zieht dieselbe auf das 74fi^che des Falles Nro. VIIL 
herab und macht auch die Einsenkung/ grosser als dort 

Zu beachten ist, dass die Einsenkung / durcbgehends mit der 
dritten Potenz der Längenabmessungen wächst, und dass sie bei 
verschiedener Auflagerungsart des Stabes sehr stark verändert 
auftritt 



Festigkeitscoefficienten für das metrische Maasssystem. 

Millimeter und Kilogramm. 



— =^^= 1 


Elasti- 


Tragmodul 


Bruchmodul 




citäts- 
modul 










Material. 


für Zug 


für Druck 


ftlr Zug 


fUr Druck 




E 


T 


^1 


K 


^1 


Schmiedeisen , fer 












forge 


20000 


15 


15 


40 


22 


Eisen draht, fil de fer 


20000 


30 


— 


70 


— 


Eisenblech , fer en 












tole lamine .... 


17000 


_ 


m— 


32 


— . 


GoBseisen, fer fondu, 












fönte 


10000 


7,5 


15 


11 


63 


Stahl, ader .... 


20000 


25 


. — 


80 


— ~ 


Gussstahl, ungehär- 
tet, acier fondu brut 












20000 


30 


— 


80 


m— 


«Oussstahl, geh. u. an- 












gelassen, acier f 












tremp6 et recuit . 


30000 


65 bis 150 


— 


100 


<— 


Enpfer, gehämmert, 


t 










cnivre roage battu 


11000 


2,5 


— 


30 


70 


Eupferdraht, fil de 












cuivre 


13000 


12 


— 


40 


~— 


Messing, laiton. . . 


6500 


4,8 


— 


12 


110 


Messingdraht, fil de 












laiton 


10000 


13 


— 


50 


— 


Glockengut, bronze 


3200 


2(?) 


— 


23 


.. 


Blei, plomb .... 


500 


1 


— 


1,3 


5 


Hok, bois de con- 












shuction 


1100 


2 


1,8 


9 


5 


Hanfseil, neu, corde 












en chanvre .... 


250 (?) 
50(?) 


1(?) 


'— 


12 


— 


Hanfseil, alt ... . 


— 


5 


— 


Maschinenriemen- 












leder, gebraucht. 












courroie en cuir . 


15 bis 20 


1,6 




2,9 


.^ 


Basalt, basalte . • . 


— 









9 


Granit, granite . . . 


— 


— 





— 


8 


Kalkstein, pierre a 










, 


chaux 


— 


— 





— 


5 


Quarz, ^uartz . . • 


— 


— 





— 


12 


Sandstein*, gres dur 
Ziegelstein, Drique . 


— 


« — 




— 


7 


— 







— 


0,6 


Mörtel, mortier . . 


— 


-^ 


— 


— 


_ 


Kalksteinmauerwerk, 












mur en pierres a 












chaux '. 


— 


—. 


— 


— 


6 


Sandsteinmauerwerk, 




» 








mur en gres dur . 


— 


■"■" 


— 


— 


1,5 


Ziegelmauerwerk, 












mur en briques 


— 


— 


— 


— 


0,4 



Bei Rechnungen mit den Werthen dieser Tabelle sind die 
Längen in Millimetern, die -Kräfte in Kilogrammen einzusetzen.- 



Festigkeitscoefficienten für das preuss. Maasssystem. 
PreusB. Zoll (= Vi 2 preuss. Fuss) und Pfund. 



Material. 


Elasti- 
citäts- 
modul 


Tragmodul 


iiruchmodul 


] 
Specifisches 

Gewicht 






für Zug 


fQr Druck 


für Zug 


ITlr Druck 




E 


T 


^1 


K 


K^ 


y 


Schmiedeisen 


27360000 


20520 


20520 


54720 


30096 


7,60— 7,80 


fiisendraht . 


27360000 


41040 


— 


95760 




7,60— 7,80 


Eisenblech . 


23256000 


— 


— 


43776 


— 


7,60 


Gasseisen . . 


13680000 


10260 


20520 


15048 


86148 


7,00— 7,50 


Stahl. . . . 


27360000 


34200 


— 


109440 


— 


7,60— 7,80 


Gassstahl, un- 














gehärtet . . 


27360000 


41040 


— 


109440 


• 


7,50— 7,80 


Gusftstahl, 














geh. u. an- 














gelassen . . 


41040000 


88920 


— 


136800 


— 


7,83— 7,92 


Kapfer , ge- 














hämmert. . 


15048000 


3400 


— 


41000 


95800 


8,88— 9,00 


Kapferdraht 


17784000 


16400 




54720 


— 


8,78— 8,95 


Messing . . 


8892000 


6566 


— 


16416 


150480 


8,40— 8,71 


Messingdraht 


13680000 


17784 


^^ 


68400 




8,34— 8,73 


Glockengut . 


4377600 


2736(?) 


- 


31464 


___ 


8,81 


Blei .... 


684000 


1368 


— 


1778 


6840 


11,33 — 11,45 


Holz .... 


1504800 


2736 


2462 


12312 


6840 


0,59— 0,82 


Hanfseil, nea 


342000 


6840(?) 
1368(?) 


— 


16416 


-^ 


0,14— 0,21 


alt 
Maschinen- 


68400 




6840 


— 


— 














riemen . . 


21000 bis 














27300 


2200 


— - 


4000 


— 


— 


Basalt . . . 




_ 


^^^ 


^^ 


12312 


2,36— 2,72 


Granit . * . 






— 


-i- 


10944 


2,50— 3,05 


Kalkstein . . 


— 


— 






6840 


2,46— 2,84 


Quarz . . . 




— 


— 




16416 


2,30— 2,70 


Sandstein . . 


— 


— — 


— 


— • 


9576 


1,90— 2,70 


Zi^elstein . 


_ 




_ 


^^^ 


881 


1,40— 1,20 


Mörtel . • . 


— 


— 


— 


— 


— 


— _ 


Kalkstein- 














mauerwerk 


— 


— . 


— 


— 


6840 


1,47— 1,70 


Sandstein- 














mauerwerk 


— 


— 


— 


— 


2052 


2,05- 2,12 


Ziegelmauer- 














werk . . 










647 


2,40- 2,46 



ßei Rechnongen mit den Wertben dieser Tabelle sind die 
Längen in preuss. Zoll, die Kräfte in preuss. Pfunden einzusetzen. 



6 Festigkeit der Materialien. 

§.3. 

Zug- und Druckfestigkeit. 

Ein Stab ist auf Zugfestigkeit beansprucht, wenn die an- 
greifende Kraft P ihn in seiner Längenrichtung auszudehnen 
sucht. Ist dagegen die Kraft gerade entgegengesetzt gerichtet, 
80 beansprucht sie den Körper auf Druckfestigkeit, vorausge- 
setzt übrigens, dass die Länge des Stabes gegen dessen Quer- 
schnittmaasse nicht zu gross sei (yergl. §. 16). 
Nennt man noch: 

q die Grösse eines zu betrachtenden Querschnittes des 

Stabes, 
@ die in demselben durch die Kraft P hervorgerufene 
Spannung, 
80 ist bei Vernachlässigung des Eigengewichtes des Stabes die 
Tragkraft bei der Spannung ©: 

P = ©g (1) 

Beispiel. Ein Dachstuhl übe an seinem Fusse einen Horizontal- 
Schub von 10000^ aus, welcher durch eine horisontale runde Querstange 
aufgenommen werden soll. Gestattet man in derselben die Spannung 

@ = 5*, so ist zu setzen bei der Stangendicke d; ®g = 5 • -r-d^^= 10000 \ 

4 



woraus 



dz=y^ 2000 = 50,42, yT^ 60^^. 



Die Hauptformänderungen, welche die Beanspruchung auf 
Zug- oder Druckfestigkeit in einem Körper hervorruft, sind Ver- 
längerung oder Verkürzung desselben. Ein prismatischer, durch 
die Kraft P auf Zug beanspruchter Körper verlängert sich dadurch 
um die Grösse A, für welche bei der ursprünglichen Länge l des 
Stabes gilt: 

T = l (2) 

welche Formel so lange richtig bleibt, als @ nicht grösser als der 
Zugtragmodul T ist — Dieselbe Formel gilt für die Zusammen- 
pressung des Stabes durch die Kraft P, wobei der Drucktrag- 
modul jPi die Grenze der Gültigkeit der Formel angibt 

Beispiel, Die oben berechnete Querstange sei vor dem Einsetzen 
35'* lang; sie wird sich dann bei eintretender Belastung verlängern 
35000 .5 55 _ ^ 



\ 



Zug- und Druckfestigkeit. 7 

Formel (1) gilt, weil bei Zug- und Druckfestigkeit alle Quer- 
schnittelemente gleichstark beansprucht werden, auch über die 
Elasticitätsgrenze hinaus, so dass man mittelst derselben die 
Kraft finden kann, welche einen Körper zerreisst oder zerdrückt. 
Man hat dafür die betreffenden Bruchmodcl einzusetzen. 

Beispiel. Zum Zerreissen der oben berechneten Stange bedarf es 
einer Zugkraft P=:K , q oder, der Tabelle §. 2 gemäss, Pz=40 . 50^ ^ 
= 78540''; zum Zerdrücken eines niedrigen Stückes derselben bedürfte es 
einer Kraft P^ =^ K^ q z=z 22 . 50^ ^ = ^3197''. 

§•4. 

Körper von gleicher Zug- und Druckfestigkeit. 

Körperformen von gleicher Festigkeit ergeben sich, wenn 
man in einem Körper die Querschnitte so wählt, dass in allen die 
grösste Spannung @ denselben Werth erhält, wodurch eine verhält- 
nissmässig sehr günstige Materialverwendung erzielt werden kann. 
Solche Körperformen werden indessen selten mit Genauigkeit, son- 
dern gewöhnlich nur näherungsweise zur Ausführung gebracht; sie 
dienen in vielen Fällen sogar nur als stilistische Grundformen, die 
einer Construction nur den Ausdruck der gleichen Festigkeit zu 
verleihen haben, ohne dass diese streng eingehalten würde. Dem 
Gonstructeur sind sie aus beiden Gründen von Werth; ja es möchte 
der Zahl nach die zweite Benutzungsart, die des stilistischen Vor- 
bildes, häufiger sein als die erstere. Sind dem Construirenden 
die Festigkeitsformen recht geläufig geworden, und hat er sich frei 
gemacht von dem G^^nken, dass die für die Gleichhaltung der 
Festigkeit erforderlichen Curven streng eingehalten werden müss- 
ten; so wird er bald dahin gelangen, stets ansprechende gefällige 
Linien für schwer zu belastende Constructionstheile zu finden, in- 
dem er die Grundform, welche der starre mathematische Ausdruck 
liefert, mit künstlerischer Freiheit und Selbständigkeit in das Le- 
ben überträgt. 

Nachfolgend gegebene Formen gelten für Zug- wie für Druck- 
festigkeit. Als Beispiele technischer Nützlichkeit der beiden 
ersten Formen können die Holzschrauben, die eingegossenen 
Schraubenstifbe , Säulchen etc., für die der dritten Form die erst 
neuerdings so gebauten steinernen Kamine mit leiser Einziehung 
im Schafte, sowie hohe Brücken- und Viaductpfeiler *) dienen. 

♦) Vergl. Baumeister, archit. Formenlehre, S. 226. 



Körper von gleicher Zng- und DrndcTestigkeit 







-V\% 



PiatgleichfonDig auf 
die ganie Länge des 
Stabes Vertheilt. Dio 
Qaerachnilte des SUbea 
tiodkreisfönnie'' Profil: 
Parabel, Änoäicrnnga- 
form: Eegelstumpr mit 

dem EndduruhmeMer^. 



'iBt gleiohrörti „ 
lahmend Toa oben 
nach unten verl heilt 
Querechnitte : fcreisföt- 
miR. Knrparform: Nor- 
malkpgel. 




e = 2,T18 .. . = Basis 
der nKlürliclK^n Log&- 



Der Körper ist aui 

turcb P durch i 
igen gewicht belastet, 
welches pro Cubikein- 
heit :^ y gesetzt ist. Dio 
Querschnitte wachsen 
^nach der Llefestigunga- 
stelle hin wie die AbsciB- 
soa oi&er Logiolik. 



+ Üj434 -?-x. 



Schubfestigkeit. — Biegungsfestigkeit. 9 

§. 5. 

Schab- oder Oleitiingsfestigkeit. 

Ein Körper wird in einem Querschnitt auf Schub- oder 
Gleitungsfestigkeit, die auch Abscheerungs- oder Scheerfestig- 
keit genannt wird, beansprucht, wenn die angreifende Kraft P 
in der £bene des Querschnittes wirkt. 

Ist wieder q die Grösse des Querschnittes , und S die darin 
eintretende Spannung, so hat man wie bei Zug- und Druckfestig- 
keit für die Tragkraft: 

P = ^q (3) 

Die Elasticitätsgrenze wird erreicht, wenn © = 4/5 des klei- 
neren der beiden Tragmodel des Materials wird, also beim 
Schmiedeisen, wo T= li = 15, bei ® = 12, für Gusseisen, wo 
T << Ti und = 7,5 bei ® = 6. Es tritt nämlich hier die Maxi- 
malspannung nicht in der Ebene des Querschnittes, sondern ge- 
neigt dazu ein, und hat die V4fäche Grösse von ®. 

Die Quer Verschiebung, welche die zwei Flächen des auf Glei- 
tungsfestigkeit beanspruchten Querschnittes erleiden, ist innerhalb 
der Elasticitätsgrenze sehr klein, macht sich aber bemerkbar, wenn 
wie bei einem auf Drehungsfestigkeit beanspruchten Stabe viele 
querverschobene Querschnitte aufeinander folgen. 

Gleichung (3) gilt auch für solche Fälle, wo die Trennung 
der beanspruchten Flächen bezweckt wird, also für das Abschnei- 
den , Ausstossen , Durchlochen (d. L das Arbeiten mit denjenigen 
Maschinen, welche man neuerdings häufig unter dem Namen Durch- 
bruch-Maschinen zusammenfasst). Die Spannung (S, bei wel- 
cher der Bruch erfolgt, zeigt sich etwas weniges abweichend von 
dem Bruchmodul für Zug (K), Die Abweichung erklärt sich dar- 
aus, dass K und Ki beim Abscheeren gleichzeitig zur Wirkung 
kommen (s. übrigens: v. Reiche, lieber das Lochen der Metall- 
platten, Civ.Ing. 1864, S. 235). Für die Berechnung der Durchbruch- 
Maschinen genügt es, etwa 1,1 K als Bruchcoeföcient einzuführen. 

§.6. 

Biegungsfestigkeit. 

Tragkraft und elastische Linie. 

Ein stabförmiger Körper, an welchem solche äussere Kräfte 
sich das Gleichgewicht halten, welche senkrecht zur Stabachse ge- 
richtet sind, ist auf Biegungsfestigkeit beansprucht So lange 
die Beanspruchung die (Elasticitätsgrenze nicht überschreitet, tritt 
für jeden Normalquerschnitt des Stabes Gleichgewicht ein zwischen 



10 Biegungsfestigkeit 

dem Moment der äusseren Kräfte einerseits, und den Momenten 
der in dem Querschnitt widerstehenden inneren Kräfte andererseits, 
beide bezogen auf die neutrale Achse des Querschnittes. Diese 
ist ein Aequator des Querschnittes, d. h. sie geht durch den Schwer- 
punkt desselben, und steht senkrecht auf der Biegungsebene. Sie 
theilt den Querschnitt in zwei Theile, ?on denen in dem einen alle 
zur Stabachse parallelen Fasern proportional ihrer Entfernung 
Ton der neutralen Achse auf Zug beansprucht sind (Zugseite des 
Querschnittes;, während in dem anderen die Fasern auf Druck 
beansprucht werden (Druckseite des Querschnittes), und zwar 
ebenCEÜls proportional ihrem Abstand von der neutralen Achse. 
Gleichweit von der neutralen Achse entfernte Fasern auf Zug- und 
Druckseite erleiden dabei gleiche aber entgegengesetzt gerichtete 
Formänderungen. Die Biegungsfestigkeit ist sonach eine Vereini- 
gung von Zug- und Druckfestigkeit, wobei beide in einer höheren 
Ordnung, nämlich mit Achsendrebung, vorkommen. 

Ist nun: 
3f das statische Moment der einen Querschnitt auf Biegung bean- 
spruchenden Mittelkraft, bezogen auf die neutrale Achse des 
Querschnittes, oder das sogenannte Kraft moment, 
J das Trägheitsmoment des Querschnittes zu seiner neutralen Achse, 
a der Abstand der stärkst gespannten, d. b. der von der neutralen 
Achse am weitesten entfernten Faser auf der Zug- oder der 
Druckseite des Querschnittes, 
@ die in dieser Faser eintretende Spannung, 

««>«*= M=^l (4) 

ja 

Das Product 3 — heisst das Spannungsmoment des un- 
tersuchten Querschnittes, oder auch dessen Tragmoment für 
die Spannung @. Ist der gebogene Stab prismatisch, die biegende 
Mittelkraft P und ihr Hebelarm für irgend einen Querschnitt x^ 
so kann zunächst M = Vx für jeden Querschnitt einen anderen 
Werth haben. Derjenige Querschnitt, für welchen Fx seinen 
*grÖ8sten Werth annimmt, heisst der gefährliche Querschnitt, 
und die biegende Kraft P, welche in ihm die Spannung ® hervor- 
ruft, ist die Tragkraft des Stabes für die Spannung @, so dass 
man für die Tragkraft hat: 

P= ®^ (5) 

Xn,a 

wobei Xm. denjenigen Werth von x bezeichnet, bei welchem (Pa;) 
ein Maximum ist. 



BiegUDgsfestigkeit. 1 1 

Die die Schwerpunkte der Stabquerschnitte verbindende Achse 
des Stabes erfährt bei der Biegung keine oder nur eine vernach- 
lässigbar kleine Längenänderung; sie wird nur gebogen, und zwar 
gilt für ihren Erümmungshalbniesser q die Formel: 

'=T ■ ■ w 

Die Curve, nach welcher die Krümmung stattfindet, heisst eine 
elastische Linie, deren Gleichung der allgemeine Ausdruck 

dx^~JE ^^ 

gibt. 

In der folgenden Tafel sind nun für eine Reihe von Angriflf- 
arten einer biegenden Kraft auf einen prismatischen Stab die 
Werthe zusammengestellt für 

das Kraftmoment M für den Punkt x, 

die Tragkraft P nach Formel (5), 

die Coordinaten x^ y der elastischen Linie, 

für den Werth / der Abscisse y am Angriffpunkt der Kraft 
bei den Belastungsweisen Nro. I. bis VI., 

und endlich für die stärkste Einsenkung / bei den Fällen VII. 
bis XIIL 

Bei sämmtlichen aufgeführten Fällen ist das eigene Gewicht 
des betrachteten Balkens vernachlässigt, was bei zahlreichen prak- 
tischen Fällen, namentlich des Maschinenbaufaches, zulässig ist 
(weniger beim Brückenbaufach). Die Fälle VII. bis X. können als 
solche benutzt werden, bei denen das Stabgewicht berücksichtigt 
werden soll. In den Fällen XI. und XII. ist gezeigt, wie eine pas- 
sende ungleichförmige Vertheilung der Last eines Balkens des- 
sen Tragkraft wesentlich erhöhen kann, indem bei der Belastungs- 
weise nach XL und XII. die Tragkraft Vl^navil so gross ausfällt, 
als bei Nro. VII. und VIII. Gleichzeitig liefern auch die Lastver- 
theilungen in XI. und XII. noch obendrein kleinere Einsenkungen 
als Nro. VIL und VIII. Diese Umstände sind für die Belastung 
von Magazinen, Speichern u. s. w. sehr beachtenswerth. Die 
Lastvertheilnng in Nro. XIIL ist dagegen ungünstig für die 
Tragkraft; sie zieht dieselbe auf das ^l^^idLche des Falles Nro. VIII. 
herab und macht auch die Einsenkung/ grösser als dort. 

Zu beachten ist, dass die Einsenkung / durchgehends mit der 
dritten Potenz der Längenabmessungen wächst, und dass sie bei 
verschiedener Aufiagerungsart des Stabes sehr stark verändert 
auftritt. 









Er&fbnoment M. 




, J 


M = Px 




\^<-r^ 


- = t^ 


^ " 1 

n 




-=¥ 




^ . r -- 1— ^, 




Tp^— __Xm;^-^^ 


P~4^ 


in_^ 1^^ - H 




Für^C: M = ^^ 
Für S C: ilf = ^^^ 








■ ■ 


'■-F^ 


"t 


Für ^C: M^^PJ! 
Für JSC: 




X ; ,! 




|-^£|>5r 


'=T 


■ ^ ^. . _ 


-=?(f-l) 




hH 


'-? 


n 


Für vJß: iW = Pe 




^^^ 


P=f^ 



Elastische Linie. 



13 



»i^nng der elastischen Linie. 



Einsenkong /. 



Bemerkungen. 



P?8 
2JE 






/— JLR. 

-^ ~- JE S 



Freitrager. 

Gefahrlicher Quer- 
schnitt bei B, 






^ ~' JE ^8 



Frei aufliegender 
Träger. 

6ef. Querschnitt in 
der Mitte. 



P 
JE 



JE 6 



'^ Tg ^^1 ^^ ^' 1 



^ -^ JE S l^ l^ 



fmax ^ei 



6ef. Querschnitt bei C 
Kraft X = P -Sl 



» 



X,= P^ 



/£32 



52 [ J 3 /«J 






/ = 



P 71« 
JE 768 



bei 






48JE 



Halb eingespannter 
Träger. 

6ef. Qaerschnittbei B. 
Kraft X = %«P. 



TEieii^ 3 I»J 



/ = 



P |g 
JE 192 



Eingespannter Trager. 

Oef. Querschnitte bei 
B und C. 



/-e + Vc^-^'+K^-i:) 



bei ^=: 



Pc 



P J8£ 






Gef. Quersch. an ei* 
ncr beliebigen Stelle 
zwischen A und B. 




BiegaDgsfestigkflit 



KraRmuraent M. Tragkraft 1 



^_ ., ...P 



-¥('-f) 



-¥(f-f) 






jif=rx(i-^+|^) 



"=-(i-f^) 



Elastische Linie. 



15 



leichnng der elastischen Linie. 


Einsenkung /. 


Bemerkungen. 


P PTx 1 x^l 
~' JE eil 4 7* J 


- P |3 
^ "^ JE 8 


Freitrager. 

Gefährlicher Quer- 
schnitt bei B. 


P Pr^x^ x^ X] 

"" JE 12 L" «3 ^4 i\ 


- P 5/3 

•' "" JEmi 


Frei aufliegender 
Trager. 

Gef. Querschnitt in 
der Mitte. 




p l^ 

^ JE 192 


Gcf. Querschnitt bei C. 
Stärkste Senkung 

beiar-~(l + y33) 

Kraft X = Vg P. 

Wendepunkt 

bei X = 3/^/. 


P l^Tx^ ^«3 a?n 
~'JJ&24L/2 -73 + ^4] 


. P ^3 


Gef. Querschnitt bei B. 
Wendepunkt 

b.u=i(,-VI) 


P l^ Tx 1 ajö] 
J^JB 12 L / 5 l^i 


P ^3 

^ '" JE15 


Freitrager. 
Gef. Querschnitt bei B. 


P Z3 p a; x^ X* 2 äB] 
~ JJBI2L8 l /3 I- /4 5 ib] 


. P 3/3 
•^ JE 320 


Gef. Querschnitt in 
der Mitte. 


P l^r6x rrs 2 ar^l 
~" J^12L8 Z /3 ' 5 /ßJ 

• 


. P /3 
•^ JEGO 


Gef. Querschnitt in 
der Mitte. 




1 G Biegungsfestigkeit. 

XIV. Für einen auf zwei symmetrisch angebrachte Stützen 
A und B gelagerten Stab mit der gleichförmig vertheilten Last P 

hat man für das Eraftmoment: 

^^^^^^^^^^^^^^^^D Die Tragkraft ändert sich 

P^BWH|^H^^^IH^^^H nach der Stellung der Stützen, 

I Ja : p Li also dem Yerhältniss von c zu 

IflHHjjjj^^Mgi^^HHHjJM Z ; sie wird ein Maximum, wenn 



= 0.207z[d.i.z(yi-|)] 



gemacht wird. Die Tragkraft ist alsdann sehr nahe : 

la 
also fast 6mal so gross, als im Falle VIII, die Stützungsart mithin 
sehr günstig. Gefährliche Querschnitte liegen dabei an den Punk- 
ten -4, B und C. 

§.7. 

Querschnitt - Tabelle. 

Der Werth — in Gleichung (4) hängt bloss von Abmessungen 

des Stabquerschnittes ab, und wird im folgenden als Querschnitt- 
modul bezeichnet. Für eine Reihe von Querschnittformen sind 
in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt die Werthe für: 
das (äquatoriale) Trägheitsmoment J zur neutralen Achse, 

welche den Figuren punktirt eingezeichnet ist; 
die grösste Faserentfernung a auf Zug- und Druckseite, oder 
für jede Seite einzeln {a* und a"), wenn der Querschnitt 
nicht zweiachsig symmetrisch ist; 

den (äquatorialen) Querschnittmodul Z= — , für welchen sich 

auch zwei Werthe ergeben, wenn a' von a" verschieden ist, 
und den Flächeninhalt F des Querschnittes, welcher bei Ge- 
wichtberechnungen dienlich ist. 
Wo in der Spalte für a steht: ^durch Versuche oder graphisch 
zu bestimmen*', sind die Ausdrücke zu verwickelt, um noch prak- 
tisch genannt werden zu können. Für diese Fälle schneidet man 
ein Modell des zu betrachtenden Querschnittes aus Carton aus und 
sucht dessen Schwerpunkt durch Abwägen auf einer Schneide oder 
man bedient sich der graphostati sehen Methode, siehe §. 46. 



Ueber die Querschnittformen. 17 

Die Benutzung der Querschnitt-Tafel wird aus folgendem Bei- 
spiel klar werden. 

Beispiel Man sucht das Trägheitsmoment eines kreisförmigen Quer- 
schnittes von 104'*'* Durchmesser, Nach Nro. XX der folgenden Tafel 

ist dasselbe: J" = ^ 104^ y^y 5742500. In pretiss. Zollen gemessen würde 

64 

d z= 4 sein , daher fi^r Eechnungen in preussischem Musssystem zu neh- 
men ist: J" == ^^ 4* = 42y56, 

04 

Durch passende Theilung und Verbindung der gegebenen Quer- 
schnittfiguren lassen sich dieselben in andere verwandeln, für 
welche dann die hier stehenden Formeln gelten. So lässt sich aus 
dem Querschnitt Nro. VIII. der eines rechteckigen Rohres machen, 
aus Nro. XI. ein E-förmiger u. s. w. Nicht unwichtig ist es ferner, 
einzelne allgemeine Aufschlüsse zu beachten, welche die Tafel 
liefern kann. Vor allem zeigen die einzelnen Werthe den starken 
Einfluss der Höhenabmessungen der Querschnitte, und zugleich den- 
jenigen solcher Querschnitttheile, welche weit von der neutralen 
Schicht entfernt liegen. Hiermit steht im Zusammenhang die eigen- 
thümliche Wirkung der Verstärkungsrippen, deren man sich 
namentlich bei gusseisernen Theilen so vielfach bedient. Diese Rip- 
pen wirken nämlich bei den auf Biegung beanspruchten Körpern nicht 
sowohl durch ihr eigenes Material, als dadurch, dass sie die neu- 
tralen Schichten derübrigenTheile günstig verlegen, d.h. 
sie weit von der Hauptmasse des Materials abrücken.' Sie treten 
also erst mittelbar in Thätigkeit, leisten aber dabei vortrefiliche 
Dienste, wenn der Entwerfende diesen Gesichtspunkt wohl im Auge 
behält. Ein Beispiel wird das Ausgesprochene deutlich machen. 

Es sei ein Querschnitt von der Form Nro. XV. gegeben, und 
zwar mit den Verhältnissen b = Sb^ h = 12 Sj, Äi = 116i (siehe 
Fig. 1 , §. 9). Diesen Schnitt denke man sich nun zerlegt in den 
senkrechten und den horizontalen Theil, und beide einzeln ausge- 
führt. Dann haben die beiden Theile die Querschnittmodel: 

— ^ — L = 2076 b? und — ^ , zusammen also 21,5 b?. Derselbe 
ob 

Querschnitt aber hat, als Ganzes aufgefasst (siehe §. 9) den Mo- 
dul Z •= 34,8 6f, i i. er bietet mehr als das lV2fache an Festig- 
keit, und zwar hat die senkrechte Rippe die Festigkeit der waage- 
rechten Platte auf etwa das lOfache des Werthes gesteigert, den 
sie im vereinzelten Zustande besitzen würde. Andere Querschnitt- 
formen liefern oft noch günstigere Erhöhungen. 

Benleanx, der Constmctenr. Q 



18 



Biegungsiestigkeit 



Nro. 



Qaerschnitt. 



Trägheitsmoment /. 



I. 



IL 



III. 



IV. 



V. 



VI. 



VII. 



r^ 



t... 




Ih 



•«"b-«i 




ü 



£■_... 



i 

Ih 

-t— 



•* — I»-— ♦• 



m- 





a! «. 

L 





12 



12 



12 



b^ 
12 



16 



6* = 0,5413 6* 



5V3 
16 



6* 



^+,^^ &4 = 0,638 6* 
o 



Querschnitt- Tabelle. 



19 



Abstand a. 


• 
Qaenchnittmodul Z. 


Flächeninhalt F. 


h 
2 


6Äa 
6 


hh 


h 
2 


6(Ä» - Ä«) 
6A 


6(Ä-Äi) 


h 
2 


63 
6 


6« 


h 

y2 


-j^63 — 0,118 6» 


65» 


/i = 0,8666 


6/3 2,8 


^-^ 62 = 2,598 6« 


6 


^"^63 
16 


T" 


0,924 6 


0,677 6» 


2,828 6» 



2* 




BiegnngBfestigkeit 



Trägheitsmoment /. 



Mi 



i ~ 

i..4j:::'-. 



HK'I 



'--**--' 



t(>'->n+Mv-i.,') 



tft' — (6-6,)V + 6i V 



fthB-t-fJ^, — t)ft,'+(ft-hi)6» 





Querschnitt - Tabelle. 


21 


Abstand a. 


Qaenchnittmodul Z, 


Flächeninhalt F. 


h 
2 


hh^ - (6 - 6i) Äi» 


6*-(6-6i)Ä, 


h 
2 


6(Ä»-V) + ^(V-Ä.») 


6(Ä-Ä,) + 6,(Ä,-ÄJ 


h 
2 


6 Ä« + 6i Äi» 


6A + 61Ä, 


h 
2 


6Ä8— (6~6a)Ä> + 6iÄ,> 
6Ä 


6»— (6-6j)Äi+l),Äi 


h 
2 


5Ä» + (Äi~6)Ä> + (Ä-Äi)6» 

« 


6A + (Aj-6)Äi+(Ä-Äi)6 


•■=1 




6A 
2 


6 + 26i h 
" 6 + 6i 3 

26 + 6i h 
" 6 + 6i 3 


~ 12(6 + 26i) 

6« + 466, + 6« , 
12(26 + ti) 


6 + 61 . 
2 * 



IT 



# * 



22 



Nro. 



XV. 



XVI. 



XVII. 



XVUI. 



XIX. 



XX. 



XXI. 



Biegongsfestigkeit. 



Qaenchnitt 



TrighoitBiDOiiieiit J, 




W bsr* 



.*--l) 



'"\m m^ m ^ 




>T>^ 





y \b (a'» -/») + 61 (/8 + a"»)] 



1 [d (a'3 -/8) ^- 5^ (/3 ^_ ^3) + 5^ (a"s - ^] 



1 [ft (a'3 -/3)+ h^ (/a^-^s« i8_ ifcs) ^_ i,, (a"»-^^] 



T [irhwT^"''*"-^*) + ^ f*" -•''') + ^» (/' + «'")] 






71 



— d* = 0,0491 d* 

o4 



n 



^ (d* -d«) = 0,0491 (d«-d,0 



^ 



Querschnitt-Tabelle. 



23 



Abstand a. 


Querschnittmodul Z. 


• 

Flächeninhalt F. 


h;+b,h, (h + h^) 


^' = 4 


6i»i + 6A. 


\[bh-(b-b,)h^] 


»h Versuche oder 
iBch zu bestimmen. 


^ = 4 




:h Versuche oder 
isch zu bestimmen. 


^-4 


ö (a' -/) + 
öi(/-h/-»-*H-6»(a"-^) 


3h Versuche oder 
LBch zu bestimmen. 


^ = 4 


6 (*'-/)+^^ (/+«") 


sh Versuche oder 
izoh zu bestimmen. 


• 


+ h(a"-9) 


d 
2 


82 


±ä^ 


d 
2 


32 d 

■ 


J («*«-<*.•) 



Biegnsgsfestigkeit. 



Nro. Qaenchnitt. 



Ttigkehamomeot /. 



[Panbelabichnitt] -^ b h» = OfMl b I 



rä [tJ *' + '"'- '^ + *■'*- ' 









Qaenchnitt- Tabelle. 



25 



t>8tand a. 


Qaenchnittmodol Z, 


Flächeninhalt F. 


h 
2 


k'^' 


bhn 

4 


= 0,5766 r 
=:0,4244r 


Z = 0,19 r» 
Z' z=z 0,26 r« 


2 




Z — ^ bh^ =0,114 6 Ä« 
^'= tI^ «►^^ = 0,0766^2 


%6Ä 


h 
2 


g^^(o,689(i*+ft(Ä3 d^)-^b^(h'^d)) 


« 
-j- d» + a 6 (Ä — d) 


Yenaohe oder 
aphiBch za 
sttimiiieii. 




6(a'-/)+6i(/-(,+*-D 


Versuche oder 
aphisch zu 
Bftimmen. 




6(a-/)H-6i(/-flr) 



26 BiegiiDgsfesti^eit 

Werthe der Spannung ®« 

Die Elasticitätsgrenze wird in einem gebogenen Stab auf Zug- 
und Druckseite einzeln erreicht, wenn die dort eintretende Span- 
nung @ = dem betreffenden Tragmodul wird. Man darf daher 
für @ nie einen so grossen Werth einsetzen, dass auf einer der 
beiden Seiten der Tragmodul überschritten würde. Diese Bedingung 
wird bei zweiachsig symmetrischen Querschnitten erfüllt, wenn man 
für® den durch die Sicherheit dividirten kleineren Tragmodul 
setzt, so bei Gusseisen die Sicherheit stets auf den Zngtragmodul 
bezieht. 

Bei solchen Querschnitten hingegen, wo a' ^ q!\ untersuche 

man zunächst, welche Seite die Zugseite, und welche die Druck- 
seite des Querschnittes ist Ist dann 

a der grösste Faserabstand auf der Zug-, Oi der auf der 
Druckseite, T der Zugtragmodul, Ti der Drucktragmodul, 
M das Moment der biegenden Kraft, 

m der Sicherheitscoöfficient , so dass bei 2facher, 3fiEkcher, 
4facher Sicherheit m = 2, 3, 4 ist, 
so nehme man : 



^*'"" «. ^ r, 


m a 


^^-» ; < l 




Wenn - = 57 


Jtf = oder — i — 

m a m üi 



T 

Beispiel. Bei Ousseisen ist 777 = Vi; ferner sei bei dem paraboU- 

-'1 
seilen Querschnitt Nro. XXIV. die Sehne auf der Zugseite gelegen , so 

ist dort a = % Ä, aj = % ä, — = 2/ jjier ist demnach — > -|^ , also 

«1 Ol ii 

für (S der Werth — oder ^ zu setzen, und dabei M= ^ 4^ bh^ zu 

m in m 35 

machen. — Bei Schmiedeisen , wo T = T^ ist die Untersuchung nicht 
nöthig, wie dieselbe denn überhaupt bei der leider so geringen Zahl be- 
kannter Tragmodel einstweilen nur beim Gusseisen eine Anwendung fin- 
den kann. 




Zweckmässige Materialverwendung. 27 

§.9. 

Querschnitte von gleicher Festigkeit. 

Um das Material bei Trägern mit Biegungsbelastung gut za 
verwenden, ist dasselbe, unter Erhaltung einer guten Verbin- 
dung aller Querschnitttheile, möglichst entfernt von der neu- 
tralen Schicht anzubringen. Zugleich gewinnt man eine gute Ma- 
terialbenutzung, wenn man die Querschnittform so wählt, dass bei 
einer genügend weit getriebenen Belastung die Spannungen auf 
Zug- und Druckseite gleichzeitig die Elasticitätsgrenze erreichen. 
Man hat hierfür zu machen : 

± = 1. (7) 

Querschnitte, bei denen dieses Verhältniss eingehalten ist, heis- 
sen Querschnitte von gleicher Festigkeit*). Bei Schmied- 
eisen sind demnach die zweiachsig symmetrischen Querschnitte 
am zweckmässigsten , weil hier T = Ti. Bei Gusseisen sind 
unter der Voraussetzung, dass die biegende Kraft eine constante 
Richtung habe, solche Querschnitte am besten, wo ai = 2a, weil 
hier Ti = 2 !r. Unter Berücksichtigung dieses Verhältnisses sind 
die folgenden Querschnitte, bei welchen b und bi ein beliebiges 
Verhältniss zu einander haben können, gebildet (Fig. 1, 2, 3). 

Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. 

öfe. •. ^ n^ 




jaib 



bf 



1121), 




ll:48^b£ 



*..-.J 



Man hat für diese Querschnitte, wenn bi =b\ 



J= 278 6^ 
Z= 34,8 6» 
F= 19 6» 
9= 1 



440 6* 

55 63 

25 6» 

0,97 



922 6* 
102,4 6» 
40,8 62 
1,04 



*) Siehe hierüber auch: Elose's Theorie der eisernen Träger 
mit DoppelflantBohen, Hannover 1862, aus welcher Schrift der zweite 
Querschnitt entnomntien ist. 



38 Biegungsfestigkeit. 

Die Zugseite ist die der neutralen Achse zunächstliegende. 
AU Querschnittmodul ist der Werth — ausgerechnet, so dass fiir 

T 

® utots — einzuführen ist. F bezeichnet wieder den Flachen- 

m 

Inhalt und 9 den verhältnissmässigen Materialaufwand, denjenigen 
von Fig. 1 gleich 1 gesetzt. 

Man erhält 9 allgemein aus: 

- = f af (1)*'' <«> 

wobei sich die bezifferten Buchstaben auf den zu untersuchenden 
Querschnitt, die unbezifferten auf den bekannten, mit dem Mate- 
rialaufwand 1 beziehen, ferner F=ßh^, Z = ab^, und hier 
2f •■"- @i zu setzen ist. ® und @i fallen nur dann verschieden 
aus, wenn a : ai nicht bei beiden Querschnitten gleich ist. Man 
nicht indessen aus (8), dass kleine Abweichungen von dem ge- 
nauen Verhältniss nur wenig merkbar werden. 

Greift die biegende Kraft abwechselnd in entgegengesetzter 
llichtuDg an, so ist auch für Gusseisen der zweiachsig symmetrische 
Querschnitt am besten, und stets der kleinere Tragmodul als 
(jironzwerth Tür (S einzuführen. Aendert sich die Krafbrichtung 
fortwährend so, dass sich die neutrale Achse um den Schwerpunkt 
d(!H Querschnittes dreht (Tragachsen), so ist der Kreisringquer- 
Mchnitt am vortheilhaftesten, sehr gut sind aber auch dann kreuz- 
und sternförmige Querschnitte nach Art von Nro. IX., XL und 
XXIV., Tabelle §. 7, weil beim Drehen hier stets wieder weit ab- 
stehende Querschnittelemente in die Biegungsebene gerückt werden. 

Beispiel. Es sei ein gusseiserner freitragender Ärm^ heiastet nach 
Fall /., §. (?, S. 12, für eine Last P=2500^ bei einer Länge l z^ 2* su 
construiren. Wir wählen den obigen Querschnitt Fig. 2 und haben in 
die Gleichung (4): M = <S Z zu setzen: M = 2500 . 2000, Z = 55 bK 
Bei zweifacher Tragsicherheit ist zu nehmen: <B =^ 0,5 . 15 = 7,5. 
Diese Werthe eingeführt gibt: 2500 . 2000 = 7,5 . 55 b^, woraus 

b = lOOy 33-y3 = jy= »/'vy 23^^. Die Querschnittfläche beträgt da- 
bei 25 . 23'^ = 15-2^5 D""". Die übrigen Querschnittmaasse ergeben sich 
aus den der Fig. 2 eingeschriebenen Verhältnisszahlen. Sollte die Rech- 
nung für preuss.Maass ausgeführt werden, so hätte man P = 5000 Pf und, 
1 = 2. 38,23 = 76,46 Zoll, @ nach Tabelle §. ;8 = 0,5 . 20520, wofür 

wir 10000 nehmen, zusetzen. Dies liefert: b = \/^^^^^ =: 0,89 Zoll. 



Biegungsfestigkeit 29 

§.10. 

Körper von gleicher Biegtmgsfestii^eit. 

Man erhält einen Körper von gleicher Biegungsfestigkeit, wenn 
man in einem der Biegung ausgesetzten Stabe die Querschnitte so 
wählt, dass in allen die Maximalspannung @ auf Zug- oder Druck- 
seite denselben Werth erhält; demnach lässt sich gemäss Formel 
(4) die Gleichung für die Körperform entwickeln aus: 

^ = Cmst (9) 

Die Körperformen von gleicher Biegungsfestigkeit und beson- 
ders ihre Annäherungen finden zahlreiche Anwendungen im Ma- 
schinenbau; von ihnen gilt übrigens ebenfalls das in §. 4 Gesagte 
in vollem Maasse. Eine Reihe derselben zeigt die folgende Tafel. 

Die Biegung, welche Körper von gleicher Festigkeit in Folge 
der Belastung annehmen, ist nothwendig grösser, als bei prisma- 
tischen Körpern von derselben AngriflFweise der biegenden KrafL 
Bei mehreren Fällen der folgenden Tafel ist die Einsenkung / an- 
gegeben ; sie ist z. B. bei I. doppelt, bei V. 1 i/2mal so gross als bei 
dem gleicherweise angegriffenen prismatischen Stabe. Im allge- 
meinen gilt für die elastische Linie derjenigen (genau geformten) 
der folgenden Körper^ deren Achse im unbelasteten Zustande ge- 
rade ist, der Ausdruck: 

dx^ ~ EJo a:, ^^^^ 

wenn 

ModsLS Moment der biegenden Kraft für irgend einen Quer- 
schnitt, z. B. den an der Befestigungsstelle, 

cTi dessen Trägheitsmoment, 

cto dessen grössten Faserabstand, und 

üj: den grössten (auf derselben Seite wie Oq gelegenen) Faser- 
abstand des bei x gelegenen Querschnittes bezeichnet. 

Für den Krümmungshalbmesser q der elastischen Curve an 
der Stelle xy ist dann: 

»=s«- (") 

wekher Werth constant wird, also einem Kreisbogen angehört, 
wenn a^rrrOo, d. h. wenn alle Höhen im Stabe von gleicher Grösse 
sind, wie bei Fall I., V., X., XIV. u. s. w. 



30 


BieguagBfeatigkeit 


Nro. 


Form. 


Angriff, 
weise. 


Gleichung. 


I. 


irz^j^ 


F 


1 
1 

s 

1 
1 

1 


bh» - l ' 


II. 


Paraboliecb abgeBtumpIler I 


«■"^ 


III. 


Annäherung an Form L 
AbgeetumpEler KaiL 


IV, 










C^ 






Annäherang an Form II 
Abgestumpfter Keil. 


V. 


W^^^^r^TjHPj 


f 


^ = "=1^1- 

Nonnalkeil. 


Tl. 


y - A' A ~ K 7 
Cubisch- parabolisch thgMtai 
Pyramide. 


■VII, 

vin. 




M 


AnDähemng an Form TI 
Abgestompfle Pyramide. 




Normalkegel -Stiunpf. AnnUi« 
Ein die strenge Form von der 



'^ 



Körper von gleicher Festigkeit 



31 



Tragkraft. 


Körper-Inhalt. 


Bemerkungen. 


^-" Gl 


ffcÄj 


Einsenkung des freien Endes: 

2 Pl^ bh^ 
•^ "■ 3 JoJ^' ^ ■" 12 * 


'^"' 62 


Ibhi 


Die elastische Linie ist im Normal- 
zustände eine Parabel. 


^-" 62 


^bhi 

4 


Gefährlicher Querschnitt an der 
Befestigungsstelle. 


p @6;i> 

^—62 


4 6Al 

4 


Die elastische Linie halbirt im Nor- 
malzustande den Spitzenwinkel des 

Keiles. 


p @5Ä> 


|6ÄJ 


Elastische Linie ein Kreisbogen. 
1 P23 ^ 5Ä8 
^ 2 Jo-E?' " 12 ' 


p ebh^ 

^"" 62 





Die Gleichung ^ = 17 ^ gilt hier 

überhaupt, wenn die Querschnitte alle 
ähnlich sind. 


p 66Ä> 

• ^^ 62 


g'»' 


Gefahrlicher Querschnitt an der 
Bcfestigungsstelle. 


p_ 6» c2» 
82 2 


19 IJ« 


Für gleiche Tragkraft mit Fall I. 
bis YIL hat man: 

d _ -iV 16 b 
h V Sn h' 



Biegungefestigkeit 



1 
II 

u 



Beim BecMeckquersclin. ollge 






Pyramide abgeBtnmpft nach 
ibbcben od. Neil'ecben Fan 



Auuäbemug an Form XI 
Abgestnmplle Pyramide. 



Beim Bechteckqnerachn. allge: 



Naob cnbiBcben Parabeli 
EogeBcb&rfter Keil. 



t _ £ J? — * 

I — h' h (■ 

Pyramide. 



Körper von gleicher Festigkeit. 



33 



Tragkraft. 


Körper-Inhalt. 


Bemerkungen. 


^"" 3/ 


l6ÄJ 


Unter Abstumpfung der Endschärfe 
gut verwendbar. 


3/ 


ifcÄJ 


Elastische Linie ein Kreisbogen. 


31 


jbhl 


Äeigt eine gute Grundform für ar- 
chitektonische Tragsteine. 


p @6Ä2 

3/ 


27 ^'^^ 


Gefahrlicher Querschnitt an der 
Befestiguugsstelle. 

• 


p @6Äa 


5 


Ausdrucksvolle architektonische 
Grundform. 


p @6ä2 
^""2? 


4- bhl 

4 


Elastische Linie ein Kreisbogen. 
1 PZ3 bh^ 
^ ß JqE* "* 12 


p ®6Ä2 

2Z 


IfeÄi 


Bemerkenswerth wegen der Ein- 
fachheit der Form. 



1 e a n X , der Construcieur. 




Biegungsfestigkeit 




Beim Sechteckquprschn. allgeti 
lik" ~ (a J 

' = "■' ä = tKt-^ 

Halber Ellip^piicylinder. 



AiLiiähi-rung ui Konn. XV 
Obere Begrenzung cyliiidi'iB 



'^y 



i'risma mit paraboliecli begrei 
Gruiidfläebe. 



ach II. all gen 



Annäheruiip- an Form XIX 
Ubere Begrenzung- cytindrisi 



l'riama mit cubiEclt-p&rabull 
bogreiiiter Grundfläche. 

Atinälieruiig an Form XX 

Die beiden krummen Kläeh 

Bind cylindriscli. 



Körper von gleicher Festigkeit. 



35 



Tragkraft. 



Körper-Inhall. 



Bemerkungen. 



P = 



3} 



P = 



32 



^bhl 

4 



Annähernd 



Die Formen XVI. bis XVIII. gellen 
auch, wenn P in einem durch die 
Länge l beweglichen Punkte ange- 
bracht ist; nur ist dann die Tragkraft 

kleiner, nämlich P = -^ = 



P = 



4 @&^g 
Sl 



löM 



Elastische Linie ein Kreisbogen. 






PP ^ &Ä« 

^ «^^ = 12" 



64 J„-E? 



P = 



l 



Annähernd 
wie bei XIX. 



Annähernd 



Die Curve besteht aus zwei in der 

Mitte in einander übergehenden 

Stücken. 



Annähernd 



Zwei gefährliche Querschnitte liegen 

zu beiden Seiten des mittleren 

Schnittes. 



P = 



l 



4- ^Ä/ 

4 



Elastische Linie ein Kreisbogen. 



Annähernd 
wie bei XXI. 



Annähernd 



Zwei gefährliche Querschnitte liegen 

zu beiden Seiten des mittleren 

Schnittes. 



8' 



36 Biegiingsfestigkeit 

Mit den vorstehend gegebenen Formen sind nur die allerein- 
fachsten der sich hier darbietenden Fälle erschöpft; leicht würden 
dieselljen auf eine grosse Anzahl zu vermehren sein. (Uebungs- 
aufgaben.; Hierfür brauchte man z. B. nur die Veränderlichkeit 
der Breiten- oder Höhenabmessungen etwas verwickelter einzu- 
führen, als es geschah. So ergibt sich z. B^ wenn man bei L den 

Grundriss parabolisch gestaltet d. L — = \/ j macht , ^ = \/ j 

(biquadratische Parabel; u. s.w. Zusammengesetztere Querschnitte 
liefern ebenfalls neue Körpergebilde, deren mannigfaltige Abände- 
rungen einen reichen Wechsel von Formen darzubieten vermögen. 
Beispiele hierzu finden sich u. a. bei den Tragachsen, Kapitel V. 
Siehe übrigens auch weiter unten bei den Biegungs federn, wo 
besondere Formen dadurch entstehen, dass die neutrale Schicht 
ursprünglich nicht eben ist. 

§. 11. 

Scheerfestigkeit in der neutralen Schicht 

Da in einem gebogenen Stabe auf der Zugseite lauter Zug- 
kräfte, auf der Druckseite lauter Druckkräfte zwischen den Faser- 
molekiilen wirken, erfahrt die neutrale Schicht eine Beanspruchung 
auf Scheerfestigkeit, und darf deshalb nicht unter einer gewissen 
Breitenabmessung ausgeführt werden *). Die zu vermeidende un- 
tere Grenze liegt zwar in der Regel sehr tief; doch verdient sie 
immerhin gekannt zu sein. Heisst die kleinste zulässige Breite ir^, 
und die Mittelkraft der auf einer oder der anderen Seite eines 
Querschnittes angreifenden äusseren Kräfte iZ, so muss sein, wenn 
die Schubspannung an der neutralen Schicht den Werth @o nicht 
überschreiten soll : 

''^Wo2J ('^> 

Hierbei darf S^ nicht über V& des kleineren der beiden Tragmodel 
des Materiales betragen (vergl. §. 5). Zugleich bedeutet J wie 
bisher das Trägheitsmoment des Querschnittes, d. i. die Summation 
der Producte aller der neutralen Schicht parallelen Flächenele- 
mente mit den Quadraten ihrer Abstände von der neutralen Schicht, 
U aber das statische Moment des Querschnittes, d. i. die 

•) Sieho Zeitschr. des Vor. deutsch. Ing. 1859, S. 193; auch GraBhoTs 
FeBÜgkcitslehre (Berlin, Gärtner), S. 147. 




Beanspruchung der neutralen Schicht. 37 

Summation der Producte aller jener Flächenelemente mit den ge- 
nannten Abständen selbst. 

Für den Rechteckquerschnitt Nr. L, Tabelle S. 18, ist 

für den Doppel- T-Querschnitt Nr. VIIL, Tabelle S. 20, 

U = ^ 

R ist in jedem einzelnen Falle besonders zu ermitteln, bei der 

Angriffweise Nr. IL, S. 12, ist z.B. R für alle Querschnitte zwischen 

p 

B und C gleich der Stützkraft -^ u. s. f. 

Die Gleichung (14) dient nicht sowohl zur Ermittelung von 
Zq selbst, als zur Untersuchung, ob die Breite der neutralen Schicht 
nicht etwa zu klein gewählt worden sei. In der That kommt dies 
aber bei den gewöhnlichen Trägerconstructionen , namentlich bei 
den im Maschinenbau benutzten, selten vor. Setzt man, um hier- 
über Aufschluss zu erhalten, Zq = dem in (14) angegebenen Werthe 
und macht auch @o = Vs ®? so folgt aus (14): 

^ 6 R U 

^ = ^ • 

4 ^0 2J 

Dies in die auf denselben Querschnitt bezogene Gleichung (4) ein- 
setzend, erhält man: 

M 5 U 



R 8 j^oa 



(15) 



M 

-jT ist der Hebelarm der Kraft iJ; derselbe möge mit A be- 
zeichnet werden. liefert eine der Höhenabmessungen des 

Querschnittes; demnach liefert (15) eine Gleichung zwischen zwei 
Abmessungeü des in Betracht gezogenen Trägers. Für den ein- 
fachen Rechteckquerschnitt erhält man durch Einsetzung des obi- 

h. 

gen Werthes von f/, indem noch ^o hi^r = b und a = — ist: 

fe^ _ 16 
A~ b' 

Grösser darf also h nicht gewählt werden, wenn nicht die Bean- 
spruchung auf Schub über die auf Dehnung oder Kürzung (auf 



38 ßiegungsfestigkeit. 

Zug- und Druckseite) hinausgehen soll. Diese Betrachtung hat 
offenbar hauptsächlich Werth für den gefährlichen Querschnitt, 
wenn der Stab prismatisch ist, also z. B. bei der Angriffweise II., 

S. 12, für den Punkt B. Für diesen ist aber -4 = --, also zu 
wählen : 

A = ^ 
i < 5 * 

Dieses Höhenverhältniss ist afier so gross, dass es für die gewöhn- 
lichen Fälle schon von selbst vermieden wird. Mehr beachtens- 
werth wird das Resultat für die Construction verzahnter Bal- 
ken aus Holz, welche bei manchen Bauwerken Anwendung finden. 
Bei diesen wird die Widerstandsfähigkeit der neutralen Schicht 
durch das Verzahnen oftmals stark herabgezogen, mitunter z. B. 
bis auf die Hälfte derjenigen des vollen Balkens, was eine ent- 
sprechende Verminderung des Grenzverhältnisses y erfordert. 

Für den Doppel-T-Querschnitt kommt: 

h^ 16 

Die Klammer im Nenner enthält einen unächten Bruch, rückt also 
die obere Grenze von -j etwas herab , doch bleibt gewöhnlich der 

zu vermeidende Werth von -^ noch sehr hoch. 

A 

Beanspruchungen, welche der vorbehandelten verwandt sind, 
finden bei T-Trägern an dem Ansatz der Plantschen an die Mit- 
telrippe statt; auch sie sind nur selten zu berücksichtigen. Man 
sehe übrigens die oben angezogenen Quellen. 



§. 12. 

Träger mit gemeinsamer Belastmig. 

Wenn zwei prismatische Träger mit ihren Mitten aufeinander 
liegen und an diesem Punkte gemeinsam durch eine Kraft P be- 
lastet sind, während sie an den Enden aufliegen, so werden sie um 
gleichviel gebogen, wobei die Summe ihrer Gegenwirkungen P 
und P" mit P ins Gleichgewicht tritt. Die beiden Gegenwirkun- 



Träger mit gemeinsamer Belastung. 39 

gen verhalten sich aber nach der Formel Zeile IL, Spalte 2, Seite 
12 wie folgt: 



F'' ~ J"B' ü'3' 



woraus, da: 



®V ^„ . ^"J 



P' = 4:^, P" = 4 



a'V ' ^ a"l 



it m ? 



folgt: 






Die beiden Träger wirken also bei gleichem Material (E' = E") 

nur dann unter gleicher Sicherheit, wenn das Product -^.(y j 

r= 1 ißt Sind die Träger noch gleichlang, so muss a' = a", d. h. 
es müssen die Höhen gleich sein, ohne dass übrigens die Breiten 
gleich zu sein nöthig haben. 

Beispiel. Ein gusseiserner Träger, der wie ein symmetrisches Kreuz 
gestaltet ist, soll in dem Kreuzungspunkte die Last P tragen; die beiden 
Längen verhalten sich wie 3 : 2, Dann ist für gleiche Sicherheit der vier 
Arme, wenn dieselben prismatisch sind, nach {16) zu machen: 



a^ _ /^ZIV-. fi.y— i. 

a" '" \rJ "" \5/ "" 9' 



d. h, die Querschnitthöhe des kurzen Armes muss sich zu der des langen 
verhalten wie 4 : 9; bei Anwendung gleicher Querschnitte in beiden Ar- 
men würde sich die Beanspruchung des kurzen Armes zu der des langen 
nach (16) verhalten wie 9 : 4. 

Aus der vorstehenden Betrachtung folgt ferner, dass recht- 
eckige Blechplatten von gleichförmig vertheilter, oder auch von 
concentrirter Belastung und ringsumlaufender Unterstützung pa- 
rallel der kürzeren Achse weit stärker beansprucht werden, als 
parallel der längeren. Haben gemeinsam belastete Träger auch 
noch verschiedenes Material, so hängt ihre günstige Wirkung, wie 
Formel (16) lehrt, sehr von der Wahl der Dimensionen, und zwar 
der Höhen- und Längenabmessungen ab. Aufeinander gelegte 
guss- und schmiedeiseme Balken bieten danach nur bei besonders 
angepasster Proportionirung die Summe ihrer einzelnen Tragkräfte 
als gemeinsame Tragkraft dar. Beim Verstärken bestehender 
Constructionen ist hierauf zu achten. 



40 Drehungsfestigkeit. 

§. 13. 

Drehungsfestigkeit 

Tragkraft und Verdrehungswink.el. 

Kill stabforniisror Körper, den entgegengesetzt gerichtete 
KräftojK^u^in^ um soiuo goometrisrhe Achse zu drehen suchen, wird 
«uf nroluuii;stVsti$rkoit in Ansprach genommen. Hierbei wi- 
\loi*^tohon dio Kloniouto eines Xormalschnittes mit ihrer Schub- 
\Hlor iUoituu^^tostigkoit, und zwar tritt bei Beanspruchungen in- 
lunlu^lb dor Klj^slioitätsgronzo Gleichgewicht ein zwischen dem 
M>mout dor xorvhvhondou äusseren Kräfte einerseits, und den 
Mvuuoutou dor S|>annungen in den verschiedenen Querschnittele- 
luoutou aiidoivrseits , beide bezogen auf die polare Schwer- 
punkt ach^^o dos Querschnittes, d. h. auf die im Schwerpunkt des 
Quoi>iohiiittos senkrecht auf ihm stehende Achse. Die Drehungs- 
fostigkoit ist somit eine höhere (lattung der Schubfestigkeit, zu 
woUhor sie in ähnlichem Verliältniss steht, wie die Biegungsfestig- 
keit zur Zug- und Druckfestigkeit. 
Nennt man nun: 
*1/ das statische Moment der auf einen Stabquerschnitt wirken- 
den \erdreh(Miden Kräfte oder das Kraftmoment, 
i/,. ilas polare Triigheitsmoment des Querschnittes, d. h. dessen 

'rragluMtsinonnMit zu seiner polaren Schwerpunktachse*), 
I« don Abstand (h»s entferntesten Elementes des Querschnittes 

Nun di^Hsen Schwerpunkt, 
■^ diit in diesem Element eintretende Schubspannung, 
t)M int 

^^=-r (1^) 

Wenn der Stab lauter gleiche Querschnitte besitzt, so ist 
* '' conHtant. Führt man dann das Moment M auf einen Arm Ä. 

nn Wi'lchem die verdrehende Kraft P angreift, zurück, so ist der 
liefäbrliche Querschnitt derjenige, für welchen M seinen 
Maxiuialwerth annimmt, und demnach die Tragkraft des Stabes: 

A ... a 



" (18) 



*) Kino bei einzelnen Querschnittformen anzubringende Correction vor- 
btihulten, vergl. §. 12. 




Drehungsfestigkeit. 4 1 

wenn Ä^n den dem Maximum von M entsprechenden Werth von Ä 
bezeichnet. 

Die Elasticitätsgrenze wird wie bei der Schubfestigkeit 
erreicht, wenn ® = ^/s des kleineren der beiden Tragmo- 
del des Materials, aus welchem der Stab besteht. (Vergl. §. 5.) 
Dieser Umstand ist bei Vergleichung von ßiegungs- und Verdre- 
hungsbeanspruchung im Auge zu behalten. 

Die Verdrehung, welche zwei von einander abstehende Quer- 
schnitte des Stabes gegeneinander annehmen, heisst der Ver- 
drehungs- oder Torsionswinkel. Er werde mit d" bezeichnet; 
für den Abstand x der beiden Querschnitte hat man allgemein: 

^-JL (19) 

wobei G den Drehungsmodul des Materials bezeichnet, welcher 
Vs des Elas4;icitätsmoduls ^ ist 

Die folgende Tafel enthält nun für eine Reihe von AngriflF- 
arten der verdrehenden Kräfte an einem prismatischen Stab die 
Werthe für: 

das Moment M an einer beliebigen Stelle (x) des Stabes, 

die Tragkraft P nach Formel (18), 

und den in Bogenmaass ausgedrückten Verdrehungswinkel -ö* des 
Stabes, 
wobei mit PR das Gesammtmoment der verdrehenden Kräfte be- 
zeichnet ist. Ausserdem bedeutet beim Fall Nro. IV. S den An- 
griffschwerpunkt sämmtlicher dort den Stab auf Verdrehung 
beanspruchenden Kräfte, welche alle auf den Hebelarm R zurück- 
geführt sind ; Zq ist dabei deV Abstand des Punktes 8 von der Be- 
festigungsebene des Stabes. 

Die vorgeführten Beanspruchungsarten kommen in den Ma- 
schinen alle mehr oder weniger häufig vor, mehrere andere sind 
unten bei den Torsions federn mitgetheilt. Der Fall IV. der 
folgenden Tabelle ist der gewöhnliche der TriebwcUen in den Fa- 
briken. Die Fälle V. und VI. finden bei Gestell- und ßahmenbautcn 
Anwendung. Aus den Formeln bei V. geht z. B. hervor, dass an 
einem Locomotivrahmen, der etwa bei Ä und B festgehalten, und 
zwischen beiden Stellen den sogenannten Geradführungsbügel auf- 
zunehmen hätte, der letztere die geringste Beanspruchung des 
Rahmens auf Torsion hervorbringt, wenn er mitten zwischen Ä 
und B gestellt wird. 



DrehungsfeBtigkeit. 



KrnftraomPiit M. 



h 



,€ 



M = PB 
für a]le Punkte zwischen A und B. 




m 



Mffd, 



PR ^^ dem GeBaniTiitnioment der 
verdrehenden Kräfte. 






M ^= Summe der innerhulli der 
Lüiige X angreifenden Mo- 



f^f^-f-f<. 



Im Stück e -. M = PR^ 
Im Stiick c, I Jlf = PÄ y 



« = pji(i-f)^ 



Tragkraft und VerdrehungswinkeL 



43 



Tragkraft P. 


Verdrehungswinkel ^. 


Bemerkungen. 


aR 


~" G a 


Alle Querschnitte zwischen Ä und P 
sind gleich fest. 


p- ^^P 

uR 


. 1 PÄ.^ 
2 JpG 
1 @ Z 
"■ 2 ö a 


Gefährlicher Querschnitt bei P. 


p« ^^P 
^ " aB 


1 PB.l 
3 Jp(? 

1 (S Z 
"" 3 6? a 


Die drehenden Kräfte sind gleichförmig 

abnehmend von P nach A vertheilt. 

Gefährlicher Querschnitt bei P. 


p^ ^Jp 
^^ aB 


^ - JpG 
^ a 


Allgemeine Form für die Fälle 
I^ IL und m. 

Gefahrlicher Querschnitt bei P. Der 

Werth von ^ in III. wird aus dem in 

IV. erhalten, wenn man für L den 

dort sich ergebenden Werth 

— einsetzt u. s. w. 
3 


nn Ci < c, so ist: 
^ ~ aB c 


PÄ cc^ 
JpG l 

"■ G a 


Gefahrlicher Querschnitt im Stücke 
Ci als im kürzeren Stücke. 


^ = « S 


a _ 1 Pi2-J 
S JpG 

1 © Z 
~ 4 ö a 


Gefahrliche Querschnitte bei Ä und P. 




44 Drehungsfestigkeit. 

§.14. 

Polare Trägheitsmomente und Querschnittmodel. 

Das polare Trägheitsmoment J^ eines Querschnittes bestimmt 
sich leicht, indem man hat: 

eT;, = eTi + e/:, . . (20) 

wenn e/l und e/i äquatoriale Trägheitsmomente desselben Quer- 
schnittes zu zwei seiner, einander rechtwinklig schneidenden Schwer- 
linien bezeichnen, deren Werthe für eine Menge von Querschnitten 
aus Tabelle §. 7 bekannt sind. Man kann demnach den polaren 

Querschnittmodul — 2. = Z,, leicht für die in der Praxis vor- 

kommenden Fälle bestimmen. Eine Ausnahme machen indessen 
diejenigen Querschnitte , bei denen nicht Ji = J^^ was z. B. bei 
Nro. III., VIL, XII., XX., XXV. etc. §. 7 der Fall ist. Bei ihnen 

bedürfen die Ausdrücke J^ und -2. = Z» einer besonderen, durch 

weitläufige Rechnungen zu ermittelnden Correction, da bei den- 
selben das Windschiefwerden der Querschnitte in Folge der Ver- 
drehung einen stark bemerklichen Einfluss ausübt. Für das 
Rechteck, den für die Maschinenpraxis wichtigsten jener Quer- 
schnitte, sind in der folgenden kleinen Tabelle die corrigirten 

Werthe von Jp und iZ^ = -^ aufgeführt, während für Kreis und 

Quadrat die einer Correction nicht bedürftigen, aus (20) erhalte- 
nen Werthe gegeben sind. 

Beispiel, Ein cylindrischer schmiedeiserner Stab sei nach der An- 
griffweise Nro. I. des vorigen Paragraphen vofi einer Kraft P= 450^ an 
einem Hebelarm B = 600^"^ ergriffen^ und habe einen Durchmesser d = 
iOQmm ifg{ einer Länge l^=zl200^^. Dann ist die Spannung © an seinem 

Um fang: (S = -s— P B ^= tt^tö— = i,58, und der entstehende Ver- 

•^ ^ Jp n 100^ ' ' 

1 3S 1200 
drehungswinkel : ^ = !^ ' — — = 0fi0414, was einem Winkel von 0^14' 

entspricht. Soll nun d verkleinert werden, so dass @ = dem halben Trag- 

1 4 
modiil für Verdrehung, d. t. = — — . i5 = 6 wird, so ist zu nehmen: 

<v 

j iV i6 ^^ -^1 IQ. 270000 ^^^ .. . , , 

d = \ -^=r PB = 1/ — == 61,2, wofür wtr setzen d = ei"""". 

Dann wird der Verdrehungswinkel : ^ = ' an ^ ^^ 0,0294, in Graden 
V40*. 




Querschnitt-Tabelle. 



45 



Nro. 



Querschnitt. 



Polarea Trägheits- 
moment Jp. 



Polarer Querschnitt- 
modul Zp = — 2- . 



I. 



IL 



III. 










I 

■ 

b 

.i 



- b 

I 

I 



— ** 



...# 



71 

32 



6 



1 6U8 



3 6* + Ä» 



16 



63 



3y2 



62 Ä« 



3 Vfca + Ä« 
Annähernd : 

hn^ 

3 (0,4 h 4- 0,96 h) 



• §. 15. 

Körper von gleicher Drehungsfestigkeit. 

Um einen Körper von gleicher Drehungsfestigkeit zu erhalten, 
hat man dessen Querschnittverhältnisse aus (17) zu entwickeln, 
indem man @ constant annimmt, also setzt: 

^= Const (21J 

dp 

Für den Fall I. in Tabelle §.11 ist für alle Querschnitte M= 
PR, demnach sind diese dort nur alle gleich, d. h. der Körper 
prismatisch zu machen, um ihm überall dieselbe Festigkeit zu 
geben. Die Fälle IL und III. geben die in der nachfolgenden kleinen 
Tabelle zusammengestellten Formen. Der Verdrehungswinkel 
muss bei den Körpern von gleicher Festigkeit grösser ausfallen. 



46 Drehuiigsfestiglceit 

als bei den prismatischen Stäbeu; er ist bei den beiden \inten ge- 



gebeneD Körpern mitgetheUt. Man erhält ihn 

d» M_ 

dx~ J^G 

wobei J^ das polare Trägheitsmoment des Querechnittcs am Punkte 
{x) bedeutet 



der Formel: 

(22) 



Form. 


Angriff- 


Gleichuug uiid Vcrdrehunga- 
«■iükel. 


Kl 


1 

2 


Kreisquewulmitt : 

Kegelitumpf mit dem oberen 
Durolimesser '/a d. 


Wt 


Bu. 


E 
1 
l 


Kreisquerschnitt; 

Ann&heruDgsform: 
Kegelatumpf mit dem oberen 

Durohmesser — • 


1 



Ueber andere Körper von gleicher Drehangsfestigkeit siehe 
§. 20. bei den Toreionsfedem. 



Rückwirkende, Zerkniokungs- oder Strebfestigkeit. 

EtD prismatischer Stab wird auf rückwirkende, Zer- 
knickungs- oder Strebfestigkeit, wie man sie auch nennen 
kann, beansprucht, wenn er in der Richtung seiner Längenachse 
zusammengedrückt wird, und gleichzeitig seine Querschnittabmes- 



Rückwirkende oder Strebfestigkeit. 47 

sungen uicht gross im Verhältniss zu seiner Länge sind. Bei die- 
ser Beanspruchung kommen Druck- und Biegungsfestigkeit gleich- 
zeitig in Betracht, und zwar letztere in der Eigenthümlichkeit, dass 
nicht die Abscisse der elastischen Linie der Hebelarm der bie- 
genden Kraft ist, wie bei der Biegungsfestigkeit, sondern die Or- 
dinate dieser Curve. Daher rührt es, dass diejenige zusammen- 
drückende Kraft P, welche überhaupt eine Biegung des Stabes 
hervorbringen kann, dieses bei jeder Grösse, der Biegung vermag, 
also auch bis zum Bruch, vorausgesetzt, dass bis zu diesem 
die Gesetze der vollkommenen Elasticität Gültigkeit 
hätten. Dies aber angenommen, würde jeue Kraft P die theore- 
tische Tragkraft und theoretische Bruclikraft gleichzeitig sein, da 
ihr die Elasticitätskräfte des Stabes sowohl das Gleichgewicht zu 
halten vermögen, als diese Kräfte auch bei einmal eingetretener 
Bewegung des Lastpunktes durch P überwunden werden können. 

In der folgenden Tabelle sind für einige der wuchtigsten An- 
giiflfarten der zusammendrückenden Kraft die Hauptformeln für 
die rückwirkende Festigkeit angegeben. Es bezeichnet in den 
Formeln : 

JE den Elasticitätsmodul des Materials des Stabes, welcher als 
prismatisch angesehen ist; 

J das kleinste Trägheitsmoment seines Querschnittes, bezogen 
auf eine Schwerlinie, also z. B. beim Rechteck, von der klei- 
neren Seite 6, der grösseren ä, nach §. 7 : -— - • 

Zu den nachstehenden Angaben ist zunächst zu bemerken, dass 
die sehr schätzbaren Versuche von Hodgkinson in der Regel 
eine etwas kleinere Bruchkraft liefern, als sie sich aus den obi- 
gen Formeln ergibt; dies thut aber dem Werth der letzteren kei- 
nen Eintrag, da diese nur für den vollkommen elastischen Körper 
aufgestellt sind, und deshalb richtig bleiben, wenn man als Be- 
lastung einen genügend kleinen Proportionaltheil der Bruchkraft 
P anwendet. Verschiedene empfehlen verschiedene Grade von 
Sicherheit. Bei Gusseisen soll V4 bis Vs und weniger, bei Schmied- 
eisen ebenso, bei Holz Vs bis Yio oder Vi 2 der theoretischen Bruch- 
kraft als obere Grenze der zulässigen Belastung zu betrachten 
sein. Diese Ungleichheiten rühren zum grossen Theil davon her, 
dass oft nicht gut angegeben werden kann, welcher der Fälle der 
folgenden Tabelle der in Anwendung zu bringende ist. Da sich 
die genannten Sicherheiten auf den Bruch beziehen, so ist beim 



48 



Rückwirkende, Zerknickungs- 



Nro. 



Angriffweise. 



Theoretische 
Trag- und Bruchkraft. 



Bemerkungen. 



I. 



II. 



III. 



IV. 






P= ^^ 



4 Za 



P = 7l2 



JE 



P=.2n^^ 



P=zAni 



JE 



Freitragende Strebe 
Das Ende B ist fest 

klemmt; gefährliche 
Querschnitt an der ] 
festigungsstelle. 



Lose Strebe. 

Beide Enden frei ai 

stehend und in der 

sprünglichen Stabacl 

geführt. Gefahrlich 

Querschnitt in der Mi 



Halbeingespannte Str« 
Das untere Ende fest 
klemmt, das obere in 
ursprünglichen Staba 
gefuhrt. 



Eingespannte Streb 
Beide Enden festgeklei 
und in der ursprüngli« 
Stabachse geführt. < 
fahrliche Querschnitte 
den Enden und in der lid 




oder Strebfestigkeit. 



49 



Der Stab ist auf Druckfestigkeit zu berechnen, wenn: 


beim EreiBquerBchnitt 
■^ kleiner als 


beim RechteckquerBchnitt 
•r> (b die kleinere Seite) kleiner als 


und dabei das 
Material 


6 

12 

6 


5% 
14 

8 


GuBseisen. 

Scbmiedeisen. 

Holz. 


10 
24 

11V« 


11% 
28 

13% 


GuBseisen. 

Scbmiedeisen. 

Holz. 


14 
83 
16 


16 
38 
19 


Gusseisen. 

Scbmiedeisen. 

Höbe. 


20 
48 
23 


23 

66 

. 27 


Gusseisen. 

Scbmiedeisen. 

Holz. 



Bculcaiix, der Conttmctevr. 




50 Körper von gleicher Strebfestigkeit. 

irgendwo nothwendigen Vergleich mit anderen Festigkeitsbean- 
spruchungen die Sicherheit bei diesen ebenfalls auf den Bruch zu 
beziehen. Von diesem Gesichtspunkte aus sind die Zahlen in Spalte 
2, S. 49 berechnet, indem vorausgesetzt ist, dass die Sicherheit ge- 
gen Zerdrücken gleich derjenigen gegen Zerknicken genommen 
werde. 

Die Hodgkinson'schen Versuche haben femer noch gezeigt, 
dass flach aufstehende Säulen sich ungefähr so verhalten, als ob 
sie an dem abgeflachten Ende eingeklemmt wären. Im dritten 
Abschnitte werden verschiedene Anwendungen der Formeln für 
Strebfestigkeit gezeigt. 

§. 17. 

Körper von gleicher Strebfestigkeit. 

Man erhält eine Körperform von gleicher rückwirkender oder 
Strebfestigkeit, wenn man die Querschnitte in einem der obigen 
Stäbe so vom gefährlichen Querschnitt aus abnehmen lässt, dass, 
eine kleine eingetretene Biegung vorausgesetzt, die 
Maximalspannung in jedem Querschnitt denselben Werth erhält 

Für den Fall Nro. IL des vorigen Paragraphen kann man 
sich, wenn der Querschnitt des Stabes der volle Kreis ist, der fol- 
genden Formel*) bedienen: 

X 




m 



(i) 

Uebersichtlicher gestaltet sich diese Formel, wenn man sie 
in eine Doppelgleichung auflöst, indem man setzt: 



y 

-|- = sin (p 



worauf man erhält : 



= — (2(p — sin 2 q>) 

7t 



© 



(23) 



; 



Diese Gleichung gestattet unschwer ein graphisches Auffin- 
den der ßegrenzungscurve , deren Abscissengleichung mit der- 



♦) Von Redtenb acher. 



ZuBammen gesetzte Festigkeit 51 

jenigen einer Cycloide, nnd deren Ordinatengleichung mit der- 
jenigen einer Sinoide übereinstimmt und deshalb eine cycloi- 
Pi^. 4. discbe Sinoide genannt werden 

kann. Eine Verzeichnungsmethode die- 
ser Curve ist weiter unten bei den Pleuel- 
stangen angegeben; die durch sie ge- 
lieferte Körperform wird angenähert 
durch die zweite der in Figur 4 ange- 
gebenen Formen , bei welcher die Er- 
zeugungslinie ein Kreisbogen (der 
Krümmungskreis für den Currenpunkt 

bei X ^ ö-) oder überhaupt eine 

schwach gekrümmte Linie ist. Eine 
solche Annäherung ist durchaus statt- 
haft, da wirkliche Biegungen der Strebe 
doch nicht vorausgesetzt werden. Die 
vorstehende lose Strebe berechnet sich zu 'Vi der Festigkeit einer 
cylindrischen von der gleichen Dicke h und Länge l. 



i 



§■ 18. 
Zusammengesetzte FeGtiglieit 

Vielfach kommt es vor, dass mehrere Kräfte zugleich die 
Festigkeit eines Körpers in verschiedener Art beanspruchen, so 
dass z, B. ein Querschnitt auf Zug und Biegung, auf Drehung und 
Biegung u. s. w. gleichzeitig angestrengt wird. Die Tragkraft oder 
die eintretende Maximalspannung sind dann anders zu bestimmen, 
als gewöhnlich. Für einige der am häufigsten vorkommenden und 
wichtigsten Fälle dieser sogenannten zusammengesetzten Festig- 
keit sind die Hauptformeln in der folgenden Tafel zusammen- 
gestellt. Es bezeichnet in derselben : 

@ diegrösste im gefahrlichen Querschnitt eintretende Spannung, 
Z den Querschnittmodul des gefahrlichen Querschnittes, welcher 

durch B in den Figuren bezeichnet ist, 
F den Flächeninhalt des Querschnittes, 
J dessen Trägheitsmoment nach §. 7, 
Mi ein biegendes, M^ ein verdrehendes Moment, 
Mi ein ideelles Moment, und zwar insbesondere 
{M^t ein ideelles biegendes, {Mdii ein ideelles verdrehendes Moment. 



Zusammengesetzte Festigkeit 




1 




Beim Recht eckquersEhnitt (bh) 



B«im Rechte cbqDPnchDitt {bh) 



^F 



Beim RechtecLquersclmilt (bh) 
P = 



+4i-..+^ 



PI ist ein biegendeB Moment Mi., 
I'R ein vcrdreheiidei Moment Mj. 



wobei Jlfj d&B (biegfende) Moment 
von i'i, 3fj daq'enige ron Pj be- 
zeichnet. 



Zusammengesetzte Festigkeit. 



53 



Ideelle Momente. 



Ideelles biegendes Moment für die Spannung <B: (Mb)i = p(ä -}- ^] 



Beim 
Ereisquerschnitt (d): 

(Af»). = P(B + |) 



Beim 
Ellipsenquerschnitt {hh): 

(;if,), = p(Ä+|) 



Beim 
Rechteckquerschnitt {b h) 

(iifo<=p(Ä+|) 



. 



Z 



Ideelles biegendes Moment für die Spannung <3: (ilfj)< = PH sm «-}--=• co5«J 



Beim 
Kreisqaerschnitt (d): 

(3f»)< = P u sin « -}- — cos « j 



Beim 
Ellipsenquerschnitt (bh): 

(Mb)i -^Pfl sin a-\-'^C08 aj 



Beim 
Rechteckquerschnitt {bh): 

{Mi,)i=:Pfl8tna-\--^ e08a\ 



Ideelles biegendes Moment (itf*),- f. d. Spann. @: (üf fc)< = P (b cosa -^ l sina -{- -^ cosaj- 



Beim 
Ereisquerschnitt (d): 

(-Mi)* = 
Pf Bc08tt-]-l sin a -{- — cosaj 



Beim 
Eilipsenquerschnitt (bh): 

(Mb)i = 

P (R cosn-{-lsintt-\- — cos a\ 



Beim 
Rechteckquerschnitt (bh): 

{Mbh = 

p(Rc08a'\-l8ina+-^C08tt\ 



Ideelles biegendes Moment für die Spannung @: 
Ideelles yerdrehendes Moment für die Spannung @: 



Ideelles biegendes Moment für die Spannung @: 

iMt)t = V M« + Jlf,« + 2M^M2 cosa. 
In den Fällen lY. and Y. ist vorausgesetzt, dass der Querschnitt des Stabes zu 
denjenigen gehöre, welche durch zwei rechtwinklige Schwerlinien in vier con* 

gmente Stücke gctheilt werden. 



&4 Zusammengesetzte Festigkeit. 

Kino Betrachtung dieser Formeln zeigt, dass man manchmal 
diu zuKununougesetzte Beanspruchung wohl beachten muss. Wenn 

X. B. im Fall I. JB = — ist, d. h. die an einer Stange aufgehängte 

Last um Band dos Querschnittes ihren Schwerpunkt hat, so ist 

p r-= - — , also die Tragkraft nur Vi so gross, als bei einer ge- 
UHU ooutralon Aufluingung. Ist der Querschnitt ein £j:'eis (rf), so 

wird i' ^^ jT^ d. i. wenn wieder die Last am Rande an- 

gobrnrht, also ii = — gemacht wird, P = — —d^, die Trag- 
kraft ist also noch kleiner als beim Rechteckquerschnitt. Die 
Fiillo I. und IL leiten sich aus IIL ab, indem man dort beziehlich 
« oih^r /{ rr= setzt. 

Mino bosondorc Brauchbarkeit haben namentlich für den auf- 
uiorksinuoii Borhner die angegebenen ideellen Momente. Es ist 
MU bracht on, dass beim Ellipsen- und dem Rechteckquerschnitte h 
hIm in dor Biogungsobene liegend angenommen ist. Kennt man 
ilioM^ I)inionsit>n im voraus, was bei Annahme des Profils eines 
MU (»oiiNtruinMidiMi Trägers sehr häufig der Fall ist, so lässt sich 
luit llillo diT ideellen Momente die zusammengesetzte Festigkeit 
lolt^ht in Bt^tracht ziehen, indem der in der Klammer zur Rechten 
t^hihaltoni^ Ausdruck den Hebelarm der gegebenen Kraft P fiir das 
lthM»llo Moment angibt. Derselbe ist meistens, namentlich graphisch, 
nt»hr hucht zu bestimmen, und man kann alsdann gerade so wie 
\m oiiHir gewöhnlichen Biegungsbeanspruchung rechnen. Ist z. B. 
\\\\ Falle IL bei a = 45<>, also cosa = sina = 0,707 die Rechteck- 
hiihe h gewählt, so ist der Querschnitt bei B so zu berechnen, als 
grifVo eine biegende Kraft P an dem Arme 0,707? (der Projection 

von l auf die Befestigungsebene) -\- 0,707 -^ an. Im Falle I. erhält 

man bei jR = für den Kreisquerschnitt (Jtfi), = P-^, was 

gleichzusetzen ist ® — d^- dies gibt P = ®— tf«, wie kommen 
inuss, weil bei 2J = der Stab nur auf Zugfestigkeit beansprucht 
ist. -Q- ist danach also der Hebelarm, an welchem angreifend eine 
biegende Kraft P den Stab ebenso stark beansprucht, als eine in 




Festigkeit der Gefässwände. 55 

der AchsenrichtuDg ziehende von gleicher Grösse. Dies gilt aller- 
dings strenggenommen nur unter Vernachlässigung der Schubspan- 
nungen bei Berechnung der Biegung. — Viele nützliche Anwen- 
dungen finden auch die Formeln der Fälle IV. und V. (s. bei den 
Achsen und Wellen). 

§. 19. 

Festigkeit der Oefasswände. 

Zur Beurtheilung der Festigkeit runder Gefässe von verhält- 
nissmässig geringer Wanddicke können die in folgender Tabelle 
zusammengestellten Werthe, welche sich auf einige der wichtigsten 
Fälle der Maschinenpraxis beziehen, gebraucht werden. Die Theorie 
der Gefässfestigkeit ist noch nicht als völlig abgeschlossen zu be- 
trachten; ziemlich unsicher erscheint namentlich bis dahin noch 
die Theorie des von aussen gepressten Cylinders, weshalb die be- 
züglichen Formeln weggelassen wurden. In den umstehenden Aus- 
drücken bezeichnet: 

p den auf die Gefasswand wirkenden Flächendruck (nach Ab- 
zug des gegenseitigen), 

@ die im Material der Wand eintretende Maximalspannung, 

jEJden Elasticitätsmodul des Materials, 

r und 8 Gefasshalbmesser und -Wanddicke. 
Die Formeln unter (I.) und (IL) haben eine bis zur Bruchgrenze 
gehende Gültigkeit, immerhin aber nur als Annäherungswerthe. 

i. Beispiel. Für ein schmiedeisernes cylindrischeaGefäss von 1000^^ 
Durchmesser und 10^"^ WanddicTce sei eine Materialspannung @ = 8 ge- 
stattet. Dann kann dasselbe nach (L) einer inneren üeberdruckspannung 

p =z 8 (1/1^ ~ -^J "^ 8,0,0198 = 0,158^ pro JjMillimeter ausgesetzt 

werden. In Atmosphären ausgedrückt beträgt dies 100 . 0,158 == 15,8 
Atm, Das Qefäss würde zerspringen (wegen K = 40), wenn die innere 
Spannung etwa das 5fache oder 79 Atmosphären betrüge. 

2. Beispiel, Ein kugelförmiges Qefäss von den genannten Angaben 

1fi 1fi 

würde nach (IL) für (S = 8 einer Spannung p = ' = 0,32^ pro D""", 

d, t. einem Drucke von 32 Atmosphären auszusetzen sein. 

3, Beispiel. Ein dem ersten Gefässe angenieteter ebener Schmied- 
eiserner Boden würde nach (IV.) bei (S = 8 folgende grosse Dicke S 

haben müssen : ^ = 500. V% . V^^ = 500 . 0,816 . 0,U = 57,12 f^\y 57"^"^. 



Festigkeit der Gefass wände. 



Nro. Angriff«! 



Tragkrait p. Wanddicka J. 




-<V^-) 






p = 2S — 



'-O' 






l-(^)" 



T = VIVl 



Die Einbiegung /, welche die ebene runde Platte erfahrt, 
lässt eich nach Grashof liir den Fall III. berechnen aus : 

Ä ~ 6 W A' 
und für den Fall IV: 

d 6 \ö/ E 
4. Beispiel. Die in Beispiel 3. bereehneU Platte würde sich hiernach 
»Begen S = äOOOO einbiegen um f = 



(24) 



(26) 



Festigkeit der Gefasswände. 57 

Für Gefasse, deren Wände wegen aussergewöhnlicher innerer 
Pressungen verhältnissmässig sehr dick gemacht werden müssen, 
wie die Cylinder und Pumpen hydraulischer Pressen, die Kano- 
nen u. s. w., reichen die vorstehenden Formeln nicht aus, oder 
geben manchmal geradezu irrige Resultate. Bei solchen Gefässen 
sind die Faserspannungen an verschiedenen Punkten eines Radius 
unter Umständen sehr von einander verschieden ; ihr Yerhältniss 
ist aber von entscheidendem Einfluss auf die Tragkraft. Je nach- 
dem dieses Yerhältniss der Spannungen angenommen oder berech- 
net wird, gestalten sich die Formeln für die Wanddicke wesentlich 
.iuders. Brix berechnet die Spannungen an verschiedenen Punk- 
ten eines Radius unter der Annahme, dass die Dicke der Rohr- 
wand durch die innere Pressung keine Aendcrung erleide; Barlow 
nimmt eine Aenderung an, und zwar eine solche, bei der der ring- 
förmige Querschnitt des (runden) Gefässes seine Grösse nicht 
ändere; Lame macht keine vorgängige Annahme, sondern be- 
rechnet mit grosser Strenge die Spannungsänderung, welche an 
jedem Molekül einer radialen Reihe von solchen in Folge der 
inneren Pressung stattfindet, und hat damit die zuverlässigste, 
das wahrscheinliche Verhalten der Stofftheilchen am genauesten 
ausdrückende Berechnungsmethode geliefert. Unter Bei- 
behaltung der vorhin gebrauchten Bezeichnungen erhält mau nach 
den drei Theorien*) die folgenden Formeln: 



Werthe. 


Brix. 


Barlow. 


Lame. 


Hohlcylinder 


P = 
r 


@ log nat e® — 1 

p 
e« 1 


@ 


(r+öy + f^ 


P 


Vit;-^ 


Hohlkugel 


1 

P = 

(f 

[r "" 


2®' 

r 

1 p 

2 @ 


28 

p 




■\y2(S+i>) , 
Y 2B p 


2® p 



•) Siehe Org. f. Eisenbahnwesen 1859, S.59 ff. Baurath Dr. H. Seh ©ff- 
1er: Die filasticitätsverhältnisse der Röhren, in welchem lehrreichen Artikel 



58 Festigkeit der Gefässwände. 

Alle drei Theorien ergeben, dass an der inneren Wand die 
Materialspannung am stärksten wird; es gilt demnach @ für die 
innerste Ringschicht; die Lame' sehe Formel, und auch schon die 
Barlow'sche, zeigt dabei das bemerkenswerthe Resultat, dass das 
Steigern der Wanddicke über gewisse Grenzen hinaus die Tragkraft 
nicht mehr erhöht. Die Grenze für die Tragkraft zur Spannung @ 
wird erreicht, wenn p = @ wird; die theoretische Tragkraft über- 
haupt wird also erschöpft, wenn p = dem Tragmodul des Mate- 
rials wird. Der innere Drack fängt dann an, die innersten Fasern 
bleibend zu dehnen, und muss sie bei Steigerungen über den Bruch- 
modul hinaus zersprengen. Die theoretische Tragkraftgrenze liegt 
hiernach bei p = T, also für 

Gusseisen Schmiedeisen Gussstahl 
bei 2) . . . . = 7,5 15 25 

in Atmosphären 750 1500 2500 

UngleichfÖrmigkeiten des Materials können herbeifuhren, dass 
ziemlich tief unter diesen Grenzen schon die Gefahr nicht nur 
des Dehnens, sondern des Bruches eintritt. Da in Geschützen von 
grossem Kaliber Spannungen über 2500 (es wird angegeben bis zu 
6000) Atmosphären vorkommen, so ist es erklärlich, dass homogene 
Gussstahlgeschütze grossen Kalibers sich oft nicht haltbar zeigten. 
Um die Geschütze genügend fest zu erhalten, hat man mit Erfolg 
den Weg betreten, ihre Ringschichten unhomogen, die äusseren 
anders gespannt als die inneren, herzustellen, und dazu das Um- 
reifen, das Abschrecken von innen und andere Methoden ange- 
wandt *). In England und Frankreich ist die Methode des Umrei- 
fens der Geschütze jetzt sehr stark in Anwendung; immer bleiben 
dabei bedeutende technische Schwierigkeiten wegen des richtigen 
Maasses der den einander einschliessenden Ringen zu ertheilenden 
ursprünglichen Spannungen zu überwinden. Bei den hydraulischen 
Pressen kann man den Schwierigkeiten gewöhnlich dadurch aus- 
weichen, dass man die Grösse des Presscylinders so wählt, dass 
die Wasserspannung unter den oben angeführten Grenzen bleibt. 



der Gegenstand in erschöpfender Weise auch für die verwickelten Probleme 
von Röhren mit Böden und von verstärkten Röhren behandelt ist. 

*) Siehe Dingler's Journal 1865, Bd. 177. üeber die künstlichen Me- 

tallconstructionen der Geschützrohre, von Hauptmann D y (Darapsky?) 

in Kassel, von welchem Verfasser andere treffliche Mittheilungen über ähn- 
liche Gegenstände den angeführten folgen; siehe ferner die Aufsätze im 
Pract. Mech. Journ. 1867: One some points of practice in iron founding. 




Berechnung der Federn. 59 

§. 20. 

Berechnung der Federn*), 

Die Gonstructionsmaterialien des Maschinenbauers sind alle 
mehr oder weniger elastisch nachgiebig, so dass sie äusseren Kräf- 
tei> nur unter Eingehung einer Formänderung zu widerstehen 
vermögen, welche bei richtig gewählten Abmessungen nach Auf- 
hören der äusseren Kraftwirkuug wieder verschwindet Diese 
Formänderung — Ausdehnung, Kürzung, Biegung, Verdrehung — 
sucht man gewöhnlich behufs möglichster Annäherung an die 
Starrheit der constructiven Systeme so viel als thunlich einzu- 
schränken. Bei den Federn jedoch zieht man Vortheil aus der- 
selben, indem man die elastische Nachgiebigkeit von übrigens 
widerstandsfähigen Systemen zur Aufnahme von Stosswirkuugen 
(Buffer, Wagenfedern), zum Hervorbringen von Bewegungen (Uhren), 
zum Bilden weicher und doch haltbarer Unterlagen (Polster) ver- 
werthet. Zu Federn eignen sich deshalb vor allem solche kör- 
perliche Systeme, welche innerhalb derElasticitätsgrenzen verhält- 
nissmässig grosse Formänderungen erleiden können, was sich 
nach deren Festigkeitseigenschaften beurtheilen lässt. Ihre 
Theorie findet deshalb hier einen passenden Platz. 

Beanspruchungen auf Zug- und Druckfestigkeit sind nur 
bei ganz besonders dehn- und pressbaren Stoffen, wie z. B. beim 
Eautschuck, zur Federbildung dienlich; bei den steiferen Materia- 
lien, den Hölzern und namentlich den Metallen , eignen sich vor- 
wiegend nur die Biegungs- und die Drehungsfestigkeit. 
In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Biegungs- und 
Torsionfi federn unter kurzer Angabe ihrer Haupteigenschaften 
zusammengestellt 

Neben grosser Aenderbarkeit der Form tritt als zweite we- 
sentliche Eigenschaft der Federn der geringe Materialver- 
brauch, mit welchem die Raumbeanspruchung zusammenhängt, 
in den Vordergrund. Der Materialverbrauch wurde deshalb in der 
Zusammenstellung berücksichtigt, indem derselbe, gleiche Bela- 
stung und Verschiebung des Kraftangriflfpunktes bei sämmtlichen 
Federn vorausgesetzt, in der vorletzten Spalte angegeben ist Das 
Volumen der Dreieckfeder ist dabei als Einheit angenommen. 



•) Vergl. des Verfassers „Construction und Berechnung der 
wicilitigstcn Federarten". Winterthur, Wurster et Comp., 1857. 



Biegungs - Federn. 




Biegongs-Federn. 



61 



deron^. 


BiegBamkeit. 


Körper- 
inhalt. 


Bemerkungen. 


PI' 

^ Ebh» 




% 


In der Aasfahmng statt 

•?- = l/j anzunähern durch 

ein Trapezprofil mit der End- 
höhe % h. 


PI' 




1 


Körper von gleicher Bie- 
gungsfestigkeit; in der Aus- 
führung ist das freie Ende mit 
einer Verstärkung zu ver- 
sehen. 


PI» 
^Eibh» 


/ ® l 
l " E h 


1 


Verhält sich so, wie eine ein- 
fache Dreieckfeder von der 
Basisbreite ib (s. die Punk- 
tirung), und kann durch Zer- 
schneidung und Schichtung 
einer solchen entstanden ge- 
dacht werden. 


— *'*Ebh' 


f _2® ' 
B" E h 


1 


l die Länge des gestreckt 
gedachten Federblattes. 

Alle drei Formen sind 
Körperformen von gleicher 

Biegungsfestigkeit Der 

Werth 4 ^t der Winkel & 

der Verdrehung, welche die 

Belastung P henrorbringt. 


* - " Ebh' 


B'^^E h 


1 






Va 




Torsions-Federn. 




Ji 3(0,*6-)-o,96A 



TorsioDS - Federn. 



63 



Federnng. 



BiegBainkeit. 



Körper- 
inhalt. 



Bemerkungen. 



_, ^ 82 P Bn 









_^32 pmi 



Pfflf fta ^ ^a 



Annähernd: 
^ 16 PRH 



Annähernd: 

_ 8 PR^l b^ + h ^ 
"" 2 ö 6»Ä» 



/^ _ ® m^+xa 



"B-^ö d 



U ■" C/ 6Ä 



E "" 6? d 



i< ■" 2 ö ^7» 



Vj 



la 



V, 



8 



■y, 



12 



V. 



8 



74 



In den Fällen YII. bis 
X. iBt die Feder ein Kör- 
per von gleicher Tor- 
si onsfestigkeii 



Federn nach YII. und 
YIII. eignen sich auch 
zur Bildung von zusam* 
mengesetzten oder Bün- 
delfedem. 



In den Fällen IX. bis 
XII. ist l immer die 
Länge des gestreckt 
gedachten Drahtes. 



Es ist gleichgültig, ob 
die grossere Querschnitt- 
seite parallel , normal, 
oder schief zur Achse 
steht. 



Hier wie in XII. ist die 
Feder bis zur Kegel- 
spitze ausgeführt ange- 
nommen; in beiden Fäl- 
len gefährlicher Quer- 
schnitt bei B, 



Lässt sich durch all- 
mähliche Yerkleinerung 
der Querschnittliöhe h 
von B aus nach oben zu 
einem Körper, von glei- 
cher Festigkeit machen. 




64 Berechnung der Federn. 

In den Formeln der vorstehenden Tabelle bezeichnet immer: 
E den Elasticitätsmodul, 
G den Drehungsmodul des Materials der Feder, welcher 

(8. §. 11) = y, Eist 

Die Festigkeitscoefficienten für die Materialien der Federn 
sind in §. 2 angegeben. Zu bemerken ist aber, dass bei allen 
Torsionsfedern für gleiche Sicherheit mit den Biegungsfedern das 
V&f&che der dort angewandten Materialspannung @ einzusetzen 
ist (vergl. §. 5). Die Formeln behalten ihre Geltung, wenn die 
Richtung der Ejraft P der in den Figuren angedeuteten entgegen- 
gesetzt wird. In allen angeführten Fällen ist das Volumen V der 
Feder zu erhalten aus dem Ausdrucke: 

r=G.(P./)^ (26) 

wobei C eine von der Feder form abhängige Gonstante bezeichnet, 
und (P/) das Product aus Belastung und Federung oder die soge- 
nannte Federungs arbeit ist. Dies hat die interessante Bedeutung, 
dass Federn von gleicher Grundform und gleichem Material bei 
gleicher Sicherheit für dieselbe Federungsarbeit Pfimmex 
gleich schwer ausfallen, wie man auch die Länge l oder über- 

E 
haupt die frei zu wählenden Abmessungen macht. Der Quotient -p^ 

zeigt, dass ein kleiner Elasticitätsmodul, namentlich aber ein 
hoher Tragmodul günstig für das Material der Federn ist. Man 
erhält nach Tabelle §. 2 für: 

Gussstahl, gehärtet und angelassen ^ = = 7,10 

Gewöhnlichen Stahl (ungehärtet) . = ,,„ = 32,00 

^M • 6500 ^^^, 

Messing = Tsä" ~ ^' 

Holz =^^ =277,00 

Der gehärtete und angelassene Gussstahl ist hiemach auch 
theoretisch weitaus das beste Federmaterial. 

Bemerkenswerth ist noch für die sämmÜichen aufgeführten 
Federn, dass bei ihnen die Federung oder Verschiebung desEjraft- 
angri%unktes proportional der Belastung ist. 

Dieser Umstand hat zur Folge, dass die Schwingungen, 



t 



Berechnung der Federn. 65 

oder „pendelartigen^^ Schwingungen fallen, und eine leicht zu 
berechnende Dauer haben. Bei Vernachlässigung des Feder- 
gewichtes schwingt nämlich jede der obigen Federn bei 
der Belastung P wie ein einfaches (mathematisches) 
Pendel von der Länge/*), so dass die Zeit t einer einfachen 
Schwingung (eines Hinganges oder eines Herganges) ist: 

= «V| (27) 

wobei g die Beschleunigung der Schwere = 9,81"» = 31,25 preuss. 
Fuss, für unsere gewöhnliche Rechnung in Millimetern 9810»^ ist. 

Beispiele zur Theorie der Federn. 1, Zu berechnen eine ein- 
fctche Dreieckfeder nach Nro. IL fxir eine Last P = 50^ und eine Fede- 
rung f = 20^**. Wir wählen als Material Gussstahl mit E = 30000 
und setzen ® == 40*; nehmen hierauf die Länge l der Feder zu 400^"^ 

an^ und haben nun nach Spalte 6:-Tjrjr = ^^-^^ • -v—, woraus h = 

40.400.400 .^«,«_ T,r '^ 1, o 1* ^ Kn 40 b . 32^ . 

20.30000 = ^^/^ • ^^"^ ^'^'"^ '''''^ ^^^^*' 4:50 = - ^^^-^, oder 

b = 26,36'*'* •^^ 26,5'*'*. Das Volumen V wird = —5- = — ^ — _ — _ 

= 56555 Cub.'Millimeter. 

2. Beispiel. Machen wir unter Beibehaltung des Materials 1 = 300, 
. ,, 40.300.300 ^,_ , 6.300.50 ^^ /;«- ^ tz^t ^ 

"^ ^^^ * = 20.30000 = ^ " * = 40.36 =g^>^"'"> ^^ ^^^**^^ 

also: V = —3— = — ^ = 56J850 Cubikmillimeter, d.i. abgesehen 

ton dem durch die Abrundungen entstandenen Unterschiede, soviel wie 
vorher, wie es der Bemerkung zu Formel (26) entspricht. 

3. Beispiel, Die vorige Feder sei durch eine cylindrische Schrauben- 
feder nach Nro. IX., die aus demselben Chissstahl gemacht werden soll, 
zu ersetzen. Da dieselbe eine Torsionsfeder ist, so haben wir für gleiche 
Sicherheit statt ® = 40 dessen ^/^fachen Werth 32 einzusetzen; wählen 
wir nun die Drahtdicke d := ^•", so kommt nach Spalte 4, Nro. IX,: 

50 = ^7i^, woraus B = ^^-^;^ = 27, U •vy 27*"* folgt. Nach Spalte 

^ ., , ,. ^ ,,,.. , 6 -20.0,4. 30000 10000 
6 tst nun zu nehmen die Drahtlange l = = —75 — 

= 833,3. Dies liefert eine Gewindezahl i = -^-^ t= ^^^*^^ = 4,91 

4« 7i Ja /6 . TS , 47 

•Vy5. Wollte man mehr Windungen erhalten, so müsste man d klei- 
ner angenommen haben. Das Volumen Fj der Feder wird: Fj = I • — 



♦) Siehe u. a. Eisenlohr's Physik, 6. Aufl. Stuttgart 1857, S. 57. 

Benleanx, der Constmctenr. 5 



fiC BerechnoDg der Federn. 

i* =r g^tp* — 3t=:X356ä Ctbikmiltimeter. Dies Volumen mit dem oben 

' UßS ' "'*" *'*'" ""'** *''"* 
K*t nuch Spattr 7, Nro. IX. hätte kommen müssen, wenn nicht die Ah- 
rMttäifgtn stattgefunden hätten. 

Der vulcanisirte oder geechwefelteKautschuck, neuer- 
dings auch Vulcanit genannt, wird als Federmaterial nament- 
lich fiir die Bnffer der Eisenbahnfahrzeuge, Prellldötze der Häm- 
mer u. B. w. vielfach benutzt, and zwar meistens in der Form von 
übereinander geschichteten Ringen, die durch Eiaenplatteo ge- 
trennt sind. Das Verbalten des Federbarzes bei Formändernngen 
ist experimentell noch keineswegs genügend erforscht, um Gon- 
structionsregeln für das Material daraus ableiten zu können. In- 
dessen können für einen beschränkten Umfang, insbesondere fiir 
die genannten ringförmigen Bufferfedern nachstehende Angaben") 
zum Anhalt dienen. 

Als die gebräuchlichsten Querschnitte der Bufferringe kön- 
nen die in den Figuren 5 und 6 dargestellten betrachtet werden; 
sie haben an der einen Stirnfläche einen ringförmigen Wnlst, an 
Fig. 5. Fig. 6. 




der anderen eine entsprechende Kehle, in welche die Zwischen- 
platte eingreift, um Querverschiebungen in der Bufferbüchse zu 
verhindern. Ueber das Verbalten solcher und ähnlich geformter 



•) Für (licgelben haben sehr schätzbsre Veranche des Obt^r-Ingenieurs 
Werder der Fabrik von Klott n. Co. in Nürnberg die ZaMeDgrundla^D 

geliefert. 



o 



Berechnung der Federn. 67 

Ringe gegen Zusammendrückung in der Richtung der Achse 
haben Versuche Folgendes ergeben. 

Beim Zusammenpressen bleibt das Volumen des Ringes un- 
geändert; der Peripheriequerschnitt desselben Avird zwar etwas 
kleiner, dafür aber der Durchmesser entsprechend grösser; der 
Umfang des Peripheriequerschnittes nimmt dabei zu. Die stärkst 
gespannten Fasern liegen auf dem äusseren Rande des Wulstes 
bei J?, und sind auf Zugfestigkeit beansprucht, indem nämlich 
daselbst bei Ueberschreitung der Elasticitätsgrenze Risse ent- 
stehen. 

Die Elasticitätsgrenze wird ungefähr erreicht bei einer Be- 
lastung des ursprünglichen, normal zur Achse gemessenen 
Querschnittes mit Va Kil. pro D"", so dass also der Tragmodul 
Tmit der Grösse 0,5^ einzuführen wäre, wenn man die Rechnung 
so anstellt, als fände eine gewöhnliche Belastung auf Druckfestig- 
keit statt. Dieser fingirte Tragmodul ist etwas weniger höher 
(bis zu 0,55*') bei den specifisch leichtesten, etwas weniges niedri- 
ger (bis zu 0,45^) bei den specifisch schwereren Kautschucksorten. 
Das specifische Gewicht y des Stoffes, welches je nach der 
Schwefelbeimengung sich ändert, ist bei den leichten Sorten = 1, 
bei den schweren 1,15 bis 1,32. 

Bei Erreichung der Elasticitätsgrenze hat der mittelste, nach 
HF geführte Ringquerschnitt ungefähr das Doppelte der ur- 
sprünglichen Grösse angenommen; der Umfang des Peripherie- 
querschnittes ist dabei ungefähr ^j^xsi^X so gross geworden, als 
der ursprüngliche Umfang AB CD. 

Die Zusammenpressung findet innerhalb der Elasticitäts- 
grenze nach einem von der Güte des Kautschucks abhängigen 
Gesetze statt, welches sich für das metrische Maasssystem an- 
nähernd durch die empirische Formel 

' = }V| m 

ausdrücken lässt, in welcher bedeutet: l die durch die zusammen- 
pressende Kraft P entstehende Verkürzung der ursprünglichen 
Ringdicke Z, q den ursprünglichen Querschnitt des Ringes in 
einer zur Achse normalen Ebene, y das specifische Gewicht des 
Materials. 

Beispiel. Ein nach Fig. 5 gestalteter Bufferring habe 142'^'^ äusse^ 
reny 74"^ inneren Durchmesser, was einer Grundfläche oder Quer- 
schnitt q = 11536 D"" entspricht, dabei die Bingdicke l = 55"»'", und 

5* 



C8 Berechnung der Federn. 

d€Lt spedfische Gewicht y = 1. Er werde mit 2500^ rusammengepressi. 

Dann ist seine Belastung pro Flächeneinheit des ursprünglichen Quer- 

P 2500 
Schnittes: — = TT^öß = 0,217^, liegt also unterhalb der Ekuticitäts- 

grenze. Nach (28) würde nun die Zusammenpressung betragen l^SSV 0^17 
= 35 . 0,4€6 = 16,31'*''. Versuche ergaben für denselben Bing l = 

Bei den Eisenbahnbuffem wendet man 4 bis 7 Ringe von un- 
gefähr solchen Dimensionen, wie sie in vorstehendem Beispiel be- 
nutzt wurden, an. Die Gesammteinpressung ist dabei, wie leicht 
einzusehen, gleich derjenigen des einzehien Ringes multiplicirt mit 
der RingzahL 

Beim praktischen Gebrauch der Kautschuckbuffer findet man 
häufig, dass der Stoff sehr rasch an Federkraft verliert, und end- 
lich in eine brüchige harte Masse übergeht Aus dem Erfolg neue- 
rer sorgfältiger Constructionen ist aber zu schliessen, dass dieser 
Uebelstaud vorzugsweise nur dann eintritt, wenn die Ringe beim 
Spiel gleitender Reibung ausgesetzt sind. Um solche zu ver- 
hüten, müssen die Zwischenscheiben nach innen und aussen so weit 
über den Federring vorspringen, dass derselbe bei seiner Breit- 
quetschung nie weder die Mittelstange, noch auch die äussere 
Büchse berühren kann. Buffer, welche mit Beobachtung dieser 
Vorsicht gebaut sind, sollen eine vollkommen befriedigende Dauer- 
haftigkeit zeigen. 

Es empfiehlt sich, die Form der Ringe so zu wählen, dass die 
Bildung von Falten in der Ringoberfläche verhütet wird, indem 
die derselben ausgesetzte Ringstelle sich rasch abnutzt. Die Fal- 
tenbildung entsteht aber leicht bei Ringen von der Querschnitt- 
form Fig. G, wie auch in dieser Figur bei Fi F^ angedeutet ist 
Die Ringe von rechteckigem Querschnitte, wie Fig. 5, zeigen den 
Uelielstand nicht, und sind deshalb den ausgekehlten vorzuziehen. 




ZWEITER ABSCHNITT. 



HILFSLEHREIf AUS DER GRAPHOSTATIK. 



§.21. 

Vorbemerkungen. 

Das Gleichgewicht von Kräften an Punktsystemen lässt sich 
zeichnerisch dadurch darstellen, dassman die einander das Gleich- 
gewicht haltenden oder gleich wiegenden Kräfte* nach ihrer Rich- 
tung, Grösse und der Lage ihrer Richtungslinien als ge- 
rade Strecken aufträgt. Die Richtung einer Kraft wird durch die 
Winkel angegeben, welche ihre Richtungslinie mit den zu Grunde 
gelegten Goordinatenachsen einschliesst; die Länge der darstellen- 
den Strecke gibt die absolute Grösse der Kraft, angebrachte Pfeile 
deren Bewegungssinn oder Vorzeichen an, womit die algebraische 
Grösse vollständig wird; die Lage der Strecke im Coordinaten- 
system gibt endlich die noch erforderlichen Constanten für die 
Gleichung der Richtungslinie an. Vermöge dieser Darstellbarkeit 
von Kräften durch geometrische Grössen lassen sich die Aufgaben 
der Statik in solche der angewandten Geometrie verwandeln, und 
alsdann oft weit leichter lösen, als durch die Mittel der alge- 
braischen Analysis, namentlich in solchen Fällen, wo ohnedies 
die zu ermittelnden Grössen geometrische sind, und verzeichnet 
werden müssen. Man hat deshalb die allmählich sehr zahlreich 
gewordenen einschlagenden Verfahrungsweisen methodisch ge- 



>f Xultiplication von Strecken. 

«reihte. ;tad unter dem Namen graphische Statik, oder wie 
^'^i^ j^*^:!^ w^nfea soll« Graphostatik zusammengefasst '^). 
riM%«tf I^or^ »t üilr das Maschinen-Ent werfen sehr nützlich, und 
>$4 ^ ^T :jL:ttett fol^uden Behandlung der Maschinen-Elemente 
^'M'^^Si jo^^w-juidl Zur Sicherung des Verständnisses sollen hier 
<ifiY<^ lU:K^';sätze der graphostai^chen Methode in kurzer Fas- 
«iTT^ nv^iUhrt werden. 

Yo4t aer Graphostatik lassen sich ohne Zwang diejenigen 
M^Kvion abtrennen, welche für das graphisch auszuführende 
K^^iiT^en an sich gelten, wohei nämlich die in Rechnung kommen- 
<)en XVerthe nur in Bezug auf ihr Maass, z. B. Kräfte nur in Be- 
mf Aal ihn^ Wisse betrachtet werden, demnach auch anderes als 
Kr)ift^. überhaupt also Grössen darstellen. Es ist deshalb die 
rnt«rablheilung des graphischen Rechnens, Reissrechnens, 
<H)erder graphischen Arithmetik, Arithmographie, gemacht 
^i^vxlen "^^"^ In dem, was folgt, ist diese Abtrennung zwar nicht 
*cbarf hervorgehoben, aber immerhin eingehalten, indem nament- 
lich die ituerst mitgetheilten Sätze der reinen Arithmographie an- 
^s^oren. l^em Mechaniker ist ihr Studium und ihre Benutzung 
anfuempfehlcn , wie denn auch im Verlaufe des Buches mehr- 
<Äche .\nwondungen davon vorkommen. 

§. 22. 

Multiplication von Strecken. 

IMo beim graphischen Rechnen gebrauchten Strecken werden 
mit Zirkel und Maassstab gemessen, und sind alsdann in Bezug auf 
ihre (Jrösse je nach der zu Grunde gelegten Maasseinheit, Zoll, 
j^lillimoter, Decimeter, Quadratfuss, Kubikfuss, Geschwindigkeits- 
einhoit, Münzeinheit u. s. w. bequem ausdrückbar. Auch ist mit 
denselben Hilfsmitteln dasAddiren undSubtrahiren, durch An- 
odor Abtragen je nach dem Vorzeichen, leicht zu bewirken, und 

♦) Siehe Culmann, die praphifichc Statik, Zürich 1866, welches ver- 
tlieiwtvoUe Werk die Theorie der Graphostatik gibt und sehr reich an Auf- 
«l^lH>n und Anwendungen derselben auf die Werke dos Bau-Ingenieurs ist, 
uharhaupt diesen Wissenszweig für Deutschland zuerst zusammengefasst und 
in die Praxis eingeführt hat. 

♦♦) Siehe Dr. II. Eggers, Grdz. einer graph. Arithmetik, Schaffhausen 
lft>Ö; fern'^r Schlesinger, über Potenzcurven , Ztschr. des österr. Ing. u. 
Arch. Vereins ISOii, S. 156; auch E. Stamm, sul calcolo grafico, Kendiconti 
dol R« Istituto Loniburdo, Fase VI. 



Hilfslehren aus der Graphostatik. 71 

können also auf diese dem gewöhnlichen Zifferrechnen entspre- 
chende Weise Zahlen durch Strecken unschwer dargestellt wer- 
den! Nicht ganz so einfach zu übertragen ist das Multipliciren 
mit den so erhaltenen Grössen; mindestens bedarf dasselbe einer 
Erklärung. Wie aber alles Messen auf das Angeben des Verhält- 
nisses einer Grösse zu einer als Einheit gewählten Grösse hinaus- 
läuft, so wird beim graphischen Multipliciren die Auffindung sol- 
cher Strecken bezweckt, die zu einer als Einheit gewählten Strecke 
Verhältnisse besitzen, welche durch andere, mit derselben Einheit 
gemessene Strecken angegeben werden. Demnach heisst zwei 
Strecken a und b mit einander multipliciren , oder , genauer ge- 
sprochen, eine Strecke von der Länge a mit einer solchen von 
der Länge & multipliciren : eine Strecke x angeben, welche 
a X hmsil die Einheit enthält, mit welcher die beiden ge- 
gebenen Strecken (Factoren) gemessen sind. Dies lässt sich 
einfach und auf mancherlei Weise durch Anwendung ähnlicher Drei- 
ecke erzielen. Einige Arten der Multiplication seien hier vorgeführt. 
X Man mache OE^ Fig. 7, gleich der zu Grunde zu legen- 
den Einheit, errichte in E ein Perpendikel, schneide in dieses aus 
mit OB = 5, und in die Linie OE . . . mit OÄ = a ein, und 
ziehe aus Ä eine Parallele zu EB, so schneidet diese die Linie 
OB , . , in (7, und es ist C das gesuchte Product x. Denn es 



00 OB 



ist Tr-7 = 



d. i. X = 



ab 



da -B die Einheit ist. Dies Ver- 



0A~ OE' "" 1 

fahren setzt voraus, dass ein Factor (5) grösser als die Einheit sei. 
n. Fig. 8. Unter Beibehaltung des vorigen Verfahrens 
im übrigen kann EB auch schief statt senkrecht sluI OE stossen. 
Alsdann können beide Factoren kleiner als die Einheit sein. 



Fig. 7. 



Fig. 9. 





III. Man mache, Fig. 9, OE und OB wie vorhin, trage 
OÄ = a auf die Linie OB . . . , und ziehe Ä C so, dass ^ OÄG 
= Z. OEB^ d.h. dass Ä C antiparallel EB^ dann ist C das 
gesuchte Product x^ da die Dreiecke OEB und OÄ C ähnlich 



72 Multiplication von Strecken. 

sind. Die antiparallele Richtung findet man, indem man OE 
= OE, OE = OB und ÄC \\ EE zieht (Würde man das 
Dreieck BEE um eine durch BE gehende Achse nach reehis 
klappen, so würden die beiden Dreiecke BB'E' und BEE ein 
Parallelogramm bilden, woher die Bezeichnung antiparallel.) Am 
bequemsten ist es, wenn EB senkrecht auf OE steht, was aber 
nur geht, wenn 6 > 1 ist. 

IV. Man mache, Fig. 10, 0-E= der Einheit, trage auf OE... 
den Factor Oä = a auf, und errichte in E ein Perpendikel oder 
eine geneigte Linie, auf welcher man EB = h auftrage; zieht 
man dann (Jurch A eine Parallele zu EB, so schneidet die Ver- 
längerte OB . . . von dieser das Product AG = x ab, indem 
CA : OA = BE : OE, oder x : a =rb : l. a und h können 
kleiner oder grösser als 1 sein. — Macht man noch EBi ^= bi 
und zieht die OBi bis zum Schnitte Ci mit der Verlängerten (7-4, 
so ist ACi = Xi das Product von a und 5i , CCi also das Pro- 
duct von a mit BBi\ x -^ Xi = a (h -{- hi). Es kann mithin der 
Factor h, der mit a multiplicirt werden soll, auch zu beiden Sei- 
ten der Einheitslinie OE auf die Normale (oder Geneigte) BE ... 
getragen werden; das gesuchte Product ah = x wird dann auf 
der Parallelen zu 6, die auf der Einheitsliuie um a von absteht, 
von den beiden aus durch die Endpunkte von b gezogenen 
Strahlen abgeschnitten. 

V. Man mache, Fig. 11, OE = der Einheit, EB = dem 
Factor b, OB beliebig, nur < OE-^EB, ferner OA auf 0-B...= 
dem Factor a, und lege durch A eine Antiparallele zm EB (siehe 
bei IIL), so schneidet von dieser die OE ... das Product AC^=x 



Fig. 10. 



Fig. 11. 



Fig. 12. 





C 




ab. Denn es ist CA : OA = BE : OE, oder a: : a = 5 : 1- 
a und b können kleiner oder grösser als 1 sein. 

VI. Man mache wieder, Fig. 12, OE = 1, errichte in E ein 




Multiplication von Strecken. 73 

Perpendikel, mache EA = o, £J5 = 5, verbinde mit JB, ziehe 
BB* normal zu OB^ und lege durch Ä eine Parallele zur BB'j 
80 schneidet diese von der Verlängerung der OE das Stück EG 
= dem Product x ab. Denn es ist EG : EA = BE : OE^ oder 
X : a = h : 1. 

In Zeichnungen kommt es häufig vor, dass zu multiplicirende 
Strecken eine gegebene, zum graphischen Multipliciren schon 
brauchbare Lage haben, wenn dieselben auch nicht so bequem wie 
die bisher benutzten sind. Alsdann kann von folgenden Multi- 
plicationsweisen oft Gebrauch gemacht werden. 

VII. Fig. 13. 0A = a und B'B = h stehen senkrecht oder 
geneigt auf einander, so aber, dass B' zwischen und A fallt. 
Dann trage auf OA ... die Einheit OE auf, verbinde B mit E^ 
und lege durch A eine Parallele zu BE^ und. durch den Schnitt- 
punkt C der Parallelen und der Linie JB . . . die Parallele G(7 
zur Gegebenen JB^, so schneidet 0£... von der C(7... das Pro- 
duct CO = X ab. Denn es ist CO : OA = BB' : OE, oder 
X : a = h : 1. 

VIIL Fig. 14. Gegeben wie vorhin, OA = a und BJB'=5, 
senkrecht oder geneigt zu OA. Dann trage OE = der Einheit 
von aus parallel znBB' auf, verbinde -B mit -4, und ziehe durch 
B eine Parallele zu EA, so schneidet diese die OA ... in C ein 
und es ist B* C das Product x. Denn man hat B' C : B'B = OA 
: 0-B, oder x : b = a : i. 



Fig. 13. 



Fig. 14. 



Fig. 15. 




^ o 




IX. Fig. 15. Gegeben wie vorhin AA' = a, und senkrecht 
dazu B'B = 5, so ziehe AB ... bis zum Schnitt E mit einer 
von AA' um die Einheit OE abstehenden Parallelen zu AA\ 
falle das Loth EO, welches dann = der Einheit ist, ziehe EA' 
und zu diesem parallel eine Gerade durch jB, so schneidet diese 
von der AA' das Product AC = x ab. Denn es ist AG : CB 



74 Multiplication von Strecken. 

= ^^' : Ä'E, also auch Ä C : B'B == ÄÄ' : EOy oder x : h 
= a : 1. 

X. Fig. 16. Gegeben ÄÄ' = a, und BO = h senkrecht zu 
ÄÄ'. Dann schneide mit der ZirkelöflFnung OE = der Einheit 
aus in ÄÄ' ein, ziehe durch Ä' eine Parallele zu OE^ durch Ä 
eine Normale dazu, so schneiden diese einander in (7, und es ist 
Ä C das Product x. Denn, da der Winkel CA Ä' = BOE, bo ist 
Ä G : ÄÄ' = OB : OE, oder x : a = h : l. Die Strecke ^^' 
wurde hfer auf eine zu OE senkrechte Linie projicirt Eine 
solche Projection bezeichnet man*) kurz als Antiprojection 
von ÄÄ' auf OK 

XI. Fig. 17. Wenn die Gegebenen a und 5 einander recht- 

Fig. 17. 





winklig schneiden, wie AAl-=a und JB0=5, so ziehe durch B 
eine Parallele zu AÄ , schneide aus mit der Zirkelöffiiung 
OE = der Einheit iu BE , . . ein, mache A' C parallel E und 
A G normal A' C, so ist A C das Product x. Denn, da die Win- 
kel bei E und A' gleich sind, hat man A C : AA! = OB : OE, 
oder X : a = b : l. 

Die auf die angeführten oder noch andere Arten ausgeführte 
Multiplication lässt sich auch mehrfach anwenden, indem man 
das für zwei Factoren benutzte Verfahren wiederholt oder auch 
danach eines der anderen anwendet. 

Soll z. B. das Product a . b . c dreier Strecken gefunden wer- 
den, so ermittelt man zuerst etwa nach (I.) das Product Xi = ab, 
Fig. 18 (a. f. S.), klappt OC — ah nach OC auf 0^ . . ., trägt 
aus die OD = c auf, errichtet in C" ein Perpendikel und ver- 
längert OD bis zum Schnitte F mit G'F, worauf OF das gesuchte 



^) Siebe Culmann's graphische Statik. 



■N 



Division von Strecken. 75 

Product X = ahe ist Oder man macht, Fig. 19, nach Aaffin- 
dong von OC = ab, die Strecke .Si)=:c (nach IV.) und verlängert 
Fig. 18. Fig. 19. 




OD . . . his zum Schnitte F mit ränem Perpendikel ia C, wor- 
anf (7F = x n. e. w. 



§. 23. 
Division von Strecken. 

Die Division kann als Umkebrang der Mnltiplication sofort 
aas dem Gegebenen abgeleitet werden. Beim graphischen Divi- 
diren einer Strecke a durch eine Strecke b hat man eine dritte 

Strecke x anzugeben, welche T-°t^l ^'^ Einheit der a und 

b enthält. Aus den oben behandelten Aufgaben gehen n. a. die 
folgenden Divisionsarten hervor. 

I. Man mache, Fig. 20 (a. f. S.), OE = der Einheit, errichte 
in E eine Senkrechte (oder eine geneigte Linie), schneide mit dem 
Divisor OB = b in dieselbe ein, ziehe OS... und mache 
OA^äem Dividenden a. Wird darauf durch Ä eine Pa« 
rallele zu BE gezogen, so schneidet diese von der OE . . . den 
Quotienten OC = x ab. Denn ee ist: OC : OE = OA : OB, 

d. i. X : l := a : b, oder x = —• 



II. Man mache OE, Fig. 21 (a. f. S.), = der Einheit, ferner auf 
OE ... die Strecke OB = dem Divisor b, errichte in B ein 
Perpendikel, und schneide in dasselbe aus mit OA = dem 
Dividenden a ein. Wird dann in E eine Senkrechte errichtet, so 
schneidet diese von der OA . . . den Quotienten OC ^ x ab; 
denn es ist wieder C : OE = OA : OB, oder a: : 1 = a : &. 



76 

die OE 



Multiplication und Division. 

Macht man, Fig. 22, OB = dem Divisor 5, auf OB . . . 
= 1, senkrecht auf OB die AB =2 dem Dividenden o^ 



Fig. 20. 



Fig. 21. 



Fig. 22. 




zieht 0^, und errichtet in E ein Perpendikel auf OE^ so wird 
von diesem durch die OA . , , der Quotient EC = x abgeschnit- 
ten. Denn es ist EC : OE = AB : OB^ oder a; : 1 = a : 6 

U. 8. W. *). 



§. 24. 

Multiplication verbunden mit Division. 



Wenn man eine Zahl a mit einem Bruche — zu multipliciren 

hat, so ist eine Multiplication von a mit b und eine Division von 
a . h durch c vorzunehmen, um das Resultat x zu finden. Bedenkt 

man aber, dass für x = — zu schreiben ist x : a = h : c* sieht 

c 

man ein, dass die Operationen dadurch vereinigt werden können, 

dass man bei einem Multiplicationsverfahren statt der Einheit OE 

den Nenner c aufträgt. Es wird dann die Strecke a statt mit 

h h 

dem Verhältniss — mit demjenigen — multiplicirt. Das Folgende 

X c 

wird zur völligen Erläuterung genügen. 

I. Um eine Strecke a mit dem Bruche — zu multipliciren, 

c 

mache man, Fig. 23 (a. f. S.), 0A = a, OE auf 0-4 . . . gleich 



*) Wegen anderer Regeldetri- Verfahren , z? B. Aufsuchung des gemein- 
schaftlichen Nenners, Zählers u. s. f. ist das obenangemerkte empfehleuswerthe 
Schriftchen von Eggers nachzusehen. 




Multiplication und Division. 77 

dem Nenner c, errichte in E ein Perpendikel auf OJE, in welches 

man mit OB =^ h aus einschneide, ziehe die OB . . ., und lege 

durch Ä eine Parallele zu EBy so schneidet dieselbe von der 

OB . . . den Quotienten C = a; ab. Denn es ist OC : OB =: 

tt h 

OÄ : OE, oder x : h = a : c. d. i. a; = 

c 

II. Soll das Product -^ erhalten werden, so mache man 

Fig. 24, 0^ = o, auf OÄ . . . die OE = 2 mal der Einheit oder 

Fig. 23. Fig. 24. 

C 





= 2^ EB = 1 senkrecht zu OJE?, lege durch Ä eine Parallele 
zu EB^ und ziehe die OB . • ., so schneidet diese von der AG... 
das gesuchte Product ÄC =z x ab. Denn es ist ÄC: 0A = 

BE : OE, oder x : a= 5:2, d. h. a; = -jr-- 

Das hier angegebene Verfahren, welches auf sämmtliche Mnl- 
tiplicationsarten in §. 22 sofort angewandt werden kann, bietet 
beim Berechnen von Flächeninhalten sehr gute Dienste , wie so- 
fort gezeigt werden soll. 



§. 25. 

Flächeninhalt des Dreiecks. 

Der Inhalt eines Dreieckes als halbes Product aus Grund- 
linie und Höhe ist nach dem vorigen Paragraphen sehr leicht 
graphisch zu berechnen. 

I. Fig. 25. Nachdem man eine Seite OB = h des auszu- 
messenden Dreieckes AB als Grundlinie gewählt hat, wobei 
das Loth AA' = der Höhe h nicht gezogen zu werden braucht, 
trägt man auf OB die Strecke OE = 2 Einheiten (Zoll, Deci- 
meter eta) ab, verbindet (oder denkt verbunden) A mit E^ und zieht 



78 Bestimmung des FlächeniDhalts. 

durch B eine Parallele zu EA bis zum Schnitte C mit der ver- 
längerten b J. . . ., so ist das aus G gefällte Loth CC (nach YIL, 

§. 22, und U., §. 24) das Product -^ , also der Inhalt / des Drei- 

eckes. 

II. Fig. 26. Trage an das Ende der Grundlinie OB =^h 

Fig. 25. ' Fig. 26. 





senkrecht zu ihr die OJ? = 2 Einheiten auf, falle das Höhenloth 
AA' = h^ und ziehe durch A eine Parallele zu EB^ so schneidet 
diese von der Grundlinie OB . . . das Stück A' C sh, welches das 

Product / = ^ ist (Bew. §. 22, VHI., und §. 24, IL). 

III. Verlängere die Grundlinie B G und die Seite BA des 
Dreieckes ABC^ Fig. 27, bis diese Linien die dem Höhenloth 
• h = AA' parallele OE = 2 Einheiten zwischen sich fassen, ver- 
binde E mit G und ziehe durch A eine Parallele zu EG^ so 
schneidet diese von der Grundlinie das Stück J?2) ab, welches 



das Product / = 
IM. 



^ ist (Bew. §. 22, IX., und §. 24, IL). 
Schneide aus dem Scheitel des Dreieckes AOB, 

Fig. 27. Fig. 28. 





Fig. 28, mit der ZirkelöflFnung OE = 2 Einheiten in die gegen- 
überliegende Seite AB = b ein und antiprojicire die Grundlinie 



BestimmuDg des FUcheniiihaltes. 79 

AB auf die OE durch Ziehung der zu OE parallelen BC . . . 
und der zu ihr normalen XC, so ist letztere das Product/ aus der 
Grundlinie b und der Hälfte der Höhe h^ 00', also der Flächen- 
inhalt des Dreieckes (Bew. g. 22, X., und §. 24, H.)- 

War die Einheit 1 Zoll, so gibt das Maaes von /, in Zollen 
ermittelt, die Zahl der Quadratzolle an, welche die Dreieckfläche 
enthält, bei Decimeter gibt es Quadratdecimeter u. s. f. Wäre 
/= Vb Zoll, so hätte das Dreieck VeC^Zoll Inhalt; wäre / bei 
der Einheit Decimeter 72 Millimeter gross ausgefallen, so wäre 
der Dreieckidhalt 0,72 Quadratdecimeter, oder 0,72 . 10000 = 
72000™. 

§.26. 

Fläoheninbalt des Vierecks. 

Beim Viereck ist der Flächeninhalt entweder direkt bestimm- 
bar, wie beim Parallelogramm, oder man kann es in Dreiecke 
zerlegen, die man einzeln oder zusammen misst, oder aber man 
verwandelt das Viereck in ein gleichgrosses Dreieck. 

L Ausmessung des Parallelogramms AB CO, Fig. 29. Die 
Seite OA als Grundlinie betrachtend, macht man 0£:=der Ein- 
heit, errichtet das Perpendikel EE' = h und multiplicirt (wie in 
IV. §. 22) durch Ziehung der OE" . . . und des Perpendikels in 
A, dessen Abschnitt AD dann der Inhalt/ ^ bh ist. 
Fig. 29. Fig. 30. 





H. Das Viereck ABCO, Fig. 30, ist durch Ziehung der 
Eur Diagonale OB parallelen CA' ... bis zum Schnitte mit der 
TerlSogerten Grundlinie AB . . . leicht in ein Dreieck Terwandelt, 
da A OB C = A OBA'. Es kann nunmehr nach IV. §. 25 Ter- 



80 Fläcbeuinhalte ebener Figuren. 

fahren, nämlich 0E = 2 und AD = der Antiprojection der AA' 

auf OE gemocht werden, worauf AD =/. 

III. Fig. 31. Die Diagonale J. C = b theilt das Viereck 
AB CO in zwei Dreiecke, deren Höhen die Summe 0(/ = der 
Antiprojection der OB aaf AC haben. Die Multiplication von 

00' mit 5" kann nun sofort nach XL §. 22 und II. §. 24 »orge- 

nommen werden, indem man ffBE. . . parallel A C zieht, 0E:= 2 
macht, AD \\E0 und CD normal AD zieht, worauf CD das ge- 
suchte Product/= dem Inhalte des Viereckes ist. ' 



Fig. 31. 



Fig. S2. 




IV. Fig. 32. Das Viereck AB CO kann anch anf ein Dreieck 
Ton der Höbe 2 gebracht werden, worauf dann die Grundlinie 

das Product -^ ist. Beschreibe um einen Kreis mit dem Halb- 
messer OE = 2, und lege an denselben eine Tuigente, welche 
darch die gegenüberliegende Ecke gebt. Ziehe darauf durch 
die beiden anderen Ecken A und C Parallelen zur Diagonalen 
OB, so schneiden diese von der genannten Tangente das Stück 
A'O ab. Dieses ist, die Basis des dem Viereck .45 00 inhalt- 
gleichen Dreiecks A'OC und hat die Grösse / = dem Inhalt 
dieses Dreieckes. 

Mit der einen oder anderen der hier gegebenen Methoden 
kann man die vorkommenden praktischen Aufgaben jederzeit 
lösen. 



§■27. 

Fl&cheninlialt ron Polygonen. 

Zur Atismessung von Polygonen bedient man sich der Verwand- 
lung derselben in Dreiecke. Diese geschieht anf folgende Weise. 



Fläclieninhalte. Potenzen. 



81 



Aus einer Ecke des Polygona OABCDE, Fig. 33, ziehe 
die Di&gonale OB, welche mit dem nächsten Eckpunkte ver- 
bindet, lege parallel dazu eine Gerade durch den zwischen und 
B befindlichen Eckpunkt und verlängere die dritte Seite CB bis 
zum Schnitte B^ mit der genannten Parallelen; verbindet man 
dann mit B , so ist, da i\, OBB" = £i OBA, daa Vieleck 
OB'CDE inhaltgleich mit ursprünglichen, hat aber eine Ecke 
weniger. Man ziehe nun OCund durch B' die £'(7 || OC u. s. f., 
auch an der anderen Seite von kann so verfahren werden, wor- 
auf schliesBlich ein Dreieck CB' erhalten wird , welches dem 
Polygon inhattgleich ist, und leicht nach dem Früheren auszu- 
messen ist Die unbenutzten Verbindungslinien OB' u. s. w. brau- 
chen nicht gezogen zu werden. Daa Verfahren eignet sich , wie 
Gulmann hervorbebt und allgemeiner ausfuhrt, trefflich liir die 
Ausmessung von Bahn- und Strassenprofilen. 



Fig. 33. 



Fift. 34. 





Kegelmässige Polygone, wie das Sechseck in Fig. 34, brau- 
chen nur zur Hälfte verwandelt zu werden, worauf sie wie Pa- 
rallelogramme auegemessen werden können. 



Potenziren von Strecken. 



Eine Strecke a io die ntePoteuz erheben heisst eineStrecke 
X angeben, welche die Einheit von a so oft enthält, als 
die nie Potenz von a angibt, oder welche a" Einheiten der o 
lang ist Daa hierfür uötbige Verfahren lässt sich, wenn n eine 
ganze, übrigens positive oder negative Zahl ist, sofort aus der gra- 
phischen Mnltiplication und Division ableiten, indem es als eine 
wiederholte Multiplication oder Division von amit a aufzufassen ist. 



62 Poteoziren. 

Auch dieses Verfahren ist, enteprecheud den früher aafgezedgtea 

Mannigfaltigkeiten , anf mancherlei Terschiedene Weisen ans- 

führbar. 

I. (Siehe §. 22, I.) Man mache OE, Fig. 35, =: der Ein- 
heit, errichte in E ein Perpendikel und schneide in dasselbe aus 
Fig. 35. 




mit OAi ^^dem Grundfacfor a ein, mache OBi auf der OE-.- 
ebenfalls = a, und errichte in B, ein Perpendikel, so schneidet 
dieses die verlängerte OA, in A-,, und es ist (nach I. %. 22) OAj 
= a*. Dieses nach OB., niederklappend, und das Perpendikel 
B^Ag ziehend, erhält man in OÄ^ den Wertb a', and so fort- 
fahrend in 0B^ den Werth a', in OBi den o* u. s. f. Ueber- 
haupt wird, wenn 0B„ auf OE . . . eine beliebige, z. B. die mte 
Potenz Ton a ist, durch das Perpendikel in B„ von der OAi . . . 
die t» -)- 1 te Potenz von a in dem StUcke OA„^.i abgeschnitten. 
Umgekehrt wird durch ein Loth aus dem Endpunkte A„^j einer 
Potenz von a auf die Achse OE . . . von dieser ein Stück OB« ab- 
geschnitten, welches die um 1 verminderte Potenz von a ist (vergL 
die Divisionsregel in I. §. 23), 

Hieraus folgt ferner, dass das Loth A, E aus Ay auf OE . . . 
die Potenz a' auf a°, d. i. 1 bringt, wie auch durch die Voraus- 
setzung klar. Trägt man nun wieder OE nach 0A^) und fällt 

ein Loth AdB-j, so ist OB^i = a-' oder — , d.i. der reziproke 

Werth von OA,; so fortfahrend erhält man in OB-3 den Werth 

~, in OB..3 den Werth ~. u. b. f. 

II. Durch Verbindung der MultipHcationsregeln L und III. 
§. 22 erhält man folgendes Potenzirverfahren. Man mache 
wieder, Fig. 36 OE=i, OA, =0, EAi senkrecht zn OE, 
und ziehe durch J, eine Senkrechte auf OAi, so schneidet 



Potenziren. 83 

diese die OE ... in A^, and es ist OA3 ;= a''; in Aj ein Perpen- 
dikel bis zum Schnitte At mit OAi . . . errichtend, erliält man 

Fig, 36. 




OA3 =,a*, darauf durch ein weiteres Perpendikel auf OAi in 
OA4 den Werth a*, und so fortfahrend aaf der ^chse OE . . . 
die geraden, auf OAi ... die ungeraden, and zvar beidemal positiven 
Potenzen von a. Von E aus rückwärts schreitend erhält man in 

OA—i die Reziproke von 0, in OA—3 den Werth — , und so fort- 
fahrend aufO^t... die ungeraden negativen, anf 0^... die gera- 
den negativen Potenzen von a. 

Die beiden vorstehenden Verfahren setzen voraas, dass a!>l 
Bei; bei den beiden folgenden ist dagegen a •< 1 vorausgesetzt 

III. Nachdem OE, Fig. 37, gleich der Einheit gemacht, trage 
man OA =: a so auf, dass AE senkrecht zu OA steht Zieht 
man dann das Loth E\, das Gegenloth I 2, dann Lotli 2 3, Ge- 

genloth 3 4 u. 8. w., so ist: 01 = -, 02 = -=, 03 = 4u.8. £ 

Fig. 37. Fig. 38. 




Von E aus nach links schreitend und abwechselnd Perpendikel 
nnd Gegenperpendikel ziehend, erhält man die Werthe: — 2 



84 



Potenzii'en. 



= a', — 3 = a', — 4 = a* u. 8. w., hier also links die 
positiven, rechts die negativen Potenzen von a (Bew. s. IIL §. 22, 
auch aus dem obigen Verfahren IL zu entnehmen). 

Die Constructionslinien, welche im Zickzack zwischen den 
Achsen hin- und hergehen , haben auch ein nach Potenzen fort- 
schreitendes Wachsthum, welches man auf folgende Weise be- 
nutzen kann. 

IV. Man mache OE, Fig. 38, = 1, 0-4 = a und Winkel 
OÄE = 90<>, ferner OB senkrecht zu 0-B und verlängere EÄ 
sowohl bis zum Schnitte J?, als rückwärts (vergL die Punktirung 
in Fig. 37). Zieht man nun wieder nach rück- und vorwärts die 
Lothe und Gegenlothe wie vorhin, so hat man folgende Werthe: 
0w4 = a, ^2 = a«, 2 3 = a« u. s. f., ferner 0-E == a», -B — 1 

= a-i =-, — 1 — 2 = 1, - 



a 



a» 



1 

2 — 3 = -5 u. B. w. 



V. Das folgende Verfahren ist für beliebige Werthe von o, 
seien sie > oder < 1, anwendbar. Man mache OE^ Fig. 39, 
auf der Achse XOX gleich der Einheit, errichte in ein Per- 
pendikel YO Z, schneide auf demselben OÄ = a ab, und ziehe 
(oder denke gezogen) die EA. Zieht man alsdann die ^2 nor- 
mal zu EÄ , so ist der erhaltene Abschnitt 2 auf der X-Achse 

Fig. 89. 




der Werth a«; wird dann 2 3 senkrecht zu J.2 gezogen, so er- 
gibt sich in dem Abschnitt 03 auf der T-Aclise der Werth a», 
und so fortfahrend erhält man auf der X-Achse a*, über- 
haupt auf dieser die geraden, auf der Z-Achse die unge- 



■^ 



Potenziren. 



85 



raden positiven Potenzen von a. Beim Rückwärtsverfolgen des 
spiraligen Streckenzuges vermindert sich der Exponent je um 1 
beim üebergang von einer auf die andere Achse. Von Ä nach 
E üahrend, erhält man in EO den Werth a® = 1, darauf in 

— 1 den Werth — , darauf die Werthe ~, — u.8.w.(Bew.:Mult. 

VI. §. 22). Dieses Verfahren ist sehr geeignet für einzelne Poten- 
zirungen an dargestellten, in einer Zeichnung vorkommenden 
Grössen. 



§. 29. 

Potenziren der trigonometrischen Functionen. 

Die soeben besprochenen Potenzirungsmethoden lassen sich 
bequem zur Bildung der Potenzen der trigonometrischen Func- 
tionen benutzen, worauf wegen der Anschaulichkeit der sich dar- 
stellenden Fortschreitungen aufmerksam gemacht zu werden ver- 
dient. 

L Potenzjen des Cosinus und Sinus. Mache OJ?, Fig.40, 

Fig. 40. Fig. 41. 





= 1, Winkel EOÄ = dem Winkel y, dessen trigonometrische 
Functionen potenzirt werden sollen, EÄ senkrecht zu OÄ . . . 
Zieht man dann die Lothe und Gegenlothe ^2, 2 3, 34 u. s. w., 
ferner E — 1 , — 1 — 2 u. s. f., so hat man: OÄ = cosqp, 02 



86 



Wurzelausziehen. 



= cos^g>, 03 = cos^w. 04 = cos^cp; — 1 = , 0—2 = 

— -— u. 8. w. Zieht man die Lothe und Gegenlothe Ä IL, IL III., 
cos^ q> 

IIL IV. ..., — L, — I. — IL u. 8. w., 80 hat man: AE=sinq>^ 

AlL, = sin^q), IL IIL = sin^q)^ III. IV. = $in^q> . . ., — L = 

— , I. — IL = -r— ; — U. 8. f. 

stnq> sin^ q) 

IL Potenzen der Tangenten und Gotangenten. Mache, 
Fig. 41 , J? = der Einheit und Winkel OEÄ = tp. Zieht man 
darauf von A vorwärts und rückwärts die Wechsellothe wie bei 
V. §.28, so erhält man die folgenden Werthe: OA :=tang(p^ 
02 = tang^q)^ 03 = tang^q) u. s. £, OE = 1 = tang^q)^ — 1 
= cotang q>^ — 2 = cotang^ q) u. s. w. 

Die Convergenz und Divergenz der hier so einfach darstell- 
baren Potenzenfolgen wird durch die Zeichnung, wie man sieht, 
sehr übersichtlich gemacht. 



§. 30. 

Wurzelausziehen. 



Das Ausziehen der Quadratwurzel ist graphisch leicht zu be- 
wirken, indem Va als mittlere Proportionale zwischen a und 1 
auf mancherlei Art bequem zu verzeichnen ist. Auch lassen sich 
aus den oben angegebenen Potenzirungsmethoden die des Quadrat- 
wurzelziehens, deren hier drei stehen mögen, unschwer ableiten. 

I. Man mache, Fig. 42, OE = der Einheit, OA = a^ 



Fig. 42. 



Fig. 43. 



Fig. 44. 






schlage einen Halbkreis über OA^ errichte in E ein Loth, welches 
in C von dem Halbkreise geschnitten wird , und ziehe (7, so ist 



Wurzelausziehen. 87 

OC die gesuchte Orösse x = Va (siehe §. 28). Hierbei ist a> 1, 
im folgenden Verfahren dagegen a << 1 vorausgesetzt. 

IL Mache, Fig. 43, OE = l, OÄ = a, schlage einen 
Halbkreis über 0-E, errichte in Ä ein Loth, und ziehe nach dem 
Schnitte C des Halbkreises mit dem Lothe die 0(7, so ist diese 

die gesuchte Grösse x = Va, 

UI. Mache, Fig. 44, 0J5=1, und auf der verlängerten 
OE ... die Strecke EÄ = a, schlage über OÄ einen Halbkreis, 
und errichte in E ein Loth, so schneidet dieses den Halbkreis in 

C, und es ist EC der gesuchte Werth x = Va, 

Das Ausziehen der vierten Wurzel kann durch zweimalige 
Ausziehung der Quadratwurzel geschehen , überhaupt dieses Ver- 
fahren auf Halbirung des Exponenten eines Radicanden ange- 
wandt werden. Schwieriger dagegen ist die Ausziehung der drit- 
ten, fünften u. s. w. Wurzel, überhaupt der auf dem soeben erläu- 
terten Wege nicht erhaltbaren Wurzeln aus Strecken. Gulmann 
in seinem angeführten Werke nimmt dabei die logarithmische 
Spirale zu Hilfe, Schlesinger (siehe oben) benutzt eine nach 
dem Verfahren in §. 28 verzeichenbare Schaar von Curven 
(^Potenzcurven^); andere immerhin nicht ganz einfache Verfah- 
ruDgsweisen sind in den angeführten Quellen angegeben, worauf 
deshalb verwiesen wird. Hier soll nicht weiter auf dieselben ein- 
gegangen werden, da in den später zu behandelnden Aufgaben 
davon keine Anwendung gemacht wird. 

§. 3L 

Das Addiren und Subtrahiren von Kräften. 

Bei den bisher vorgenommenen rechnerischen Operationen an 
Strecken wurde nur deren absolute Grösse oder Maass ins Auge 
gefasst, aber nicht berücksichtigt, welche Richtung die Strecken 
in der Ebene oder im Raum etwa hatten, noch auch welche be- 
stimmten Punkte der Ebene oder des Raumes den Strecken an- 
gehörten, d.h. welche Lage sie einzunehmen bestimmt sein möch- 
ten. Diese weiteren Eigenschaften sind aber bei Betrachtung 
des Gleichgewichtes von Kräften in Betracht zu ziehen , wozu die 
folgenden Untersuchungen und Aufgaben Anleitung geben. W^ir 
gehen demnach jetzt von den bloss arithmographischen zu den 
graphostatischen Methoden über. 



88 



Addiren und Subtrahiren von Kräften. 



Wenn mehrere Kräfte auf einen Punkt wirken oder ein 
Kraftbüschel bilden, so lässt sich deren Gesammtwirkung auf den 
Punkt durch Addition der Projectionen der die Kräfte dar- 
stellenden Strecken auf die Goordinatenachsen erhalten. Diese 
Addition der Projectionen der Kräfte auf zeichnerischem Wege 
nennt man das graphische Addiren der Kräfte. Die Summe wird 
erhalten, wenn man die Kräfte, gleichviel ob sie in der Ebene 
wirken oder nicht, ihrer Richtung und Grösse nach Ende an Ende 
so aufträgt , dass in dem entstehenden Polygon ein den Pfeilrich- 
tungen folgender Punkt alle Seiten durchläuft, ohne eine Seite 
zweimal zu befahren. Sind die Kräfte, z. B. 1, 2, 3 bis 6, Fig. 45, 

Fig. 45. Fig. 46. 





4 



an im Gleichgewicht, so ist die Summe ihrer Projectionen 
= Null, das aus den Strecken l bis 6 gebildete Polygon, Fig. 46, 
geschlossen. Der beim Addiren von Kräften zu bildende Linien- 
zug heisst Kräftepolygon. Die Ordnung, in welcher man im 
Kräftepolygon die Kräfte aufeinander folgen lässt, ist gleichgültig; 
so kann in Fig. 46 der Zug 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder der Zug 1, 3, 4, 6, 5, 2 
u. s. w. gewählt werden, ohne dass dadurch das Ergebniss ge- 
ändert wird. 

Das Subtrahiren von Kräften ist wie arithmetisch, so auch 
graphisch eine Umkehrung des Addirens, und wird durch Um- 
kehren der Pfeilrichtungen der abzuziehenden Kräfte, die alsdann 
wie oben addirt werden, bewirkt. Für die Graphostatik eignen 
sich recht eigentlich nur ebene Kräftepolygone, weshalb man un- 
ebene auf ebene zurückzuführen hat, was durch passende Kräfte- 
zerlegung geschieht. Die vorstehend erklärte Addition und Sub- 
traction von Strecken, welche Kräfte darstellen, aber auch andere 
Dinge darstellen könnten, heisst die geometrische Addition und 




Mittelkraft eines Kraftbüscbels. 89 

Subtraction. Ibr scbliesst sieb die geometriscbe Multiplication 
und Division ebenso an, wie oben die aritbmograpbischen Verfah- 
rungsweisen sich aneinander reiben. Doeb wird auf diese, bier 
später nicbt benutzten Metboden, welcbe übrigens das grösste 
Interesse des Geometers verdienen, nicht eingegangen. 

§. 32. 

Besultirende oder Mittelkraft eines Kraftbüschels. 

Wenn ein Ej:äftepolygon für ein Kraftbüschel, z. B. das der 

Kräfte 1 bis 5, Fig. 47, nicbt geschlossen ist, so herscbt im An- 

Fig. 47. 





griffspunkt kein Gleichgewicht. Um dasselbe herbeizuführen, 
ist im Angriffpunkt noch eine Kraft 6 zuzufügen, welcbe nach 
Richtung und Grösse durch die Schlusslinie 5,6 des Polygons an- 
gegeben wird. Mit dieser Kraft sind die übrigen alsdann im 
Gleichgewicht; sie haben daher eine Mittelkraft JR, welche der 
durch die Schlusslinie angegebenen an Richtung und absoluter 
Grösse gleich, an algebraischer Grösse oder Vorzeichen aber 
entgegengesetzt, also mit entgegengestelltem Pfeil zu bezeich- 
nen ist. Hiernach ist im geschlossenen Kräftepolygon jede ein- 
zelne Kraft die Resultirende oder Mittelkraft aller übrigen nach 
Richtung und absoluter Grösse, derselben aber im Bewegungs- 
sinne entgegengerichtet. Im nicht geschlossenen Polygon ist die 
noch zuzufügende Schlusslinie, versehen mit einem dem Pfeilzuge 
entgegengerichteten Pfeile, die Mittelkraft. So ist in Fig. 47 ^2 
die Mittelkraft von 1 und 2, wie auch von 3, 4, 5 und 6, ferner 1 3 die 
Resultirende von 2 und 3, wie auch von 4, 5, 6 und 1 u. s. w. *). 



*) Die hier nur von dargestellten Kräften ausgesagten Eigenschaften 
gelten anch von anderen Grössen, welche die Merkmale, Richtung und 



90 Seilpolygon, Stützlinie, Gelenkpolygon. 

§.33. 

Zerstreut wirkende Kräfte in der Ebene. Seilpolygon. 



Wenn die Richtungslinien von Kräften, welche an einem Kör- 
per sich das Gleichgewicht halten, einander nicjit in einem Punkte 
schneiden, was sehr leicht eintreten kann, da sie bei der Anzahl n 

fi 
bis zu -r- (n — 1) Schnittpunkte haben können, so kann die obige 

Darstellung nicht ohne weiteres angewandt werden, doch lässt sich 
dieser mehr verwickelte Fall auf den einfachen zurückführen. Zu 
dem Ende denken wir uns, indem wir vorläufig wieder alle Kräfte 
in einer Ebene wirkend voraussetzen wollen, den Körper durch ein 
System von geradlinigen festen Gebilden ersetzt, welche, von einer 
Kraft zur anderen gehend, ein Polygon bilden, dabei sowohl Zug- 
ais Druckkräften (in ihrer Richtung) widerstehen können, und so 
gerichtet und gelegen sind, dass jede der einzelnen Kräfte im Gleich- 
gewicht mit den beiden Kräften ist, welche, in den genannten Po- 
lygonseiten wirkend, mit ihr an einem Punkte angreifen. Da& so 
gebildete Polygon, Fig. 48, führt den Namen Seilpolygon, bei 
Gewölben Stützlinie oder Drucklinie, weil dort die Verbindungs- 
geraden vorzugsweise auf Druck beansprucht sind, kann auch all- 
gemein Gelenkpolygon genannt werden*). 

Die Polygonecken K heissen Knoten. Das Gelenkpolygon 
kann für die Untersuchung der Kräfte nach dem Vorigen den 
Körper dann vertreten, wenn zwischen den äusseren Kräften 
einerseits und den Anspannungen in den Polygonseiten anderer- 
seits an jedem Knoten Gleichgewicht herrscht, z. B. in dem Kno- 
ten ^2, wenn die Kräfte ^i.^ und S^^z zur Resultante eine 
Kraft haben, welche P2 gleich an Grösse und Richtungswinkel, 



Grösse besitzen , so von Geschwindigkeiten , die virtuellen eingeschlossen, 
femer von Wegen nach bestimmten Punkten, von den Linien, welche die 
Mittelpunkte der Steine eines Gewölbes verbinden u. s. w. Sie lassen sich 
auch figürlich verwenden; wissenschaftliche Erörterungen sind oft gleich- 
sam Polygone von Schlüssen, gemacht, um die Schliessungslinie, das Neue, 
das Resultat zu erhalten. 

*) Das Wort Gelenk in dem Sinne des englischen link genommen, 
ein starres, an beiden Enden beweglich an andere angefügtes Stück, für 
welches uns, wie mir scheint, ein ganz guter Name fehlt. 




Aeussere Kräfte am Seilpolygon. 91 

entgegengesetzt an Bewegungssinn ist. Die Kräfte in den Po- 
lygonseiten mögen die inneren Kräfte des Gelenkpolygons heissen. 

Fig. 48. 
5 ^P« 




Ist das Seilpolygon bekannt, so können die obigen graphischen 
Mittel auf die Ermittlung der Kraftgrössen angewandt werden. 
Wir haben demnach, um zu dem Seilpolygon für einen bestimm- 
ten Fall zu gelangen, die Bedingungen aufzusuchen für das Gleich- 
gewicht 

1) der äusseren Kräfte, 

2) der inneren Kräfte 

des Polygons unter der Voraussetzung, dass zwischen beiden 
Gleichgewicht bestehe. 

§.34. 

Gleichgewicht der äusseren Kräfte am Seilpolygon. 

Setzt man die Kraft Pi mit Ps zusammen, und vereinigt 
deren Mittelkraft unter passender Verlegung auf ihrer Bichtungs- 
linie mit P3, die dann erhaltene Mittelkraft mit P4 u. s. w., so 
muss für den Fall, dass Gleichgewicht besteht, die Mittelkraft, 
welche bei der vorletzten Kraft P„-i erhalten wird, der letzten 
Kraft P„ gleich und entgegengesetzt sein. Das hier eingeschlagene 
Verfahren erleidet aber keine Veränderung, so l^pge nur die 
Richtungen und Grössen der Kräfte unverändert bleiben. Man 
kann daher die Abstände der Schnittpunkte der einzelnen Kräfte 
auch = Null voraussetzen, ohne hinsichtlich des Gleichgewichts 



92 Anwendung des Eräftepolygons. 

der äusseren Kräfte etwas zu ändern. Das Zusammensetzen der 
Kräfte erfolgt aber dann gerade so wie oben für den Fall, dass 
die Kräfte alle an einem Punkte angreifen , und kann ohne weite- 
res durch Auftragung eines Kräftepolygons, aus den äusseren 
Kräften bestehend, erfolgen. Das Kräftepolygon bestimmt also 
auch für getrennt angreifende Kräfte das Gleichgewicht. Das 
Polygon ist geschlossen, wenn Gleichgewicht stattfindet, oder gibt 
die Mittelkraft nach Grösse und Richtung an, wenn kein Gleich- 
gewicht herschte, beziehlich die dasselbe herbeiführende Kraft 
noch unbekannt war. Es sind somit zwei Unbekannte durch das 
Seilpolygon bestimmbar. Diese lassen sich auch auf zwei Kräfte 
vertheilen, also beider Kräfte Richtung oder beider Kräfte Grösse 
voraussetzen, oder auch, was indessen praktisch selten gefördert 
wird, die Richtung der einen, die (absolute) Grösse der anderen 
annehmen, und die beiden fehlenden Stücke bestimmen. Dies 
kann dann wie folgt geschehen. 

L Zwei gegebene Richtungen. In Fig. 49 sind die bei- 
den Richtungslinien 4,5' . . . und Ä& . . . aufgetragen , und durch 
deren Schnitt 5 die Strecken (Kräfte) 5 und 6 bestimmt. Wenn 
die Richtungen verwechselt werden dürfen, sind zwei Lösungen 
möglich. Die zweite ist in Fig. 49 durch die A VI' und 4 F', 
welche die Kräfte Ä V und 4 V liefern, gegeben. 

II. Zwei gegebene Kraftgrössen. In Fig. 50 wurden 
mit, den beiden der Grösse nach bekannt vorausgesetzten Kräf- 
ten 5 und 6 aus 4 und Ä Kreise beschrieben, und dadurch die 
beiden Richtungen bestimmt. Da die Kreise, wenn überhaupt, 
80 einander zweimal schneiden, so sind wieder zwei Lösungen, 
hier 4 . 5 mit 5 . A, oder 4 . V mit F. A möglich. 

III. Eine Kraftgrösse und eine Kraftrichtung gege- 
ben. In Fig. 51 ist in die Richtungslinie 4.5' ... mit dem Halb- 

Fig. 49. Fig. 50. ' Fig. 51. 






^ 



Aeneeere Kräfte an Dferkranen. 93 

meeeer 4 5 = der Kraft 6 ein Kreia geschlagen , welcher durch 
die Einschnitte 5 und V zwei Lösungen wie bei II. und L liefert. 
Hätte der Kreis die 4.5' . .. nicht geschnitten, so wären die 
Annahmen unbrauchbar gewesen. 

Wie diese einfachen Satze praktisch benutzt werden können, 
mögen folgende Beispiele zeigen. 

1. Seigpiel. Ein Kran ABC »ei bei Ä mit der Lagt L beladen, 
bei B cylindriaeh geformt, und von einem (Sollen-) Lager umfasst, bei C 
von einem Fitsalager gestütet ; in S liege der Schwerpunkt des Krankör- 
pera, dessen ßetoicht O sei. Es werden die Kräfte P^ und P^ bei B und 
C gesucht. — Von L tmd kennt man die Richtung, sie ist vertikal, von 
P, kennt man sie ebenfalls, wenn man das Lager bei B gane glatt an- 
nimmt , resp. die ohnedies gane vrimige Reibung daselbst , soweit sie den 
Kran am Abwärtsgehen verhindert, vernachlässigt; Py wirkt dann nur 
horieontal. Denkt man sich nun nach einem passenden Verfahren (si'eAe 
e. B. §■ 39) G und L vereinigt, und ist T Q die Lage der Mittelkraft 
Q = O -(- i*), so muis der Schnittpunkt der Horieontalen P-, und 
der Vertikalen Q ein Funkt der Bichtungslinie von P^ sein. Diese Kraft 
■ geht durch den Mittelpunkt des Zapfens bei C, sofern dieser durch seine 
Pfanne auch »eitlioh umfasst wird, wie hier angenommen ist. Demnach 
hat CO die Richtung der Kraft Pj, und wir können daher sofort, wie 
bei II. oben, die Grössen von Pj und P, aus dem Kräftepölygon Fig- 53 

Fig. 52. ¥ig. 53. 





erhalten. IFir tiehen nämlich Q und daran O vertikal, darauf OP pa- 
rallel OPi und P^Pi parallel CO; es sind dann P^ und P« gefunden, 
und man kann durch Zerlegung von P^ die beiden Belastungen des 
Zapfens C finden. 

2. Beispiel. Ein wie vorhin belasteter Kran, Fig. 54 (a. f. S.), istbeiB 
auf einen cylindrisehen Zapfen gelagert, bei C durch eine konische Rolle 



94 



Aflossere Kräfte an Uferkranen. 



auf eintn Kegel getlültt, der die SpiUe mit dem BoUeniegel gemeinschaft- 
lich in der Mitte de» Zapfens B hat. — Man kennt nun, wie oben, die 
Mittelkraft Q ■= L -\- G, ferner auch die Richtung der auf die Rolle 
bei C pressenden Kraft P„ als normal eu der Kegelerzevgenden gerichtet, 
mithin den Schnittpunkt von P, und Q , durch Kelchen Punkt auch 
die Zapfenkraft P^ gehen muss. Hiemach ist da» Kräftepolygon Fig. 55 




durch Ziehen der Vertikalen Q und der beiden Parallelen zu den Kräften 
Pi und Pi alsbald gefunden- Die Vertikalcomponente von Pj wird hier 
kleiner als die Belastung Q, während sie beim ersten Beispiel ihr gleich 
ausfiel. Hier nimmt der Kegel einen Theil der Last auf. 

3- Beispiel. Bei einem ähnlichen Krane, Fig. 56, liege die ge- 
meinschaftliehe Spitee der beiden Kegel unterhalb der Zapfenmitte B 
hei D, Sucht man nun, CO . . . wieder normal DC richtend, den 
Punkt auf, und bildet das Kräftepolygon Fig. 67, so wird (vermöge 
der Annahme der Kegelspitaenlage D) die Zapfenkraft P^ schräg nach 
unten statt nach oben, wie früher, gerichtet. Et muss deshalb der 



Fig. &e. 



Fig. 67. 




Aeassere Kräfte an Körpern. 



95 



Zapfen mit einem entsprechenden Anlauf oberhalb der Pfanne bei B ver- 
sehen werden*). 

Will man bei Untersuchung der Krane mit noch grösserer Genauig- 
keit verfahren, so hat man, wie Culmann a. a, 0, zeigt, die Bichtung 
des Widerstandes an dem Bollenlager (C bei Fig,54 und 56, B bei Fig. 5^) 
innerhalb des Beibungswinkels veränderlich anzunehmen, und diejenige 
Lösung zu benutzen, welche die stärkste Zapfenbelastung liefert, 

4, Beispiel, Drei Kräfte von 70, 50 und 80^ wirken unter den 
durch Fig» 58 angegebenen Winkeln in einer Ebene auf einen Körper 
AB so ein, dass ihre Mittelkraft durch den Punkt A geht, an welchem 
zwei weitere Kräfte von 95 und 60^ angreifen und mit jenen ins Gleich- 
gewicht treten sollen. Unter welchen Winkeln mit den übrigen Kräften 
wird dies geschehen? 

Nachdem in Fig. 59 die Kräfte 70, 50 und 80 von ü bis D anein- 
ander aufgetragen worden, beschreibt man aus C und D Kreise mit den 



Fig. 58. 




Fig. 59. 




Halbmessern 60 und 95, und erhält die Schnittpunkte E und E oder F 
und F , wonach man die beiden Bichtungslinien DE und E C (gleichbe- 
deutend mit F C und D F*) oder die Linien D F und F C (gleichbedeu- 
tend mit F?C und DE) erhält. Beide Lösungen sind in Fig, 58 ein- 
getragen, 

5, Beispiel. Ein Obelisk soll auf seinen Sockel unter Drehung um 
eine Basiskante Ä, Fig, 60 (a.f S,), gehoben werden, indem eine hebende Kraft 
P\ in gegebener Bichtung am oberen Ende angreift. In welcher Bichtung 



*) JHe$ wird manchmal bei ähnliehen Kraneomtructionen übersehen. Dem Yerfauer ist ein Fall 
bekannt, wo deshalb ein Dreissig-Tonnen-Kran beim Heben einer Last von etwa 20 Tonnen tum 
UmstHrxen kam^ indem das Lager sieh von dem nur tum /Stütsen eingerichteten Zapfen abstreifte. 



96 



Die inneren Kräfte des Seilpolygons. 



mu88 eine Kraft P^ von gegebener Grösse auf die Stelle A des Körpers 
wirken, damit der Sockel nur Vertikaldruck erfährt? 



Fig. 60. 



Fig. 61. 





Verlängert man die durch den Schwerpunkt S des Obelisken gehende, 
das zu hebende Gewicht ausdrückende Kraft Q bis zum Schnitte mit 
der Kraft Pj, so muss zunächst für das Gleichgewicht OA die Richtung 
der Mittelkraft von Q und Pj sein. Diese Mittelkraft ist nun in eine 
vertikal gerichtete Kraft P^ und eineKraftP^ von gegebener Grösse 
zu zerlegen. - Nach Auftragung von Q und Pj in dem Zuge C QPi, 
Fig. 61, zieht man durch Pj eine Vertikale PiPj . . ., und beschreibt 
aus C mit der Zirkelöffnung Pg einen Kreis, Dieser schneidet die Pj Pg 
bei genügender Grösse in den Punkten D und D' , wonach wieder zwei 
Lösungen sich ergeben , indem entweder P^ die Grösse Pj D und P3 die 
Richtung D C, oder Pj die Grösse P^ D' und Pg die Richtung D' C erhält. 
Eine Lösung ist überhaupt nur möglich, wenn P3 mindestens die Grösse 
des Lothes aus C auf die Pj P3 . . . besitzt. Die beiden gefundenen Rich- 
tungen sind in Fig. 60 als AP^ und AP^ eingetragen, — Aufgaben der 
in diesem Beispiel behandelten Art sind übrigens, wie schon oben ange- 
deutet wurde, selten. 



§. 35. 

Gleichgewicht der inneren Kräfte am Seilpolygon. 

unter den inneren Kräften im Seil- oder Gelenkpolygon ver- 
stehen wir, wie oben erläutert wurde, die auf Zug oder auf Druck 
wirkenden Kräfte in den einzelnen Gliedern oder Seiten des Seil- 
polygons, die in Fig. 62 mit /Si.21 Sj.« u. s. w. bezeichnet sind. 
Diese Kräfte haben eine solche Grösse, dass sie einander an jedem 




Die inneren Kräfte des Seilpolygons. 97 

der Knoten £, , Zi^ , K^ u. s. w. das Gleichgewicht halten. Dem- 
nach- können je zwei derselben, z. B. Sx.^ und /S2.8, wenn ihre 

Fig. 62. 





Richtungen, oder ihre Grössen, oder eine Grösse und eine Rich- 
tung bekannt sind (siehe §. 34) aus ihrer Resultirenden P3 be- 
stimmt werden. Um dies auszufuhren, tragen wir in dem Kräfte- 
polygon aus Pi, P2, P3 u. s. w., welches nach dem Früheren eine 
geschlossene Figur sein muss, Fig. 63, von den Enden von Pj 
Fig. 63. aus die Richtungslinien der Si . 2 und 8% . 3 

auf, indem aus Fig. 62 die Richtungen 
beider Kräfte entnommen werden können. 
Dieselben schneiden einander in dem Punkte 
0, und es sind nun Ol und 02 die An- 
spannungen £»1 . 2 und Si . 8 der Richtung 
und Grösse nach. Geht man nun zum 
Punkte Kz über, so sind von den drei dort gleichwiegenden Kräf- 
ten zwei, nämlich Pj und iS2-8) schon bekannt; die dritte, /S3.4, 
wird durch Verbindung des Schnittpunktes oder Poles mit 
dem Endpunkte von Kraft 3, Fig. 63, erhalten. So fortfahrend 
erhält man also in den Verbindungslinien des Poles mit den 
Ecken des Kräftepolygons die inneren Kräfte in dem Seil* 
polygen nach Grösse und Richtung, und es zeigt sich, dass 
bei bekannten Kräften die Annahme der Richtungen zweier an 
einem Knoten wirkenden Seilkräfte für die übrigen bestimmend 
ist. Nach dieser Auffindung der Seilkräfte kann das Seil- oder 
Gelenkpolygon sofort verzeichnet werden. Dies geschieht, indem 

Benleanx, der Gonstructenr. 7 



98 Die inneren Kräfte des Seilpolygons. 

man, von einem beliebigen Knoten ausgehend, die Gelenkpolygon- 
seiten parallel den Polstrahlen des Kräftepolygons zieht Die 

Fig. 64. 




Länge der Polygonseiten wird durch die der Lage nach gege- 
benen Richtungslinien der äusseren Kräfte bestimmt, worauf als- 
dann das Seil- oder Gelenkpolygon auch die Lage der inneren 
Kräfte angibt. 

Das Seilpolygon fällt verschieden aus, je nachdem bei der 
Verzeichnung der Anfangspunkt auf der Richtungslinie gewählt 
wurde. Zwei andere, mit dem anschraffirten gleichbedeutende 
Seilpolygone sind in Fig. 62 punktirt eingetragen. Die Seiten der- 
selben sind parallel den entsprechenden des ersten Polygons. 
Eine zweite Lösung derselben Aufgabe (die äusseren Kräfte durch 
ein Gelenkpolygon zu verbinden) entsteht in Folge der zweifachen 
Lösungsart der Aufgabe L §. 34. 

Trägt man, Fig. 65, die Richtungen der Si.^ und 8^*3 be- 
ziehlich von dem anderen Endpunkte der Kraft Pq auf, so erhält 



Mittelkräfte am Seilpolygon. 99 

man ein neues Seilpolygon, Fig. 64, welches eine von dem vori- 
gen sehr verschiedene Gestalt annimmt. Des Vergleiches halber 



Fig. 65. 




ist das oben erhaltene Polygon in Fig. 64 
noehmals mit angedeutet. Man erhält hier 
mit Ausnahme der beiden ersten ganz an- 
dere Richtungen der Polygonseiten als frü- 
her, und hat demnach überhaupt die Mög« 
lichkeit, auf unendlich verschiedene Arten 
das Gelenkpolygon zwischen gegebenen Kräf- 
ten herzustellen. 
Das Seil- oder Gelenkpolygon bildet mit dem Kräftepolygon 
zusammen das, was man den graphischen Plan der Kräfte ge- 
nannt hat. Unter Umständen genügt zur vollständigen Erörte- 
rung auch nur eine der beiden Fignrcn, welche dann für sich 
ebenfalls der Kräfteplan heisst (vergl. die Beispiele von Kräfte- 
plänen in §. 48 ff.). 



§.36. 

Mittelkraft von zerstreut in der Ebene wirkenden 

Kräften. 

Denkt man sich in einem Seilpolygon zwei der Polygonseiten 
durchschnitten und an den Schnittpunkten beiderseits Kräfte von 
der Grösse der in den abgeschnittenen Seilen wirkenden ange- 
bracht, welche die Wirkung der abgeschnittenen Stücke ersetzen, 
so bleibt das Gleichgewicht ungestört; so z. B. wenn man die Seiten 
Kl K9 und £4 f } in Fig. 66 so zerschneidet und spannt. Dann 

Fig. 66. 





100 Gleichgewicht zerstreut wirkender Kräfte. 

aber ist sofort ersichtlich, dass die Mittelkraft der nun zu äusse- 
ren Kräften gewordenen Seilkräfte Si . $ und jS 4 . 5 den links 
oder rechts am Polygon wirkenden Kräften das Gleichgewicht 
hält. Die Lage dieser Kraft bestimmt sich, indem man die Seile 
bis zu ihrem Schnitte Jlf verlängert, indem alsdann M ein Punkt 
der Mittelkraft ist. Die Richtung und die Grösse dieser Mittel- 
kraft ergibt sich im Kräftepolygon Fig. 67 in der Diagonale 4 . 6, 
welche die Schlusslinie der beiden Kräfte Äj.« = 06 und /S4.5 
= 04 ist Diese Kraft ist hier also einerseits die Mittelkraft der 
Fig. 67. Kräfte P5 und Pg, andererseits die der 

Kräfte Pi, P„ Pg undP4. Allgemein also 
liefert der Schnittpunkt zweier ver- 
längerten Polygonseiten einen Punkt 
der Mittelkraft alier zwischen diesen 
Seiten angreifenden äusseren Kräfte, 
wobei Grösse und Richtung dieser 
Kraft durch das Kräftepolygon gelie- 
fert werden. Dieser Satz ist, wie unten durch Beispiele gezeigt 
werden wird, von einer grossen Anwendbarkeit. Kehrt man den- 
selben um, so folgt sofort, dass man mittelst des Seil- und Kräfte- 
polygons auch Kräfte zerlegen kann. Um z. B. die Kraft 4 . 6 
in zwei andere, Ps und Pe, von gegebenen Richtungen, zu zerle- 
gen, trage man letztere im Kräftepolygon ein, ziehe die eine der- 
selben, z. B. Pe, im Seilpolygon, wo dieselbe alsdann die 4 . 6 in 
einem Punkte N schneidet ; aus diesem zieht man alsdann die P5 
parallel der Seite 4 . 5 des Kräftepolygons. Die erstgewählte 
Lage Ke N konnte hierbei auch weiter vorwärts oder rückwärts 
auf der MN gewählt werden, ohne dass das Gleichgewicht gestört 
worden wäre. 

§37. 

Bedingung für das Oleichgewicht zerstreut wirken- 
der Kräfte in der Ebene. 



Wir haben bei den vorstehenden Betrachtungen angenom- 
men , dass die Kräfte , deren Gleichgewicht wir untersuchten , so 
gelegen waren, dass das Gleichgewicht wirklich stattfand, 
so dass man sie schon nach der Regel des vorigen Paragraphen 
auf zwei einander aufhebende Kräfte zurückführen konnte. Die- 



Gleichgewicht zerstreut wirkender Kräfte. 101 

ses ist aber lücht nothwendig dann immer der Fall, wenn das 
Eräftepolygon eine geschlossene Figur ist, sondern es muss zu- 
gleich auch das Seil- oder Gelenkpolygon geschlossen sein, d. h. die 
Lage der Kräfte muss eine entsprechende Beschaffenheit haben. 
Ist die Lage nicht richtig gewählt gewesen, so zeigt das Seilpoly- 

Fig. 68. 




gon an, wie dieselbe zu nehmen sei, damit das Gleichgewicht an 
dem Körper eintreten könne, und nicht ein den Körper drehen- 
des Kräftepaar (siehe den folgenden Paragraphen) übrig bleibe. 
Man hat zu dem Ende die Lage einer der Kräfte unbestimmt zu 
lassen. 

L Es sei diese Kraft die Pe in Fig. 68. Ihre Grösse sei bekannt, 

ihre Richtung durch die ZZ angegeben. Nach Verzeichnung des 

Kräftepolygons, Fig. 69, Wahl eines Poles und Zeichnung aller 

Fig. 69. Strahlen aus nach den Ecken 1 bis 6 ist die 

Verzeichnung des Seilpolygons vorzunehmen, 
indem man Z1Z2 1| 10, JE'Ä || 20,K^K^ \\ 30 
u. 8. w. zieht, bis man Aiq K^Kq... gefunden. 
Dann muss die Schlusslinie des Seilpolygons 
die Richtung der 60 haben, gleichzeitig aber 
durch Kx gehen. Demnach ist die Lage der- 
selben bestimmt, und ihr Schnitt fe mit der K^K^,.. ist ein Punkt 
der Kraft Pe, die wir nun || der 5.6 eintragen und dadurch ihre 
Lage angegeben haben. 

Ist von der letzten Kraft weder Lage noch Richtung noch 
Grösse bestimmt, so kann, wenn von einer der anderen Kräfte 




102 Gleichgewicht zerstreut wirkender Kräfte. 

nur Richtung und Lage gegeben sind, das Fehlende wie folgt er- 
mittelt werden. 

IL Die noch völlig unbekannte Kraft sei die Pe, Fig. 70, 
während von der Pi die Richtung Ki Pi und der Punkt Ki , also 

Fig. 70. 




ihre Lage bekannt. Wir können nun das Kräftepolygon, Fig. 71, 
vom Punkte 1 bis 6 verzeichnen, indem wir die Kri^t 1 nur ihrer 
Richtung J. 1 . . . nach auftragen. Das Seilpolygon kann ferner 
von Kl aus durch die Punkte £, , £^ , £4 , £5 und K^' gezogen 
werden. Wählt man alsdann eine Richtung für die Schlusslinie, 
z. B. die KiL^ und trägt sie in das Seilpolygon ein, so ist deren 
Schnitt E^ mit der Kf,K^ ein Punkt der Richtungslinie der ge- 



Fig. 71. 




suchten Kraft Pe- Um ihre Grösse und 
Richtung zu bestimmen, ziehen wir nun 
in Fig. 71 die 06 .. . parallel zu KxL^ 
und verbinden Punkt 5 mit Punkt 6, 
so ist 5.6 nach Grösse, Richtung und 
Sinn die Schlusskrafb Pe, sowie 6 . 1 
die Kraft Pj nach der (noch fehlenden) 
Grösse. 



§. 38. 

Kräftepaare. 

Ist eine ebene Figur in ihrer Ebene nur der Wirkung von 
Kräftepaaren ausgesetzt, das ist von solchen paarweise gleich 



Eräftepaare. 103 



grossen Kräften, welche in parallelen aber nicht zusammenfallenden 
Richtungslinien in entgegengesetztem Sinne wirken, so erscheint 
das Eräftepolygon immer geschlossen, ohne dass nothwendig 
Gleichgewicht an der Figur herscht. Die Bedingungen fiir das- 
selbe lassen sich aber mittelst eines Kräfteplanes wie folgt be- 
stimmen. 

Die Kräfte Pi # P3 und P2 # P4, Fig. 72, bilden ein ge- 
schlossenes Kräflepolygon 1, 2, 3, 4, Fig. 73, sind aber an der an- 

Fig. 72. Fig. 73. 





gegriffenen Figur nicht im Gleichgewicht, sondern suchen dieselbe 
um irgend einen ihrer Punkte zu drehen, und zwar mit einem 
statischen Momente, welches der Summe der Momente der Paare 
(Pi — Ps) und (P2 — P4) gleich ist Um das Gleichgewicht 
herzustellen, soll ein Paar (P5 — P«) von entgegengesetztem 
Drehungssinne zugefügt werden, dessen Moment dem jener beiden 
gleich ist, und dessen Richtungslinien die Parallelen VV und 
VI VI sein sollen. 

Wir verzeichnen nun in J., Fig. 74 (a. £ S.), anfangend, das 
Eräftepolygon J.1, 2, 3, 4. Dasselbe ist damit noch nicht beendigt; 
vielmehr fehlen noch die Kräfte 5 und 6. Der Zug derselben 
muss, wenn sie aneinander getragen sind, wieder nach A zurück- 
fuhren ; ihre Grösse ist aber noch nicht bekannt. Zunächst geht 
daraus hervor, was wir schon voraussetzten, dass nämlich die bei- 
den Kräfte parallel und gleich sein müssen, also dass nur ein 
Paar mit den Paaren ins Gleichgewicht treten kann, sobald nur 



110 Gleichgewicht paralleler Kräfte. 

Qß ein Kräftepolygon, indem man, in Ä beginnend, zunächst die 
Kräfte in dem Zuge J.. 1,2, 3, 4, 5, 6 aneinanderträgt. Die 
Mittelkraft Q ist alsdann der Grösse nach schon sofort in dem 
Zuge 6A gefunden. Noch ist aber ihre Lage zu ermitteln. Zu 
diesem Behufe wählt man einen beliebigen ausserhalb Ä 5 gelege- 
nen Punkt als Pol, und zieht die Strahlen OÄ, Ol, 02, 03 
u. s. w. bis 06, darauf die bb^ \\ A 0, die bc \\ 10, die cd \\ 2 
u. 8. f., bis endlich die gg' \\ der Schlusslinie . 6 im Kräftepoly- 
gon, dann schneidet diese (vergl. §. 35) die bb' in einem Punkte 
q der Bichtungslinie der Mittelkraft Q, 

Nach den Entwickelungen in §. 36 kann man an der so er- 
haltenen Figur auch sehr leicht die Mittelkraft zweier einzelnen 
oder mehrerer auf einander folgenden Kräfte bestimmen. So lie- 
fert der Schnittpunkt der verlängerten de in cf den AngriflFspunkt 
der Mittelkraft von ^i und ^2? also von deren Summe ^ . 2 im 
Kräftepolygon; ferner ist e' der Angriffpunkt der Resultirenden 
von Q4 und Q^ 



§.41. 

Zerlegung von Kräften in zwei oder mehr parallele 

Kräfte. 

Der besprochenen Zusammensetzung paralleler Kräfte steht 
deren Zerlegung mittelst des Gelenkpolygons gegenüber. Kennt 
man das Seilpolygonstück aqbcd^ Fig. 94, für eine Kraft Q^ und 
will dieselbe in zwei durch e und / gehende Kräfte Qi und Q^ zer- 
legen , so verbinde man die Schnittpunkte e und / der beiden 
Richtungslinien von Qi und Q^ mit den Seilen aq und bq unter- 
einander; dann ist aefb^ Fig95, das Seilpolygonstück für die neuen 
Kräfte, deren Grösse durch Ziehen von Ol \\ef im Kräftepolygon 
gefunden wird. Liegen die gesuchten Kräfte Qi und Q^2 auf einer 
und derselben Seite von Q^ Fig. 96, so bleibt das Verfahren das- 
selbe. Es ist nur aq bis zum Schnitte e mit Qi zu verlängern, 
und darauf ef zu ziehen. Auch kann man den Schnitt von Qi 
mit qb^ von Q^ mit qa benutzen. Das Polygon erhält dann die 
Gestalt ae'f' 6. Das Kräftepolygon liefert im ersten Falle Qi = Ä\, 
^2 = 1 . 2, im zweiten die gleichgrossen Stücke AV ^= Qi und 
1'2 = Q,. 



Gleichgewicht paralleler Kräfte. 111 ' 

Soll der von den parallelen Kräften Qi bis Qj belastete Stab 
AO durch swei in A nnd G angreifende Kräfte i>, und P,, 



Fig. W. 



Fig. 95. 




^ 



.■>f 



Fig. 96, gestützt werden , so könnte man zunächst die Mittelkraft 
Q der Belastungen, wie in §. 40 geschah, anfauchen, und nach 

Fig. 96. 




der eben besprochenen Methode in Pi und Pj zerlegen. Es kano 
aber die Aufsuchung tod Q unterlassen werden, da die Richtun- 
gen yon Fl und P, und der Mittelkraft bekannt sind (vergl. §. 37). 
Man bilde das Kräftepolygon K\ . 2 . . . 5 0, ziehe alle Polstrah- 
len und darauf deren Parallelen im (lelenkpolygon, bilde die 
Schnitte a und g der zu KO und 05 parallelen Seilpolygonseiten 
mit den Kraftrichtungen von P| und Ff, und ziehe die ag, so ist 
diese die Schlusslinie des Seilpolygons, und ihre Parallele 06 im 



112 Gleichgewicht paralleler Kräfte. 

Kraftepolygon liefert die Kräfte P, = 5 . 6 und Pi = 6 . 7. 
Hätte man statt der Schnitte a und g die beiden anderen mög- 
lichen a' und g" benutzt, so wäre das Ei^^ebniss für die Kräfte 
dasselbe gewesen, da a'g'\\ ag. Das Seilpolygon hätte die Form 
a'^m bcdef ma' erbalten, wobei m der Rieh tungslinie der Hittel- 
kraft der Qi bis Q», oder auch der Pi und P^ angehört 

Soll ein belasteter Stab auf drei oder mehr Stützen gelegt 
werden, so müssen diese unter Berücksichtigung der Widerstands- 
fähigkeit des Stabes ganz genau auf bestimmte Höhen gestellt 
sein, um ihre Einzelbelastung angeben zu können, weil sonst die 
Aufgabe unbestimmt bleibt. Doch kann diese Unbestinmitheit 
durch Einschaltung von Zwischenträgern gehoben werden. Soll 
der Stab B CD^ Fig. 97, auf welchen in M die Mittelkraft Q seiner 

Fig. 97. 




Gesammtbelastung wirkt, durch drei Kräfte P,, P,, P, in den 
Senkrechten durch J5, C und D gestützt werden, so ist zunächst 
eine Annahme über das Verhältniss zweier der Kräfte, z. B. Pj und 
Pg, zu machen. Diese werden dann durch einen Zwischenträger 
^1 Ci aufgenommen, auf welchen in EEi der Stab presst, nachdem 
El Gl : EiBi gleich dem angenommenen Verhältniss Pj : P, gemacht 
worden. Nunmehr vertheilen wir Q auf E und D mittelst des Seil- 
und Kräftepolygons emd und ^01.2. Es ist dann A .1 = Q^ 
1.2 = Pg, 2 -4 = P| -f- -P«» welche letztere Summe dann nach irgend 
«iner der bekannten Methoden auf Bi und C\ yertheilt wird. Jede 

andere Annahme dos Verhältnisses -^ liefert eine andere Grösse 

für Pa. Werden 1\ und P, gleich gross verlangt, so fallt E in 
die Mitte von JSC, und wird der Zwischenträger gleicharmig. 
Die gewöhnlichen Blattfedern der Eisenbahnwagen und anderer 
Fuhrwerke sind gleicharmige Zwischenträger. Bei manchen 




Gleichgevicht paralleler Kräfte. 113 

Luinswagen finden sich auch ungleicharmige Federn als Zwischen- 
träger angewandt. Ungleicharmige Zwischenträger sind auch die 
Hebel der meisten Brückenwaagen. 

Soll eine Last auf mehr als drei oder vier Punkte vertheilt 

werden , ao ist durch Zusammensetzung von Zwischenträger» das 

gewünschte Ergebniss zu erreichen. Solches geschieht z. B. bei 

den LocomotireD. Will man die in Jf, Fig. 98, angreifende Ge- 

Fig. 93. 




sammtbelastuiig Q eines Locomotivrahmens so auf drei Achsen 
B CD vertheiien, dass die Belastungen von B und C sich wie 3 : 2 
verhalten, so kennt man bei gegebenem Radstande nach Wahl der 
Federlängen bi 5, und c^ c^, dj di zunächst die Längen dieser drei 
Zwischenträger, und wenn noch entschieden wird, dass der Last- 
rertheiler iUr i'i und Pg zwischen den Senkrechten durch b^ und 
Ci liegen soll, auch die Länge bc dieses vierten Zwischenträgers, 
der nunmehr in E so zu theilen ist, dass Eb : Ec =; Pj : Pi 
= 2:3. Man bildet nun das Seilpolygon emd nebst dem Kräfte- 
polygen und kennt dann die sämmtlichen Belastungen einzeln. 
Soll eine nach Procenten vorher bestimmte Lastvertheilnng bei 
gegebenem Radstande herbeigefüürt werden, so kann man etwas 
weniges durch Abänderung der Längen &■ b^ und Ci Cj wirken ; die 
Hauptsache aber besteht dann in einer passenden Verlegung der 
Mittelkraft Q der sämmthchen Belastungen. Die als Zwischen- 
träger wirkenden Federn müssen den sie belastenden Kräften 
entsprechend stark gemacht, beziehungsweise durch Stellung der 
Gehänge -Schrauben so lange regnlirt werden, bis ihre Wider- 



114 Gleichförmig vertbeilte Belastung. 

sUinde den gewählten YerbältniBsen der festen Zwischenträger eot- 

sprechen. 

g.42. 
Oleichförmig vertheilte parallele Kräfte. 

Ist aber einen Stab eine Last vollständig gleichfönnig vot- 
theilt, so könDen Kräfte- und Seilpolygon nickt näch den bis- 
herigen Angaben gezeicbnet werden, indem das Seilpolygon in 
eine Curve iibergeht. Die Gestalt dieser letzteren ist indessen wie 
folgt zu ermitteln. Denkt man zunächst die gleichförmig vertheilte 
Last in lauter gleich grosse Lasten an einzelnen Punkten von glei- 
chem Nachbar abstand zusammengezogen, wie die Kräfte 1, 2 ... 9, 
Fig. 99, und das Seilpolygon verzeichnet, so ist klar, dass die 
Polygonseiten aM und bc einander mitten zwischen der la , . . 
Fig. 99. Fig. 100. 




nai 2b . . ., also auch mitten auf der ab' schneiden müssen, da 

Kraft 1 und 2 gleich sind. Ebenso schneiden sich (lie cd und 

aM mitten zwischen 3c . . . und 1 a, also auf der 2b . • ., ä. i. in 

b', ferner die de und aJf mitten zwischen h' und c*. Und so fort, 

ä. h. die aufeinander folgenden Einschnittpunkte der verlängerten 

Polygonseiten in die a3f, wie auch in die iM, haben auf diesen 

Geraden gleiche Abstände von einander. Demnach hüllen die 

Polygonseiten nach einem bekannten Satze eine Parabel ein, deren 

Scheitel hier bei e auf der Mittellinie EM \iegt, und für welchen 

KM 
die Abscisse Ee = — ^ ■ In diese Parabel geht das Seilpolygon 

über, wenn die Last wieder wie zu Anfang völlig gleichförmig 
vertheilt wird. Bedenkt man, dass das Dreieck AMB das Polygon 



^ 



Momente paralleler Kräfte. 115 

für die in £! zusammengezogene Oesammtbelastung ist, 80 ersieht 
man sofort, wie die Curva jederzeit leicht za verzeichDen ist. Ist 
die Sehne AEB schief gegen die Kräfte gerichtet, wie in Fig. 100, 
so virA die Eintheilung auf jlJlf und MB einzeln eine gleichför- 
mige, wiewohl die Theilung auf j4 Jf verschieden wird an der auf 
MB. Der Punkt e liegt auch dabei auf der Mitte von EM, ohne 
indessen Scheitel der Parabel zu sein. 

Gelenbpolygone, welche in Curven übergehen, erhält man auch 
bei Belastungen, welche über den Stab hingleiten; sie sind dann 
die Figuren, welche die auf einander folgenden geradseitigen Po- 
lygone einhüllen. Verwickelte Beispiele hiezu liefern die Eisen- 
babnhrücken, einfadiere üebungsbeispiele die Geradführungs- 
schienen der Kolbenstangen hei Dampfmaschinen. 

§.43. 

Statische Momente paralleler Kräfte. 

"Wirken parallele Kräfte, z. B. die Kräfte Qi bis Qt, Pj und 
P,, Fig. 101, normal auf einen Stab, so ist für die Keontniss des 
mechanischen Zustandes des Stabes die Kenntniss der statischen 




Momente der äusseren Kräfte nothwendig. Diese können mittelst 
des Seil- und Kräflepolygons leicht bestimmt werden. Nach 
Verzeichnung des Kraftopolygons ..4 04, und des Seilpolygons 
abcdef sei das statische Moment M für den Punkt S des Stabes 



116 Momentenflächo. 

zu bestimmen. Dieses Moment ist das Product aus der Mittel- 
kraft aller Kräfte zur einen oder anderen Seite der zur Kraft- 
richtung parallel gezogenen SSi und dem Abstände l derselben 
von SSi. Der Grösse nach erhält man aber diese Mittelkraft 
als den Abschnitt hi=l ,5 im Kräftepolygon zwischen den 
Strahlen Ol und 05, welche parallel bc und /a gezogen sind; 
ihre Lage wird durch Verlängerung letzterer Polygonseiten bis 
zu ihrem Schnitte g gefunden. Zieht man also das Loth gg^^ so 
ist dieses der Arm l der Resultirenden P = hi, welche den Stab 
bei S zu biegen trachtet Es ist also M = P . 1, 

Diese Multiplication lässt sich aber auch graphisch ausführen. 
Fällt man nämlich noch das Loth Ok im Kräftepolygon, so ist 
dieses die Höhe des Dreieckes Ohi auf der Grundlinie Äi, wel- 
ches Dreieck dem Dreieck gsso von der Höhe l ähnlich ist. Es 
verhält sich also hi : Ok = ssq : gg^^ oder wenn man Ok mit 
ff, sSo mit t bezeichnet: 

P : H=t:l 
woraus : 

M=Pl = Ht 

Hiernach verhalten sich die statischen Momente an 
den einzelnen Stellen des Stabes wie die zugehörigen 
den Kräften parallelen Ordinalen des Seilpolygones, da 
H constant ist. Macht man H zur Einheit, so ist das eben be- 
sprochene Verfahren kein anderes, als das in Fall (L) §. 22 an- 
gegebene Multiplicationsverfahren, und dann das Moment M der 
Ordinate t selbst gleich. Bei einmal verzeichnetem Seilpolygon 
ist die Aufsuchung der Lage (g) der Mittelkraft nicht nöthig, auch 
ferner, wo es sich nur um Verhältnisse zwischen den einzelnen 
statischen Momenten bandelt, gleichgültig ob H von vornherein 
gleich einer bestimmten Maasseinheit gewählt war oder nicht. — 
Von der hier besprochenen werthvoUen Eigenschaft des Seilpoly- 
gons für parallele Kräfte wird weiter unten, namentlich bei den 
Achsen, vielfach Gebrauch gemacht werden. Sie ist für diese, wie 
für viele andere Fälle um so nützlicher, als ihre Verwerthung 
keine besondere Abänderung oder Erweiterung der Verzeichnungs- 
methode erfordert, vielmehr die Momente beim blossen Aufsuchen 
der Kräfte schon von selbst gefunden werden. Für den prak- 
tischen Gebrauch der Figur ist es zweckmässig, den die Momenten- 
Ordinaten einschliessenden Linienzug mit einem leichten Farben- 
ton anzulegen. 




Momentenfläche. 



ZEtisammensetzung und Zerlegung statischer Momente. 

Nach dem Vorigen sind statische Momente paralleler Kräfte 
durch Strecken von bestimmter Lage und Richtung darstellbar, 
gerade vie einfache Kräfte. Wirken deshalb zwei statische Mo- 
mente in gleichen oder verschiedenen Richtungen auf denselben 
Pnnkt ein es Stabes, so können dieselben, wie es von Kräften in §.31 
gezeigt wurde, graphisch addirt werden. Sind ABC und ÄDC, 
Fig. 102, die Seilpolygone von zwei Reihen paralleler Kräfte, welche 
Fig. 102. 




\ 




normal auf die Achse einesRotatioiiskörpeiB ACin den Richtungen 
A'ff und A'D' wirken, so erhält man das resultirende Moment 
für einen Punkt S der Achse des Körpers, indem man das Drei- 
eck TiSTt' mit dem Winkel (p = B' A' D' bildet, worauf 3*, T,' 
= STi' = t das gesuchte Moment darstellt. Die vollzogene Zu- 
sammensetzung der Seilpolygone ABC und ADC, die nach dem 
Besprocheneu auch. Momentenflächen heissen können, liefert 
die resultirende Momentenfläche AT VC. Die Seiten AT und 
Ct/^sind hier geradlinig, T 6' dagegen ist eine Curve, im vorlie- 
genden Falle eine Hyperbel. FUr den praktischen Gebrauch kann 
sie oft durch ihre Sehne T U ersetzt werden ; übrigens ist ihre 
Verzeichnung nicht umständlich. 

Durch Umkehrung der Aufgabe gelangt man zu der Zerle- 
gung eines beliebigen statischen Momentes t von gegebener Rich- 
tung in zwei andere fj und t^ von ebenfalls gegebenen Rich- 
tungen. 



Tom<Hi8-HomeDte. 



Verdrehende Momente und deren graphisohe Ver- 
einigung mit biegenden. 

Neben biegenden Momenten und oft mit denselben vereinigt 
werden viele ConstructioiiEtheile gleichzeitig auch verdrehenden 
Momenten ausgesetzt. Dieselben können, wie leicht einzusehen, 
ebeoGOwohl wie biegende durch Strecken, beziehlich Momenten- 
flächen dargestellt werden. Ist AB CD, Fig. 103, die Achse eines 

Fig. 103. 




Rotationskörpers, welcher durch biegende Kräfte in B und C be- 
lastet in A und Z> gestützt wird, welchen Kräften das Kräftepol;- 
gon A02, die MomentenSäche AbcD entspricht, und wird die- 
ser Stab zwiachen B und C von einem gegebenen verdrehenden 
Momente P . R beansprucht, so ist zuerst die Momenteoflächo 
des letzteren zu bestimmen. Nach §. 43 und der Multiplications- 
regel I., §. '22, erhält man die Strecke, welche FR darstellt, in- 
dem man zunächst 2* von A bis p im Kraftepoljgon aufträgt, den 
Strahl Op . . . zieht, und in OA . . . und Op ■ . . mit einer um 
R von abstehenden Parallelen zu Ap einschneidet; das abge- 
schnittene Stück qr der letzteren stellt dann P^ in demselben 
Maassstabe, d. i. für dieselbe Einheit OE dar, welche für das 
Polygon AbcD gilt Die Momentenfläche für die Verdrehung 
zwischen C und D wird hiernach in dem Rechtecke BCvu er- 
halten, dessen Höhe Ba oder Cv =: qr ist. In der Regel ist bei 



Zusammengesetzte BeanspruchuDg. 119 

praktischen Aufgaben dieses Torsionsrechteck zu vergleichen und 
in Beziehung zu setzen zu gleichzeitig wirkenden biegenden Mo- 
menten. Soll dies geschehen, so ist es zu ersetzen durch ein 
gleichwerthiges, d. h. derselben Tragsicherheit entsprechendes bie- 
gendes Moment. Ein solches ist aber nach §.18 gleich Vs des ver- 
drehenden Momentes. Macht man demnach Bui = Cvi = Vs -Bm, 
so ist das erhaltene Rechteck die Momentenfläcbe der biegenden 
Momente zwischen B und C, welche im Maassstabe der AhcD ge- 
zeichnet die verdrehenden Momente ersetzen können. 

Sollen diese mit den gegebenen biegendeu Momenten ver- 
einigt werden , so hat eine graphische Addition beider stattzufin- 
den, welche durch Formel (IV.) §. 16 S. 53 analytisch angegeben 
wird, wonach das resultirende (ideelle) biegende Moment J/j-, 
welches das verdrehende Md und das biegende Jf^ an jeder 

Stelle ersetzt: 

Mi = 3/3 Jt/, 4. 1 Vji/,2 + Md^ 

ist. Zu dem Ende machen wir Bhi = ^l%Bb^ Cci = Vs Cc^ 
Ee = ^UEe u. s. w., klappen Bui^ Cvj, Ewx auf AD nieder, 
und addiren die Hypotenusen 61 w/, Ci v/, eiW\! zu den Strecken 
bhi^ ccu €61. Die erhaltenen Summen der wirklichen Längen die- 
ser Strecken sind dann die z\x B^ C und E gehörigen Ordinaten 
des resultirenden ideellen Seilpolygones BhVe'c'cD^ welches die 
zusammengesetzte Beanspruchung darstellt. 

§.46. 

Bestimmung des Schwerpunktes mittelst des 

Eräfteplanes. 

Die Aufsuchung des Schwerpunktes einer ebenen Figur lässt 
sich mittelst des Kräfteplanes oftmals sehr bequem ausführen. 
Man zerlegt dieselbe dafür in schmale Streifen von gleicher Breite, 
deren Inhalt man ihrer mittleren Länge proportional setzen kann, 
bildet aus denselben ein Kräfte- und Seilpolygon, und erhält 
dann in der Richtungslinie der Mittelkraft eine Schwerliuie. Ist 
die Figur nicht symmetrisch, so wiederholt man dasselbe Verfah- 
ren unter Annahme einer zweiten Richtung der schmalen Strei- 
fen, worauf man eine zweite Schwerlinie, und in deren Schnitt 
mit der ersten den Schwerpunkt erhält Bei einfach gestalteten 



12Ö Schwerpunkt 

Figuren können auch grössere Ahschnitte statt der Streifen ge- 
bildet, ihr Flächeninhalt auf irgend eine Weise bestimmt, und in 
graphischer Auftragung, wie angegeben, benutzt werden. 

Es sei z. B. der Schwerpunkt des in Fig. 104 dargestellten 
T- förmigen Trägerquerschnittes zu suchen. Zur Achse YY ist 

Fig. 104. 




JL.. 




die Figur symmetrisch, also liegt der Schwerpunkt auf dieser 
Achse. Wir zerlegen die Figur femer in die Rechtecke 6 X ^i 
6i X Ci und 62 X 5^ von den Flächeninhalten 1, 2 und 3. Durch 
die Mitten dieser Figuren gehen dann deren einzelne Schwer- 
linien. Es sei nun c = 1,5 62, Ci = 62« Dann können wir die 

Kräfte I, 2 und 3 durch 1,5 X -iti -^ ^^^^ "if darstellen und an- 

einandertragen , wie bei J.I23 geschehen ist, wählen einen Pol 
und ziehen JSr/JBTi || OA, K^K^ \\ Ol, K<,K^ \\ 02, K^K^'\\ 03; 
dann ist der Schnittpunkt M der Seiten Kx Ki und K^ K^ ein 
Punkt der gesuchten Schwerlinie MM! ^ deren Schnittpunkt S 
mit der Achse YY der Schwerpunkt der Figur ist. 



§.47. 

Mittelkraft der Wasserbelastung eines Wasserrades. 

Beim Entwürfe eines Wasserrades ist es mitunter wichtig, die 
Lage der Mittelkraft der Wasserbelastung zu kennen ; man kann 



^ 



Wasserbelastung eines Wasserrades. 121 

dieselbe nach den entwickelten Lehrsätzen unschwer bestimmen, 
was beispielsweise hier für ein rückschlächtiges *) Zellenrad ge« 
zeigt werden soll. 

Von den zehn Zellen des in Fig. 105 (a. f. S.) im Profil sche- 
matisch dargestellten halben Bades empfängt die dritte von oben 
das Aafechlagwasser, wobei sie um einen, durch den Füllungs- 
coefficienten angegebenen Bruchtheil gefüllt wird. Den Wasser- 
spiegel der abwärts gehenden Zellen als waagerecht annehmend, 
kann man diejenige Zellenstellung bestimmen, bei welcher der 
Ausfluss aus dem freien Rade beginnen würde, der aber durch 
den Kropf KL verhindert werden soll. Vernachlässigt man als- 
dann den Wasserverlust an den Spalten des Kropfes, so sind alle 
Zellen von Nr. III. bis Nr. X. mit demselben Wassergewicht be- 
lastet, welches im Schwerpunkt des Wasserprismas jeder Zelle an- 
greift. Die Zelle XI. nehmen wir als schon entleert an. 

I. Bestimmung des Kropfbogens KL. Der Inhalt des 
Zellenquerschnittes ist der Kranzausschnitt, welcher zwischen zwei 
verlängerten benachbarten Riegelschaufeln liegt. Es sei nun der 
Füllungscoefficient = 0,4. Wird dann der Bogen KL in Zelle 
I. = 0,4 der Zellen theilung gemacht, und Im radial gezogen, so 
ist der Ringausschnitt hlmn der Querschnitt einer Zellenfüllung. 
Diese Figur verwandeln wir in das in Zelle II. angegebene Viereck 
rput^ dessen eine Ecke t in dem Umfangspunkt der Stossschaufel 
rt liegt, worauf fc ^ w der zu suchende Kropfwinkel KML^ und 
u^ilf dessen Complement NMK ist. 

Die Verwandlung geschieht wie folgt. Zuerst wird an dem 
rechtwinkligen Dreieck opq die Kathete ojp = der mittleren B*eite 
von klmn^ und die pq =z 2 . Im gemacht; dann dieses Dreieck 
in das gleichgrosse rp s verwandelt (indem man parallel der gezo- 
gen gedachten rq die os zieht und r mit s verbindet, vergl. §. 25). 



*) Es sei vergönnt, hier zu bemerken, dass die in mehreren grossen 
Lehrbächern der neueren Zeit gebrauchte Bezeichnung „rückenschlägig^^ 
sprachlich nicht richtig ist. Das Rad schlägt nicht mit seinem Rücken, 
sondern wird rückwärts beaufschlagt, oder unten beaufschlagt beim 
„unterschlächtigen", oben beim „oberschlächtigen"; hierbei kommt „schläch- 
tig" (wie Schlacht) von schlagen, wie „trächtig" (und Tracht) von tragen, 
und wird für „rückwärtsschlächtig" „rückschlächtig" gesagt, ge- 
rade wie rückgängig für rückwärtsgängig. Die herkömmlichen Kunst- 
ausdrücke sollten in unserer an Sprachgefühl verarmten Zeit geschont, und 
sehr genau untersucht werden, ehe man sie verwirft. 



Rückschlächtiges Wasserrad. 
Fiff. 105. 




Wasserbelastung eines Wasserrades. 123 

Zieht man darauf die st^ und parallel zu ihr die rii, und verbin- 
det u mit t^ so ist, abgesehen von der statthaften Vernachlässigung 
der Krümmung von pu, das Viereck rput das gesuchte. Winkel 
KMN ist z=: utM gemacht, übrigens wegen des Schwappens des 
Wassers der Kropf noch bis J hinauf verlängert. 

II. Bestimmung der Wasserspiegel in den einzelnen 
Zellen. Wir beginnen mit Zelle IV. In dieselbe ist die Figur 
rput eingetragen, darauf von if aus versuchsweise die fv^ und 
ihr parallel die u'w gezogen, bis die Verbindende vw waagerecht 
fiel, was nach wenigen Tastversuchen erreicht wird Ebenso ist 
mit Zelle V., VI. und VII. verfahren. 

In Zelle III. wurde die eingetragene Figur rput vorerst in 
das Viereck mit der Oberlinie px verwandelt, und dieses dann 
wie vorhin in die hier fünfeckige Figur mit waagerechter Ober- 
linie yj8 umgestaltet. 

In Zelle VIII. trat eine dritte Verfahrungsweise ein. Zuerst 
wurde die eingetragene Figur rput in die mit der Oberlinie 
piXij und darauf diese in die mit waagerechter Oberlinie yi^i ver- 
wandelt; auf dieselbe Weise ist endlich in den Zellen IX. und X. 
verfahren. 

III. Kräfteplan für die Wassergewichte. Es werden 
nunmehr die Schwerpunkte Ä^ B bis H der acht gefüllten Zellen 
aufgesucht, was auf dem Wege der Zeichnung nach den in der 
Flächentafel des IV. Abschnittes gegebenen Kegeln geschehen 
kann, und darauf aus den acht gleichen Kräften das Kräftepolygon 
ÄOS gebildet. Mit dessen Hilfe wird sodann das Gelenkpolygon 
dbeafghi nach den bekannten Regeln construirt, und dabei in i 
ein Punkt der Richtungslinie der Mittelkraft aller Wassergewichte 
erhalten. Zu bemerken ist über die Zeichnung hier nur, dass 
wegen der horizontalen Nähe der Schwerpunkte C und D die 
beiden in ihnen wirkenden Kräfte vereinigt gedacht wurden , so 
dass id \\ Ä 0, db \\ 02 zu ziehen war, eine Parallele zu 1 also 
wegfiel. 

Leicht ist es nun auch, den wirklichen Schwerpunkt P der 
sämmtlichen Wasserprismen zu finden. Wir legen dafür durch 
ABC n, s. w. Horizontalen, denken uns das Kräftepolygon ÄOS 
um 90^ gedreht, und bilden mit den Parallelen ri den Polstrah- 
len ein Seilpolygon, oder — was dieselben Dienste kürzer thut — 
wir ziehen die Seilpolygonseiten antiparallel, also hier normal, zu 
den Polstrahlen, und erhalten das zweite Seilpolygon a'i'c'd'c'/' ... i' 



124 Kräftepläne für Zimmerwerke. 

Eine Horizontale durch i schneidet alsdann die Verticale, welche 
durch i gelegt wurde, im Schwerpunkte P der Gesammt- Wasser- 
masse. 

Bei Annahme einer anderen Zellenstellung findet sich die 
tP vielleicht in einer etwas anderen Lage, doch fallen bei ge- 
wöhnlichen Rädern die Schwankungen der Lage äusserst klein 
aus. Das ganze Verfahren führt sich leicht und sicher aus, wenn 
man nicht übertrieben peinlich auf eine Genauigkeit sieht, welche 
hier erlässlich ist. 

§.48. 

Kräftepläne für Zimmerwerke. 

In Bauten aller Art kommen gezimmerte Träger zur Anwen- 
dung, welche aus Stäben bestehen, die zu unveränderlichen 
Systemen zusammengesetzt sind; sie dienen als einfache Trag- 
balken, als Brückenträger, als Dachstühle, als Hebel (Balanciers) 
u. s. w. Die in den Stäben auftretenden Zug- und Druckkräfte 
lassen sich durch Kräftepläne, welche entweder Kräftepolygone 
und Seilpolygone sind, oder aus solchen gebildet werden, sehr 
übersichtlich darstellen. Es sollen hier einige lehrreiche Fälle 
als Beispiele vorgeführt werden. Bei denselben ist überall ange- 
nommen, dass an den Knoten, d. h. an den Punkten, wo meh- 
rere Stäbe zusammentreten und verbunden sind, ein Gelenk 
vorhanden, oder auf die Biegungsfestigkeit des Knotens wenig- 
stens keine Rücksicht zu nehmen sei. 

Um bei bekanntem Constructions- oder Bauplan eines solchen 
Stabsystems dessen Kräfteplan zu bilden, hat man vorerst die 
Vertheilung der Kräfte der Aufgabe gemäss festzustellen, und 
dann, bei einer der äusseren Kräfte beginnend, dieselbe den Stab- 
richtungen nach zu zerlegen; darauf die so erhaltenen Stabkräfte 
an den nächsten Knoten mit den schon dort angreifenden äusse- 
ren Kräften zu vereinigen, und die Resultirende wieder den fol- 
genden Stabrichtungen nach zu zerlegen u. s. f. Die sich hierbei 
aneinanderreihenden Kräftedreiecke oder -Vierecke bilden den 
Kräfteplan. 

Soll man über die Richtung der Componenten, in welche eine 
gegebene oder gefundene Kraft zerlegt wird, stets im Klaren sein, 
so hat man die in §. 32 erwiesenen Eigenschaften des Kräfte- 



Kräftepläne für Zimmerwerke. 125 

polygons im Auge zu behalten. Aus denselben ist für den hier 
zu erreichenden Zweck namentlich folgendes Verfahren abzulei- 
ten. Ist eine Kraft in zwei oder mehrere zu zerlegen, so 
hat man ihren Richtungspfeil umzukehren, und sie nun 
zur Schlusslinie S (Fig. 106) in dem Zuge der zusammen- 
setzenden Kräfte zu machen. 

Will man zwei oder mehrere gegebene Kräfte durch 
zwei oder mehrere andere ersetzen, so erhalten das 
Kräftepolygon aus den gegebenen Kräften und das aus 
den sie ersetzenden dieselbe Schlusslinie S, Fig. 107. 

Fig. 106. Fig. 107. 





Von dieser Regel ist die vorhergehende ein besonderer Fall, indem 
eine einzeln graphisch dargestellte Kraft als ein un geschlossenes 
Kräftepolygon anzusehen ist, dessen Schlusslinie der Rückzug zum 
Anfangspunkt ist. 

Um die Beanspruchungsart jedes Stabes im Bauplan sicher zu 
finden, denke man sich, wenn irgend Zweifel entstehen, den Stab 
zerschnitten und an die beiden Schnittenden äussere Kräfte an- 
gesetzt, welche die inneren vertreten; die Richtung dieser Kräfte 
entscheidet dann sofort mit Bestimmtheit die Beanspruchung. 



§.49. 

Kräftepläne für zusammengesetzte 



I. Einfach verspannter Balken. Fig. 108. Der Balken 
AB C sei bei B normal zu AC mit 2P belastet, und bei A und 

Fig. 108. 






12G Einfach yerspannter Balken. 

ü gestützt; die Stützkräfte werden beide = P, da AB =z BC. 
Es sind die Beanspruchungen der Stäbe Nr. 1 bis 5 zu suchen. 

In dem mit a bezeichneten kleinen Plan ist a b die Kraft P, 
welche bei A nach oben wirkt. Sie ist zu zerlegen in die der 
Gonstruction als innere Kräfte angehörigen Kräfte in ^^ und 
AD, Der Einfachheit halber bezeichnen wir diese inneren Kräfte 
mit den Nummern der entsprechenden Stäbe, und ziehen 1 || ^-B, 
2 II ^ jD. Damit die Schlusslinie des hiermit erhaltenen Kräfte- 
droieckcs die Richtung von P habe (d. h. die ResuUirende von 
1 und 2 der Kraft P entgegengerichtet sei, vergl. §. 48), müssen 
1 und 2 den Pfeilrichtungen in Fig. 108 a nach gerichtet sein. 
Es wird also AB auf Druck, AD auf Zug beansprucht Der 
Deutlichkeit halber bezeichnen wir dieses hier und in den folgen- 
den Fällen im Plane dadurch, dass wir die Kräfte in gedrück- 
ton Stäben oder „Streben", „Pfosten", mit Doppellinien, 
die in gezogenen „Ankern" oder „Zugstangen", „Zugbän- 
dern", „Schlaudern" mit einfachen Linien zeichnen*). 
Ganz entsprechend verzeichnen wir in der Constructionszeichnung 
oder dem Bauplan des Balkens, hier wie weiter unten, die als Stre- 
ben erfundenen Stäbe mit einer deutlich messbaren Breite (wie 
Holzbalken), die als Zugstangen sich ergebenden mit einfachem 
kräftigem Striche. 



Für den Knoten B setzen wir nun 2P = abc mit 1 zusam- 
men, und zwar in dem Zuge dac^ indem der Stab von A nach 
B hin presst, und zerlegen die (punktirte) Schlusslinie horizon- 
tal und vertical in die Kräfte 3 und 4, welche beide Druckkräfte 
werden. 2 und 3 zusammengesetzt liefern endlich die Kraft 5, 
welche eine Zugkraft wird. Der Plan hat zwei congruente Hälf- 
ten, wie zu erwarten war wegen der Symmetrie des Bauplanes, 
weshalb wir uns auch mit Untersuchung der einen Hälfte begnü- 
gen könnten. 

Denkt man sich die Last 2 P statt in B zusammengezogen, 
über -4 5 C gleichförmig vertheilt, so vermindern sich die frei 

übrig bleibenden Kräfte in A und C auf —, in B auf P, indem 



♦) Culmann'ß Vorgang befolgend. Die Verdoppelung der Druckkraft, 
linien geschieht nach ihrer richtigen einfachen Verzeichnung, ist also nur 
eine Art von Unterstreichung. 




Zweifach verspannter Balken. 



127 



von jedem der Felder AB und CB je — nach den Knoten ^, B 

und C fallen. Wir erhalten dann den Kräfbeplan 6, welcher 
dem ersten geometrisch ähnlich ist, aher nur halb so gross aus- 
fäUt. 

IL Zweifach verspannter Balken (viel gebraucht als 
Träger der sogenannten Brücke bei den Centesimal-Brücken- 
waagen für Strassen- und Eisenbahn -Fahrzeuge). Fig. 109. In 
B und G zwei senkrecht abwärts wirkende Kräfte P, in A und 

Fig. 109. 




I) zwei gleiche nach oben wirkende. Im Kräfteplan a ist a& 
= P gemacht, 1 || J.5, 2 || J.E gezogen, wodurch die Kräfte 1 
und 2 erhalten werden. 1 ist wie vorhin Druckkraft, 2 Zugkraft. 
Letztere || BE und || HF zerlegt, zerfällt in die Zugkraft 5 
und die Druckkraft 3. 3,1 und P in £ vereinigt liefern nach 
dem Plan die Druckkraft 4; die andere Hälfte ist der betrachte- 
ten gleich. — Wenn die Verticalkräfte bei A und B an Grösse 
nicht gleich sind, was leicht bei einer praktischen Ausführung 
eintritt, so ist entweder bei B das oben erwähnte Gelenk nicht 
zulässig, oder es müssen noch Verstärkungsbänder FC (und BF) 
eingezogen werden. Der Plan h zeigt dies. Ist Fy = a\ bi in 
A wirkend, Pj = Ui Ci in B, so ergibt die Zerlegung von 2 || FB 
und FF eine andere Verticalkraft 3, als die Vereinigung von 
P2 und 1 zu der punktirten Resultirenden und Zerlegung dersel- 
ben II FB und FF. Werden also die Zugbänder weggelassen, 
so sucht sich das Fachwerk schief zu zwängen, bis die Theile 
solche Winkel einschliessen, dass die beiden Zerlegungen dasselbe 
Ergebniss für 3 liefern. 

IIL Dreifach verspannter Balken. Fig. 110 (a. f. S.). 
Gleichförmig vertheilte Belastung ruft die in den Bauplan einge- 
tragene Kräftevertheilung hervor. Die Kraft 3P = a6c ist in 2 
und 1, ce und ea, zerlegt; darauf 1 mit a6 = 2P zu be vor- 



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c.cr.c -"-fr 







Mehrfach verspannte Balken. 129 

belastet angenommen sind, worauf die Belastungen der Knoten 
die der Figur eingeschriebenen Verhältnisse annehmen. 

Im Kräfteplan ist zunächst die ae = l P gemacht, und durch 
deren Zerlegung 1 und 2, a/und fe erhalten; darauf ah = 2P 

Fig. 112. 





angetragen, und die Resultirende bf der 1 mit 2P in 3 und 4, 
fg und gb^ zerlegt. Die Kräfte 2 und 3 haben die Resultante 
ge\ zerlegt man diese jetzt parallel KC und JBTi, so erhält man 
in ^Ä und äc die Zugkräfte 5 und 6. Beim Uebergehen auf K 
oder L zeigt sich jetzt, abweichend von den bisher betrachteten 
Fällen, die Schwierigkeit, dass man entweder 6 oder die vereinig- 
ten 2P, 4 und 5 in je drei Kräfte von gegebener Richtung zer- 
legen muss, was eine unbestimmte Aufgabe ist. Man muss des- 
halb von einer der Kräfte auch noch die Grösse ermitteln. Dies 
lässt sich z. B. für die Kraft 7 ausführen. Der Stab CL wird 
vertical zusammengepresst durch die Yerticalcomponenten der 
Züge 5 und 9 und die unmittelbare Last 2 P ; 5 und 9 sind ein- 
ander aber gleich, da sie symmetrisch zu CL liegen und die gleich- 
belasteten Pfosten BK und DM tragen. Demnach machen wir 
im Kräfteplan die hi^ welche die Kraft 7 darstellen soll, gleich 
2 mal der Projection von 5 auf die Verticale -f- 2P, vereinigen 
hi mit ß = he z\x der te, und zerlegen diese in die Kräfte 10 und 
11, im und me. Auf Knoten C zurückgehend, kann man nun auch 
sofort die vereinigten 4, 5 und 2P parallel CL^ CM und CD 
zerlegen, was den Zug hikc ergibt und die Kräfte 8 und 9 lie- 
fert. So fortfahrend erhält man 12 bis 15, womit die Hälfte des 
Planes überschritten ist. Bemerkenswerth ist das Ergebniss, dass 
der Streckbaum AJ überall gleich stark (auf Druck) bean- 
sprucht ist. 

Rouleaus, der Couitmctear. q 



\m 



\\\M^\\\i\M für Zimmerwerke. 



^%r ;>»^h««tiihlc bieten mannigfache Beispiele tob geximmer- 

^M ^""'V^rr. * i. In den folgenden Aufgaben ist eine gldchfonnige 

vv^-iv-s. wrirbtete Belastung der Sparron vorausgesetzt, so dass 

.*> «^-Nw,^?imp jedes Feldes dessen lilingo in der Sparrenrichtung 

**^yJ^s:^*l^^w^l ist 

\ T'Ä^bstnhl mit unverstrehtem Hauptsparren. 
-<j \< >"Siie fleichrertheilte Last 3/* auf jeder Dachhälfte 
^* J^ ,i;Kv Vii««««« Kfifte 1\ 2 V und P in A, B und C. 






i 








IHo >U4*ookt^ uft im Kräfleplan ist = P gemacht, ac und hc 
^\\\ys\\^\ l H uml A C gezogen, wodurch die Kräfte 1 und 2 er- 
*^*Uvu wurdo»; I wt ein Druck, 2 ein Zug. Letzterer wird ver- 
v\\>^U uaoh cc^ und parallel CD, nach he zerlegt, wodurch die 
♦wvlvu /u^kräfte 3 und 5 gefunden werden, und die Hälfte des 
ii^^,^uiiUUiMÄ Hcbon überschritten ist. Vereinigt man übrigens noch 
t vu(( '4 /^ und S zu dem Zuge ecad^ so ist die Schlusslinie de 




HglMP ttötsliohe Beispiele für Uebungen in der Graphostatik sind aus 
]^f^ und Brücken-Constructionen (Hannover, Rümpler 1863) 
wobei die sorgfaltig durchgearbeiteten numerischen Berech- 
Kr4fte in den Stäben als Probe dienen können. 



Kräftepläne für Zimmerwerke. 131 

IL Dachstuhl mit einfach verstrebtem Hauptsparren. 
Fig. 114. Fügt man dem vorigen Dachstuhl zwei Streben CE 
und CFzu, so entsteht der hier gezeichnete. ÄE und EB ver- 
halten sich hier wie 3 zu 2 ; ihre Belastungen seien 6 P und 4 P, 
dann bewirken diese, dass die äusseren Kräfte an den Knoten die 
eingeschriebenen Grössen erhalten. Wir machen nun im Kräfte- 

Fig. 114. 





plan ac = 7 P und zerlegen letztere Kraft parallel Ä E und Ä C 
in die Kräfte 1 und 2, ad und dc\ darauf 1 mit 6 P = ab ver- 
einigend, und die (punktirte) Resultante nach EB und E C zer- 
legend, finden wir die Kräfte 3 und 4, beides Druckkräfte. 2 und 
3 werden nun mit ihren Wiederholungen 7 und 8 zu dem Zuge 
cdefg vereinigt, worauf sich c^ = 5 ergibt. Letztere Kraft 
konnte auch durch Zerlegung der vereinigten 4 und 4P nach 
B C und BF gefunden werden, wie denn überhaupt die Anord- 
nung des Kräfteplanes mancherlei Abänderungen zulässt. 

III. Anderer Dachstuhl mit einfach verstrebtem 
Hauptsparren. Fig. 115 (a. f. S.). Dieser Dachstuhl entsteht 
aus dem vorigen, wenn man an demselben die Streben JE^Cund 
CF beide horizontal legt. Hier ht AE =z EB genommen, wo- 
durch die Felderbelastungen sämmtlich gleich werden, und bei A 
und D die äusseren Kräfte 3 P entstehen. Letztere Kraft von a 
bis c im Kräfteplan aufgetragen ergibt in da und cd die Kräfte 
1 und 2, darauf nach Vereinigung von 1 mit 2 P zu der Resultan- 
ten dh die Druckkräfte 3 und 4 in de und eh, 7 fallt == 3, 
8 = 2 aus ; demnach erhält man für 5 die Strecke cf als Schluss- 
linie des Zuges cdedf oder cd f. Auch muss sich 5 durch Ver- 

9* 



132 Kräftepläne für Dachstühle. 

einigung der gleichen Kräfte 4 und 6 mit 2P ergeben, wms die 
Figur auch darin zeigt, dam die Verticalprojection Ton 4 um P 

Fifi. 115. 

«r 

ap 

tp 





kleiner, als 6/ wird. Läset man die Schlauder CB weg, was sich 
bei manchen Ausfuhrungen findet, so kann das Qaerstück ECF^ 
wenn bei C kein Gelenk gelassen ist, yermöge seiner Biegungs- 
festigkeit den Widerstand 5 leisten; bei B aber bäumen sich die 
Sparren gegen einander auf, wenn der Knoten B nicht in einen 
festen Verband verwandelt wird. 

IV. Dritter Dachstuhl mit einfach verstrebtem 
Hauptsparren. Fig. 116. Bei dem folgenden Dachstahl, wel- 

Fifr. llG. 





eher häufig als der belgische oder französische bezeichnet 
wird, ist die mittlere Schlauder der obigen Constructionen in ein 




Kräftepläne für Dachstühle. 133 

Dreieck B CD aufgelöst. Die Felder sind gleich breit angenom- 
men, weshalb die äusseren Kräfte an den Knoten wie bei Fig. 115 
werden. 

Im Kräfbeplan ist a&e; = 3P gemacht, worauf 1 und 2 so- 
fort wie oben gefunden werden. Aus der Zerlegung der vereinig- 
ten 1 und 2P erhält man dann alsbald die Kräfte 3 und 4 in 
de und he^ und aus der Resultanten ec der Kräfte 2 und 3 die 
beiden Zugkräfte 5 und 6 in cf und ef. Die zweite Hälfte wird 
die symmetrische Wiederholung der ersten. 

V. Dachstuhl mit zweifach verstrebtem Hauptspar- 
ren. Fig. 117. Diese Construction kann aus der in Fig. 114 da- 
durch erhalten werden, dass man die dort angewandte Strebe des 
Hauptsparrens in zwei auflöst. Die Felder sind hier wieder gleich- 
gross und gleichbelastet angenommen. Es entstehen dabei, wenn 
die Belastung jedes Feldes = 2P ist, die freien äusseren Kräfte 
5P bei J. und 2). Im Kräfteplan ist nun ad = 5P gemacht 
und parallel AE und AC zerlegt, wodurch die Kräfte 1 und 2, 
de und ea^ erhalten werden, ea mit ai = 2P zusammengesetzt, 

Fig. 117. 

2P 





liefert die den Knoten E belastende Kraft eh^ welche parallel 
£(7 und ^P zerlegt, in ef und/6, 3 und 4, zerfällt Aehnlich 
wird nun die Resultante fc der Kräfte 4 und 2P in 5 und 6, /gr 
und gc zerlegt, womit man in der Mitte des symmetrisch aus- 
fallenden Planes angelangt ist. Die Kraft 7 ist die Resultante 
von 6 und deren Wiederholung 8 und der Firstbelastung 2 P, die 
Hälfte von 7 also die Projection von 6 auf eine Verticale, weni- 
ger P, welche Grösse durch die dh dargestellt ist. 



134 Englischer Dachstuht. 

VI. Englischer Dachstulil mit mohrfach verstreb- 
tem Hanptsparren. Fig. 118. Hier sind schiefe Streben mit 
senkrechten Schlaudern verbunden angewandt Sie' Belastnng 
ist wieder gleichförmig angenommen, nämlich jedes der gleich- 
growicn Felder senkrecht mit 2 P belastet gedacht Bei A und 
Z> entstehen die Verticalkräfte 7 P als äusaere Kräfte. 




Im Kräfteplan ist «i -{- &c + cd + de = 3 X 2P + P 
= 7P gemacht, ixe parallel A'E und AL zerlegt, wodurch die 
Kräfte 1 und 2 in /a und ef erhalten werden. Nun ist 1 mit 
ah = 2P vereinigt (gedacht) und die Resultante (/&) in die 
Kräfte 3 und 4, fg und gh zerlegt; alsdann 2 mit 3 (zu ge) ver- 
banden, und diese ResuUirende parallel LF und L3f in die 
Kräfte 5 und 6, gh und he zerlegt So fortfahrend erhält man 
nach einander die Kräfte bis zu Nr. 12 oder Id, welche alsdann 
auf die Verticale projicirt wird. Zieht man endlich jetzt von der 
Bo erhaltenen dm die halbe Firgtbelastung P ^ de ab, so bleibt 
in me die halbe Anspannung der Mittelschlauder JSC übrig. Die 
andere Hälfte des Kräfteplanes füllt gerade so wie die gefun- 
dene aus. 

VII. Bogenförmiger Dachstuhl, sogenanuter Sichel- 
träger. Fig. 119. Der sichelförmige Träger ABCDEFGH 
in unserer Figur, welcher zur Bedeckung weiter und hoher Räame 
neuerdings benutzt wird, kann als eine Umformung des englischen 
Dacbstuhles angesehen werden, indem er aus dem letzteren ent- 
steht, wenn man die Abschnitte der Sparren and der unteren 
iptscblauder polygonal anordnet Die Belastung des Dach- 



^gHuptscbl 



Sichelträger. 135 

Btnhles ist hier nicht in bestimmten VerhältnisBeo angegeben. 
Zfrar ist diejenige, welche von den Deckziegeln und deren Unter- 

Fig. 119. 




Stützung herrührt, der Feldbreite proportional zu setzen, nicht 
aber die vom Schnee herrührende, welche an den steilen Rand- 
feldern bei AB und GH jedenfalls kleiner auEfällt, als bei CD 
und DE. Es sind deshalb nur unbestimmt gelassene Terticale 
Belastungen P,, P^^Pi der Knoten B, C, D, E, F, G eingeführt, 
denen bei Ä und B die Kräfte Q = Pi -{- Pt -\- P3 als äussere 
Kräite entgegenwirken. 

Im Eräfteplan ist ab = Pi, bc ^ Pj, cd = Pj, also ad 
= Q gemacht, durch deren Zerlegung parallel AB und ÄJ die 
Kräfte 1 und 2, ea und de erhalten werden. 1 mit P, zusammen 
liefert die Kräfte 3 und 4, e/ ani fb. Aus den nun bekannten 
Kräften 2 und 3 werden 5 und 6, gf uni dij ermittelt; darauf 4 
und 5 mit Pa (zu ge) zusammen gesetzt, und durch Zerlegung pa^ 
rallel CK und CD die Kräfte 7 und 8 gefunden, und so fort, bis 
in kd die Kraft 12 ermittelt ist, welche die Mitte des zu ihr sym- 
metrischen Planes einnimmt Die Stäbe KL^ DL, EL und ML 
werden sämmtlich auf Zug beansprucht. 



!. 51. 



Eräfteplan fär einen Daohstuhl mit Winddruok. 

Wenn man grosse und schwere Dächer sorgfiiltig bauen will, 
muss man ausser der Belastung durch die Construction selbst 



130 



Kräflepläne für Zimmerwerke, 



§. 50. 

Eräftepläne für Daohstühle. 

Die Dachstühle bieten mannigfache Beispiele von gezimmer- 
ten Trägern *). In den folgenden Aufgaben ist eine gleichförmige 
vertical gerichtete Belastung der Sparren vorausgesetzt, so dass 
die Belastung jedes Feldes dessen Länge in der Sparrenrichtung 
proportional ist. 

I. Dachstuhl mit unverstrebtem Hauptsparren. 
Fig. 113. Eine gleichvertheilte Last 2P auf jeder Dachhälfte 
gibt die äusseren Kräfte P, 2 P und P in Ä^ B und C. 

Fig. 113. 

2P 





Die Strecke a6 im Kräfteplan ist = P gemacht, ac und bc 
parallel AB und AC gezogen, wodurch die Kräfte 1 und 2 er- 
halten wurden; 1 ist ein Druck, 2 ein Zug. Letzterer wird ver- 
tical, nach ce, und parallel (72), nach be zerlegt, wodurch die 
beiden Zugkräfte 3 und 5 gefunden werden, und die Hälfte des 
Diagramms schon überschritten ist. Vereinigt man übrigens noch 
1 mit 2P und 3 zu dem Zuge ecad^ so ist die Schlusslinie de 
die Kraft 4. 



*) Sehr nützliche Beispiele für üebangen in der Graphostaiik sind aus 
Ritt er 's Dach* und Brück en-Constmotionen (Hannover, Rümpler 1863) 
zu entnehmen, wobei die sorgfaltig durchgearbeiteten numerischen Berech- 
nungen der Kräfte in den Stäben als Probe dienen können. 



Kräflepläne für Zimmerwerke. 131 

IL Dachstulil mit einfach verstrebtem Hauptsparren. 
Fig. 114. Fügt man dem vorigen Dachstuhl zwei Streben CE 
und CF zu, so entsteht der hier gezeichnete. AE und EB ver- 
halten sich hier wie 3 zu 2 ; ihre Belastungen seien 6 P und 4 P, 
dann bewirken diese, dass die äusseren Kräfte an den Knoten die 
eingeschriebenen Grössen erhalten. Wir machen nun im Kräfte- 

Fig. 114. 





di^ 



plan ac = 7 P und zerlegen letztere Kraft parallel A E und A 
in die Kräfte 1 und 2, arf und dc\ darauf 1 mit 5P = aft ver- 
einigend, und die (punktirte) Resultante nach EB und EC zer- 
legend, finden wir die Kräfte 3 und 4, beides Druckkräfte. 2 und 
3 werden nun mit ihren Wiederholungen 7 und 8 zu dem Zuge 
cdefg vereinigt, worauf sich cg = 6 ergibt. Letztere Kraft 
konnte auch durch Zerlegung der vereinigten 4 und 4P nach 
BC und BF gefunden werden, wie denn überhaupt die Anord- 
nung des Kräfteplanes mancherlei Abänderungen zulässt. 

IIL Anderer Dachstuhl mit einfach verstrebtem 
Hauptsparren. Fig. 115 (a. f. S.). Dieser Dachstuhl entsteht 
aus dem vorigen, wenn man an demselben die Streben EC und 
CF beide horizontal legt. Hier ist AE = EB genommen, wo- 
durch die Felderbelastungen säromtlich gleich werden, und bei A 
und D die äusseren Kräfte 3 P entstehen. Letztere Kraft von a 
bis c im Kräfteplan aufgetragen ergibt in äa und cd die Kräfte 
1 und 2, darauf nach Vereinigung von 1 mit 2 P zu der Resultan- 
ten db die Druckkräfte 3 und 4 in de und eJ. 7 fällt = 3, 
8 = 2 aus ; demnach erhält man für 5 die Strecke cf als Schluss- 
linie des Zuges cdedf oder cd f. Auch muss sich 5 durch Ver- 

9* 



132 Kräftepläne für Dachstühle. 

einigung der gleichen Kräfte 4 und 6 mit 2P ergeben, was die 
Figur auch darin zeigt, dass die Verticalprojection von 4 um P 

Fig. 115. 
2P a 

2? 
SP 





kleiner, als ef wird. Lässt man die Schlauder CB weg, was sich 
bei manchen Ausführungen findet, so kann das Querstück ECF^ 
wenn bei C kein Gelenk gelassen ist, vermöge seiner Biegungs- 
festigkeit den Widerstand 5 leisten; bei B aber bäumen sich die 
Sparren gegen einander auf, wenn der Knoten B nicht in einen 
festen Verband verwandelt wird. 

IV. Dritter Dachstuhl mit einfach verstrebtem 
Hauptsparren. Fig. 116. Bei dem folgenden Dachstuhl, wel- 

Fig. 116. 











2P 




8P 




ftP 

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10 ^^, 



SP 




eher häufig als der belgische oder französische bezeichnet 
wird, ist die mittlere Schlauder der obigen Constructionen in ein 



Kräftepläne für Dachsttihle. 133 

Dreieck B CD aufgelöst. Die Felder sind gleich breit angenom- 
men, weshalb die äusseren Kräfte an den Knoten wie bei Fig. 115 
werden. 

Im Kräfteplan ist a2)0 = 3P gemacht, worauf 1 und 2 so- 
fort wie oben gefunden werden. Aus der Zerlegung der vereinig- 
ten 1 und 2P erhält man dann alsbald die Kräfte 3 und 4 in 
de und he^ und aus der Resultanten ec der Kräfte 2 und 3 die 
beiden Zugkräfte 5 und 6 in cf und ef. Die zweite Hälfte wird 
die symmetrische Wiederholung der ersten. 

V. Dachstuhl mit zweifach verstrebtem Hauptspar- 
ren. Fig. 117. Diese Construction kann aus der in Fig. 114 da- 
durch erhalten werden, dass man die dort angewandte Strebe des 
Hauptsparrens in zwei auflöst. Die Felder sind hier wieder gleich- 
gross und gleichbelastet angenommen. Es entstehen dabei, wenn 
die Belastung jedes Feldes = 2 P ist, die freien äusseren Kräfte 
5P bei J[ und Z). Im Kräfteplan ist nun aä = 5P gemacht 
und parallel AE und AC zerlegt, wodurch die Kräfte 1 und 2, 
de und ea, erhalten werden, ea mit a6 = 2P zusammengesetzt, 

Fig. 117. 

2P 





liefert die den Knoten E belastende Kraft eb^ welche parallel 
EC und EF zerlegt, in ef und/6, 3 und 4, zerfällt. Aehnlich 
wird nun die Resultante fc der Kräfte 4 und 2P in 5 und 6, fg 
und gc zerlegt, womit man in der Mitte dies symmetrisch aus- 
fallenden Planes angelangt ist. Die Kraft 7 ist die Resultante 
von 6 und deren Wiederholung 8 und der Firstbelastung 2 P, die 
Hälfte von 7 also die Projection von 6 auf eine Verticale, weni- 
ger P, welche Grösse durch die dh dargestellt ist. 



134 Englischer Dachstubl. 

VL Englischor Dachstuhl mit mehrfach verstreb- 
tem Hauptspairen. Fig. 118. liier sind schiefe Streben mit 
Benkrechtea Schlaudern verbunden angewandt Die* Belastung 
ist wieder gleichförmig angenommen, nämlich jedes der gleich- 
grossen Felder senkrecht mit 2 P belastet gedacht. Bei A und 
D entstoheu die Verticalkrafte 7 P als äussere Kräfte. 




Im Kräfteplan ist «6 -f- ic -f cd -j- de = 3 X 2P + P 
^ 7P gemacht, ae parallel AE und ÄL zerlegt, wodurch die 
Kräfte 1 und 2 in fa und ef erhalten werden. Nun ist 1 mit 
ai = 2P vereinigt (gedacht) und die Resultante (fb) in die 
Kräfte 3 und 4, fg und gb zerlegt-, alsdann 2 mit 3 (zu ge) ver- 
bunden, und diese Resultirende parallel LF und LM in die 
Kräfte 5 und 6, gh und he zerlegt. So fortfahrend erhält man 
nach einander die Kräfte bis zu Nr. 12 oder Id, welche alsdanu 
auf die Verticale projicirfc wird. Zieht man endlich jetzt von der 
so erhaltenen dm die halbe Firstbelastung P := de ab, so bleibt 
in me die halbe Anspannung der Mitteischlander BC Übrig. Die 
andere Hälfte des Kräfteplanes fällt gerade so wie die gefun- 
dene aus. 

VII. Bogeuförmiger Dachstuhl, sogenannter Sichel- 
träger. Fig. 119. Der sichelförmige Träger ABCDEFGH 
in unserer Figur, welcher zur Bedeckung weiter und hoher Räume 
neuerdings benutzt wird, kann als eine Umfoi-mung des englischen 
Dachstubtes angesehen werden, indem er aus dem letzteren ent- 
steht, wenn man die Abschnitte der Sparren und der unteren 
Hauptschlauder polygonal anordnet. Die Belastung des Dach- 



Sicbelträger. 135 

Btnhles ist hier nicht in beBtimmten VerhältniBBen angegeben. 
Zvar ist diejenige, welche tob den Deckziegeln und deren Unter- 
Fig. 119. 




Stützung herrührt, der Feldbreite proportional zu setzen, nicht 
aber die vom Schnee herrührende , welche an den steilen Rand* 
feldern bei AB und QH jedenfalls kleiner ausfällt, als bei CD 
und DE. Es sind deshalb nur unbestimmt gelassene varticale 
Belastungen P,, Fi, Ps der Knoten B, C, D, E, F, G eingeführt, 
denen bei A und B die Kräfte Q =; Pi + Pj -f- i*s als äussere 
Kräfte entgegenwirken. 

Im Kräfteplan ist ab = Pj, be = Pj, cd = P3, also ad 
= Q gemacht, durch deren Zerlegung parallel AB und AJdie 
Kräfte 1 und 2, ea und de erhalten werdec. 1 mit P, zusammen 
liefert die Kräfte 3 und 4, e/uadfb. Aub den nun bekannten 
Kräften 2 und 3 werden 5 und 6, gf und d</ ermittelt; darauf 4 
und 5 mit P^ (zu ge) zusammengesetzt, und durch Zerlegung pa- 
rallel CK und CD die Kräfte 7 und 8 gefunden, und so fort, bis 
in kd die Kraft 12 ermittelt ist, welche die Mitte des zu ihr sym- 
metrischen Planes einnimmt Die Stäbe KL, DL, EL und ML 
werden sämmtlich auf Zug beansprucht. 



. 51. 



Eräfteplan für einen Dachstuhl mit Winddruck. 

Wenn mau grosse und Bchware Dächer sorgfältig bauen will, 
mass man ausser der Belastung durch die ConBtruction selbat 



136 Dachstuhl mit Winddruck. 

und den Scbnee noch die dnrch den Wind in Anscblag bringen, 
indem dieselbe oft beträchtlich ins Gewicht fällt Um ein Bei- 
spiel der graphostatischen Lösung dieser Aufgabe zu geben, unter- 
suchen wir den in Fig. 116 dargestellten englischen Dachstubl 
unter Voraussetzung einer Windbelastung W, Fig. 120, welche sich 
zu der früher in Bechoung gezogenen Verticalbelastung gesellt 

Fig. 120. 




Zunächst sind hier die Kräfte Q, und Q^ an den Punkten A 
und D zu bestimmen. Der Winddruck wirkt nur auf die eine 
DachSäche, der die Seite AB des Dachstuhles angehört. TT sei 
die normal zu AB gerichtete Mittelkraft des W^inddruckes, P die 
gesammte senkrechte Belastung von AB; P und W vereinigt be- 
wirken auf AB eine in der Richtung FS wirkende Gesammt- 
belastung, deren Grösse durch Zusammensetzung von TFnnd P 
erhalten wird, und die im Eräfteplan durch cci ausgedrückt ist. 
Auf den anderen Hauptsparren BD wirkt in der Mitte bei J 
ebenfalls, aber aach allein, die senkrechte Kraft P. Wird deren 



Dachstuhl mit Winddruck. 137 

Richtungslinie bis zum Schnitte 8 mit der erstgenannten Be- 
lastung verlängert, so ist S ein Punkt der Mittelkraft der ganzen 
Last des Daches. Im Kräfteplan ist Cia = P gemacht, ac hat 
also die Richtung dieser Mittelkraft, welche nun nach ST in den 
Bauplan getragen werden kann. Um die Kräfte Qi und Qq zu 
bestimmen, haben wir uns jetzt des in §. 34 Gefundenen zu er- 
innern, vermöge dessen bei zwei unbekannten Schlusskräfben eines 
Kräftepolygons wenigstens noch zwei Angaben über die Kräfte 
vorliegen müssen. Hier lässt sich aber über die Richtungen 
von Qi und Q2 etwas feststellen. 

Der Winddruck ruft eine Horizontalkraft hervor, welche 
durch die stützenden Wände oder Pfeiler aufgenommen werden 
muss. Es ist nun in jedem besonderen Falle zu untersuchen, ob 
die beiden Stiitzen gleichviel oder ungleichviel Horizontalschub 
vertragen können , worauf dieser entsprechend zu vertheilen ist. 
Alsdann sucht man (nach §. 39) die auf die Stützen kommenden 
Antheile der senkrechten Componente der Kraft ac auf (nach- 
dem man ac in dem Schnittpunkt der ST... mit der ÄD in 
senkrechter und waagerechter Richtung zerlegt hat), und setzt 
sie mit dem betreffenden Antheil der Horizontalcomponente zu- 
sammen. Leicht kann der Fall eintreten, dass eine der Stützen 
gar keinen Seitenschub aufzunehmen vermag, wenn sie nämlich 
aus frei aufgestellten Säulen oder Pfeilern besteht. Dann kommt 
der ganze Horizontalschub auf die andere Stütze, die demselben 
mithin gewachsen sein muss. Hier ist dieser bei Bahnhofhallen 
nicht seltene Fall vorausgesetzt, nämlich angenommen, dass bei 
D nur in senkrechter Richtung Widerstand geleistet werden könne. 
Hiermit sind die Richtungen beider Kräfte festgesetzt. Verlängert 
man nämlich die Senkrechte in D bis zu dem (hier nicht gezeich- 
neten) Schnitte mit ST, und verbindet den Schnittpunkt mit A, 
so ist die Richtung der an Ä angreifenden Kraft gefunden. Diese 
und die bis jetzt gefundene Rückwirkung bei J9 sind indessen noch 
nicht die frei an A und D angreifenden äusseren Kräfte, denn es 
wirken daselbst noch Antheile der Belastungen der Dachfelder 
abwärts. Wir vertheilen jetzt, um das Fehlende noch zu finden, 
die vereinigten P und TT auf die Knoten von AB, die P auf die 
Knoten von BD und erhalten als Belastung von A die Kraft 
P, , für JE, F und O die Kraft P^ , für die First B die Kraft P„ 

für H, J, und K die Kraft P4 = j und für D die (senkrechte) Kraft 



138 



Dachstuhl mit Winddruck. 



Pj = -ä- Es ist nun im Kräfteplan gemacht cd = Pi, de = ef 

= fg = P„ jÄ = Pa, Ät = iJt = fti = P4 und la = Fi. Nnn 
endlich haben vir demnach in der Strecke 6/ die bei I) angrei- 
fende Kraft Qi und in der nicht ausgezogenen Verbindungslinie 
von b mit d ^ie bei A wirkende äussere Kraft Q|. 

Die Aufsuchung der Kräfte in dem Gespärre kann nun leicht 
vorgenommen werden. Zuerst ist bd ^ Q^ nach A£ und AL 
Fig. 121. 




zu zerlegen, wodurch die bm und md, Kraft 2 und 1 gefunden 
werden. Darauf wird fortgefahren bis zur Schlauder BO oder 
Nr. 13, für welche man die Zugkraft rs ^ 13 erhalt, indem man 
in die verticale rs mit der zu BD parallel gezogeneo As ein- 
schneidet. Nunmehr findet man rasch die Kräfte 15 bis 25 in 
der zweiten Hälfte des Gespärres. Der Eräfteplaa liefert ungleiche 
Kräfte fiir die entsprechend gelegenen Stäbe. — Die Verzeich> 



Gitterförmige Freiträger. 139 

onng der Kräfte kann auch mit der Kraft 25 , bei dem Dreieck 
xbl beginnen, and muss dann daeselbe ErgebniES liefern, was 
als Probe dienen könnte. Da aber der Punkt x durch die von 
Anfang an Terzeichenbareo Strecken bl und bx bestimmt ist, eo 
zeigt sich die Richtigkeit der ersten Zeichnung schon dadurch, 
dass die letzte Strecke wx, welche parallel KO zu ziehen ist, in 
den Punkt x trifft. In der That muse die Zeichnung mit Sorgfalt 
aasgeführt werden, damit dieses Zutreffen, d.i.SchlieBsen des letz- 
ten Kräftedreieckes, stattfindet. 

Vergleicht man die in Fig. 121 gefundenen Kräfte mit denen 
in Fig. 118, so sieht man (da der Kräftemaassstab in beiden Fäl- 
len derselbe ist), wie sehr man zur genauen Berechnung der Dach- 
stuhle den Winddruck berücksichtigen muss. Will man im vor- 
liegenden Falle ganz vollständigen AufschluEs haben, so hat man 
in einem zweiten Plane den Winddruck a,xd BD angreifend ein- 
zuführen. 

§.52. 

Kräftepläne für gitterförmige Freiträger. 

Gitteribrmige Freiträger aus Schmiedeiseu wie ans Gusseisen 
kommen in mancherlei Baunerken zur Anwendung, in Maschinen 
u. a. als Balanciers, als Auslader von Kranen u. s. w. Einige 
Beispiele solcher Träger seien hier noch vorgeführt. 

I. Freiträger mit geraden Streckbäumen. Fig. 122. 
Der hier dargestellte Träger sei in A mit einer Kraft P belastet, 

Fig. 122. 




welche senkrecht zur Sjrametrieachse des Armes gerichtet ist, 
und in S und C befestigt Der Kräfteplaa lässt sich wie folgt 



140 GitterfÖnnige Freiträger. 

erhalten. In demselben ist a 6 := P gemacht und nach den Rieh* 
tungen der Stäbe 1 und 2 zerlegt; ac und ch sind die Kräfte 1 
Fig. 123. 




und 2. Jede derselben ist in zwei andere Kräfte zu zerlegen, I in 
3 und 4, 2 in 5 und 6, was im Kräfteplan durch die Züge bee 
und ade ausgeführt ist. Nun ist Kraft 3 mit Kraft 5 zu vereini- 
gen , und die Resultante in 7 und 8 zu trennen. Zu dem Ende 
wird zuerst b ^ de nach fe getragen , worauf die Resultante fb 
in die 7 und S zerlegt werden kann. So fortfahrend, erhält man 
einen zur Achse gc symmetrischen Zug, von dem also eigentlich 
nur die Hälfte verzeichnet zu werden braucht. Die Strecken ga 
und bg^ welche zuletzt als die Resultanten von 15 mit 17, und 16 
mit 16 erhalten werden, kann man als äussere Kräfte in B und 
C anbringen, um die Träger dort zu befestigen, vorausgesetzt, dass 
die Richtungen der Kräfte in B und C nach Belieben gewählt 
werden dürfen. 

II. Zweifach belasteter Freiträger. Fig. 124. Der fol- 
gende Träger ist bei A vertical abwärts durch die Kraft Pj be- 
lastet, bei D aufwärts durch P, , bei B und C befestigt. Die 
Streckbäume AB und AC sind polygonal geformt Der Kräfte- 
plan wird für die Kräfte 1 bis 13 wie der vorige behandelt. Bei 
D sind die einander kreuzenden Stäbe fest mit einander verbun- 
den gedacht, so dass die Kraft P, auf beide Stäbe, 15 und 16, 
wirken kann; mit ihr vereinigt wirken in demselben Knoten D 
die Kräfte 12 und 13. Fügt man demnach bei d dem Zuge 13-12 
die Kraft Pj an, so ist deren Verlängerung bis zum Ursprung von 
13 die Resultante der drei Kräfte, welche nun sofort in 15 und 
16 zerlegt werden kann. Mit dieser fortfahrend erhält man die 
Kräfte bis 20 und endlich in 6/ und ea noch die äusseren Kräfte 



Gitteriormige Freiträger, 141 

Q, und Qi, welche den Kräften P, und P, das Gleichgewicht 



-J 


B„_^, 




— -=:^»1 


& 




if^h 


M 


^7 






h^^ß^ 


" ''m 




1 


H 


hH^-ff^^ 






b 



III. Gitterförmiger Kran-Auelader. Fig. 125. Diese 
Figur teigt zur Linken einen gebogen gestalteten Freiträger, wie 
er alB Anskder fiir grosse Kraue, mit mehr Feldern ausgeiuhrt, 
Fig. 125. 




gebraucht wird. In A und D greifen die Kräfte Pi und P, an, 
in B soll eine horizontale äussere Kraft Qi, iü C eine nach Er- 



142 Gitterfönnige Freiträger, 

fordemiss gerichtete äussere Kraft Qt ihren Angrifipimkt haben. 
Der Kräfteplan gibtAufschluss über die in und an dem Bauwerke 
Fig. 126. 




Torkommenden Kräfte. Was zunächst die äueseren Kräfte betrifft, 
so ist vorerst die noch unbekannte Richtung von Qt festzustellen. 
Hierfür verlängern wir P, und Pj bis zu dem Schnittpunkte E, 
suchen im Kräfteplan durch Verzeichnung des Zuges abc die Rich- 
tung EF der Mittelkraft ac der beiden Kräfte, und verlängei-n die 
Richtnngslinie der Qi bis zu ihrem Schnitte G mit der EF; dann 
ist C G die Richtung der Kraft Q^. Mit dieser Richtung und der 
horizontalen den Zug ade im Kräfteplan bildend, erbalten wir 
cd ^= Qi und da = Q^. — Nnnmehr heginnen wir mit der Zer- 
legung Yon Pi = a i in die Kräfte 1 und 2 , zerlegen 2 wieder in 
3 und 4, vereinigen 3 und 1, und zerlegen ihre Resultante in 5 
und 6. So fortfahrend erhalten wir die Kräfte bis 12 , wobei zu- 
letzt 9 und 8 in 11 und 12 zerlegt werden. Es ist nun zu 10 und 
11 noch Pj ZM fügen, und deren Resultirende' in 13 und 14 zu 
trennen. Die Kraft 11 hätte in unserer Figur auch an e ange- 
setzt werden können, worauf aber 12 mit 2 nahe zusammengefallen, 
und dadurch Undeutlichkeit entstanden wäre. Kun aber tragen 
wir 1 1 noch einmal, und zwar diesmal wirklich von e aus auf, so 



Verfahren beim Zeichnen. 143 

dass ef = II wird; dann ist der Zug 11 — 10 — P.2 gebildet 
und dessen Schlusslinie cf sofort in 13 und 14 zerlegbar. Es er- 
geben sich nun 15 und 16 aus der Resultante von 13 und 12, und 
endlich 17 als Verbindungslinie des Schnittes von 15 und 16 mit d, 
da 16 und 17 die Mittelkraft Q2 = ad haben müssen. Ist die 
Zeichnung genau, so muss 17 im Kräfteplan parallel BC fallen; 
es entsteht also auch hier eine Kontrole für die Genauigkeit' der 
Zeichnung, die sehr schätzbar ist. 

§. 53. 

SchlTissbemerkungen. 

Nachdem im Vorstehenden eine Reihe der für das vorliegende 
Buch wichtigen Aufgaben der Arithmographie und Graphostatik 
behandelt worden sind, verdient noch im allgemeinen dazu be- 
merkt zu werden, dass Genauigkeit und Sauberkeit im Zeichnen 
sehr wesentlich für die Anwendung der Methode sind. Demjeni- 
gen, der dieselbe brauchen lernen will, ist zu empfehlen, nicht zu 
viel, oder besser gesagt, möglichst wenig Buchstaben oder Zahlen 
in die Zeichnung zu schreiben, was Anfänger gerne thun, um an- 
geblich besser im Klaren zu bleiben. Die nöthigen Bezeichnun- 
gen schreibe man sehr klein und mit dünnem Strich, damit der- 
selbe leicht weggewischt werden kann. Gut gespitzte Bleistifte 
von verschiedenen Härten, ein genaues Reissbrett, sehr gut gear- 
beitete Winkelbrettchen und Lineale, gute Zirkel und Maassstäbe, 
ein aufgespannter, ja nicht bloss aufgehefteter Bogen sind Erfor- 
dernisse , welche man bei einiger Ueberlegung als selbstverständ- 
lich erkennen wird, auf die aber dennoch , der Erfahrung des Ver- 
fassers nach, auimerksam gemacht werden muss. Um die Lösun- 
gen sicher und gut auszuführen , bedarf es einer gewissen Uebung, 
deren baldige Erwerbung an einfachen Aufgaben dem Anfänger 
zu empfehlen ist. Dieselbe fördert aber auch nicht bloss die Güte, 
sondern auch das Verständniss der Arbeit, welche- dann schliesslich 
rasch und genau das Gesuchte liefert, und zwar in einer glücklichen 
Form, deshalb, weil sie der sinnlichen Wahrnehmung das Zusam- 
menfassen einer ganzen Reihe von Rechnungsresultaten gestattet 



DRITTER ABSCHNITT. 

COJ^STRUCTIOIf DER MASCHINEIf 

ELEMEIfTE. 



§.54. 

Vorbemerkungen. 

Unter den baulichen Elementen der Maschinen, welche 
auch Maschinentheile genannt werden, versteht man solche ein- 
zelne Theile oder vereinzelbare Gruppen von Theilen, welche sich 
bei allen Maschinen mehr oder weniger zahlreich vorfinden und 
wiederholen. Ihre Zahl ist nicht bedeutend, übrigens auch der 
Natur der Sache nach nicht fest bestimmbar; sie wird sich wahr- 
scheinlich nach und nach vergrössern, indem immer mehr Maschi- 
nen in das Bereich besonderer theoretischer Untersuchung gezo- 
gen werden, wodurch die Möglichkeit geboten wird, sie in Ele- 
mente der genannten Art zu zerfallen, und diese in Regeln zu 
bringen. Die nachfolgend zusammengestellten Maschinenelemente 
werden jetzt ziemlich allgemein als solche aufgefasst. 

Während in den beiden ersten Abschnitten alle Formeln all- 
gemein gehalten werden konnten, müssen sie hier für bestimmte 
Maasseinheiten ausgerechnet werden. Die hier für die Abmessun- 
gen und die Belastungen gewählten Einheiten sind der Millimeter 
und das Kilogramm; nur bei ausdrücklicher Bemerkung ist hier- 
von abgewichen. Für die Berechnungen in preussischem und 



Das Withworth'sche Schraubensystem. 145 

östreichischem Maass sind am Schlüsse des Buches die für 
Pfund und Zoll umgerechneten Formeln tabellarisch zusammen- 
gestellt; die Bedeutung ihrer Buchstaben ist mit Hilfe der beige- 
fügten Nummern leicht aufzufinden. Die Geschwindigkeiten ' 
sind im Text stets in Metern ausgedrückt und beziehen sich auf 
die Secunde als 2ieiteinheit, die Umdrehungszahlen dagegen 
auf die Minute. Als Maass für Arbeitgrössen dient das Kilo- 
grammeter (^)\ die Arbeitstärke (Intensität der Arbeit) wird 
durch dasSecundenkilogrammeter (^ gemessen; endlich dient 
zur Messung grosser Arbeitstärken die Pferdestärke = 75^. 



L SCHRAUBEN UND VERSCHRAUBUNGEN. 



§. 55. 

Das Whitworfh'sche Schraubensystem. 

^ - 

Eine der wichtigsten Anwendungen der Schrauben ist die zur 
Befestigung von Theilen aneinander. Die Befestigungsschrauben 
werden vorzugsweise mit scharfem, nur bei grossen Dimensionen 
mit fiachem Gewinde ausgeführt Für das erstere richtet man sich 
bei den Schrauben von mittlerer Stärke in Bezug auf Steigung, 
Gang tiefe und Form der Gewinde fast ganz allgemein nach den 
von Whitworth vorgeschlagenen Regeln, welche nachstehend, dem 
metrischen Maass-System möglichst angepasst, angegeben sind. 

Bezeichnet (Fig. 127): 
d den Bolzendurchmesser, 
dl den Eerndurchmesser, 
s die Ganghöhe der Schraube, 
so ist zu nehmen: 

s = l + 0,08d . . (29) 
Die Gewinde werden in anein- 
andergereihte gleichschenklige Drei- 
ecke eingezeichnet, deren Grund- 
linie = s, und deren Spitzenwinkel 
=55® ist, wonach ihreHöhefo=0,96s 
wird. Innen und aussen wird das 
Gewinde um Vefe abgerundet, so 
dass die wirkliche Gangtiefe t wird: 



Fig. 127. 



!»•>• 



i 1- 




R«iil«Aiix, der Conttructour. 



10 



(32) 



1 46 Befestigungsschrauben. 

t = Va ^0 = 0,64 8 (30) 

und der Kerndurchmesser : 

dl =0,9d — 1,3 (31) 

§.56. 

Bolzendicke, Schraubenmutter, Schraubenkopf. 

Der Bolzendurchmesser wird sehr häufig nach dem Gefühl 
bestimmt. Bei gegebener, in der Achsenrichtung der Schraube 
auf diese wirkender Kraft P ist zu nehmen (Morin): 

P = 2,2^2 ^ 

dl = 0,67 VP 

Die Schraubenmutter wird gewöhnlich sechsseitig, seltener 
vierseitig, hier und da auch cylindrisch gemacht; wir beschränken 
uns hier auf die Behandlung der sechsseitigen Muttern. Die 
Höhe derselben ist in den gewöhnlichen Fällen = d zu nehmen, 
um den Flächendruck auf die Gewinde zwischen die Grenzen 0,5 
und ungi^hr 1^ einzuschränken. Ferner nehme man den Durch- 
messer des dem Sechseck oder Quadrat des Grundrisses der Mut- 
4;er eingeschriebenen Kreises 

bei bearbeiteten Muttern: 

D = 5 + l,4d (33) 

bei unbearbeitet bleibenden Muttern: 

2>i = 7 + l,45d (34) 

Bei bearbeiteten Muttern wird die obere Fläche gewöhn- 
lich entweder nach einem Kegel vom Basisdurchmesser 2> und 
dem Basiswinkel 30® abgestumpft, Fig. 128, oder nach einer Kugel 
vom Halbmesser ^/^D abgerundet (Fig. 129), bei unbearbeiteten 
die Ecken unten und oben nach dem eben erwähnten Kegel abge- 
stumpft (Fig. 130). An der unteren Fläche werden die bearbeite- 
ten Muttern kkum bemerklich abgekantet. Die kugelige Abrun- 
dung der Muttern , welche namentlich bei den aus Sechskanteisen 
hergestellten sehr leicht anzubringen ist, darf als die gefälligere 
bezeichnet werden. 

Die Unterlegscheibe erhält einen Durchmesser (7 = Va-^ 

resp. Vs A und eine Dicke m = — . Ihre obere äussere Kante 

wird abgeschrägt oder mit einer Hohlkehle verziert. 

Der Schraubenkopf wird gewöhnlich mit sechsseitiger oder 
auch mit quadratischer Grundfläche ausgeführt, und erhält, ob 



> 



Befestiguugsschrauben. 147 

bearbeitet oder unbearbeitet, die Breite D = 5 -{- l,4d und die 
Höhe h =^ 0,7 ä. Nach den hier gemachten Angaben ist die fol- 
gende Tabelle berechnet 

Fig. 128. Fig. 129. Fig. 130. 




Tabelle über die schar^ängigen Schrauben. 



Fig. 131. 




Es bezeichnet in der umstehenden Tabelle, 

d den BolzendurcbmeBser der Schraube; 

dl den Kemdurchmessur ; 

n dieZahlderGsngeauflO'™Bolzenläuge; 

D den DurchmesBer des dem Sechseck oder 
Quadrat der bearbeiteten Schrau- 
benmutter eingeschriebenen Kreises; 

Dl dieselbe ÄbmesBung bei der unbear- 
beiteten Mutter; 

Ü und üi den Durchmesser der bearbeite- 
ten und der unbearbeiteten Unter- 
legscheibe ; 

u deren Dicke; 

h die Höhe des Schraubenkopfes ; 

P die der Schi-aube anzuhängende Last; 

c/„ den Bolzendurchmesser der Whit- 
worth'schen Scalain englischenZoll: 
welcher d am nächsten entspricht; 

n, die zugehörige Anzahl der Schrauben- 
gänge auf einen Zoll englisch. 
10« 



148 Scharfgängige Befestigungsschrauben. 

Beispiel, Für eine Schraube, welche einem Zug von 1200* ausge- 
setzt werden soll, ist nach dieser Tabelle su benutzen Nro. 9,; es wird 
d = 27f p == 1%; die Mutter erhält, wenn sie unbearbeitet bleiben soll, 
einen Durchmesser von 47"^^, eine Höhe von ^*"; der Kopf eine Breite 
von 47"^^, eine Höhe von 19"^^; die Unterlegscheibe erhält 65-* Durch- 
messer und 5""» Dicke. 



1 


Kern 


Gänge 
n 


Mu 
2> 


tter 


Scheibe 


Kopf 
h 


Last 
P 


\Miitworth 


U 


Ui 


u 


d. 


nw 


m 






bearb. 


roh. 


bearb. 


roh. 












6 


4,1 


7 


13 


17 


17 


21 


2 


4 


37 


Vi 


20 


8 


5,9 


6 


16 


19 


21 


25 


2,5 


6 


77 


%« 


18 


10 


7,7 


5% 


19 


22 


25 


29 


3 


7 


130 


% 


16 


12 


9,5 


6 


22 


25 


29 


33 


3 


8 


199 


% 


12 


15 


12,2 


4% 


26 


30 


34 


40 


4 


10 


327 


% 


11 


18 


14,9 


4 


30 


34 


40 


45 


4 


13 


488 


»A 


10 


21 


17,6 


3% 


34 


38 


45 


51 


4 


15 


681 


Vs 


9 


24 


20,3 


3 


39 


43 


52 


67 


4 


17 


907 


1 


8 


27 


23,0 


3 


43 


47 


57 


63 


5 


19 


1164 


iVs 


7 


30 


25,7 


SVa 


47 


62 


63 


69 


6 


21 


1453 


1V4 


7 


84 


29,3 


2% 


63 


67 


70 


76 


6 


24 


1889 


IVs 


6 


88 


32,9 


2V2 


58 


64 


77 


85 


6 


27 


2381 


ly« 


6 


42 


36,5 


278 


64 


69 


85 


92 


6 


29 


2931 


1% 


5 


46 


40,1 


2^ '8 


09 


75 


92 


100 


7 


32 


3528 


iVi 


5 


60 


43,1 


IVs 


75 


81 


100 


108 


7 


35 


4087 


iVs 


472 


66 


48,2 


IVs 


82 


88 


105 


114 


8 


38 


6111 


2 


4% 


60 


52,7 


1% 


89 


95 


116 


124 


9 


42 


6110 


274 


4 


65 


57,2 


1% 


96 


102 


125 


133 


10 


45 


7198 


2% 


4 


70 


61,7 


•lys 


103 


109 


134 


142 


10 


49 


8375 


2»A 


37, 


75 


66,2 


1% 


110 


117 


143 


152 


11 


52 


9641 


8 


372 



Bemerkung. Es unterliegt keiner Frage, dass auch andere als die 
hier gegebenen Yerhältniese für die Ausführung der Muttern und Köpfe gut 
geeignet sein können; indessen ist es sicherlich zu empfehlen, sich an ein 
Dimensionensystem anzuschliessen, namentlich in einer und derselben Fabrik 
mit (Konsequenz an einem solchen festzuhalten. Ein Hilfsmittel hierfür gibt 
§. 59 an. 



Befestigungsschrauben. 



149 



§.58. 

Das Sellers'sche SchraubensysteixL 

Der Amerikaner Seilers hat vor einigen Jahren ein System 
von Verhältnisszahlen für Befestigungsschrauben bekannt gemacht*), 
und seitdem in Amerika mit Erfolg einzuführen gesucht, welches 
sich durch einige Vorzüge von dem Whitworth'schen unterschei- 
det, und deshalb die Aufmerksamkeit der Techniker verdient. Es 
scheint daher angemessen, hier einige Angaben darüber zumachen. 
Das Sellers'sche System entscheidet wie das Whitworth'sche 
über Steigung, Gangtiefe und Form der Gewinde, ausserdem noch 
über die Dicke der sechs- und vierseitigen Muttern. Nach Seilers 
ist zu nehmen, wenn die Bezeichnungen wie in §. 56 gültig bleiben, 
Fig. 132, die Maasse aber ausnahmsweise in englischen Zollen 

Fig. 132. verstanden werden: 

u d s = 0,24 Vd + 0,625 — 0,175 (35) 

W Die Dreiecke, in welche die Ge- 
winde eingezeichnet werden, sind 
gleichseitig, der Eantenwinkel 
wird also 60^, die Höhe ^ des 
Gewindedreieckes = 0,866 s. In- 
nen und aussen wird das Gewinde 
um Vs der Dreieckhöhe Iq gerad- 
linig abgestumpft, so dass die 
wahre Gewindetiefe t wird: 
^= 3/^^^ = 0,65 s . . . (36) 
Der Kerndurchmesser wird nun: 

di=d — 0,312 Vd -f 0,625 + 0,227 .... (37) 
Den kleineren Durchmesser der sechsseitigen Mutter ebenso wie 
den der vierseitigen nimmt Seilers: 

2> = 0,125 + 1,5 d (38) 

Es verdient bemerkt zu werden, dass Seilers seine Schrauben- 
schneidemaschinen so eingerichtet und mit solchen sehr ange- 
messenen Zuthatcn versehen liat, dass man mit grosser Genauig- 
keit die Gewinde seiner Scala daraufschneiden, also die Stamm- 




_>. 



•) Franklin Institute, April 1864. Die dort mitgethcilten Formeln sind 
hier wegen Harmonie mit dem vorigen in der Form etwas umgestaltet. 



150 Das Sellers'sche Schraubensystem. 

bohrer zu den Gewinden darauf herstellen kann. Entsprechende 
Einrichtungen für das Whitworth-Gewinde lassen sich nament- 
lich wegen der Bogenform der Eantenabstumpfung nicht leicht 
durchführen, ein Grund, weshalb die Whitworth-Gewinde verschie- 
dener Fabriken oftmals nicht aufeinander passen. 

Für Millimeter erhielte man auö obigen Formeln: 

s = 1,208 yrf+ 16 — 4,43 

(39) 



di = d— 1,57 Vd+ 16 -f 5,75 
2>= 3,17 + 1,5 d 

welche Zahlen fiir eine etwa beabsichtigte wirkliche Benutzung 
für Metermaass noch passend abzurunden sein würden. 

Für d = 20 84 

ergibt (29) s = 2,6 7,72 

und (39) s = 2,8 7,65 

wonach die Steigungen nach W. sich wenig von denen nach S. 
unterscheiden. 



§. 59. 

Proportionsriss der Schraubenmutter. 

Für die geregelte und wiederholte Ausführung der Schrauben- 
muttern in Fabriken ist es zweckmässig, dieselben in allen ge- 
bräuchlichen Grössen ein- für allemal zu verzeichnen, damit 
Schwankungen in den Abmessungen und unnütze Wiederholungen 
vermieden werden. Wird ein Exemplar einer solchen Zusammen- 
stellung in die Werkstätte gegeben, ein anderes auf der Zeichen- 
stube behalten, wie es in vielen Fabriken geschieht, so kann in 
dem vorliegenden kleinen und doch so wichtigen Fabrikations- 
gebiete Ordnung und Genauigkeit stets gewahrt bleiben. Eine 
solche Zusammenstellung, welche gleichsam eine Ausarbeitung der 
obigen Tabelle darstellt, lässt sich aber, und dies gilt als zweck- 
mässig namentlich für das Exemplar der Zeichenstube, in eine 
einzige Figur zusammendrängen. In Fig. 133 ist ein der- 
artiger Riss, welchen man passend Proportionsriss nennen kann, 
dargestellt. Derselbe gilt für bearbeitete Schraubenmuttern 
und enthält auf den mit I., IT., III. . . . bezeichneten Transversalen 
die Grössen der auf die Linie AB projicirten Abmessungen der 




Proportionsriss der Schraubenmutter. 151 

Mutter für diejenige Schraubendicke d, welche von den genannten 
Transversalen durch die Strahlen — 1 und — 2 abge- 
schnitten wird. 

Um diesen Proportionsriss anzufertigen, verzeichnet man die 
bearbeitete Schraubenmutter für den grössten vorkom- 



Fig. 133. 




menden Bolzendurchmesser d 
nach den gegebenen Verhält- 
nisszahlen ; projicirt alsdann 
alle Abmessungen auf eine zur 
Schraubenachse hier normal ■ 
gelegte Gerade AB, und zieht 
von den Punkten 1 und 2, wel- 
che die Bolzendicke d ein- 
Bchliessen, Strahlen nach einem 
auf der verlängerten Schrau- 
benachse belegenen Punkte 0. 
Hierauf zieht man Parallelen 
I-, n., III zu AB in sol- 
chen Abständen, dass die ge- 
nannten beiden Strahlen auf 
ihnen die Bolzendicken, für 
welche Muttern gebraucht wer- 
den , als Abschnitte zwischen 
sich fassen. Diese Abschnitte 
sind dann zugleich die Höhen der zugehörigen Muttern. Alle anderen 
Dimensionen aber sind auf die Einheit D = 5 -\- 1,4 d' bezogen, 
und dieser direkt proportional. Sie werden also = Null, wenn 
1) = Null wird, d. h. wenn 5 + l,4d = 0. Dies ergibt aber 

d = — -j-j, d. i. = — 3,6"". Verlängert man also die Strahlen 

I — und 2 — über hinaus, bis der zwischen sie fallende 
Abschnitt ]} 9' einer Parallelen zu AB die Grösse 3,6"" hat, so ist 
der Punkt P, in welchem pq die Achse schneidet, der Punkt 
des Co ordinaten Systems der d, v/o D ^ Null wird. Zieht man 
daherjetztdie Strahlen P, 3, PA, P.5 u.s.w., so schliessen diese auf 
den Transversalea I., IL, III. ... die gesuchten Dimensionen der 
Muttern, deren Bolzendicken auf denselben Transversalen liegen, 
ein. Man kann in den Riss alle Dimensionen, auch unwichtige, 
aufnehmen , wie die Scheibendicke 7 — 9 , auch etwa deren Ab- 
schrägung u. s. w. Die Abmessung 5 — 6 stellt die Länge der 



152 Proportionsriss der Schraubenmutter. 

Sechseckseite dar, 3 — 10 die Länge aV = ah des Krümmungs- 
halbmessers der kugeligen Abrundung der Mutter. 

Ein solcher Proportionsriss ist, wie man sieht, ganz leicht her- 
zustellen. Einen zweiten hat man für die unbearbeiteten Muttern 
auszuführen, kann ihn auch für andere Gonstructionstheile der 
Schrauben, z. B. für die Ankerplatte Fig. 147, nützlich verwenden, 
überhaupt denselben für alle Verzeichnungen, die nach Verhält- 
nisszahlen geschehen, benutzen. Es werden deshalb im Verfolg 
dieses Abschnittes jeweilig Proportionsrisse der zu behandelnden 
Maschinentheile als Beispiele mitgetheilt werden. Man findet 
solche in einzelnen Fabriken in Gebrauch, u. a. für Zapfenlager, 
wozu sie sich trefilich eignen; geschickte Modellschreiner lernen 
bald nach einem solchen Riss jede einzelne Lagernummer zu mo- 
delliren. Der Proportionsriss ist eines von jenen Hilfsmitteln, mit- 
telst deren der Construirende die zeitraubenden Detail-Arbeiten 
abzuktLrzen vermag, um seine Thätigkeit den schwierigen neuen 
Constructionen zuwenden zu können. 

§. 60. 

4ar0lrichte der Muttern, Scheiben und Köpfe 

der Schrauben nach Tabelle §. 55. 



1 


Mutter 


Scheibe 


Kopf 
D 


d 

N 


Mutter 


Scheibe 


Kopf 
D 


bearb. 


roh. 


bMurb. 


rob. 


bearb. 


rob. 


bearb. 


rob. 


6 


0,006 


0,010 


0,003 


0,005 


0,006 


34 


0,402 


0,503 


0,098 


0,120 


0,526 


8 


0,011 


0,016 


0,006 


0,008 


0,011 


38 


0,528 


0,709 


0,142 


0,181 


0,710 


10 


0,018 


0,026 


0,009 


0,012 


0,020 


42 


0,701 


0,888 


0,170 


0,206 


0,945 


12 


0,027 


0,040 


0,012 


0,015 


0,031 


46 


0,874 


1,141 


0,232 


0,287 


1,202 


15 


0,048 


0,070 


0,020 


0,028 


0,056 


50 


1,122 


1,436 


0,270 


0,309 


1,M4 


18 


0,073 


0,104 


0,027 


0,038 


0,089 


55 


1,469 


1,898 


0,369 


0,442 


2,035 


21 


0,107 


0,147 


0,036 


0,046 


0,134 


60 


1,868 


2,810 


0,477 


0,581 


2,609 


24 


0,161 


0,222 


0,046 


0,057 


0,201 


65 


2,844 


2,902 


0,559 


0,668 


3,357 


27 


(V121 


0,278 


0,066 


0,083 


0,282 


70 


2,925 


3,541 


0,713 


0,860 


4,073 


30 


0,281 


0,381 


0,079 


0,101 


0,365 


75 


3,572 


4,384 


0,897 


1,032 


4,982 




Gewichte der Schrauben etc. 153 

Die hier angegebenen Gewichte der Schraubenmuttern setzen 
letztere leer voraus und sind unter Vernachlässigung des Ge- 
windeinhalts und der Abrundungen ermittelt, geben also das 
Gewicht um ein Unbedeutendes zu hoch an. Das Gewicht des 
Schraubenbolzens bestimmt sich aus der nachfolgenden Tabelle; 
als Bolzenlänge ist immer das Maass vom Kopfe bis zum Ende 
der Schraube, nicht etwa das Maass zwischen Kopf und Mutter 
einzuführen. 

Beispiel 100 Stück Schrauben von ^i""» Dicke, 200^"^ Länge mit 
unbearbeiteten Muttern und Scheiben wiegen nach der vorstehenden und 
der folgenden Tabelle: 

100 . 2,00 . 0,269 + 100 (0,147 + 0,046 + 0,134) 
= 53,8 + 32,7 = 86,5^ , 

das einzelne Stück also 0,865^. Bearbeitet wiegen Mutter und Scheibe 
0,147 + 0,046 — 0,107 — 0,036 = 0,050^ weniger. 



§.61. 

Gewichte der schmiedeisemen Bundeisenstäbe. 

Die in der folgenden Tabelle angegebenen Gewichte sind ge- 
funden aus der Formel (? = 100. ?d«. 0,00000779 = 0,00611825 d»; 

4 

es ist also das specifische Gewicht des Schmiedeisens mit der Grösse 
7,79 in Rechnung gebracht. Die Tabelle ist so weit ausgedehnt, 
dass sie auch zur Gewichtberechnung cylindrischer Wellen u. s. w. 
dienen kann. Gusseiseme Cylinder von der angegebenen Grösse 
sind 0,93 mal, bronzene 1,092 mal so schwer als die schmied- 
eisemen. Für grössere Durchmesser als die aufgenommenen lassen 
sich durch Stellenversetzung leicht wenigstens Näherungswerthc 
entnehmen. 

Beispiele, Eine schmiedekerne Welle von 3" Länge um 4Ö5""* Durch- 
messet wiegt nach Spalte 4 a. f. S, Zeile 23 und 24 annähernd 

30 , ^^^ + ^^^^^ = 30 . 143,95 <y>^ 4319^. 

Dieselbe Welle in Gusseisen ausgeführt, würde 0,93 . 4319 = 4017^ 
wiegen. — Ein Bronze- Cylinder von 500"^"* Länge und 50"*"^ Dicke wiegt 
nach Spalte 4 Zeile 25: 1,092 . 5 . 1,53 = 8,55*. — Eisendraht von i"- 
Dicke wiegt pro 100"^ nach Zeile 1 Spalte 2: 1000 . 0,0006 = 0,6*. 



154 



Berechnung der Schraubengewichte. 



Tabelle über die Gewichte der Bundeisenstäbe 

von 100°*"* Länge. 





d 


G 


d 


G 


d 


G 


d 


G 


d 


G 


1 


0,0006 


26 


0,414 


51 


1,591 


76 


3,534 


101 


6,241 


2 


0,0024 


27 


0,446 


52 


1,654 


77 


3,628 


102 


6,365 


3 


0,0055 


28 


0,480 


53 


1,719 


78 


3,722 


103 


6,491 


4 


0,0098 


29 


0,515 


54 


1,784 


79 


3,818 


104 


6,617 


5 


0,0153 


30 


0,551 


55 


1,851 


80 


3,916 


105 


6,745 


6 


0,022 


31 


0,588 


56 


1,919 


81 


4,014 


106 


6,874 


7 


0,030 


32 


0,627 


57 


1,988 


82 


4,113 


107 


7,005 


8 


0,039 


33 


0,666 


58 


2,058 


83 


4,215 


108 


7,136 


9 


0,050 


34 


0,707 


59 


2,129 


84 


4,317 


109 


7,275 


10 


0,061 


35 


0,749 


60 


2,203 


85 


4,420 


HO 


7,4(» 


11 


0,074 


36 


0,793 


61 


2,277 


86 


4,525 


111 


7,538 


12 


0,088 


37 


0,838 


62 


2,352 


87 


4,631 


112 


7,675 


13 


0,103 


38 


0,883 


63 


2,428 


88 


4,738 


113 


7,812 


14 


0,120 


39 


0,931 


64 


2,506 


89 


4,846 


114 


7,951 


15 


0,138 


40 


0,979 


65 


2,585 


90 


4,956 


115 


8,091 


16 


0,157 


41 


1,028 


66 


2,665 


91 


5,067 


116 


8,233 


17 


0,177 


42 


1,079 


67 


2,746 


92 


5,178 


117 


8,376 


18 


0,198 


43 


1,131 


68 


2,829 


93 


5,292 


118 


8,519 


19 


0,221 


44 


1,184 


69 


2,913 


94 


5,406 


119 


8,664 


20 


0,245 


45 


1,239 


70 


2,998 


95 


5,522 


120 


8,810 


21 


0,270 


46 


1,295 


71 


3,084 


96 


5,639 


121 


8,958 


22 


0,296 


47 


1,352 


72 


3,172 


97 


5,757 


122 


9,106 


23 


0,324 


48 


1,410 


73 


3,260 


98 


5,876 


123 


9,256 


24 


0,352 


49 


1,469 


74 


3,350 


99 


5,996 


124. 


9,407 


25 


0,382 


50 


1,530 


75 


3,442 


100 


6,118 


125 


9,560 




Berechnung der Schraubengewichte. 



155 



Tabelle über die Oewlchte der Bundeisenstäbe 

von 100""" Länge. 



d 


G 


d 


G 


d 


G 


d 


G 


d 


G 


126 


9,713 


151 


13,950 


176 


18,952 


201 


24,718 


226 


30,249 


127 


9,868 


152 


14,136 


177 


19,168 


202 


24,965 


227 


30,527 


128 


10,024 


153 


14,322 


178 


19,385 


203 


25,213 


228 


30,805 


129 


10,181 


154 


14,510 


179 


19,603 


204 


25,462 


229 


31,085 


130 


10,840 


155 


14,699 


180 


19,823 


205 


25,712 


230 


32,366 


181 


10,500 


156 


14,889 


181 


20,044 


206 


25,963 


231 


32,648 


132 


10,660 


157 


15,081 


182 


20,266 


207 


26,216 


232 


32,931 


133 


10,823 


158 


16,274 


183 


20,489 


208 


26,470 


233 


33,215 


134 


10,986 


159 


15,468 


184 


20,714 


209 


26,725 


234 


33,401 


135 


11,151 


160 


15,663 


185 


20,940 


210 


26,975 


235 


33,788 


136 


11,316 


161 


16,859 


186 


21,167 


211 


27,239 


236 


34,076 


137 


11,483 


162 


16,057 


187 


21,395 


212 


27,498 


237 


34,366 


138 


11,652 


163 


16,256 


188 


21,624 


213 


27,758 


238 


34,656 


139 


11,821 


164 


16,456 


189 


21,855 


214 


28,019 


239 


34,948 


140 


11,992 


165 


16,657 


190 


22,087 


215 


28,282 


240 


35,241 


141 


12,164 


166 


16,869 


191 


22,320 


216 


28,546 


241 


35,536 


142 


12,337 


167 


17,068 


192 


22,654 


217 


28,810 


242 


35,831 


143 


12,511 


168 


17,268 


193 


22,790 


218 


29,076 


243 


86,128 


144 


12,686 


169 


17,474 


194 


23,027 


219 


29,344 


244 


36,426 


145 


12,861 


170 


17,682 


195 


23,265 


220 


29,612 


245 


36,725 


146 


13,042 


171 


17,890 


196 


23,504 


221 


29,882 


246 


37,026 


147 


18,221 


172 


18,100 


197 


23,744 


222 


80,153 


247 


37,327 


148 


13,301 


173 


18,811 


198 


23,986 


223 


80,425 


248 


37,630 


149 


13,583 


174 


18,524 


199 


23,229 


224 


30,699 


249 


87,934 


150 


13,766 


175 


18,737 


200 


24,473 


225 


80,974 


250 


38,239 



Besondere Schraubcnkop£Formen. 



§.62. 

Andere Formen für Befestigunsssolirauben. 

Statt des vier- oder sechsseitigen Schraubenkopfes wendet man 
unter Umständen die in Fig. 134 bis 138 angegebenen Köpfe an, 
Fip, 134. Fig. 135. Fip. 130. Fig. 137. Fig. 138. 



^^P'"^ -^ ^ ''^^P 




wovon die beiden letzten versenkt sind. Alle sind mit einem 
Kopibalter versehen, einer Vorrichtung, welche die Schraube 
hindert, sicli heim Anziehen der Mutter zu drehen. 

Weitere Umgestaltungen des Schraubenkopfes zeigen die folgen- 
den Figuren. Fig. 139 ankerformiger Kopl^ von der Seite in das eine 

Fig. 139. Fig. liO. Fig. Ul. Fig. 142. Fig. HS. 




der zu verbindenden Stücke eingelegt; neuerdings formt man diesen 
Kopf auch rund (s. die Punktirung), was das Versenken desselben 



Fmiclament-Anker. 



157 



erleichtert Fig. UO Oehrschraiibe, bei Stopfbüchsen oft zu finden. 
Fig. 141 bis 143 Schrauben mit Ankerkopf, welcher von oben durch 
das untere der zu verbindenden Stücke eingeführt, und vermittelst 
einer Drehung um 90» in die richtige Stellung gebracht wird. Der 
bei allen dreien vorhandene Kopfhalter ist bei Fig. 143 an dem 
Ankerkopfe selbst angebracht. Die beiden letzten Formen der Be- 
festigungsschraube sind manchmal recht praktisch, und verdienen 
vielfache Verwendung, u. a. bei den Zapfenlagern (siehe diesen 
Gegenstand), wo sie eine grosse Bequemlichkeit gewähren. 

Fig. 144 Fundamentanker für die Fälle, wo gusseiserne Grund- 
platten benutzt werden. Auch hier wird der Bolzen von oben ein- 



Fig. 144. 



Fig. 145. 




gesenkt (täiehe die I'unktirung rechts unten), darauf um 90" ge- 
dreht und in die Höhe gezogen. Beim Gebrauch von Quadern 
wird das Schraubenloch im Stein unten mit einer passenden Gnss- 
eisenkapsel abgeschlossen. Der Vortheil, dass der Anker jederzeit 
herausgehoben werden kann, und die Gründungsmauerung so ein- 
fach wird — bei derselben können nämlich särafntliche Anker- 
kauäle, welche bei der in Fig. 147 folgenden Construction unent- 
behrlich sind, erspart werden — ist für manche Fälle nicht gering 
anzuschlagen. 

Fig. 145 Schraube mit Hakenkopf oder Hakenschraube. 
Bei dieser ist von dem Ankerkopfe nur der eine Flügel belassen. 



1B8 Fundament-Anker, 

Der Vierkant unter dem Haken dient als Kopfbalter. Diese 
Schraube eignet sich sehr gut zum Befestigen von Lagern und 
anderen Theilen an den eisernen Gebälken der feuersicheren 
W erksaaldecke n. 

Oft ist es nicht möglich oder nicht bequem, einen Schrauben- 
kopf anzuwenden; derselbe wird dann auf eine der folgenden Wei- 
sen ersetzt. Fig. 146 Einsenkscbraube , zum Einlassen und Ein- 
giessen in Quaderstein bestimmt. Fig. 147 Fundament- oder 
Gründungsanker mit gusseiserner Druckplatte. 
Fig. HG. Fig. U7. 




Fig. 148 und 149 Ersetzung des Kopfes durch Querkeil und 
Streifkeil. In diesen beiden Figuren sind gleichzeitig zwei Manie- 
ren, die Schraubenmuttern im Kleinen zu zeichnen, angegeben; 
die erstere einfachere (Fig. 148) ist für ganz kleine Zeichnungen 
besonders zu empfehlen. Beide Zeichnungsarten setzen indessen 
wohlverstanden voraus, dass die Ausführung der Muttern nach 
den Formen in Fig. 129 bis 131 geschehe. 

Fig. 150 und 151 Schraubenstifte. Fig. 152 Kopfschraube. 
Bei kleinen Ausführungen erhält der Kopf eine cylindriscbe oben 



Fundament -Anker. 159 

gewölbte Form mit einem Schnitt zur Aufuahme eiues Schrauben- 
ziehers ; die Schraube heisst dann Schnittschraube oder Schraube 
mit Schnittkopf. 

Fig. 14S. Fi^. 149. Flg. 150. Fig. 151. Fig. 1G2. 




Fig. 153 Schraube mit Zwischenkopf, zum Verbinden dreier 
Stücke; der Zwischenkopf wird auch häufig vierseitig gemacht; 
die runde Form ist indessen für genaue Ausführungen vorzuziehen. 
Fig. 153. FJE. 154. 




Fig. 154 Stehbolzen, zum Verbinden zweier von einander ent- 
fernt zu haltenden Stücke. 



Schraubenschlüssel. 



§.63. 
SchraubenschlüBseL 



Die Schraubenschlüssel sind Hebelarme zum Anfassen und 
Umdrehen der Scliraubenmuttem oder Schraubenköpfe. Die ein- 
fachen Schlüssel, von denen in Fig. 155 zwei dargestellt sind, er- 




halten, wenn sie für sechs- oder vierseitige Muttern und Köpfe be- 
stimmt sind , ein gabelförmiges Maul und einen flachen oder run- 
den Stiel, letzteres namentUch, wenn sie vielgebrauchte Hand- 
gchlüssel sein sollen. Sie erhalten gute Abmessungen, wenn man 
sie nach der Einheit D = 5 -\~ l,id, der Dicke der Schrauben- 
muttern nach Formel (33) constniirt. Doppelschlüssel erhalten 
an beiden Enden des Stieles ein Schlüsselmaul. Bei beengtem 
Baum für die Bewegung des Stieles bedient man sich der Doppel- 
schlüssel mit zwei gleicbweiten Maulem, die zur Verbindungslinie 



Schrauben- Sicherungen. 1 G 1 

<ler Maulmitten um den halben Polygonwinkel des Profiles der 
Mutter, also beim Sechseck um 30», beim Quadrate um 45» ver- 
setzt stehen. Solche Schlüssel, welche S- Schlüssel heissen, ge- 
währen den Vortheil, dass man bei abwechselndem Gebrauch der 
beiden Mäuler jedesmal die Mutter um den halben Polygonwinkel, 
bei unserem Beispiel also je um 30<> oder Via Umdrehung drehen 
kann, und dabei der Schlüsselstiel sich beim Anfang jeder neuen 
12tel- Drehung in derselben Lage befindet. Derselbe muss aber 
deshalb ähnlich gegen beide Mäuler gelegen sein. Zu dem Ende 
beschreibt man aus dem Mittelpunkte M der Schlüssellänge mit 
der halben Stielbreite einen Kreis, und legt an diesen die paralle- 
len Tangenten, welche dann als Begrenzungslinien des Stieles 
dienen. Die Anwendung eines Proportionsrisses (s. §. 59) ist 
beim Verzeichnen der Schlüssel nach vorstehenden Mustern sehr 
zu empfehlen. 

§.64. 

Schrauben - Sicher imgen. 

Die Befestigungsschrauben erhalten nach den oben angege- 
benen wie auch nach anderen gebräuchlichen Regeln so kleine 
Steigungswinkel — 4V2^ bei d = 6""*, P/s^ bei d = 75'"'" — , dass 
der Druck in der Richtung der Schraubenachse die Mutter nicht 
rückwärts zu drehen vermag, indem die Reibung dies verhindert. 
Werden indessen solche Schrauben fortwährend stark gerüttelt 
und gestossen, so kann dem stärksten Anziehen der Mutter zum 
Trotz das Loswerden doch eintreten und die Zuverlässigkeit der 
Verbindung gefährden. Noch mehr ist dies zu befürchten,, wenn 
das Anziehen nicht mit voller Kraft, sondern nur massig zu ge- 
schehen hat, um etwa mittelst der Schraube einem der zu verbin- 
denden Theile nur eine bestimmte Stellung anzuweisen, wie dies 
bei Lagerverschraubungen und ähnlichen Constructionen gefordert 
wird. Diese Unsicherheit der einfachen Verschraubung findet 
schon bei gewöhnlichen Dampfmaschinen statt, noch mehr aber 
bei den Locomotiven und Schiifmaschinen, insbesondere denen der 
Kriegsdampfer wegen des Rückstosses der Geschütze. In diesen 
und ähnlichen Fällen fügt man jetzt der Schraube eine Fest- 
stellungs-Vorrichtung oder Sicherung hinzu, von welcher 

Benleanx, der Constructeor. 21 



162 Schrauben - Sicheningon. 

Einrichtung einige gute Ausfuhningsarten hier vorgeführt werden 

mögen. 

Eine der gebniuchtichsten und ältesten Sicherungen ist die 
mit der Gegenmutter, Fig. 156. Beide Muttern werden mit 
ebenen Stirnfläclien versehen, damit sie sich gut aneinander 
anlegen. Manche setzen aus Festigkeitsriickaichten die Gegen- 
mutter unter die Hauptmutter, was aber nicht nötbig ist, da die 

Mutter wegen der Gewindefestigkeit nur etwa -^ hoch zu sein 

brauchte. Fig. Iü7 Sicherung mit Splissstift oder -Nagel, manch- 

Fig. lÖG. Fiff. 1S7. Flg. 168. 



@-r^ 




mal mit der Gegenmutter zugleich in Anwendung. Fig. 158 Siche- 
rung mit Splisskeil, sehr zweckmässig, weil nach erfolgtem Nach- 
ziehen der Mutter der Keil ebenfalls nachgetrieben werden kann. 
Splissstift und -Keil Enden sich auch nicht selten mitten durch die 
Mutter getrieben oder auch nur oben eingestrichen. In allen drei 
Fällen besteht die Sicherung in einer Befestigung der Mutter an 
der Schraube. Etwas ähnliches gilt von den drei folgenden Siche- 
rungen, wo das Festhalten des Kopfes denselben, also auch die 
Schraube, mit dem Stücke, in welches das Muttergewinde geschnit^ 
ten ist, verbindet Fig. 159 bei Federgehängen der Locomotiven 
(Borsig) angewandt, Fig. 160 beim Verschluss der Oelgefasse an 
Pleuelköpfen der Locomotiven, Fig. 161 bei Stellschrauben an sol- 
chen Pleuel köpfen gebraucht. 

Bei den folgenden Constructionen verhindert die Sicherung 
die Drehbarkeit der Mutter gegen eines der zu befestigenden 



Schrauben -Sicherungen. 163 

Stücke, set^t also die Undrehbarkeit der Schraube selbst schon 
voraus (Kopfhalter). Fig. 162 für Lagerdeckelschrauben angewandt; 
die Stütze neben der Mitte des Stiftes schützt denselben gegen 



Fig. 159. 



Fig. IGO. 




Ausbiegung, Fig. 163 bei Dampfkolben benutzt, am die Kolben- 
deckelschraaben gemeinschaftlich zu sichera; Fig. 164 sogenannte 
Legescblüssel, bei Lagerdeckcischrauben, auch zwei- und noch 
Fig. 162. Fig. 163. Fig. 1G4. 




mehr&ch angewandt; yermöge seiner Einkerbungen erlaubt dieser 
Legeschlüssel zwischen je zwei Sicberstellungen ganze I2tel- Dre- 
hungen der Mutter, während die beiden vorigen Einrichtungen 
nur ganze 6tel-Drehangen gestatteten. 

Die Sicherung von Pregel*) gestattet ganze 8tel-Drehun- 
gen zwischen je zwei Sicherstellungen. Die Unterlegscheibe be- 
steht aus einem Stück mit der Mutter. Der SicherungsBchlüssel 



*) Zeitachr. de« östcir. Ing.- a. Ärch. V., 1866, S. 209. 



i(i4 Schrauben- Sicherungen. 

kann, wenn nöthig, in seine Kerbe festgestemmt werden. Fig. 16ß, 

für Stopfbüchsscbraubtin vielfach in Anwendung, namentlich bei 

Locomotiven. Das Zahnrädcheii ist wieder wie Yorhin fest an der 

Mutter, 

Fig. 1G5. Fig. 166. 




Fig. 167. Sicherung fiir Federgehängschrauben der Locomo- 
tiven (Borsig), Das Anspannen des Federgehänges geschieht durch 
Drehung der Schraube, auf deren Kopf die Sicherungskappe sitzt; 
diese umgrcill die das Federende belastende Pianne und gestattet 
Flg. 168. 




ganze 6tel-Drehungen. Fig. 168 Mutter mit Klemmschraube, sehr 
nützliche, für Lager, Federgehänge und viele andere Verschrau- 

bungen geeignete Sicherung (Penn), beliebig kleine Drehungen 
gestattend. Die Mutter mnss ein wenig dicker gehalten werden 
als gewöhnlich, damit der untere cjlindrische Theil nicht zu dünn 
ausfällt. Es ist deshalb hier die Dicke Di nach (34) vorausgesetzt. 
Die kleine Klemm schraub e wird aus Stahl gefertigt und gehärtet 
Auf SchifTmascliinen ist diese Sicherung sehr verbreitet. 



Besondere Gewindeformen. 



165 



§. 65. 

Besondere Gewindeformen. 

Statt des scharfen (Whitworth'schen) Gewindes wird bei 
bronzenen Schrauben oft das sogenannte runde Gewinde, 
Fig. 169, angewandt, bei welchem Ganghöhe s und Gewindtiefe t 
nach Formel (29) und (30) genommen werden können. Bei eiser- 



Fig. 169. 





Fig. 171. 




nen Schrauben von starkem Druck und sehr häufigem Gebrauch 
bedient man sich vielfach des flachen Gewindes Fig. 170, und 
neuerdings, wenn der Druck immer nur einseitig wirkt, des dem 
älteren Holz-Maschinenbau entlehnten Trapez-Gewindes Fig. 171. 
Bei der flachgängigen wie bei der Trapez- Schraube 
nehme man die Gangtiefe t: 

^= Va (2 + 0,09(?) (40) 

also den Kemdurchmesser di : 

d, = 0,91 d — 2 (41) 

die Ganghöhe s bei der flachgängigen Schraube: 

s = 2 e = 2 + 0,09 d I 
und bei der Trapezschraube : i (42) 

s = V3^ = V3 + 0,06d| 

im übrigen die in Fig. 171 angegebenen Verhältnisse einhaltend. 
P und dl richten sich nach Formel (32); die Mutterhöhe ist 
bei der flachgängigen Schraube = 1,5 d, bei der trapezischen 
= d zu nehmen, damit die Mutter eine genügende Zahl Gänge 
enthält. Alle vorstehenden Angaben beziehen sich übrigens zu- 
nächst auf die Fälle, wo die Schrauben Befestigungsschrau- 
ben sind. 



166 Press - Schrauben. 

§. 66. 

Die erweiterte Schraube. Press -Schrauben. 

In manchen Fällen wird der Durchmesser einer Schraube 
grösser genommen, als bei der normalen, bis hierhin allein be- 
trachteten Schraube von derselben Belastung; dies geschieht z. B. 
bei einzelnen Stopfbüchsen, Röhrenverbindungen u. s. w. Eine 
solche Schraube kann man erweiterte Schraube nennen, ge- 
genüber der normalen, bisher betrachteten Schi*aube. Als eine 
Regel für die Gewindedimensionen kann festgehalten werden, dass 
man der erweiterten Schraube denselben Gewindequerschnitt und 
dieselbe Mutterhöhe geben soll, wie der gleichbelasteten (oder 
„gleichwerthigen") Normalschraube. 

Die Schrauben für Wind werke, Pressen, Walzenlager u. s. w., 
im allgemeinen also die Pressschrauben sind anders zu be- 
handeln, als die Befestigungsschrauben. Sie müssen zunächst fest 
genug sein, und sodann in den Gewindgängen einen genügend 
kleinen Flächendruck haben, um sich nicht zu sehr abzunützen. 

In den gewöhnlichen Fällen berechne man, nachdem 
durch Schätzung oder Rechnung so gut irgend thunlich die Be- 
lastung P festgestellt worden, die Kerndicke di nach Formel (32). 
Soll die Schraube mit dem möglichsten Minimum vom Durchmes- 
ser ausgeführt werden, so sorge man zunächst dafür, dass die 
Schraubenmutter immer genau ringsum, und nie einseitig auf die 
Gewindgänge presst; alsdann darf man unbesorgt gehen bis zu: 

P = 4,71 dl d. i. dl = 0,46 VP (43) 

Als Gewinde wendet man das flache (Fig. 170) oder das trapezi- 
sche (Fig. 171) an. Gewöhnlich kann die Schraube als Normal- 
schraube ausgeführt werden; dann mache man bei beiden Ge- 
windformen die Gangtiefe t: 

' = ra = l (") 

d d \ 

woraus für die flachgängige Schraube : s = ~ = ~ 
und für die Trapezschraube: s = -r^ d = -^ 

15 D 

Formel (43) findet auch für die scharfgängigen Schrauben der 
Federgehänge der Lokomotiven passende Anwendung, da bei 
diesen die Bedingung des guten Auflagers sehr gut erfüllt ist 



Press -Schrauben. 167 

Nur in seltenen Fällen muss die Schraube so lang gemacht 
werden , dass auf ihre rückwirkende Festigkeit Bedacht genommen 
werden muss. Ist dies einmal der Fall, so rechne man nach Fall II, 
§. 16 unter Anwendung vierfacher 'Sicherheit , rechne indess auch 
nach den obigen Formeln, und behalte das grössere Resultat bei. 

Damit die Mutter sich nicht festreibe und nicht zu sehr ab- 
nütze, soll der Flächendruck zwischen den Gewindegängen Vs*^ 
nicht ohne Noth übersteigen. Diese Bedingung wird eingehalten, 
wenn die Zahl i der in die gusseiseme oder bronzene Mutter fal- 
lenden Gänge (auch wenn di nach dem Gefühl bestimmt und t 
beliebig gewählt sein sollte) nicht kleiner genommen wird als: 

d \ d) 
Für die ak normale behandelte Schraube, bei welcher also (:=0,1(2, 
wird hieraus: 

.=7^ = 4,48^ (*') 

Fällt % bei dieser Rechnung kleiner aus als 12, so bleibe man 
bei 12 stehen. 

Beispiel, Für einen Druck von 25000^ ergibt aich^ die erwähnten 
Vorsichtsmaassregeln vorausgesetzt ^ aus (43) die Kemdicke d^ der Press- 

schraube = 0,46 . \ 26000 = O.iß . 158 = 72,68,^^^72^^, woraus, die 
Schraube als Normalschraube behandelnd, die Gangtiefe t = ^% = ^"j 
die Dicke d = % 72 = 90"- folgt. Aus (47) folgt nun die Minimalzahl 

der in die Mutter aufzunehmenden Gänge: i == 7 , ^ = — '—^ — 

*/^s^21, was bei Benutzung der Trapezschraube eine Mutterhöhe h == i,s 

21 2 90 
= — '-j^ = 252^"^ liefert. Erweitert man die Schraube auf 120^"^ 

äussere Dicke, und behält t =z bei, so kommt nach (46) i = 18, 



§.67. 

Verschraubungen oder Schraubenverbindungen. 

Die Constructionstheile, welche die Schrauben umgeben, haben 
sehr häufig dieselben von Seitendruck frei zu halten, und werden 
alsdann dafür besonders vorgerichtet 

Fig. 172 und 173 (a. f. S.) Verbindungen mit ancinanderge- 
passten Falzen. 



1 68 Versch raubu iigcii. 

Fig. 174 ankeribrmige Einpassung; Fig. 175 Vorschraubung mit 

Einlegescheibe. Die beiden letzteren Verbindungen befreien die 

Schrauben vom Seitendruck aus irgeudwclcher Richtung, während 

die Verbindungen in Fig. 172 und 173 nur fiir SeitenpresBungen 

Fig. 172. Fig. 173. 




normal zu den Leisten eingerichtet sind. Die Einlege- oder Dübel- 
Echeibe lässt sich sehr häufig benutzen, und ist wegen ihrer Ein- 
fachheit und Sicherheit sehr zu empfehlen. Sie wird ans Schmied- 
eisen gefertigt und passend abgedreht; ihre Versenkungen werden 
nach dem Bohren des Schraubenloches gemacht, wodurch ihre 
richtige Lage gesichert wird. Bei grossen Ausltihrungen kann die 
Scheibe aus Gusseisen hergestellt werden ; oft auch lässt sie sich 
durch einen abgedrehten und halb eingelassenen Zwischenkopf 
(Fig. 153) ersetzen, vergleiche unten das „Humpflager". Die Ver- 
schraubungen in Fig.174 und 175 dienen mitunter zur Verbindung 
der Wassorradspeichcn mit dem Felgenkranze; man hat sich dabei 
das hier zu uiitcrst gezeichnete Stück als flache Tafel construirt, 
und unter Beibehaltung der Dicke passend verbreitert zu denken. 



Verscliiaiibuiigeii. 1 69 

Die Einfassungen des Aimkopfes P'ig. 174 werden dann als iiasen- 
funnige Vorspriinge aui' den Falzensector aufgesetzt 

Bei der Herstellung von gusseiBenien Gefässen mit ebenen 
Wänden kommt die Flantschenvorscbraubung vielfach zur An- 
Fig. 174. Fig. 175. 




Wendung.' Die Flaiitschen können ganz ausserhalb des Gefitsses 
gelegt werden, oder ganz nach innen, oder halb nach aussen, halb 
nach innen. Je nachdem das eine oder andere mit den verschiede- 
nen Kauten eines parallelcpipedischen Gefässes geschieht, fallt seine 
äussere Form anders aus, namentlich die Ecke des Gefässes wird 
dadurch in der Formgebung sehr heeinflusst, wobei die Änbringimg 
des Bodens ebenfalls mancherlei Abänderungen bedingt. Folgende 
Figuren zeigen einige Beispiele der Eckbildung mit I-lantschen. 

Fig.176 (a.f S.) drei äussere Fhintschen, schüsselfönniger Bo- 
den. Fig. 177 drei äussere Plantschen, Boden mit äusserer PÜntbe. 



Keile und Keilverbindungen. 171 

Fig, 178 eine äussere und zwei halbäussere Flantschen. Fig. 179 
drei halbäussere Plantschen, Bodenstück wie beim zweiten Beispiel 
Fig. 180 ebenfalls drei halbauswendige Flantschen. Fig. 181 zwei 
äussere und eine halbäussere Flantsche. In den drei letzten Bei- 
spielen erhält der Kasten eine gefälligere äussere Form, als in den 
drei ersten. Wendet man an den senkrechten Kanten ganz innere 
Flantschen, am Boden die halbinwendigen wie bei Fig. 179 an, so 
ist die Verschraubung von aussen nicht zu bemerken. Verhältniss- 
zahlen für die Flantschenverbindungen geben die Figuren 182 
und 183. Aus der Wanddicke d wird d und daraus die übrigen 
Abmessungen abgeleitet 

Der Abstand der benachbarten Schrauben auf der Flantsche 
ist für die gewöhnlichen Fälle = 2,5 bis 31) zu machen. Wo Hobel- 
maschinen zur Bearbeitung der Flantschen benutzt werden können, 
lässt man die in Fig. 182 angedeuteten Arbeitsleisten weg, so dass 
die Spiegelflächen beider Flantschen wie in Fig. 183 eben werden. 

n. KEILE UND KEILVERBINDUNGEN. 

§. 68. 

Der VerbindimgskeiL 

Der Keil dient vielfach zum Verbinden von Constnictions- 
theilen, und kommt je nach deren Gestalt und Beanspruchung in 
verschiedenen Formen und Anordnungen zur Ausführung. Die 
einfachste Keilverbindung besteht aus mindestens drei Theilen, 
nämlich den zwei zu verbindenden Körpern und dem Keile. Mit der 
Richtung, in welcher beim Gebrauche des Keiles der eine Körper 
sich gegen den andern bewegt, schliesst der Keil an einer oder 
an beiden Profilseiten einen stumpfen Winkel, oder m^t der Nor- 
malen zur Schubrichtung einen spitzen Winkel ein. Dieser Win- 
kel bemisst die Steigung oder den Anzug des Keiles. Unter 
dem Anzug einer Keilfläche wird nämlich die trigonometrische 
Tangente des Winkels verstanden , den diese Fläche mit der Nor- 
malen zur Schübrichtung einschliessi Ist dieser Winkel nur an 
einer der beiden Druckflächen angebbar, an der andern aber Null, 
so hat der Keil einseitigen Anzug. Die Gesammtsteigung eines 
Keiles mit zweiseitigem Anzug ist gleich der Summe der Anzüge 
der beiden Seiten (nicht gleich der Tangente des Spitzenwinkels). 



172 Keil Verbindungen. 

Bei Keilen, welche eine dauernde Befestigung gewähren sollen, 
wird der Gessmmtanzug klein — 7«^ bis Vso und g^r bis </ioo — 
gemacht, grösser aber — '/»* bis '/m «"d '/« — bei solchen, welche 
öfter gelöst werden, und solchen, welche eine grosse Verschiebung 
herbeizuführen haben. Es folgen hier nun einige der gebräuch- 
lichsten Keilverbindungen. 



§.69. 
Keilverbindungen. 

Zur Befestigung einer Stange in einer Hiilae oder Dille dient 
die Verbindung mit dem Querkeil, Fig. 184 bis 186. Bei einer 
Fig. 184. Fig. 1S5. Fig. 186. Fig. 187. 




Dicke d der aus Schmiedeiseo gefertigten Stange erhält man liir 
den ebenfalls aus Schmiedeiseo hergestellten Keil brauchbare 
Abmessungen, wenn man die mittlere Keilhöhe h = d, die Keil- 
d 



dicke = 



- nimmt; die gusseiserne Dille erhält die Wanddicke 



Fig. 186, wird gerne höher gemacht, als der eingeschlossene; hier 



eisernen benutzt, so kann man Höhe und Breite auf das 0,8fache 
der angegebenen Mawse verringern. Es ist hierbei Toraosgesetzt, 



Keilverbindungen. 1 73 

dasa die Dicke d den Kräften, welche auf die Verbindung wirken, 
durch Rechnung oder Schätzung angepässt sei. Die Dicke (f ausser- 
halb der Verbindung kann dabei auch grosser ala d sein. Fig. 167 
stellt eine Scbäf tun g oder Schiftung zweier runden Stangen dar; 
letztere stützen sich hier mit ihren Endflächen anf einander, was 
die AubringDog einer lieaonderen Verbriistung, wie in den vorigen 
Fällen, unoöthig macht. Solche Schiftungen kommen häufig an 
den Spannstangen von Dachstühlen und ähnlichen Bauwerken vor. 
Fig. 186 andere Keilverbindung für SpauDstangen, namentlich 
bei Wasserrädern gebräuchlich. Die Verbindung ist etwas ver- 
flR. 188. Fig. 189. Pier- 190. 




stellbar; Anzug beiderseits '/m- Die sogenannte Zulage oder der 
Krampen giebt dem Keil eine grosse Auflagefläche. Für densel- 
ben Fall findet man auch oft an beiden Keilseiten eine Zutage 
angewandt Fig. 169 Keilverbindnng für einen Gründungeankor. 
Hier sind zwei Zulagen benutzt, womit dem Keil an beiden Sei- 
ten ein gutes Lager gegeben und die Verbindung zugleich ver- 
stärkt ist. Keildicke -r ■ Die Höhe der Zulagen ist je nach der 

freiliegenden Länge zu berechnen (vergl. §. 12). Unten in der 
Grundmauer gibt man dem Anker eine Mutter, welche mit der 
Hand soweit nacbgedreht wird, dass durch kräftiges Eintreiben 
des Keiles die Verbindung fest wird. 

Fig. 190 Schiftung oder Scbloss, an Fumpengestängen ge- 
bräuchlich. Bei dieser Verbindung sind wie bei den Schrauben- 



174 Keil Verbindungen. 

Verbindungen Fig. 172 bis 175 besondere Theile zur Aufnahme der 
Zugkräfte angebracht *) ; der Keil (Hohlkeil) dient nur zum 
Schliessen der Verbindung oder als SchlusskeiL Derselbe hat 
hier normal zur Zeichnung gemessen die Breite 1,7 d. Wenn die 
Enden der Einfalzung so gestaltet werden , wie die Punktirung 
angibt, so müssen die beiden Schlusshälften von der schmalen 
Seite zusammengeschoben werden. 

Eine sehr vielfache Verwendung findet der Keil zum Befesti- 
gen von Rädern, Scheiben, Kurbeln, Hebeln u. s. w. auf Achsen 
und Wellen. Seine Beanspruchung geschieht doi*t meistens normal 
auf das Längenprofil, weshalb er als Längskeil dem obigen Quer- 
keil gegenübei steht Bei den Achsen und Kupplungen Kap. V und 
VII sind Angaben über die Abmessungen der Längskeile gemacht. 

§. 70. 

Keilsicherungen. 

Damit ein Keil nicht durch die in der Schubrichtung ruhig wir- 
kende Kraft gelöst werde, muss der einseitige Anzug etwas kleiner 
als Vioi ^cr symmetrisch angebrachte zweiseitige auf jeder Seite 
etwas kleiner als Vio sein, wenn der Reibungscoefficient Vie vor- 
ausgesetzt wird. Stösse und rüttelnde Bewegungen lösen aber 
dennoch so eingerichtete Keilverschlüsse, wenn nicht der Anzug 
bedeutend kleiner, als soeben angegeben, gemacht wird. Um sich 
dagegen zu schützen und unter Umständen auch beliebig grössere 
Anzüge benutzen zu können, wendet man Sicherheitsvorkehrun- 
gen ähnlich den oben beschriebenen Schraubensicherungen an. 
Einige der wichtigsten sollen hier vorgeführt werden. 

Die häufigst angewandte Keilsicherung besteht in dem Auf- 
spleissen des hierfür schon vorgerichteten Keiles an dem vor- 
stehenden schmalen Ende, womit in vielen Fällen eine genügende 
Sicherheit erreicht wird. Um einen an umherschwingenden Thei- 
len angebrachten Keil am Herausfliegen zu hindern, versieht man 
ihn auch wohl mit einem runden, ebenfalls gesplissenen Vor- 
stecker, Vorsteckstift, auch Lünse genannt, wie er bei der 
Schraubensicherung Fig. 158 angegeben ist 

*) Recht praktische Keilschlösser dieser Bauart zur Verbindung kreu- 
zender Eisenstangen für Gitter, Gehege u. dergl. sind die von Baylies, 
Praci Mech. Joum. VoL II, 3. Ser., S. 342. 



Keilsicherungen. 175 

Bei den Keil Vorrichtungen der Pleuelstangcnköpfe sind Siehe* 
Hingen jetzt allgemein angewandt; die in folgenden Figuren dar- 
gestellten gehören alle in diese Klasse. Fig. 191, 192 und 193 

Fig. 191. Fig. 192. Fig. 193. Fig. 194. Fig. 195. 







Keilsicherung mit ZugscBraube. Bei diesen wird auf Lokomotiven 
und Schiflmaschinen, namentlich denen der Kriegsschiffe, die Keil- 
sicherungsschraube abermals gesichert, meist durch Zufügung 
einer Gegenmutter (Fig. 156). Fig. 194 Sicherung mit Druck- 
schraube; diese letztere greift in eine seichte in den Keil ein- 
gebohrte Rinne, welche selbst bei nicht genügendem Festdrücken 
jedenfalls das Herausfliegen des Keiles hindert Die Rinne ist 
auch dafür schon zweckmässig, dass die durch das Anpressen der 
Schraube etwa entstehenden Unebenheiten nicht im Keillager 
stören können. Fig. 195 Sicherung mit Klemmschraube. Durch 
die Schraube werden zwei besondere, durch andere Theile an 
Längsverschiebungen gehinderte Klötze fest auf den Keil ge- 
klemmt; die Schraube geht durch einen den Keil quer durchsetzen- 
den Schlitz. 



in. NIETEN UND NIETUNGEN. 

§. 71. 

Nieten. 

Die Nieten dienen zur Verbindung plattenförmiger Körper, 
namentlich der Bleche. Verschiedene Formen derselben zeigen 
die folgenden Figuren. Die gewöhnliche schmiedeiserne Niete 



176 Nieten. 

erhält einen angeschmiedeten Kopf, den Setzkopf, Fig. 1!>6, 
und einen zweiten, den Schliesskopf, Fig. 197, welcher beim 
Schliessen der Nietung aus dem anderen Knde des Nagels ge- 
bildet wird; letzteres soll zu diesem Zwecke nm 1,3 bis 1,7 der 
Fig. 196. Fig. 197. Fig. 198. Fig. 199. Fig. 200. 







Nietendtcke, je nach der Genauigkeit, mit welcher die Niete in 
das Loch passt, vorstehen. 

Wenn der Nietkopf mit Handhämmern ohne Anwendung von 
Gesenken fertig gemacht wird, was jetzt bei uns nicht mehr häufig, 
wohl aber noch vielfach in England namentlich bei Dampfkesseln 
geschieht, so erhält der Schliesskopf die in Fig. 107 angedentete 
oder eine ähnliche zugespitzte Form. Wird aber ein (Jesenk zum 
Formen des Kopfes benutzt, so wird die sphärische Kopfform 
Fig. 199 oder eine konoidische, wie Fig. 198 angibt, gewählt. Kine 
kleine Versenkung des Nietschaftes an beiden Köpfen, wio es 
Fig. 199 angedeutet, erhöht die Festigkeit des Nogels nicht un- 
bedeutend und ist jetzt viel in Gebrauch, Die in Fig. 198 ange- 
gebene doppelte Vereenkung kann ohne künstliche Vorrichtungen 
erzengt werden. Nach Versuchen von Reiche*) werden nämlich 
beim Durchlochen der Bleche auf dorn Stanzwerk die Wände des 
Loches nur dann glatt, wenn die Unterlegematrize etwas weiter ist, 
als der Stempel dick, und zwar bei Schmiedeisenhlechen so, dass 
die Profillinie des Konus zwischen dem aufgesetzten Stempel und 
der Matrize '/h Anzug hat. Das Loch wird dann wirklich konisch, 
und hat am Matrizenendc '/^^ mehr Durchmesser als am Stempel* 
ende. Fig. 200 zeigt eine Niete mit versenktem Schliesskopf, wie 
sie hei den Nietungen der Wandungen von Schiffen vorkommen. 

Bei den Nietungen der Brückenträger empfiehlt sich grosse 
Sorgfalt in der Wahl der an der Niete vorkommenden Formeinzel- 
heiten. Fig. 201 bis 203 stellen die bei den Nietungen der Dir- 



•) Civ.-Ing. 1864, S. 235. 



Nieten. 177 

schauer Brücke angewandten Verhältnisse dar, welche durch sehr 
sorgfältige Versuche ermittelt worden waren. Fig. 201 zeigt den 
normalen Nietkopf (Setz- und Schliesskopf), Fig. 202 den halbver- 
senkten, Fig. 203 den ganz versenkten. 

Fig. 201. Fig. 202. Fig. 203. 




Nieten von 25 bis 30°"° Schaftdicke können mit Hämmern 
von 4 bis 47^" Gewicht gestaucht werden ; zum Fertigmachen des 
Schliesskopfes mittelst des Kopfgesenkes oder Schellhammers be- 
dient man sich schwererer, bis zu V^/i" wiegender Zuschlaghäm- 
mer. Nach Molinos und Pronnier kann eine geübte Nieter- 
mannschaft an waagerecht liegenden Werkstücken (Brückenträger) 
täglich setzen: 

200 bis 250 Nieten von IS""" Schaftdicke 
180 „ 200 „ I. 20 „ 
100 , 125 „ r 22 , 
90 „ 100 „ „ 25 „ 
und *lt von diesen Anzahlen bei senkrecht stehenden Werkstücken. 
Weit mehr Nieten werden in der trefflichen Kesselfabrik von 
Piedbouef (Aachen) an ganz fertig vorgerichteten Kesseln von 
einer Uannschaft gesetzt, nämlich in 11 täglichen Arbeitstunden: 
350 Nieten von 14 bis 16°>-" Schaftdicke 
325 „ „ 17 , 18 . 



300 
280 
260 
240 
220 
200 



20 , 
22 , 
24 , 



178 . Kraftnietungeii. 

Bei Cylinderkesseln von mehr als 1™ Durclimesser werden 
10 7o niehr, bei unbequemen Formen 10% weniger gesetzt. Eine 
Mannschaft umfasst: 1 Nieter, 2 Zuscbläger, 1 Gegenhalter, 
1 Schmiedejungen; für die Nieten von 14 bis 16™™ Dicke bedarf 
es nur eines Zuschlägers. In letzterer Zeit hat die Genauigkeit 
in der Vorbereitung der Bleche, Winkeleisen, Nieten u. s. w. zum 
grössten Vortheil der Nietarbeiten wesentlich zugenommen. 

§.72. 

Festigkeit der Nietungen. 

Die Nietverbindungen sollen entweder vorwiegend fest 
(Brückenträger und ähnliche Bauwerke) oder vorwiegend dicht 
sein (Gefasse von geringem inneren Druck, Schiffe, Gasbehälter), 
oder sie sollen die beiden genannten Eigenschaften möglichst ver- 
einigen (Dampfkessel). Man unterscheidet daher Festigkeits- 
oder Kraftnietungen und Verschlussnietungen, zwischen 
welchen diejenigen der Dampfkessel mitten inne stehen. 

Die Kraftnietungen werden als einseitige oder Ueber- 
blattungsnietungen, Fig. 204, oder zweiseitige oder als so- 
genannte Kettennietungen, Fig. 205, ausgeführt; letztere Form 

Fig. 204. Fig. 205. 



ist namentlich bei Nietungen für Brückenträger in Gebrauch ge- 
kommen. 

£ine constante Blechdicke d vorausgesetzt, kann eine Nietung 
nie so fest gemacht werden, als das volle Blech; immerhin aber 
kann man die Festigkeit der Nietung durch passend gewählte 
Verhältnisse gross machen. Hinsichtlich der besten Verhältnisse 
der Kraftnietungen gilt folgendes. Bezeichnet: 

d die Blechdicke, 

d den Nietdurchmesser, 

a den Abstand zweier benachbarter Nieten einer Nietreihe, 



■ Kraftuietungen. 179 

i die Breite des Blechrandes, von der Mitte der dem Rande zu- 
nächst liegenden Nieten gemessen, 

i die Anzahl der Nietreihen einer Nath, 

q> das Verhältniss zwischen der Festigkeit der Nietnath und der- 
jenigen des vollen Bleches, 

so ist, wenn die Nieten, das zwischen ihnen bleibende Blech und 
der Blechrand gleiche Festigkeit haben sollen, zu nehmen, 

1. bei der einseitigen Nietung: 

* ~ 8 ~Tö~ ~8\d) (^^^ 

und es wird dabei: 

"^ = 7— fy^ = ^-^ ^''^ 

' t ITT rf 

2. bei der Eettennietung : 

a n /dy . d 

d=^'-5\ö) +Ö (^') 

h h a — d ^^ n /dy .^^, 

^ 2in d 

Bei Entwicklung dieser Formeln ist das in §. 5 über die 
Schubfestigkeit Gesagte berücksichtigt, übrigens bei Blech und Nie- 
ten dieselbe Materialgüte vorausgesetzt Eine Reihe von Werthen 
welche dieselben für die einfache und die doppelte Nietung (i = 1 
und i = 2) liefern, enthält folgende Tabelle. Leicht ist es, die 
Rechnung für Nietungen von noch mehr Reihen (Brückenträger) 
zu machen, wobei aber nicht zu übersehen ist, was in §. 74 von 
den Laschen -Nietungen bemerkt wird. Wenn b nach den For- 
meln (49) und (52) kleiner ausfallt als 1,5 d, so wird dieser 
letztere Werth dennoch beibehalten. Die Rechnung zeigt 
dann nur, dass der Rand wegen seiner Abscheerfestigkeit kleiner 
sein dürfte, als wegen des nothwendigen Auflagers für die Schliess- 
köpfe. 

12' 



Kraftnietnngen. 

§. 7a 
Tabelle über die Festigkeit der Nietimgen. 



d 


1 


1,5 


2,ü 


2,5 


3,0 


"1 


.= 


1 


2 


1 


2 


I 


2 


1 


2 


1 


2 


1 


3 


I^= 


I,tJ3 


2,2Ö 


2,91 


,=» 


4,01 


7,03 


C,43 


10,35 


8,S5 


14,31 


14,(K 


24,! 1 


1 -'= 


L»,ay 


0,Ji'J 


Ü,8ö 


(),Hä 


],&7 


I,6V 


a,ib 


li,4ö 


3,53 


3,53 


ü,2ö 


b,l!ö 


l'= 


0,39 


0,58 


0,52 


0,G5 


0,56 


0,72 


0,G1 


0,7C 


0.65 


0,79 


0,72 


0,83 


n 


2,26 


a,5i 


4,&ä 


7,15 


7,43 


12,05 


10,35 


18,21 


14,31 


25,62 


24,11 


44,ai 


.S b 


0,79 


0,79 


0,77 


0,77 


3,1* 


3,U 


4,91 


♦,itl 


7,07 


7,07 


12,57 


12,57 


w ^ = 


0,56 


072 


0,G5 


0,7*1 


0,72 


o,m 


0,70 


0,8fi 


ti,7Ö 


0,90 


0,83 


0,91 



Versuche, welche Fairbairn mit einfachen und doppelten 
Nietungen anstellte, haben die vorstehenden Zahlen bestätigt Im 
allgemeinen siclit man, dasB weit auseinanderstehende und dicke 
Nieten eine festere Verbindung liefern, als eugstehende dünne. Bei 
Brückenträgern und äbnlicheu Constructionen berücksichtigt man 
sorgfältig die den obigen ähnliche Verhältnisse. Auch bei den 
üamplkesBeln verdient das Vcrbältniss (p volle Beachtung. 

§■ 74. 
DampfkesBelnietungen. 
Bei den Nietungen der Dampfkessel darf man wegen des 
dichten Verschlusses keine weite Nietstellung anwenden; ausser- 
dem sind aber bei dünneren Blechen verbältnissmässig dickere 
und weiter gestellte Nieten zu benutzen, als bei stärkeren Blechen. 
Die Nietnäthe werden einfach und doppelt gemacht. 

Fig. 206 einfache Uoberblattungs-Nietuog; die Blechränder 



n 



Dampfkesselnietutigen. 181 

werden wegen des leichteren Stemmens abgefast wie in Fig. 207, 
oder noch hesaer gleich auf der Scheera schräge geschnitten, wie 
Fig. 206. Fig. 207. 




in Fig. 206 angedeatet. Der Schrägungswinkel beträgt etwa IS'/i") 
entsprechend einem Anzug von Va^ dabei ist sofortiges Stemmen 
ohne Einkerbung zulässig. Fig.' 207 einfache Laschennietung, 
gut angewandt bei stehenden Röhren, Kaminen etc. Die aufgelegte 
Lasche ist in Hinsicht auf die Zugfestigkeit der Verbindung als 
eine Blechtafel anzusehen, und somit die Nietung trotz der 
doppelten Nietreihe als eine einfach e zu betrachten. Da die dop- 
pelte Nietung fester ist als die einfache, und ein cjlindrisches Bohr 
in den Längsnäthen stärker durch den inneren Druck belastet wird 
als in den Quernäthen, so erscheint es empfehlenswerth , bei 
Dampfkesseln die Längsnäthe zweireihig, die Quernäthe einreihig 
zu machen. Gute Kesselfabriken (n. a. Fiedboeuf) thun dies bei 
Kesseln Tonmehr als 1'/»" Durchmesser und einigermaasaen hoher 
Dampfspannung. Die Erhöbung der Festigkeit gilt übrigens nur, 
wenn man bei der doppelten Nietung auch die Nieten weiter aus- 
einderatellt, als bei der einreibigen, siehe unten bei Formel (55). 
Die Rauchrohren der Cornwall-Kessel erhalten neuerdings in den 
Quer- und Längsnäthen Laschennietungen; als Lasche wird aber 
dabei behufs Verstärkung dea Rohres ein seine Rippe nach aussen 
kehrendes T-Eiaen, Fig.216, §.77, genommen. Stellt man die Niet- 
näthe der Dampfkessel acbräge (schraubenförmig) wie es in Eng- 
land Wright thut, so wird das Verhältniss ip etwas günstiger, als 



182 DampflcesselDietungeD. Gasometer. 

oben berechnet wurde. Ob aber durcb die hierbei erzielt« kleine 
Vo-grÖEsemng der Festigkeit des Kessels die Mehrkosten fnr die 
schwierige Herstellung gedeckt werden, ist sehr die Frage. 

Fig. 208 gewöhnliche doppelte Nietung. Fig. 209 doppelt« 
Laschennietnng. 



Fi?. 2(». 



Fig. 209. 




Nach Lemaitre ist es zweckmässig, für Dampfkessel za neh- 
men bei der einfachen Nietung: 

d= 4 + 1,53 1 

o = 10 + 2rf (54) 

/, = l,5d I 

Es fällt dabei für die gewöhnlich vorkommenden Dimen- 
sionen q> zwischen 0,65 nnd 0,58. Bei den doppelten Nietun- 
gen ist brauchbar: cj ^^ 20 + 3 rf (55) 

Man findet indessen auch oft hier ai=3n^lO-|-2d ge- 
macht, Tobei also die Verdoppelung der Nietung nur die Dicht- 
heit, nicht aber die Festigkeit der Nath erhöht. Nach den ge- 
gebenen Formeln ist die nuten folgende Tabelle berechnet 

Die Gasometer zeigen geringe Schwankungen in Blechdicke 
und Nietung. Erprobte Ausführungen besitzen kalt eingesetzte Nie- 
ten Ton 7 bis TV»""" Dicke und 25"™ Abstand hei 13"" Randbreite; 
der dichteVerschluss wird durch eineunterdieäuBsereUeberblattung 
gelegte Liderschnur, welche mit Mennigkitt getränkt ist, gesichert 

Das Material der eisemea Nieten soll stets von der besten 
Beschafieuheit sein, damit es die gewaltsamen FormänderuDgen, 



Dampfkesselnietungen. 183 

welche die Niete zu erleiden hat, ertragen kann. Die Anwendung 
der Nietmaschine gewährt den Vortheil, dass der glühende Niet- 
Bchaft mit einem Schlage, also in sehr kurzer Zeit Eeine Umformung 
durchmacht, wodurch die Erhaltung der widerstandslahigcn Struk- 
tur des Eisens in höherem Grade als bei der Handarbeit gesichert 
erscheint Für Dampfkessel hat sich indessen die Maschinennie- 
tung nicht bleibend eingeführt, weil die Maschine den Schliesskopf 
nicht immer so sauber in der Form liefert, als die Handarbeit. 
§.75. 





Tabelle über die Nietungen der Dampfkessel. 


•t 


u 


Habe Dchm. 
0,6 (J ' \,8d 


W 


^ 


S 
1 


ein f. 


dopy 




i 3 

11 


Höhe 
Oßd 


DchBl. 

2d 


3 


e,D 


5 


15 


1 


17 


20 


27 


45 


1,28 


0,61 


i 


10 


6 


1« 


ö 


2& 


25 


30 


50 


2,25 


1,43 


5 


11,5 


7 


21 


!t 


23 


30 


33 


55 


3,52 


2,11 


6 


13 


8 


23 


10 


26 


34 


36 


59 


5,16 


S,OS 


7 


14,5 


9 


20 


12 


29 


39 


39 


04 


7,27 


4,41 


8 


16 


10 


2'J 


13 


32 


43 


42 


6« 


9,92 


GM 


9 


17,5 


11 


32 


14 


35 


49 


J5 


73 


13,08 


7,84 


10 


19 


11 


3* 


15 


33 


52 


48 


77 


16,88 


9,87 


11 


20,5 


12 


37 


IG 


41 


57 


61 


62 


21,34 


13,22 


12 


22 


13 


40 


IS 


44 


61 


54 


86 


26,52 


15,12 


13 


23,5 


U 


42 


19 


47 


66 


67 


91 


32,50 


13,22 


U 


25 


15 


45 


20 


50 


71 


80 


95 


3!>,23 


22,98 


15 


2G,5 


IG 


43 


21 


53 


75 


63 


100 


47,00 


27J15 


16 


23 


17 


56 


22 


56 


80 


66 


101 


55,63 


33,57 


17 


29,5 


18 


50 


21 


59 


04 


G9 


109 


65,29 


37,40 


16 


31 


10 


53 


25 


62 


89 


72 


113 


75,91 


42,59 



Die Scbaftlänge ist =:2Ö-\- l,7(i gesetzt, entspricht also einer 
Niete, welche zwei Bleche Ton der Dicke ö zu verbinden hat, bei 
reichlicher Zugabe für zu weite Bohrung der Bleche, siehe §. 71. 
Die beiden letzten Spalten sind bei Voranschlägen für Nietungen 
Ton Nutzen ; demselben Zwecke dient die folgende Tabelle. 



lo4 



Xietimg^fL 



TabeUa fiber die Gewichte der Metaüplidten. 



Bleeb- 
dicke 



GevicLl in 



>. pro 1 QBadralBeier. 



Sdnni«^' G«»- 



Mefsing. Kspfer. | BS« 




I 



1 
2 
3 

4 

* 


7 
8 
9 
10 

11 
12 
13 
14 
15 

10 
17 
18 
19 
20 

21 
22 
23 
24 
25 



7,79 
15,58 
23,36 
31,15 
38,94 

46,73 
54,52 
62,30 
70/jO 

77,88 

85,67 

93,46 

101,24 

KJ9,03 

116,82 

124,01 
132,40 
140,18 
147,97 
155,76 

163,55 
171,34 
179,12 
186,91 
194,70 



7,24 
14^9 
21,73 
23,197 
36,22 

43,46 
50,70 
57,94 
65,19 
72,43 

79,67 

86,92 

94,16 

101,40 

106,65 

115,89 
123,13 
130,37 
137,62 
144,86 

152,10 
159^5 
166,59 
173,83 
181,08 



8,51 
\lf& 
25,52 
»4/)8 

5M)5 
59,56 
68/)6 
76,57 
^,06 

93,59 
102,10 
110,60 
119,11 
127,62 

136,13 
144,64 
153,14 
161,65 
170,16 

178,67 
187,18 
195,68 
204,19 
212,70 



8.79 
17,58 



35,15 
43^94 

52,73 
61,52 
70,30 
79,09 

87,88 

96,67 
105,46 
114,24 
123,03 
131,82 

140,61 
149,40 
158,18 
166,97 
175,76 

184,55 
193,34 
202,12 
210,91 
219,70 



11,» 


6^ 


22,70 


13,72 


HP6 


%^ 


45,41 


27,44 


56,76 


34,31 



68,11 

79,46- 

90,82 

10247 

113,52 

124,88 
136,22 
147,58 
158,93 
170,28 

181,63 
192,98 
204,34 
215,69 
227,04 

238,39 
249,74 
261,10 
272,45 
283,80 



4147 
4flg05 
54^ 
61,75 
68,61 

75,47 



89,19 

96,05 

1(^,92 

109,78 
116,64 
123,50 
130,36 
137,22 

144,06 
150,94 
157,80 
164,66 
171,53 



Dm Gewicht eines Quadratmeten Platte ist gleich dem Gewicht dea 
Cobikdecimetera ihrea Materials (oder ihrem apeoif. Gewicht) molt. 
mit der Plattendicke in mm. 



Nietungen. 



Andere Formen von Nietverbindungen. 

Bildaag von Flächen. Bei der Vereinigung von Blech- 
tafeln zu grösseren Platten (geraden wie gekrümmten) kommen 
die folgenden beiden Verbindungen viel zur Anwendung. 
Fig. 210. Fig. 211. 




Fig. 210 Verbindung von drei Tafeln. Behufs sicheren Anlegens 
wird das Blech Nro. 2 an der Ecke zugeschärft und Nro. 1 dar- 
über hingebogen. Fig.211 Verbindang Ton TierTafeln; hier erhal- 
ten die Bleche Nr. 2 und 3 eine Zuschärfang, während I und 4 

Fig. 212. Fig. 213. 



sowohl ungeschärfl als ungekröpft bleiben. Bei dem Bau von 
Dampfkesseln werden die einzelnen Rohrstücke oder Schüsse ent- 
weder cylindrisch ineinandergeschoben, Fig.212, oder wie es Fig. 21 3 
andeutet, als Hohlkegelabacbnitte gebildet, so dass die Fugenköpfe 
alle dieselbe Richtung von der Flamme ab erhalten. Letztere Ver- 




I%9 N'ietuogCD. 

biudui^ «riordert «ine Kfavacbe KrümmoDg der an den Kegd- 
gnibdfläcbeD liegenden Tafelränder and Nietreüien, welche man 
vi« folgt bestimme: 

Fiij. 21 1. Ist nocb : 

g Z> der KesseldorchmeaKr, an der in Fig. 

213 angegebenen Stelle gemessen, 
r = X /> der an derselben Stelle gemes- 
sene Keseeltunfang, 
B die Breite einer Platte. Fig. 214, ge- 
messen auf U zwischen den Mitteln der 
Längs niet reihen, 
L die Länge der Platte, zwischen den 

Qnemietreihen gemessen, 
/ die gesuchte Pfeilhöhe des ßogens B, 
' so nehme man : 

/ — L^E. I 

ü ~ A D L 
oder: l (56) 

{ = ».-44) 

nti»piel. Jlei Jlöhren, deren Vmfiäche aus einer Tafel hergatOU 
uird iHieder, Bohren) Ut B = U. Wäre in einem toUhtn Faüe dit 
Ta/ellänge L -.= /-, die Breite li = ä-, m uiürde nach (5«) zu nehmen 
Min: i --z 0,7Hr, . -i = }^,7Q, aUa f etwa» aber 1% Blechdicte. Bei die- 
ser Auf'jnhe wäre J) .- — = — B = 0,318.2000 = 636^-, mithinnach 

<■••«' '" ""■"'- 4 = i ^° S = w = '.- "" ""■- "" 

der lielrachlelrn gekrümmten tfietnath gegenüberliegende Reihe wird jener 
emleren jmrallil gemacht. 

Itei der Klncbenbilduug mittelst Laschennietung auf sich kreu- 
zenden Näthen muss beBonders vorsichtig rerfahren werden, nm 
oinot) dichten VerachlusR zu erhalten. Leicht kommt man indess 
zu einem guten Hpnultat, wenn man die Längs- und Querlaschen 
auf verschiedene Seiten des Bleches legt 

Vorsteifung von flächen. Hierzu dienen am allermeisten 
uufgonieteto Wiukeleisen, Fig. 315, und T-Eisen, Fig. 216. 

Die hier mitgetbeilten Verhältnisse derselben (die in Fig. 215 
sind von Uodtoubacber angegeben) liefern sehr gute Ahmeesun- 



Winkel- und T-Eisen. 187 

gen. d bezeichnet die Dicke des Bleches, für welches das Winkel- 
oder T-Eisen angewandt werden soll. Die bei kleinem d grosse 

Fig. 215. Fig. 216. 



.h-J4t4,5cr 




Ml 



>-ir< 




Höhe h gestattet stets ein gutes Unterbringen der Nietköpfe. 
Vielfach findet man jetzt bei den Winkeleisen die in Fig. 215 an- 
gegebene Verjüngung weggelassen, und statt ihrer durchweg die 
Schenkeldicke 5 angewandt. Sehr bequem für die Verzeichnung 
einer geordneten Reihe von Fagoneisen ist der Proportionsriss. 
Fig. 217 zeigt einen solchen für das Winkeleisen ähnlich Fig. 215. 



Fig. 217. 



h'U*5,56 




Die Querschnittformen der T-Eisen finden sich in der Praxis 
veränderlicher als die der Winkeleisen; die Preis- und Formen- 
verzeichnisse der Hüttenwerke liefern eine reiche Auswahl für 
vorkommende Fälle aller Art *). 

Zur Versteifung paralleler, nah benachbarter Tafeln dienen 
die Stehbolzen, Fig. 218 bis 220 (a. f. S.). 

Fig. 218 und Fig. 219 kupferner Stehbolzen nach und vor der 
Vernietung, bei den Feuerbüchsen der Locomotiven und bei den 



*) Siehe auch Mäurer's Formen der Walzkunst. Stuttgart, 1865. 



:« 



SL'JJtiVOjt ^la ^fcnn^ 







?*zu r.K 



r^t ü2> 




Ci.> I/^\£^ 4 »:f4 zwih.z^^z. 1 li§ IS =iAi ^Ä" I^äcke *i der 
^v^i^^^!^ *:ußcr^^^ '*^'Ar.i zefii^lec Eise scoeriiEJS 
i^^u:. l;-vr;rv^ ^ ll>!j^.ji^u^, udi. veldie aadi bis znm Fi 
txnsu pkjcuA t/ArxxAnu «ird, Lik eiaestheOs den Boixen kiliL «nd 
Msai/<;bt a;/l^^rrv^ Tfididbth/eJteB , velche durch VertymineB oder 
l^<5^J;>* d^f Y^,\tßr,i «rbUtebürn. zeitig merUwr. Fig. 2:2«) etserner 
fA^\^ttf\tMU i'jr A'-M^Xhtn Zweck wie der Bolzen in Fig. 218 nnd 
21'l. f>;)i<% ZuJUimra^rDfoirkeD der Platten Terhindeit die zwiidien- 
K^t^llU; v;hn:iie4«ueme Böcbse. Diese wird zveckmissiger Weise 
III14 Bl^:h %Hth\\i und d^r Länge D*ch offen gelnsKn, um das Wns» 
iMrf di^r Abkfjhirjng halber zur Niete treten zn lassen. 

V»\\A%it%% rou Kanten. Fig. 221 bis 224. Bei der Kanten- 
bildur»^ wird (rewötinlich entweder dem einen Bleche eine Flaatsdie 

F/jf, 22h Fjjf, 222. Fig. 223. Fig. 224. 






Hn({cl/og<;ri, o<b;r «h werden WinkeleiBen eingeschaltet In Fig. 221 
Utii (\ih eirii) Tafel f;inc nach innen gebogene Plantsche. Fig. 222, 
<lia KlanUche int nach auHsen gebogen. Hier, wie bei den Fig. 226 
bis 228 iiit h die Scbenkelhöhe demjenigen Winkeleisens, welches 

y\K. 22ß. Fig. 226. Fig. 227. Fig. 228. 






(I(im gitgoboiion Bleche zukommen würde. Fig. 223 Anwendung 
einim Kowölinlichon Winkeleisens; Fig. 224 ebenso; die zusammen- 



Eckbildungen. 189 

treffenden Tafeln sind aber hier abgeschrägt, was das Dichtetem- 
men erleichtert Fig. 225 Kante mit gewöhnticbem aber aussen 
liegendem Winkeleisen. 

Fig. 226 Kante mit einem aus Blech hergestellten Wiukel- 
eisen (für dünnwandige Gefässe iweckmässig). Fig. 227 Winkel- 
eisen wie in Fig. 226, verdeckt durch die übergelegten Blechränder; 
schwierig zu etemraen, bedarf daher einer dichtmachenden Zwi- 
scbenlage. Fig. 228 Winkeleisen wie vorhin, nach aussen gelegt 

Bildung von Ecken. Die Eckbildung macht bei den NieU 
Verbindungen die meisten Schwierigkeiten; sie fallt mannicbfach 
verschieden aus, je nachdem man zu den Kanten eine oder die 
andere der oben angeführten Verbindungen auswälilt. Die folgen- 
den Figuren zeigen einige der wichtigeren Constructionen. 

Fig. 229 stehende Kante nach Fig. 221, die beiden liegenden 
nach Fig. 223, das Blech 2 erhält unten eine Zuschärfung. Fig. 230 
Fig. 2-29. Fig. 230. 





alle drei Kanten nach Fig. 223; das stehende Winkeleisen abge- 
kröpft und auf das liegende genietet. 

Fig. 231 Kanten nach Fig. 223 oder 224; die Winkeleisen sind 
in der Ecke zusammengescbweisst, was eine etwas mühsame Arbeit 
Fig. 231. Fig. 232. 

^9 Mw 



190 Zapfen. 

ist, aber eiuen guten Verschluss und zugleich ein festes Gerüste 
für den Kasten liefert, aber nur für kleinere Gonstructionen an- 
gewandt wird. Fig. 232 stehende Kante nach Fig. 223 oder 224, 
unten ein wenig gerundet, liegende Kante nach Fig. 225; einfache, 
gut schliessende und sehr haltbare Eckbildung. 



IV. ZAPFEN. 

§.78. 

Eintheilung der Zapfen. 

Die Zapfen vermitteln in den Maschinen die Drehung von 
Theilen um ihre geometrischen Achsen; sie haben deshalb die Form 
von Drehungskörpern, und sind von der entsprechenden Hohlform 
(Lager, Büchse) ganz oder theilweise umschlossen; sie kommen 
bei der Vielheit der drehenden Bewegungen der Maschinen ausser- 
ordentlich häufig zur Anwendung, und verdienen, da von ihrer 
guten Wirkung und Haltbarkeit vieles abhängt, ein sorgfältiges 
Eingehen auf die sie begleitenden Umstände. Durch die ihn be- 
lastenden Kräfte wird ein Zapfen entweder vorwiegend von der 
Seite senkrecht zu seiner Drehungsachse gepresst, oder er 
empfängt den Druck vorwiegend in der Richtung seiner Achse 
oder seiner Längenrichtung. Danach unterscheidet man 

1. Seitendruck- oder Tragzapfen, 

2. Längendruck- oder Stützzapfen. 

Zu den Tragzapfen gehören die Zapfen der liegenden Trieb- 
wellen, der Wasserräder, der Wagenachsen, ebenso die Kurbel- 
zapfen u. s. w. ; Stützzapfen sind die Fusszapfen der Turbinen, der 
stehenden Wellbäume, die Druckzapfen der Schraubenschifi'e u. a. m. 

An dem Maschinentheil, welchem ein Zapfen angehört, befin- 
det sich derselbe auch, noch auf verschiedene Weise angebracht. 
Er sitzt entweder an dem Ende des Stückes, ist nur an einer Seite 
damit verbunden, oder er liegt au irgend einer Stelle zwischen den 
Enden des Stückes, geht an beiden Seiten in dasselbe über. Hier- 
nach unterscheidet man 

a. Endzapfen, 

b. Halszapfen. 



Zapfen. i91 

Erstere werden bei den Tragzapfen insbesondere Stirn- 
zapfen, bei den Stützzapfen Spurzapfen genannt Von den 
mannigfachen Formen, welche man den Zapfen gibt, können 
liier nur die einfachsten, welche zugleich die wichtigsten sind, be- 
handelt werden; aus den für sie zu gebenden Formeln lässt sich 
übrigens unschwer ableiten, welche Abmessungen man bei anderen 
Zapfenformen etwa anzuwenden habe. 



A. Cylindrische Tragzapfen. 

§. 79. 

Stimzapfen. 

Der cylindrische Stimzapfen erhält entweder an einem oder 
an beiden Enden (also am Wurzel- und am Scheitelende) 
einen Anlauf, dessen Höhe e man nach folgender empirischen 
Formel nehme: 

e = 3 + Viood (57) 

Anlaufbreite = 1,5 e. Theoretischer Berechnung unterliegen 
die Länge l und die Dicke d des Zapfens. Diese Abmessungen 

Fig. 233. haben sich zu richten: nach der 

{ Festigkeit des Materials des Za- 

pfens, nach dem Reibungszustande 
desselben und nach der Abnutzung, 
welche Zapfen und Lager zu ge- 
wärtigen haben. 

Nennt man P die Belastung 
des Zapfens, @ die grösste Span- 
j nung, welche in demselben ein- 
treten soll, so hat man in Rücksicht auf die Festigkeit des Zapfens 
zu nehmen : . 

"-VilCDv? ■■■(-) 

und setze hierin für Schmiedeisen @ = 6 , für Gusseisen @ = 3. 
Das Längenverhältniss -r ist mit Rücksicht auf den Reibungs- 
zustand und die Abnutzung des Zapfens zu wählen. In dieser 
Beziehung sind in den folgenden Formeln die neueren Arbeiten 
über die Reibung geölter Flächen berücksichtigt; diese Arbeiten 
zeigen zwar unter einander noch keine vollständige Uebereinstim- 




192 Zapfen. 

mung, gestatten aber doch bereits, einige allgemeine wichtige 
Schlüsse zu ziehen. 

a. Schmiedeiserne Stirnzapfen in Bronze oder einem 
ähnlichen Lagerschalenmetall laufend. Ist die Umdrehungszahl n 
des Zapfens pro Minute kleiner als 150, so nehme man: 

und 



1 



, , (58) 

Ist dagegen n >> 150, so nehme man: 

d = 0,32 VT f^ 
und dabei i .... (59) 

i=o,i2v;r 

d ) 

b. Gussstählerne Stirnzapfen, wie oben gelagert Ist 
w <; 150, so nehme man: 

d = 0,95 VP (60) 

(d. i. 0,843 des Werthes für den schmiedeisernen Zapfen) und 

wobei der Zapfen gerade so lang wird, als der gleichwertige 
schmiedeiserne unter a. 

Bei Umdrehungszahlen über 150 nehme man: 

d = 0,27 yp"f^ (61) 

(d. i. 0,843 des Werthes für Schmiedeisen) und ausserdem 

1 = 0,15 V^ 

c. Gusseiserne Stirnzapfen, wie oben gelagert Man 
nehme : 

d = l,5 Vp") 

l ■. (62) 

d= /' I 

welche Formeln brauchbar sind bis zu Umdrehungszahlen über 
200, worüber hinaus gusseiserne Zapfen nicht gebraucht werden. 

d. Schmiedeiserne Stirnzapfen, in gusseisernen La- 
gern laufend. Man gebe diesen Zapfen die Abmessungen: 

d=l,2 Vp"] 



1 = '^'' 



(63) 



Berechnung der Stimzapfen. 193 

welche Werthe man auch bei den Zapfen unter o. für Kräfte bis 
ZQ 2000* anwenden kann. 

e. Schmied- und gnsaeiserne Zapfen, welche nicht 
dauernd laufen, sondern nur eine gewisse Drehbarkeit haben 
sollen. Hier ist bloss die Festigkeit roaassgebend und ein kleineB 
liängenverhältniss günstig, sowie eine kleinere Sicherheit statthaft. 
Man nehme für: 



I 



V* 



'A 



'/» 



bei Schmiedeisen : . , . 

(S = 7,ö) d = 0,82VP 0,7 i VP 0,58 VP 0,47 VP f^^ 

bei Gusseisen: 

(© = 3,75)d=],16 V^ ],0Vp"0,82VP 0,07 Vp , 

Beiajiiel. Der Hake» eines mit tO Ctr. oder 2000' helatteten Fla- 
sehentuges steckt in einem schmiedetsemen Querhaupt, dessen Zapfen eu 
liereehnen. Jeder ist mit 1000^ heiastet; Kühlt man das Längenterhält- 

niss '/,, so ist eu nehmen d = 0,47 y 1000 ./"-^ IS— ; bei ■j= j- kommt 

d=:0fi8 VlOOO •vy 18«. 

/. Hohle Zapfen. Bezeichnet: 

Fig. 234. do den äusseren Zapfendurchmesser, 

äi den inneren Zapfendurchmesser, 
d den Durchmesser des gleichbe- 
~ lasteten vollen Zapfens, 

und hat der hoble Zapfen dieselbe 
Länge, wie dervoUe, so ist zu neh- 
men fUr gleiche Sicherheit beider': 
' (05) 

woraus folgende Zahlenreihe hervorgeht. 

^ = 0,8 0,75 0,7 0,G 0,5 0,4 0,3 0,2 

do (CO) 

4 = 1,19 MS 1,10 1,05 1,02 1,01 1,003 1,0004 
d 

Man sieht dass eine Aushöhlung bis zu '/j des Durchmessers 

einen gewöhnlichen Stirnzapfen kaum scliwächt. Das Ilöhlnngs- 

rerhältniss 0,6 findet sich oft angewandt. 




194 Berechnang der Stirnzaptien. 

§.80. 

Tabelle über die schmied- und gusseisemen Stim- 

zapfen. 

In der folgenden Tafel sind die Ergebnisse der Formeln (58) 
(59) und (62) flir eine Reihe Ton Werthen zusammengestellt 

i. lieispieL Für eine aus Schmiedeisen zu fertigende Eisenbahn- 
toagenachse von 3800^ Zajßfenbelasfung seien die Zapfen zu bestimmen. 
Die Räder haben SHO^ Durchmesser und der Wagen soll eine Geschwin- 
digkeit von i^" haben. Dann ist die Umdrehungszahl der Zapfen: 

*» = ^ . ^'1 «^ = nahe 270. demnach zu suchen in der Spalte unter 
Ofbü , 3fl4 

n =z 150 — 350, und zu nehmen : (bei P = 5770) d = 80^^, l = i60— , 

e = i^«". 

2. Beispiel, Ein rückschlächtiges Wasserrad von 30000^ Gewicht 
fasst während des Ganges 6 Kubikmeter Wasser. Die symmetrisch an- 
geordneten Zapfen der gusseisernen Achse des Bades erfahren demnach 
jeder eine Belastung von 15000 -\- 3000 = 18000^. Es ist ihnen deshalb 
nach Spalte 3, Zeile 29 bis 30 eine Dicke von 200^'* oder etwas darüber 
zu geben. Die Zapfetüänge wird %.200 ..^Ky 267^*, die Anlaufhöhe 
e = i7""". 

3. Beispiel. Die Zapfen der gusseisernen Hauptbalancier -Achse 
der Wasserhaltungsmaschinen auf der Grube Bleiberg in Belgien sind 
belastet mit je 140550^*) und haben das Höhlungsverhäitniss 0,5, Wir 

würden denselben die Dicke d^ = 1,02 . 1,5 V 140550 = 574'''' und 

die Länge Iq = % . 1,5 V 140550 »/v^ 750*" geben. Die Schalen erhielten 

tinen Flächendruck p =r ^ «/'^^ 0,35*. Man hat genommen do 

= .500*~, Iq = 4^0""" (was einer Spannung von 2,9^ entspricht) aber die 
Schale nur 400'*'* lang gemacht. Deshalb stellte sich der Flächendruck 

an/ , = 0,7*, tras entschieden zu hoch ist. Im Betrieb erfuhren 

auch die Zapfen stets Erwärmung, so dass Wasserkühlung angeordnet 
werden 7nusste**), — Nach der vorgängigen Kraftberechnung hätte auf 
jeden Zapfen eine Last von etwa 170000'' kommen müssen. Wäre die- 
selbe wirklich eingetreten, so würde den gewählten Abn^essungen nach die 
Spannung an der Zapfenwurzel 3,52t, der Flächendruck im Lager 0,85^ 
betragen haben. 

*) Vcrgl. Portefeuille de John Cockerill, I, S. 189. 
*♦) Die später erbaute Maschine auf Grand Homo zeigt bei schmied- 
eisernen Zapfen p nur = 0,51 , was sehr nahe mit nnserem Werthe über- 
einstimmt. 







Tabelle über die Stirnzaiifen. 




195 


d 






Wer 


the der 


B*1flBtTingP. 


1 


Gusse iBcn 


ScliniieUmwn | 


n bis 2viO 


n bii 200 


11 = 150 


n = 350 


» = 500 


n = 800 










- 350 


- 500 


— BOO 


— 1200 






I-. 




l = = 


1 = ., 


^ = = 


^ = ' 


17 


b 


324 


583 


305 


316 


281 


197 


BO 


5 


400 


720 


535 


428 


353 


2G7 


33 


G 


4.94 


871 


C.il 


513 


428 


320 


37 


6 


COS 


1095 


900 


641 


538 


406 


40 


6 


711 


1280 


043 


754 


G28 


471 


45 


6 


000 


1020 


1193 


954 


795 


695 


&0 


7 


1111 


2000 


1473 


1178 


982 


736 


ÖT. 


7 


1^44 


■ 2420 


1781 


1425 


1163 


890 


CO 


B 


ICOO 


2880 


2120 


1C9G 


1413 


lOGO 


cc 


8 


1877 


331« 


2689 


2151 


1G59 


1344 


70 


8 


2177 


3920 


2886 


2309 


1924 


1443 


75 


8 


2500 


4500 


8312 


2Ü50 


2208 


105G 


80 


9 


2844 


0120 


3770 


3016 


2513 


1885 


85 


9 


3211 


5780 


42r.6 


3406 


2837 


2128 


90 


10 


3noo 


6480 


4771 


3817 


3181 


2385 


05 


in 


4011 


7220 


S31G 


4253 


3544 


_ 


100 


10 


4444 


8000 


5891 


4713 


3927 


_ 


lim 


in 


4Ü110 


8820 


6491 


5195 


4329 


— 


110 


n 


5377 


3680 


7127 


H702 


4751 


— 


115 


11 


5877 


10580 


7790 


0232 


5193 


- 


120 


12 


R4no 


11520 


8483 


6780 


_ 


_ 


130 


12 


7511 


13r,20 


•mr> 


7004 


— 


— 


140 


13 


8933 


15<W0 


11540 


9237 


— 


— 


IM 


13 


IfXXM 


18000 


I32i3:t 


10(i02 


— 


— 


IfiO 


15 


11377 


20480 


ir,nso 


12004 


— 


- 


170 


15 


12M4 


1.'3120 


17022 


_ 


— 


— 


IRfl 


16 


14440 


26920 


10084 


— 


— 


— 


lEM) 


Iß 


1C044 


288811 


21223 


— 


- 


- 


2U0 


17 


17777 


32000 


335(10 


— 


— 


— 


210 


IB 


19(ino 


!;528n 


25975 


- 


- 


- 


220 


Ifi 


21511 


38720 


_ 


_ 


_ 


_ 


210 


20 


25600 


40080 


— 


— 


— 


" 


21» 


31 


30014 


64180 


— 


- 


— 


— 


280 


23 


34844 


(!2T20 




_ 


— 


— 


300 


24 


40000 


72000 




— 


- 


— 



Berechnung der Stirnzftpfen. 



Abändenmgen der Zapfenlänge. 

Niclit selten bietet sich die Anfgabe, einen Tragzapfen zu fin- 
den, der zwei andere bekannte ersetzen soll, mit ihnen also aach 
gleiche Umdrehungszahl hat. Ist der gesuchte Durchmesser d, 
die gegebenen äi und dj, bo ist zu nehmen: 

Fig. 235. d .= 1/d» + di .... (67) 

.'-\ vas sich graphisch ausfuhren lüsst, siebe 

f "'^gl^^^^'4, Fig. 235, indem d die Hypotenuse des 
; ^^^^^^^k ' .. Rechtwinkeldreiecks von den Katheten dj 
k ^^^^^^^H . - und d} bt. Auf demselben Wege findet 
j ^^^^^^^Vv ^ich die anzuwendende Zapfeclänge aus 
! ^^^^^^V ,y dem einfachen Ausdrucke : 
*--^^^'^'- l = yil + 1/ .... (68) 

Bei Conetructionen, welche kleinen Krallen aasgesetzt sind, 
stösst man häufig auf Fälle, wo die berechneten normalen Stim- 
zapfen sehr dünn werden, so zwar, dass man ohne irgendwie be- 
hindert zu sein, denselben eine grössere als die berechnete Dicke d 
geben kann. Man kann bei dieser Gelegenheit einen Vortheil 
für den Gang des Zapfens erzielen , indem man ihm auch eine 
grössere als die berechnete Länge Z gibt, wodurch die Abnutznngs- 
etörke herabgezogen wird. Umgekehrt muss man mancbmfd die 
Zapfendicke und Länge möglichst herabzuziehen suchen. Erhöht 
oder vermindert man d auf d', so bleibt die Sicherheit unver- 
ändert, wenn man nimmt 

(69) 

Verhältnisse der besprochenen Art kommen häufig bei den 6e- 
lenkgeradfiihningen (Watt's Parallelogramm) und bei den Quer- 
bäuptem (Kap. XVII) vor. 

Seispiel. Ein auf HO'- Dicke und 30" Länge berechneter gehmied- 
eiaemer SHrntapfen hann mit 30" Zapfendicke ausgeführt werden; 

dann darf nach (69) «eine Länge f = 30 . (^ =30.3,3?5^v^J(W" 

genommen werden. 



I=(f)' 



Berechoung der Halszapfen. 



Erweiterte und verengte Zapfen. Gabelzapfen. 




'm^^^^. (pftJSBi? 



Wenu ein Tragzapfen Halszapfen ist, also zwischen anderen 
Theileo des Stückes sitzt, welchem er angehört, so wird er in der 
Fig. 236. Regel entweder durch ver- 

drehende oder durch bie- 
gende Kräfte stärker be- 
ansprucht, als wenn er ein 
Stirnzapfen von demselben 
direkten Druck wäre; er 
muBs dann also einen grös- 
seren Durchmesser d^ erhal- 
ten, als der gleichbelastete 
und aus dem gleichen Mate- 
rial gefertigte Stimzapfen 
von derselben Umdrehungs- 
zahl, und steht zu diesem iu 
ganz ähnlicher Beziehung 
wie die [erweiterte Schraube zur normalen, vergL §. 66. Der 
genannte Stimzapfen heisse der dem erweiterten Zapfen gleich- 
wertbige Stimzapfen. Soll nun der Halszapfen mit dem letzteren 
die gleiche lineare (radiale, auf die Zeiteinheit bezogene) Ab- 
nutzungsstärke haben, so ist die Länge desselben gleich zu 
nehmen der Länge l des gleichwerthigen Stirnzapfens. 
Es ist uuschädlich, die Länge grösser zn machen, da dadurch die 
Abnützung nur verkleinert wird; vergL auch §. 83 und 107; doch 
ist man bei manchen Constructionen, z. B. den Lokomotivachsen, 
den Excentriks n. b. w. genöthigt, bei der Länge l zu bleiben. In 
ähnlicher Weise kann auch ein Zapfen dünner gewählt werden, 
als ein normaler Stimzapfen, iudem man z.B. ein kleineres Längen- 
verhältniss (s. §.79) oder ein festeres Material benutzt. Ein solcher 
Zapfen kann dem gleichwerthigen Stirnzapfen gegenüber ein ver- 
engter Zapfen genannt werden, und hat mit jenem gleiche lineare 
Abnützungsstärke, wenn die Zapfenlänge bei beiden dieselbe Grösse 
hat Ein Beispiel hierzu liefert der Gussstablzapfen unter b. g. 79. 
Eine besondere Art des beiderseitig sich fortsetzenden Zapfens 
ist der Gabel- oder Bolzenzapfen (Fig. 237 und 238). Er wird 



198 Gabelzapfen. 

nur durch seine direkte Belastung F beansprucht, und erhält bei 

normaler Ausführung die Dicke: 

* = 2 I 
bei dem Langenverhältniss: l (70) 

wenn l und d die Länge und Dicke des gleicbwerthigen Stiro- 



Fi({ 237. 



Fig. 288. 





1 


0, 


W 


^P 




m 




''r'i 










Zapfens bezeichnen. Gewöhnlich kann mau bequem ds grösser als 
— nehmeu und thut dann wohl, auch l^ zu vergrössern, und zwar 
nach der Formel: 



h 



<^)(l)' 



(72) 



.... (71) 

Ist die Länge ^ angenommen oder vorgeschrieben und die 
Dicke di gesacht, so nehme man: 

§ = ViV^ = o,esV^.. 

Das Verhältnissmaass I) in Fig. 238 ist 5 + I,4(^ angenom- 
men. Bei zu härtenden Bolzen entstehen leicht Härterisse 
am Kopfe, wenn derselbe zu gross ist; man schränke seinen Durch- 
messer in diesem Falle auf V^ d ein. An Hals- und Gabelzapfen 
werden im übrigen die Anläufe immer auf den wirklichen Zapfen- 
dur chmesser bezogen. 

Beitpiel. Statt eines schmiedeiaernen normalen Sttrmapfens von der 
Dicke d =■ TO"-, l = 105'- sull ein ebenfalls schmitdeigerner Qabel- 
zapfen angewandt werden, dessen Länge 1, =: derjenigen des Stirmapfent 
genommen werden darf. Dann ist Ig = I = 105, und nach (73): dg = 



= 0,63d 



J . 70 ./-v/ «— z 



nehmen. 



Beroclinung der Stützzapfeu. 



B. Stützzapfen. 



§. Ö3. 

Der oylindrisohe SpurBapfen. 

Die Spurzapfen sind diejenigen, über welche in der Praxis am 

häufigsten wegen Warmlaufens und zu starker Abnützung Klage 

geführt worden ist, was namentlich bei den Turbinen und Schrau- 

Fig. 239. benschiffen oftmals vorkam. Eine nähere Betrachtung 

. solcher als undauerhaffc erwiesenen Gonstructiooen, 

Hjfl^^H denen man durch vielerlei künstliche Mittel aufzu- 
^I^^^H^ helfen gesucht hat, zeigt fast jedesmal, dass einerseits 
■ j^H dabei der riächendruuk des Zapfens, andererseits 
B i'^^l dessen Umdrehungszahl sehr gross ist, beides Bestä- 
pt-rfMIP^ tigungen der hier stets im Auge behaltenen theore- 
■~-4- — H tischen Anschauung, welche die Zapfen so gross zu 
r""""i^"*i machen empfiehlt, dass ihre Abmitzung innerhalb 
jjj^H^kj stattliafter Grenzen bleibe. Hierauf nehmen die nach- 
l^^^^l stehenden Regeln, bei denen als Maximum für den 
^^^^^ Flächendnick '/n' eingeführt ist, Rücksicht 

i IstPder Druckauf dioZapfengrundflächc, d der 

Durchmesser der letzteren, beziehlich der Spurplatte, 
welche mit einer centralen Oelkammer und vier Oelrinnen versehen 
ist, so nehme man für die gewöhnlichen Fälle: 

d = 1,96 yP, P = 0,29dä .... (73) 

Hiernach ist folgende kleine Tabelle berechnet: 



d 


P 


d 


P 


d 


P 


d 


P 


d 


P i 


15 


65 


i5 


5Ö7 


75 


l&il 


105 


3197 


150 


6525 , 


20 


116 


50 


725 


80 


1856 


110 


3500 


160 


7421 j 


25 


181 


55 


877 


85 


2095 


115 


3835 


170 


8381 


30 


261 


60 


1041 


90 


2S49 


120 


4176 


180 


9396 


35 


355 


65 


1226 


95 


2683 


130 


4901 


190 


10169 1 


40 


464 


70 


1421 


100 


2900 


140 


5684 


200 


11600 



200 Der cylindrischc Spurzapfen. 

i. BeiHpiel. Ein Kran nach Fig. 52 für 4 Tannen Belastung j der 
0,h Tonne Eigengewicht besitzt^ erhält hiernach gemäss Sp. 7 u. S. Zeile 5 
eine Sjmrjsapfendicke d = 130^^. 

2, Beispiel. Eine KOnigswelle von 20 Centner oder lOOü^ Spuriapfen- 
Oelajflupg hat nach Sp. 3 und 4 Zeile 4, eine Spurzapfendicke ton dO"" xu 
erhalten. 

Es ist oben angenomiueii, duss die Zapfensohle aosSchmied- 
ciscn, die Pfanne aus Bronze bestehe. Die Pfanne oder Spur- 
platte erleidet daljei eine mit der Umdrehungszahl zuneh- 
mende Abnützung, ohne übrigens bei den gewählten Verhältnissen 
der Krhitzungsgefalir ausgesetzt zu sein, so lange für regelmässige 
Oelzufuhr gesorgt ist. Soll aber die Abnützung bei höheren Um- 
drehungszahlen für dieselbe Zeit nicht grösser werden als bei 
kleineren, so nehme man: 

d = 0,0015 Fn (74) 

wenn noch n die minutliche Umdrehungszahl ist, eine Formel, deren 
Ergebnisse bei höherem n in der Regel grösser sind, als die von (73). 
Fallen dieselben aber kleiner als jenci aus, so ist bei den 
ersteren zu bleiben. 

3. Beispiel. Hat obige Königswelle 76 minutliche Umdrehungen^ so 
wäre nach (74) zu nehmen: d ^ 0,0015 .1000 .75 z= 112,5 •vy US*"^ 
statt der oben gefundenen 60'^'^, In der Praxis lässt man sich in ähn- 
lichen Fallen gewöhnlich die grössere Abnützung, welche bei dem kleineren 
d eintritt^ gefallen. 

4. Beispiel. Nimmt man bei dem Kran aus Beispiel L die jeden- 
falls sehr geringe Umlauf zahl auf n •= 4 an ^ so liefert Formel (74) 
d — 0,0015.4H00.4 = 28yö y^^ ^i^-«, welches Resultat viel kleiner als 
das oben gefundene und somit unbrauchbar ist. Bei seiner Amcendung 
würde der Zupfen einen Flächendruck von nahe 7,3'' erleiden und die 
Spurjifanne trotz aller Schmierung dem Anfressen ausgesetzt sein. 

Für gusseiserne Zapfen mit Bronzepfanne nehme man 
d nicht kleiner als 

d = 2,26 yP (75) 

wobei der Flächcndruck Va* beträgt. Für Eisen auf Pockholz- 
I)fannen kann man einen weit stärkeren Flächendruck, nämlich 
l* einführen, wenn stets Wasserbespülung stattfindet, wie 
es z. B. bei untergetauchten Turbinen -Fusszapfen vorkommt. Man 
erhält damit den Mininialdurchmesser 

d= 1,3 T/p (76) 

Auch für (75) und (76) ist, wenn man die Abnützung be- 




Der zylindrische Spurzapfeo. 201 

sonders eingschränkt wissen will, Formel (74) zn benutzen, 
sobald deren Werthe grösser als die aus (75) und (76) zuziehenden 
ausfallen. 

Für höhere Drehungszahlen liefert (74) oft unbequem grosse 
Zapfendurchmesser. Wo die Praxis diese nicht anwendet, sieht 
sie sich genötbigt, das Oel mit hohem Drucke, durch Vermittlung 
von kleineu Pumpen oder von FlüssigkeitsBäuleu an die reibenden 
Flächen zu bringen. In manchen Fällen ist allerdings auch die 
Rücksicht auf die eintretende Abnützung nicht wichtig. Dann 
kann man auch für die höheren Umlaufzahlen bei den Minimal- 
wertben von d bleiben. Dies scheint u. a. von den Zapfen der 
Mühlspindeln zu gelten, wo man ausserdem durch Härten von 
Zai)ren und Spurplatte gewöhnlich die Abnützung zu mindern be- 
strebt ist Wahrscheinlich wäre es indessen zweckmässiger, dies 
durch Anwendung genügend grosser Zapfen grundfläcben zu tbun. 

Ein lur manche Constructionen geeignetes Mittel , wenigstens 
den steigernden Einfluss von n zu vermindern, scheint die Anwen- 
dung drehbarer Spurplatten zu sein. Werden deren 1,2,3.. 



J'ig. 2iO. 




zwischen die Zapfensohle und 
die feste Spurplatte gelegt 
(Fig. 240), so scheint an den 
Gleitungsfiäcben günstigenfalls 

die Umlaufzabl -pr-i -5-' — j 



r mal M einzutreten (oder 



h-Jt- 



i_ 

i-f i 

auch ein Wechsel der Gleit- 
flachen, der ähnlich wirkt). 
Bei Turbinen und Mühlen 
(Escher- Wyss, Ilieter)hat sich 



die Einrichtung bewährt. Bei Schrauhenschiffen hat sie indessen 
keinen bleibenden Erfolg gehabt: die Platten liefen sich eine nach 
der anderen fest, und die zuletzt laufenden Flächen rieben sich 
dann bis zur Glut nnd Zerstörung; auch die Anwendung von 
Uehersetzungsrädem, welche den Platten die obigen Drehungs- 
zablen verliehen, hielt den Verderb der Lager nicht sicher auf. 
Soviel übrigens die erreichbaren Angaben zu benrtbeilen erlauben, 
fand dann aber jedesmal ein zu grosser Flächeudruck (1' und oft 
Doch weit mehr) statt 

Die Anwendung anderer Stoffe als Eisen, Holz und Bronze 



202 Spurzapfen. 

oder deren Surrogate (Weissmetall, Hartblei u. s. w.) zu den Spur- 
pfannen ist vielfach versucht worden. Neben der oben angedeu- 
teten Verwendung harter Stahlpfannen, die bei zu grossem Flächen- 
drucke auch wenig wirkt, ist die von Stein, Glas*), hartgebranntem 
Thon**) versucht worden; allgemeinere Einführung dieser Lager- 
materialien hat aber noch nicht stattgefunden. Girard presst 
mit einer Pumpe Wasser zwischen die Reibflächen***) und erzeugt 
dadurch unter Verlust der auf den Pumpenbetrieb gehenden Arbeit 
einen sehr leichten Gang des Zapfens. Dasselbe gilt von dem auf 
der 1867er Weltausstellung zur Schau stehenden iZapfen, bei 
welchem Girard den obigen Wasserstrom durch einen Luftstrom 
ersetzte. Auch zeigte die Ausstellung Zapfen f), welche in abge- 
dichtetem Lager auf eingeschlossenem Wasser sehr leicht liefen. 
Alles deutliche Fingerzeige von der erkannten Unzulänglichkeit 
der gebräuchlichen Spurzapfen, ohne dass deshalb die complizirten 
Abhilfemittel als die besten gelten dürften. 

§. 84. 

Cylindrische Spurzapfen für stehende Trieb- 
wellen. 

Die stehenden Triebwellen der Fabriken haben meist kleine 
Umdrehungszahlen, so dass für sie in der Regel die Formel 

(i= 1,86 ]/P zur Anwendung kommt; sie belasten ihren Spurzapfen 
gewöhnlich nur durch ihr eigenes Gewicht und das der auf ihnen 
sitzenden Räder und Kupplungen. Denkt man sich diese Theile 
in Cylinder von der Dicke d der Welle verwandelt, was durch 
Schätzung gut geschehen kann, und hat dann die auf solche Weise 



*) Lagerpfannen aus Glas erprobte seit mehr als zwölf Jahren und lie- 
fert die Glashütte von E. Acker u. Cie. in Graggenau bei Rastatt. Die 
Pfannen sollen sehr dauerhaft und billig sein, auch wenig Schmiermaterial 
erfordern. Näheres Schweiz, polyt. Zeitschr. 1867, S. 144. 

**) Ausgestellt 1867 von Leoni in London ebenfalls unter Angabe 
von dauernd guten Resultaten. 

***) Siehe u. a. Armengaud, Vignole des mecaniciens S. 139. 

t) Von Jouffray ausgestellt. Siehe Armengaud, Progres de Pindu- 
strie ä Texp. universeUe, Band I, Tafel 8, wo ein Wasserlager für Tragzapfen 
und ein solches für einen als Halszapfen ausgeführten Stützzapfen mitge- 
theilt sind. 



Kaiiimziipfen. 203 

ideell verlängerte stehenile Welle die Lauge L in Metern, so 
ist für die Spurzapfeiidicke d einer solchen Welle zu nehmen: 



1 = 0,14 Vi 



(77) 



woraus man erhält bei: 

i = ö" 8" 12° 16» 20° 



25"' 



SO" 35° 



40"-: 51". 
0,80 1,0 



~ =0,31 0,40 0,48 0,56 0,63 0,70 0,77 0,8: 

Beispiel. Eine IS' hohe itekend^^elle trage 3 Zahnräder und 4 
Kupßungeu; der Körperinhalt dieser Theile sei so gross zu veranschlagen 
uie der eines 10~ langen Stückes der Welle. In diesem Falte ist L = 15 
+ 5 = £5", und die Spunap/endicke gu nehmen: d = 0,70 der Wellen- 
dicie. 

g. 85. 

Eammzapfen. 

Bei Anwendung des Kammzapfens fallen die oben erwähnten 
Unbequemlichkeiten wegen der Grösse des Stützzapfens weg, weil 
man bei ihm bei kleinem Querschnitt den Zapfeudruck auf eine 
beliebig grosse Fläche vertheilen kann. Ausserdem ist dieser 
Zapfen sehr leicht als Halszapfen zu verwenden, und hat deshalb 
die Construction der Schraubenschiff- Maschinen ganz wesentlich 
beeinflusst, indem er sie zu Tereinfachen gestattete. Auch für 
Turbinen und Gentrifugalpumpen wendet man den Kammzapfen 
mit grossem Vortheil an. 

Der Druck wird liier von einer Anzahl von Ringen aufgenom- 
men und auf das umschliessende Lager übertragen. Die Berech- 
nung lässt sich für den Spurzapfen, Fig. 211 und den HaU- 
Fig. 241. Fig. 242. Fig. 243. 




204 Kammzapien. 

zapfen, Fig. 242 und 243, (a. v. S.), durch eine und dieselbe Fonnel 

ausführen. Nennt man : 

P den Druck auf die Zapfengrundfläche, 
d! den mittleren, d den inneren Durchmesser der Ringe, 
h deren Breite, h deren Höhe, Ai die Lückenweite, 
% die Anzahl der belasteten Kingflächen, 
n die Umdrehungszahl des Zapfens, 

so nehme man: 

^■^ = 1^ ^ ^'^«1 c^») 

eine Doppelformel, ähnlich den obigen für die Spurzapfen, von 
deren beiden Resultaten das grössere zu benutzen ist. h ist nach 
Gutdünken zu wählen; es findet sich zwischen Y« und Vio-^« 
h und hl werden oft = t, A hie und da auch etwas kleiner genommen, 
die Kanten sowohl scharf, als leicht abgerundet, oder auch wie in 
Fig. '243 abgeschrägt gefunden. Obige Formel setzt die Anwendung 
von Bronzepfannen oder solchen, die mit Weissmetall gefüttert sind, 
voraus. Auf Holz lässt sich der Eanmizapfen nicht gut lagern, 
weil dessen Festigkeit dazu nicht ausreicht, wenn man nicht die 
Kammringe am Holzfutter unverhältnissmässig hoch machen will. 
Doch sind die Holzpfannen auch für denjenigen Halszapfen ge- 
eignet, welchen man erhält, wenn man beim Kammzapfen i = 1 
setzt. Die Abmessungen der Druckflächen können halb so gross 
als die obigen genommen werden, immer Bespülung der Pfanne 
mit Wasser vorausgesetzt. 

7. Beispiel. Die senkrecht an einem Kammzapfen aufzuhängende 
Achse einer Centrifugalpumpe von 500 Umdrehungen in der Minute wirkt 
in ihrer Längenrichtung mit einer Kraft von 27€^\ die Welle ist ÖS»"* dick 
und soll Kammringe von 10^"^ Vor Sprung erhalten, Bier für liefert (78) 

dieBingzahll)i=^^^=6^5.^>^7i 2)i=0,96j^^ = 3,99 •Vy 4. 

Es sind also sieben Ringe anzuwenden, 

2. Beispiel, Die Schraubenwelle eines grossen Kriegsdampfers übe 
einen Triebdruck von 18000'' auf das Schiff aus; die Welle habe die Dicke 
d = 580"'», und soll 55 Umdrehungen minutlich machen. Wählen wir 

b = 50--, so ist nach (78) zu nehmen: 1) i = 1^^ '/^ = Ö,^ «^^^ ^0; und 

„V . 0,96 . 18000 

^ * ~ ~~43Ö — 50 — ~ ' ' wonach der erstere Werth weit überwiegt und 

beizubehalten ist. Hätte man d = 450 gewählt, so wäre der zweite Werth 
noch kleiner ausgefallen, der erste aber unverändert geblieben, weil da wo 
die erste Formel überwiegt, ib vom Durchmesser unabhängig ist. Die 



Zupfen Verbindungen. 205 

Ausführung, welcher die Angaben zu dem Beiipiel entnommen »tnd, hat 
die Ringtahl i = 9. 

3. Beispiel. Es soll für die TJrangahen des ersten Beispiels der 
kleinste Kammeapfen, der bei b ^ I0"~ zu erhalten ist, bestimmt werden. 
Hierfür selten wir die Werthe in der Doppelformel einander gleich, und 
haben: d-n = OJM.SOOO = 1930, woraus d' = —■ = 3^4 •>*.y 4-~. 
_ 0,96 



Es käme t — - 



4.10 



■ = 6,48 •-<-* 7 



! oben; der Zapfen erkielte 



übrigens einen unausführbar dünnen Kern. Man sieht indessen, toie man 
unter Umständen einen Kammeapfen auf kleine Abmessungen eusammen- 
drängen kann. 



Zapfenverbindungen. 

Wenn ein Zapfen mit dem zu tragenden Theile nicht aus 
einem Stück bestehen kann, so wird er mit ibm auf besondere 
Weise verbunden; besonders häufig kommen Zapfenverbindungen 
zwischen hölzernen Achsen (der Wasserräder) und schmied- und 
guBseisemen Zapfen vor. 

Fig. 244, Wurzel- oder Ankerzapfen, verlangt einen breiten 
Ausschnitt des Achsenrandes und das Einsetzen zweier hölzernen 



Fig. 244, 



♦*^^=T^'. - 




Füllstücke. Nach dem 

Einbringen derselben 
werden die Ringe warm 
aufgezogen. Diese sind 

sorgfältig konisch zn 
schmieden, und zu diesem 
Behuf vor dem Zusam- 
men seh weissen kreisbo- 
genfdrmig zu biegen , oder, 
nachdem man sie als cy- 

lindrische Hinge ge- 
schweiest bat, nach der 
Clerk'schen Methode ko- 
nischzumachen*). Beiden 



*) Siebe CiTilingenieDr, 1664 (Bd. X), S. 28a Clerk, Debor di« Fonn> 
ändeningen von Sohmiedeiaen nnd anderen Uetkllen beim Ablöaohen in 



206 Zapfenverbindungen. 

liier angegebenen Verhältnissen ist, wenn R den grÖEsten inneren 

Halbmesser eines Ringes bezeichnet, der KrümmungsbalbmeBBer 



Fig. 24G. 



der änsseren Eante des 
noch flach liegenden 
Eisens = 20 ü zn nehmen. 
Fig. 245, Keilzapfen 
oder künstlicher An- 
kerzapfen, eine sehr 
zweckmässige und halt- 
bare Conetruction, Fi- 
gur246,Blatt- oder Flö- 
ge 1 za p fe n (Gusseisen), 
zweiblättrig. Fig. 247, 
vierblättrig er Fiügel- 
zapfen; beim dreiblätt^ 
rigen sind die Flügel Vio d 
dick zu nehmen. 
Fig. 248 Ringzapfen; die Flügel eines vierblättrigen Blatt- 
Fig. 24«. Fig. 247. 





Zapfens sind durch eine konische Hülse u 
Fig. 24a 



in, die durch vier 




Zapfenverbindungen. Achsen. 207 

eingelassene platte Anker festgehalten wird. Die Hülse trägt oft 
wie hier Eeilbahnen mim Aufbringen einer Radnabe. 

Fig. 249, Kreuzzapfen, sehr praktische Constniction, Das 
Fig. 249. 




Kreuz, an welches der Zapfen angegossen ist, wird auf der Rück- 
fläche abgedreht, ebenso die Achse auf der Stirnfläche; einSchmied- 
eisenring verstärkt den Gussring, welcher die Kreuzarme umgürtet 
Mit den vier Kopfschranben, deren Muttern eingelassen sind, wird 
das Kreuz fest gegen die Achsenstim gezogen. 



V. ACHSEN. 



Eintheilui^ der Tragachsen. 



Achsen nennt man Träger, welche umlaufende oder schwingende 
Theile zu tragen bestimmt, und deshalb mit Drehzapfen versehen 
sind; sie heissen Tragachsen oder Stiitzachsen (entsprechend 
den Trag- und Stützzapfen), je nachdem sie quer auf ihre Zapfen- 
acbsen oder in derenLängenrichtung belastet sind. ReineStützacbsen 
kommen wenig vor; vorerst und hauptsächlich ))ehandelt das fol- 
gende die Tragachsen und solche, die theils Stütz-, thcils Tragachsen 
sind, und deshalb auch unter die Tragachsen gerechnet werden 



208 



Achsen. 



können. Bei denselben ist die Belastung entweder an einer Stelle 
vereinigt, oder sie ist auf mehrere Tragpunkte vertheilt; es unter- 
scheiden sich hiemach: 

einfach tragende oder einfache Achsen und 
mehrfach tragende Achsen. 
Ihre Querschnitte werden bei Guss- und Schmiedeisen, auf 
welche Materialien hier zunächst Rücksicht genommen ist, ent- 
weder einfach kreisförmig oder nach anderen zusammengesetz- 
teren Formen gebildet, wonach sich eine zweite Unterscheidung 
in der Berechnung ergiebt. Bei den sämmtlichen Aufgaben, welche 
sich in der Achsenconstruction darbieten, leistet die Zuhilfenahme 
der Graphostatik sehr wesentliche Dienste. Es werden deshalb 
beide, das rechnerische und das zeichnerische Verfahren beim 
Entwerfen hier mitgetheilt. 



A. Die Querschnitte sind kreisförmig. 



§. 88. 
Oleiohschenklige einfache Achse. 

Die Last Q ist, lothrecht zur Achse gerichtet, in der Mitte 
derselben auf dem Achsenkopf angebracht, Fig. 250, der 
von einer Hülse oder Nabe umschlossen wird. Die Verbindungen 
von Kopf und Zapfen heissen die Schenkel der Achse. Die 

Fig. 250. 



.>*.-, 




tb > 



Zapfen werden nach den Regeln von Kap. IV. für den Druck 

P = ^ berechnet, und die Achse selbst annähernd von gleicher 
^^ « 

Festigkeit mit dem Zapfen construirt 



Einfache Achsen. 209 

Nennt man: 
d den Durchmesser, l die Länge des Zapfens, . 
e die dem Zapfen zukommende Anlauf- oder Anpasshöhe, 
jD den Durchmesser des Achsenkopfes, b dessen Breite, 

ly den Durchmesser des Schenkels dicht nehen dem Achsenkopf, 

D jy 

f! = — ;r — den Vorsprung des letzteren, 

a die Scheukellänge, 
so nehme man: 



^-r- 



:^ ...... (79) 

2" 
Hierbei erhält die Achse dieselbe Sicherheit wie der Zapfen, 
sodass, abgesehen von den Abrundungen und Annäherungsformen, 
bei schmiedeisernen Achsen die Spannung ® = 6*, bei 
gusseisernen ® = 3* durchweg wird. Will man eine andere 
Spannung einfuhren, so unterlege man einen ideellen Zapfen, der 
mit derselben berechnet ist. 

Die strenge Form des Achsenschenkels würde ein kubisches 
Paraboloid sein (vergL §. 10, Nro. VI., Bemerkungen), welches als 
Hilfsconstruction mit aufzutragen für den Lernenden sehr nütz- 
lich ist Für die gewöhnlichen Fälle aber forme man den Achsen- 
schenkel als Kegelsturapf von dem Basisdurchmesser ZX und dem 
Scheiteldurchmesser d-|-2e. Dabei wird c' nicht grösser gewählt, 
als es die Anbringung einer Bahn für den Befestigungskeil er- 
fordert. 

Die Längskeile zum Befestigen der Naben auf den 
Achsenköpfen werden hinsichtlich der Form ihres Lagers oder ihrer 
Bahn in drei Arten ausgeführt, nämlich als: 

ausgekehlte oder Hohlkeile Fig. 251, 1. 

als flach aufgesetzte oder Flachkeile Fig. 251, 2, 4, 5. 

und als versenkte Keile Fig. 251, 3, 

Der Hohlkeil dient für leicht zu befestigende stossfrei ar- 
beitende Theile, namentlich die ßiemscheiben. Der einfach an- 
gewandte Flaohkeil vermag schon beträchtlichen Erschütterun- 
gen zu widerstehen; mehrfach angewandt, und zwar wie Fig. 251, 
4 und 5 andeuten, liefert er eine völlig sichere vorzügliche Be- 
festigung. Der versenkte Keil, einfach angewandt, liefert bei 
ausgedrehter und aufgepasster Nabe ebenfalls eine sehr feste Ver- 
bindung« Manche wenden ihn bei stark stossenden Maschinen- 

Bealeaux, der Gonetmeienr. 24 



210 Tragkeil und Torsionskeil. 

theilen der Vorsicht halber bei derselben Nabenconstruction ancb 

mehrfach aa 

In den Abmessungen der Keile finden , da es sich hier um 
ein fast völlig empirisches Verfahren handelt, starke Schwankun- 
gen statt; mit den folgenden Vorschriften reicht man indessen 
für die gewöhnlichen Fälle aus. Zunächst ist als Material nur 
Stahl zu empfehlen; sodann ist zu unterscheiden, ob die aafzu- 
keilende Nabe bloss einfach getragen wird, oder ob sie auch die * 
Achse noch aufTorsiou beansprucht Im ersteren Falle mögen die 
Keile Tragkeile, im Reiten Torsionskeile heissen. Man wähle 
Fig. 251. 




sodann bei der Achseokopfdicke D die Keilbreite s und die mitt- 
lere Ketldicke ^i wie folgt 



beim Tragkeil: s= 64--=-, S| = 4 + 



12 ■ 



, s. = 4 + ^ . : . (81) 

und nehme den Anzug (siehe §. fiS), welcher einseitig gemacht 
und in die Nabe verlegt wird, = '/ii>o. Man erhält bei: 
2>=30 50 100 150 200 300 400 500 
für den Tragkeil: 



s = 10 


13 


21 27 35 49 


03 77 


«, = 7 


8 


12 17 21 29 
für den Torsionskeil: 


37 46 


s =10 


14 


24 34 44 64 


84 104 


s,= 7 


9 


14 19 24 34 


44 54 


Füri)< 


30™" nehme man s = -^-, Si ^ -^■ 


Wenn mehr als 



ein Keil angewandt wird, Bo behalten Viele doch die Dimen- 
sionen des einfachen Keiles bei. An Naben , welche warm auf- 
gezogen werden, und deshalb schon ohne Keil sehr fest sitzen, fin- 
den sich kleine Dimensionen für die Torsionskeile; man bediene 
sich dann etwa derjenigen, welche wir für die Tragkeile angaben. 



Tragachsen. 



Ungleiohsohenklige einfache Achse. 

Sind die Schenkel ungleich lang, wie in Fig. 252, so vertheilt 
sich die Last nngleich auf die Zapfen ä| und ä,, und zwar ist 

^ - ^ il - _2!_, ^ _ ?! ,82^ 

Q ai-\-a, Q o, + *, P, - a. ■ ■ ■ '""^^ 
Fiff. 252. 




Die Mittelehene des Achsenkopfee theilt die Achse in zwei^tücke, 
Ton denen man jedes einzelne so bebandelt, wie die Hälfte einer 
gleichschenkligen einfachen Achse, worauf man schliesslich durch 
ausgleichende Verbesserungen das Ganze vollendet Man berechne 
dann D' für beide Schenkel und behalte das grössere der sieb 
für Vergehenden Resulsate bei. Wird oj = a^, so geht die Achse 
in die gleichschenklige über. 

Wenn die Nabe für die Last Q, statt zwischen den beiden 
Zapfen, ausserhalb von deren Verbindung liegt (oder o^ negativ 
wird), Fig. 253, so heisst die Achse eine freitragende oder flie- 
Fig. 268. 




212 Einfache Achsen. 

gendtragende, wie die Praxis sich ausdruckt Der Zapfen D 
wird hier ein Halszapfen (s. §. 82). 

Man hat für die numerische Grösse der Kräfte: 



Pl 


flfj 


p» 




«1 


+ 


<h 


P, 


Q 


Ol 


Q 






Ol 




P, 



(h 



.... (83) 
«i + «a 

Zuerst bestimme man den Zapfen äi, darauf einen ideellen Zapfen 
d^ für die Laststelle, und eine Achsenkopfdicke D für den Hals- 
zapfen, so als ob die Aufgabe die obige wäre, indem man für D 
die grössere der beiden Dicken 2/ und D" beibehält, welche sich 
für die beiden Enden des Halszapfens aus Formel (79) ergeben, 
und mache alsdann (graphisch, siehe §. 81) die Zapfenlänge 

l^ = yif-{-lJ. Hierauf lege man in den Schenkel c^ die kubische 
Parabel, welcher der strengen Form gleicher Festigkeit für diesen 
Schenkel entsprechen würde, und trage die (meist vorgeschriebene) 
Kopfbreite b je zur Hälfte von der Mitte des Zapfens ds aus beider- 
seits au£ Der Durchschnitt der nach D hin gelegenen Begrenzung 
des Kopfes mit der Parabel liefert dann den Durchmesser 8 des 
Achsenkopfes, der übrigens wird: 

1=1^' («*) 

Beispiel Gegeben Q = 12000^, a^=:1200^'^, a^^ßOO^'*, b = 330^'^ 

Material Gusseisen. Umdrehungszahl <. 150, Man hat: P^ = -^ = 6000^^ 

ß 
Pg = -— Q = 18000^. Nach Tabelle §. 80 ist nun zu nehmen «Jj zwischen 

115 und 120, ,^-\^ 115'*'^ y d^ zwischen 160 und 170 , •vy 165"^"^, wonach 



/i = i55"-, I2 = ^20--. Nun wird D = 165 , y^ = 1,77 . 165 = 292^^^, 
Is = Vi552 -f 220^ = 268^*, 7s z= 165 , V^ = 165 . 1,15 = 190--. 

§. 90. 

Oraphostatische Berechnung der einfachen Achse. 

Die Aufsuchung der auf die Zapfen fallenden Kräfte geschieht 
auf graphostatischem Wege so, wie es in den Sätzen L bis V. §. 39. 
angegeben ist. Ebendaselbst wird die Aufsuchung des Seilpoly- 
gons schon gelehrt, welches nach §. 43 und 44 in seinen der 
Kraftrichtung parallelen Ordinaten die statischen Momente liefert, 




Einfache Achsen. 



213 



Fiff. 254. 




welche an den einzelnen Punkten wirken, weshalb dieses Polygon 
hier auch Momentenfläche zu nennen ist Für die vorliegenden 
Aufgaben leiten sich aus den allgemeinen Sätzen folgende einfache 
Vcrfahrungsweisen ab. 

I. Die Last urirkt normal zar Aohse. 
a) Nabe und Last zwischen den Zapfen. Fig. 254. lieber 
der Verbindungslinie 
AC der Zapfenmittel 
errichte ein Dreieck 
ABC, dessen Spitze 
B in der Itichtunp- 
linievon fliegt, mache 
die zu ÄC normale 
A.3 = Q, ziehe 3.0 
\\BG, 2.0\\AC, so 
ist A.2 = P,, 2.3 
= Pj. Durch Fällung 
der Lothe Bi und St 
aus den Nabenrändern 
wird Q in zwei daselbst 
wirkende Kräfte Q, und Q^ zerlegt, welche das Eräftepolygon nach 
Ziehung von Ob || B^Bj liefert, näralich Ab = Q„b.3 = Q,. 

Die Vertikalordinate t an irgend einer Stelle der Momenten- 
fläche ist proportional dem an ihrem Schnitte mit der Achse wir- 
kenden statischen Momente M,, ebenso die Ordinate ti dem sta- 
tischen Momente Mi an der Wurzel des Zapfens für P,. Man 
hat für beide einzeln: 

, 32 „ J3 32 „ 

»' = S®^" ''>=^^' 
und daraus: 

i-v^'^^-n '-> 

wonach die Aufsuchung der y leicht geschehen kann *). 

•) Wählt man die in Berechnnng gesogenen Wertlie von t Maas, dauBi« 
durch (, aufgehen, bo iBt die Wnrzeltafel der natürlichen Zahlenreihe zu 
oenntaen, und wenige Werthe dereelben auBreiebend, e. B. die der ersten 
^ahlentafel am Ende desBucbeB. Berechnet man Bofort y für die gröaite 
der Ordinaten (, und mieBt die übrigen aof dieser, indem man sie in lotel eto. 
tbeilt, so ist derQuotient nnterder y immer kleiner als 1, und die tweite 
Zahleutafel am SchluBB dee Buchea zu verwerthen. — 



214 Freitragende einfache Achsen. 

b) Die Nabe zwischen den Zapfen, dieLast ausserhalb 
derselben. Fig. 255. Uebar der zur Achse parallelen ÄG 



Fig. 265. 



errichte das Dreieck 
ABC, die Punkte A, S 
und C7 in die Kraftrich- 
tungen legend, Buche den 
Fusspnnkt D desjenigen 
Lothes auf A C, von wel- 
chem die CB dasStäcki)<2 
= Q abschneidet, mache 
0.1\\AC und = CD, 
..1.1.3 normal za A C, 
O.S\\CB, 80 ist 1.3 
= Q, AA =P„ 3.^ 
= P,. Die Kraft Q ist 
in zwei Kräfte an den 
Nabenrändern zu zerlegen, was durch Verbindung der Loth- 
einschnitte Ci und Cj und Ziehung von Oc\\GiGi geschieht; 
es ist nämlich nun c.3 = der bei Ci, 1 ,c = der bei C3 angrei- 
fenden Kraft. Das Diagramm zeigt, dass die Achse innerhalb des 
Achsenkopfes einen Wendepunkt der elaetiscben Linie besitzt, an 
welchem die fiiegungsbeanspruchuDg Null ist. 

c) Freitragende Achse, die Last ausserhftlb der 
Zapfen. Fig. 256. Zeichne das Dreieck ABp wie Torhin bei b), 
Fig. 256. Fig. 267. 





Schief belastete einfache Achse. 



215 



suche ebenso CD so, dass Dd= Q^ mache A.S normal zu AC^ 
0.2 = CD und || ^C, . 3 || CJB, so ist wieder J. . 2 = P„ 
3 . -4. = P2. Q nach Ci und d zerlegend, und Oc \\ Ci C% ziehend, 
hat man c . 3 und 2,c = den bei d und Ci wirkenden Kräften. 
Der Zapfen bei B ist gleichförmig belastet, seine Momentenfläche 
deshalb durch einen Parabelbogen zu profiliren (s. §. 42). 

d) Freitragende Achse, die Last zwischen denZapfen, 
Fig. 257. Nachdem das Dreieck ABC wie bei a) gebildet worden, 
ist die Zerlegung von Q nach Bi und B^ zu machen, wodurch 
das Polygon ACBiB^ entsteht (welchem das andere ACB^B^ 
gleichwerthig ist). Im Kräftepolygon ist 1 . 3 = Q, 2 . 1 = Pi 
3.2 = P2, und nachdem ObWB^Bi gemacht, J.3 = derbei 
Pi^3, 1.6 = der bei JB2-B4 angreifenden Kraft. 

n. Die Last wirkt schief zur Achse. Fig. 258. Kräfte- 
polygon und Seilpolygon werden schief, wie die Richtung von Q 
angibt, sonst wie bei I. gezeichnet. Die Vertikalprojectionen 
aA und 3.c geben die Zapfendrucke Pi und Pj an; die Horizon- 
talcomponente von Q wird durch einen oder beide Zapfen, die 
dafür als Stützzapfen wirken, aufgenommen*). 



Fig. 258. 



Fig. 259. 




.'< 








m. Die Last wirkt parallel zur Achse. Fig. 259. Es 
entstehen zwei Kräfbepaare, eines aus den gleichgrossen Zapfen- 
belastungen P, ein zweites aus den gleichgrossen Nabenbelastungen 

*) £ine der obigen ähnliche Aufgabe kommt an dem sogenannten Schie- 



216 



Einfache Achsen. 



gebildet. (Vergl. §. 38.) Ziehe von den Zapfenmittehi A und G 
aus die Parallelen ABi und CB2 bis zu den Nabenrandlothen, 

Fig. 260. und verbinde Bi mit JS^, so 

ist ABiBfC die Momenten- 
fläche. Behuis Auffindung der 
Kräfte verschiebe Q von B 
nach bq bis zum Lothe Cb, 
verbinde b mit dem anderen 
Zapfenmittel, und ziehe bis zu 
dieser Verbindungslinie das 
Loth ga, so ist dieses = P. 
Trägt man dasselbe nach Ä . l 
auf, zieht 1 . || ^ C und 
0.2 II BjBi^ so ist 1.2 die Kraft bei 61 und 2.1 die bei Jj. — 
Liegt die Nabe bei übrigens gleichen Umständen ausserhalb der 
Zapfen, wie es z. B. bei einer freigetragenen zum Theil austau- 
chenden Schiffschraube der Fall ist, Fig. 260, so nimmt das Dia- 
gramm die Gestalt ABC1C2 an, wonach die Länge der Hervorra- 
gung auf die Biegungsbeanspruchung keinen Einfluss hat 




§.91. 

Untersuchung einer gegebenen Achse auf ihre 

Festigkeit. Frobediagramm. 

Um eine gegebene Achse auf ihre Biegungsfestigkeit zu unter- 
suchen, hat man die den einzelnen Punkten zukommenden Quer- 
schnittmodel zu ermitteln. Sind wie hier alle Querschnitte kreis- 

berbayonnet, Fig. 261, vor, welches bei Lokomotiven häufig angewandt ist. 

Fig. 261. 




Die Beanspruchung wechselt hier periodisch den Richtungssiun und die An 
grififpunkte an der Stange AC. 



Probediagramm. 217 

förmig, so verhalten sich die Model wie die dritten Potenzen der 
Durchmesser. Man hat also alle Durchmesser zu kubiren. Dies 
kann unter Benutzung der Lehrsätze in §. 28 sehr gut wie folgt 
graphisch geschehen. Unter der Voraussetzung, dass das zu er- 
haltende Diagramm mit einem theoretischen, d. i. einer vorher er- 
mittelten Momentenfiäche verglichen werden solle, bringt man am 
besten das neue Diagramm sofort auf den Maassstab des alten. 
Zu dem Ende trage von dem Schnittpunkt der beiden rechtwink- 
ligen Achsen X und IT nach oben die ganze (oder halbe) Zapfendicke 

Fig. 262.; i 



*-- 





kHwMi..»Av.^at;:x«w^Ui>»iWin*iat.v i^'J>Jwi^v»..i>->r..7C3 




Oa des zu untersuchenden Achsenschenkels, und auf die Rückwärts- 
verlängerung nach Ob die zugehörige Ordinate ti der theoretischen 
Momentenfläche, schlage über ab einen Halbkreis acJ, zieh e a e 
normal zu ac, und betrachte Oe als Einheit, dann ist üJ = (0a)3. 
Macht man dann 0.1 = tfu 0. 2 = y^ u. s. w, und zieht nach der 
Y' und der X-Achse die Normalen 1.1'. I., 2,2' IL u. s. w., so sind 
OL, O.IL u. 8. w. die gesuchten Werthe yf, y^.., die man nun 
zu einem Diagramm in die Hauptfigur zusammenträgt 

Das so entstehende Probediagramm belehrt sehr deutlich 
über die Wirkung der angewandten Abrundungen, Zusätze, Aus- 
kehlungen und etwa begangenen Rechenfehler und zeigt die 
Schwankungen in der Sicherheit klar an, indem die in Wirklich- 
keit eintretenden Spannungen sich zu der gewünschten constanten 
Spannung verkehrt verhalten wie die Ordinaten des Probe- 
diagramms zu denen der theoretischen Momentenfläche. Kennt 
man die Uebereinstimmung des theoretischen mit dem Probedia- 
gramme von einer der grösseren Dimensionen, z. B. wie hier von 



216 



Einfache Achsen. 



gebildet. (Vergl. §. 38.) Ziehe von den Zapfenmitteln A und C 
aus die Parallelen ABi und CB^ bis zu den Nabenrandlothen, 

Fig. 260. und verbinde Bi mit JB^, so 

ist ABiBiC die Momenten- 
fläche. Behufs Auffindung der 
Kräfte verschiebe Q von B 
nach hci bis zum Lothe Ch^ 
verbinde b mit dem anderen 
Zapfenmittel, und ziehe bis zu 
dieser Verbindungslinie das 
Loth ga, so ist dieses = P. 
Trägt man dasselbe nach AA 
auf, zieht 1 . |1 ^ C und 
0.2||-B2^n 80 ist 1.2 die Kraft bei hi und 2.1 die bei 63. — 
Liegt die Nabe bei übrigens gleichen Umständen ausserhalb der 
Zapfen, wie es z. B. bei einer freigetragenen zum Theil austau- 
chenden Schiffschraube der Fall ist, Rg. 260, so nimmt das Dia- 
gramm die Gestalt ABC1C2 an, wonach die Länge der Hervorra- 
gung auf die Biegungsbeanspruchung keinen Einfluss hat 




§.91. 

Untersuchung einer gegebenen Achse auf ihre 

Festigkeit. Frobediagramm. 

Um eine gegebene Achse auf ihre Biegungsfestigkeit zu unter* 
suchen, hat man die den einzelnen Punkten zukommenden Quer- 
schnittmodel zu ermitteln. Sind wie hier alle Querschnitte kreis- 

berbayonnet, Fig. 261, vor, welches bei Lokomotiven häafig angewandt ist. 

Fig. 261. 




Die BeanspruchuDg wechselt hier periodisch den Hichtangssiun and die An 
grifipuDkte an der Stange AC, 



Probediagramm. 217 

förmig, so verhalten sich die Model wie die dritten Potenzen der 
Durchmesser. Man hat also alle Durchmesser zu kubiren. Dies 
kann unter Benutzung der Lehrsätze in §. 28 sehr gut wie folgt 
graphisch geschehen. Unter der Voraussetzung, dass das zu er- 
haltende Diagramm mit einem theoretischen, d. i. einer vorher er- 
mittelten Momentenfläche verglichen werden solle, bringt man am 
besten das neue Diagramm sofort auf den Maassstab des alten. 
Zu dem Ende trage von dem Schnittpunkt der beiden rechtwink- 
ligen Achsen X und Fnach oben die ganze (oder halbe) Zapfendicke 

Fig. 262.; i 



*-- 





'i.jiiwin..tu.u.i»ijut\)w.t>'4»>)iiuww^.it. t.;A. ;:;=> 




Oa des zu untersuchenden Achsenschenkels, und auf die Rückwärts- 
verlängerung nach Ob die zugehörige Ordinate ti der theoretischen 
Momentenfläche, schlage über ab einen Halbkreis ac6, zieh e a e 
normal zu ac^ und betrachte Oe als Einheit, dann ist 7Tb:=(0ay. 
Macht man dann OA = yu 0.2 = y^ u. s. w. und zieht nach der 
Y' und der X-Achse die Normalen 1.1'. L, 2,2' IL u. s. w., so sind 
OL, O.IL u. 8. w. die gesuchten Werthe y^y y^..^ die man nun 
zu einem Diagramm in die Hauptfigur zusammenträgt 

Das so entstehende Probediagramm belehrt sehr deutlich 
über die Wirkung der angewandten Abrundungen, Zusätze, Aus- 
kehlungen und etwa begangenen Rechenfehler und zeigt die 
Schwankungen in der Sicherheit klar an, indem die in Wirklich- 
keit eintretenden Spannungen sich zu der gewünschten constanten 
Spannung "verkehrt verhalten wie die Ordinaten des Probe- 
diagramms zu denen der theoretischen Momentenfläche. Kennt 
man die Uebereinstimmung des theoretischen mit dem Probedia- 
gramme von einer der grösseren Dimensionen, z. B. wie hier von 



218 Zweifach tragende Achse. 

2/, so ist das Aufsuchen der Einheit besser mittelst dieser Gege- 
benen auszuführen (wie es auch iu unserer Figur angedeutet ist), 
da dann die Genauigkeit der Einheit Oe leichter zu erzieleu ist. 



§.92. 

Achse mit zwei Tragpunkten. 

Bei der in Fig 263 schematisch dargestellten zweifach tra- 
genden Achse heissen die Enden wieder die Schenkel der 

Fig. 263. 



S-Iff 



ü-i- 



Qi 



•->■ 



h- 



-y, 



Qf 



!*"l8: 



>: 




T-.J 



J<— -»t-— 



■-►' 



Achse, das Mittelstück der Schaft derselben. Sind Qi und Q2 
die Belastungen, s die Schaftlänge, so hat man für die Zapfen- 
drucke: 



Qi «1 + s + «» ' Qi Ol -f s + «2 



(86) 



Aus den auf diese Weise ermittelten Zapfendrucken lassen 
sich nun die Zapfen di und e^, sowie überhaupt die Schenkel ai 
und Uq ganz bestimmen, wobei man zunächst die Durchmesser Di 
und />2 solcher ideellen Achsenköpfe ermittle, bei welchen Qi und 
(^2 je auf einen Punkt concentrirt gedacht werden. 

Für die dem Schart an den verschiedenen Stellen zu geben- 
den Durchmesser hat man alsdann, wenn y den Durchmesser in 
der P]ntfernung x vom Lastpunkte Qi bezeichnet: 



Ä=K'+I0-*).--- 



(87) 



eine Gleichung, nach welcher das Profil des Schaftes nach zwei 
kubischen Parabelbogen zu begrenzen ist Diese können indessen 



Zweifach tragende Achse. 219 

in derBegel durch zwei Geraden ersetzt werden, so dass der Schaft 
ein Kegelstumpf wird. 

Die beiden Achsenköpfe werden gebildet, indem man geringe 
Verdickungen für die Keilbahnen anbringt, wie es in §. 88 ge- 
zeigt wurde, und den Tragstellen die Breite b gibt, welche das 
zu tragende Stück vorschreibt 

In sehr vielen Fällen ist die vorliegende Achse gleich- 
schenklig und an beiden Lastpunkten gleichstark belastet, also 
Ol = (hi Qi = Qi' Dann wird: 

P,=P,= Q, = Q,, und y = A 
also der Schaft cylindrisch. 

Auch hier kann man einen der Schenkel oder beide ihre Last 
frei tragen lassen. Ist ersteres der Fall, Fig. 264, und nennt man 

Fig. 264. 
Qi Q« 




dann s die Schaftlänge zwischen Qi und P2, soj[hat?man: 



s — a-iTT T>^ ^ + ^ + ^^ (^ + 07) 



(88) 



Qi 5 + «1 ' O2 s + «1 

und wieder -^ , wie es Formel (87) angibt. Bei dieser Aufgabe 

wird y- nach (87) manchmal an einer Stelle im Schaft = 0, und 
zwar allgemein in einem Abstand Xq vom ersten Tragpunkt, für 
welchen man hat (siehe Fig. 264) 

ai 



Xq = 



9l 



(89) 



— 1 



Man nähert dann meistens die strenge Form durch einen umhül- 
lenden Kegelstumpf an; doch kann man auch der Materialerspar- 
niss durch Anbringung einer Einziehung Bechnung tragen. Null 
darf indessen die Dicke bei x^ nicht werden, da daselbst immer 
noch eine abscheerende Kraft übrig bleibt. (Siehe S. 221.) 



220 Zweifach tragende Achse. 

Beispiel Q^ = 2000^, Q^ = 1000^, 8 = 1800«^'^, 01 = 03 = 800«« 
,. .P, 1800-^800. 1. ^^ ^^^ 

^''' ''' t = ISOO + 800 =F6^^'' ^' =—^=1077^, femer 

Po 1800-^800+800.3 50 , „ 50.1000 ,^^^. , 

^ = o^^.. = -^^ «^«ö ^Ä = öZ— = ^^-2^*» wonach 



2600 



26' 



26 



man die Berechnung der Zapfen und Schenkel anstellen kann, y wird 



= hei Xn = 



800 



26 
14 



800 . 14 
12 



= 933^^^ was in den Schaft hinein- 



fällt, also die oben angedeutete Annäherung erfordert 

§. 93. 

Graphostatik der vorstehenden zweifach 

belasteten Achse. 

Sind wie vorbin die normal zur^Achse AD in gleichem Sinne 
wirkenden Kräfte Qi und Q2 gegeben, Fig. 265, so trage man auf 



Fig. 265. 



Fig. 266. 




der 2U AD normal gerichteten Aa.. die a 1 = ^i, 1 2 = ft auf, 
wähle einen Pol und ziehe die Strahlen Oa, 01,02; ziehe da- 
bei die aO.. bis zum Schnitte b mit der Kraftrichtung von Qp 
darauf ic || 1 0, cd || 2 0, und verbinde d mit a. Durch Ziehung 
der 03 II da im Kräftepolygon erhält man dort in 2 3 die Kraft 
P2 am Zapfen D und in 3 a die Kraft Pi bei -4, in ab cd aber die 
Momentenfläche, deren Vertikalordinaten t wieder zur Bestimmung 
der in ihrer Verlängerung liegenden Durchmesser y der Achse, 
wie es oben bei L §. 90 gelehrt wurde, dienen. Der Schnitt- 
punkt e der Verlängerten ab und de liefert einen Punkt e der 



Zweifach tragenile Achse. 221 

Lage Ee der Mittelkraft von Q, und Q^. Sucht man die Ee 
gleich von Anfang, z. B. nach der in §. 40 angegebenen Methode, 
BO ist die vorliegende Aufgabe auf diejenige in §. 90 I. znrück- 
iubrbar, wobei man dann die Richtung der Schlusslinie ad schon 
im voraus wie dort wählen kann. 

Wirkt eine der Belastniigeo ausserhalb des zweiten Zapfens, 
Fig. 266, so kann der oben besprochene Wendepunkt in der elasti- 
schen Linie entstehen; es geschieht, wenn die Mittelkraft von Qt 
und Qi zwischen die Stützen A und D fallt. Vergl. die Aufgabe 
§, 90 L b. Die oben erwähnte' scheerende Kraft wird durch 1 . 3 
dargestellt 

Liegt die Mittelkraft von Q( und Q, ausserhalb der beiden 
Zapfen, wie bei Fig. 267, so entsteht jener Wendepunkt nicht, die 
Kraft Pi wird aber mit Q^ und Q^ gleichgerichtet; im übrigen 
ist das einzuschlagende Verfahren nach wie vor dasselbe. Die 
Mittelkraft kann endlich auch gerade auf die Stütze D treffen, wie 
in Fig. 268. Alsdann werden die biegenden Kraftmomente in dem 
Fig. 267. Fig. 268. 




Stücke AB-, welche bei der vorigen Aufgabe sehr klein waren, 
völlig Mull; die beiden Begrenzungslinien der Momentenfläche 
fallen zusammen. Für den Schenkel A B und den Zapfen bei A 
bedeutet dies, dass beide nur den zufallig auf sie kommenden 
oder etwaigen anderen als den zur Berechnung gegebenen Kräften 
entsprechend zu machen sind, unter Umständen also sehr leicht 
und dünn aasgeführt werden dürfen. Die Zerlegung der einzel- 
nen Belastungen auf die Nabenränder, welche je nach der Lage 
der Nabe das Diagramm wesentlich umgestalten kann, ge- 
schieht wie in §. 90 gezeigt wurde. — Andere Variationen als die 
betrachteten erhält man noch, wenn man die Kräfte Qi und i^^ 



314 Freitragende einlache Achsen. 

b) Die Nabe zwischen den Zapfen, die Last ansserbalb 
derselben. Fig. 255. üeber der zur Achse parallelen AC 

errichte das Dreieck 
ABC, die Punkte A,B 
und C in die Kraftrich- 
tungen legend, suche den 
Fusspunkt D desjenigen 
Lothes auf A C, von wel- 
cbem die CB d&sStücki)d 
= Q absclmeidet, m^che 
0.1 MC und = Cß, 
.^.1.3 normal za AG, 
0.3[|CJB, 80 ist 1.3 
= Q, AA — P,, 3.A 
= Pj. Die Kraft Q ist 
in zwei Kräfte an den 
Nahenrändern zu zerlegen, was durch Verbindung der Loth- 
einschnitte C, und C, und Ziehung von Oc || Ci G, geschieht; 
es ist nämlich nun c , 3 = der bei Cj, I . c ^ der bei C» angrei- 
fenden Kraft. Das Diagramm zeigt, dass die Achse innerhalb des 
Achsenkopfes einen Wendepunkt der elastiBcben Linie besitzt, an 
welchem die Bieguogsbeanspruchung Null ist 

c) Freitragende Achse, die Last ausserhalb der 
Zapfen. Fig. 256. Zeichne das Dreieck ABfl wie vorhin bei b), 

Fig. 256. Fig. 257. 







Eisenbahnwagen-Achse. 223 

rufene Horizontalkraft if, welche nach Scheffler*) auf 0,4 Q 
steigen kann, so dass eine schief gerichtete Mittelkraft R gegen 
die Achse hin drückt. Diese wird sowohl nach den Schienenköpfen 
Kl und K2 hin, als nach den Zapfen A und D hin zerlegt. Bei 
der ersten Zerlegung ist zu beachten, dass die von H abgewendete 
Schiene K2 nur normal (oder innerhalb des Reibungskegels) auf 
die Erzeugende des Radreifenkegels drücken kann, so dass 
< Zy-Kj /S' = 90^ zu machen ist. In den Durch Schnittpunkten 
li und C der Schienenkräfte mit der Achse rufen die letzteren 
die Vertikalkriifte Qx und Q2 und vemachlässigbare ^Ilorizontal- 
kräfte hervor; die schiefen Zapfenpressungen werden ebenfalls in 
ausser Betracht fallende Horizontalkräfte und die Vertikaldrucke 
Pi und P2 zerlegt Aus diesen werden die Zapfen di und dj berech- 
net und das grössere Resultat beibehalten. Darauf fälle man 
aus dem AngriflFpunkt E der Mittelkraft R ein Loth Ee auf die 
zur Achse parallel gezogene ad\ ziehe ea und cd, verlängere die 
Richtungen von Qi und Q^ bis b und c, und lege durch b und c 
eine Gerade. Hierauf fälle man aus den Nabenrandpunkten 
BB", CC Lothe nach Vb\ c'c" und ziehe VV\ cV, so ist 
aVV'c'c**d das Seilpolygon für die vorliegende Beanspruchung 
der Achse. Die Ordinaten t desselben dienen wie oben zur Be- 
rechnung der entsprechenden Dicken y aus der bekannten Zapfen- 
dicke dl und der Ordinate ti an der Zapfenwurzel. 

Die Kraftrichtung Ki B kann auch noch einfacher, als mit- 
telst Aufsuchung des oft unbequem fallenden Punktes S* bestimmt 
werden. Man verbinde irgend einen Punkt der Richtungslinie 

Fig. 270. ^^^ ^» 2- ^- -^ ^^* ^^^ Schienenköpfen 

Kl und K2 und zerlege R = Er, Fig. 
270, nach den Richtungen EKi und 
EK2 in ElCi und fc, r = Eku ziehe die 
Ji^l horizontal und die El || der bekann- 
ten Kraftrichtung K^ S', so ist l E die 
Kraft in K^ und r l die in Ki , deren 
w Ä^ Richtung gesucht wurde, indem Ek^ 

und k^ l die inneren Kräfte an der Ecke 
JTj des Seilpolygons EK^Ki sind, und 
mit der Kraft von der bekannten Richtung K^ S' ins Gleichge- 
wicht treten u. s. w. 




*) Ad. Scheffler, Eisenbahn wagenachsen. Braunschweig 1861. 



222 Eisenbahawageu-Acbse. 

mit entgegengesetztem Sinne (oder Vorzeichen) einfuhrt, obige 

Beispiele erklären aher das Verfahren auch dafür zur Genüge. 



Schief belastete zweifach tragende Achsen. 
Eisenbahnwagenachse. KranpfoBten. 

ßei schiefer Richtung der Kräfte Qi und Qj wird die zeich- 
nerische Auflösung der vorliegenden Aufgabe kaum weniger ein- 
fach als vorher. Die Bchiefe Kraftrichtung kommt unter anderen 
bei den Eiaenbahnwagenachsen vor, weshalb vir eine solche 
als Beispiel nehmen , unter Vernachlässigung freilich einiger we- 
nig bedeutenden NebeneinflUsse. 

Ausser der im Wagenschwerpunkt S, Fig. 269, angreifenden 
Fig. 269. 




Vertikalbelastung Q der Achse wirkt an demselben Punkte zu 
Zeiten eine durch Centrifiigalkraft und Schwankungen herrorge- 



Eisenbahnwagen-Achse. 223 

rufene Horizontalkraft If, welche nach Scheffler*) auf 0,4 Q 
steigen kann, so dass eine schief gerichtete Mittelkraft R gegen 
die Achse hin drückt. Diese wird sowohl nach den Schienenköpfen 
Kl und K2 hin, als nach den Zapfen Ä und D hin zerlegt. Bei 
der ersten Zerlegung ist zu beachten, dass die von H abgewendete 
Schiene K^ nur normal (oder innerhalb des Keibungskegels) auf 
die Erzeugende des Badreifenkegels drücken kann, so dass 
<LK2S' = 90^ zu machen ist. In den Durchschnittpunkten 
B und C der Schienenkräfte mit der Achse rufen die letzteren 
die Vertikalkräfte Qx und Q2 und vemachlässigbare •Horizontal- 
kräfbe hervor; die schiefen Zapfenpressungen werden ebenfalls in 
ausser Betracht fallende Horizontalkräfte und die Vertikaldrucke 
Pi und P2 zerlegt Aus diesen werden die Zapfen di und dj berech- 
net und das grössere Resultat beibehalten. Darauf fälle man 
aus dem AngriflFpunkt E der Mittelkraft R ein Loth Ee auf die 
zur Achse parallel gezogene ad\ ziehe ea und cd, verlängere die 
Richtungen von Qi und Qq bis h und c, und lege durch i und c 
eine Gerade. Hierauf fälle man aus den Nabenrandpunkten 
BB", C'C'Lothe nach 6'6", c'c" und ziehe Vb\ d c\ so ist 
ab'V'c'd'd das Seilpolygon für die vorliegende Beanspruchung 
der Achse. Die Ordinaten t desselben dienen wie oben zur Be- 
rechnung der entsprechenden Dicken y aus der bekannten Zapfen- 
dicke dl und der Ordinate ti an der Zapfenwurzel. 

Die Kraftrichtung Ki B kann auch noch einfacher, als mit- 
telst Aufsuchung des oft unbequem fallenden Punktes S* bestimmt 
werden. Man verbinde irgend einen Punkt der ßichtungslinie 

Fig. 270. ^^^ ^» ^' ^- ^ ™^^ ^^^ Schienenköpfen 

Kl und K^ und zerlege R = Er, Fig. 
270, nach den Richtungen EKi und 
EK<i in Ehj und fcj r = Eki, ziehe die 
fcjZ horizontal und die El \\ der bekann- 
ten Kraftrichtung K^ S\ so ist l E die 
Kraft in K^ und rl die in Äj, deren 
Richtung gesucht wurde, indem EJc^ 
und A^ l die inneren Kräfte an der Ecke 
JEi des Seilpolygons EK2K1 sind, und 
mit der Kraft von der bekannten Richtung K2 S' ins Gleichge- 
wicht treten u. s. w. 




*) Ad. Scheffler, Eisenbahn wagenachsen. Braunschweig 1861. 



224 Eisenbahnwagen-Achse. 

Da die Horizontalkraft J7 sowohl links als rechts gerichtet 
sein kann, so wird, wie die Punktirung rechts andeutet, die grös- 
sere Seite assfV'V desPolygones für beide Achsenhälften benutzt. 
Ausserdem suche man auch das Seilpolygon für die blosse Verti- 
kalbelastung Q auf. Liefert dasselbe für den Schaft eine grössere 
Ordinate als ss' ist, so wird sie benutzt; die Totalform des 
Schaftes wird ein ausgekehlter Rotationskörper, wie die Praxis ihn 
vielfach anwendet und folgende Fig. 271 darstellt Die Zapfen der 





Fig. 271. 








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Eisenbahn ^agenachsen haben 250 bis 300 Umdrehungen in der 
Minute und erhalten deshalb, wenn aus Schmiedeisen, das liängen- 
verhältniss 2. Die Anläufe der beiden Zapfen vertreten hier 
Stützzapfen, und werden in Bahnkurven wegen der oben bespro- 
chenen Seitenkraft H nicht unbedeutend beansprucht. Man fin- 
det die Anlauf höhe e hier = --- bis -;r-? also stärker als bei ge- 

7 6 ° 

wohnlichen Stimzapfen gemacht. 

Die Kranpfosten sind gewöhnlich schief belastete, mehr- 
fach tragende Achsen, wie folgende Beispiele zeigen. Ein Ufer- 
kran mit feststehendem Pfosten, Fig. 272, ist durch die Last L 
und das Eigengewicht G des Windwerks und Schnabels be- 
lastet, wodurch die Gesammtbelastung Q der Säule entsteht 
(vergl. die Beispiele §."^34 und die Anmerkung S. 93). Bei 
A und B sind Drehzapfen, bei CD ist der Pfosten in ein guss- 
eisernes Kreuz eingesetzt, welches bei E und jP festgehalten 
sei. Zuerst die Kräfte bei E und jP aufsuchend, ziehen wir das 
Seilpolygon efq und das Kräftepolygon c2 1 0, worin 2 1 = §, 
1 ß = der Kraft ^i bei JP, c 2 = der Kraft Q^ bei E. Alle drei 
äusseren Belastungen wirken parallel der Achse, weshalb wir uns 
der bei Fig. 259 benutzten Methode bedienen können. Wir machen 
in Fig. 273 q^q^ = Q^ und q^qzW-A.qi normal zu AB. Diese 
Strecke liefert dann die Horizontalkräfte P, und Pj bei A und 
B. Der Zapfen bei A soll die ganze Vertikalbelastung aufneh- 
men; es gesellt sich daher zu P] noch Q m A^ die schief gerich- 
tete Resultante P/ liefernd. Ferner machen wir wieder Cfi nor- 



. Kranpfosten. 225 

mal zu A C, /j/i = ^i , ziehen die f^D ... und die zu Cf\ paral- 
1^16/3/39 so ist/a/s die Grösse einer bei C nach links und einer 

Fig. 272. Fig. 273. 




bei D nach rechts wirkenden Kraft. Trägt man ganz entsprechend 
Q3 nach ^1^2, und zieht die e^D und die ^2^3, letztere || 61 C, so 
liefert e^tz die Grösse einer bei C ebenfaUs nach links, bei D 
nach rechts wirkenden Kraft. Wir haben deshalb P3=/2/8 + ^3^« 
und P4 = 62 Cj -}" f^fi zn machen. Der Vertikaldruck des Pfostens 
werde ganz bei D aufgenommen; dann kommt dort die Vertikal- 
componente Q = /2/1 — CiC^ zu P4 hinzu , mit ihr die Resul- 
tante P4' liefernd. (Probe: der Schnittpunkt S der P/ und P4' 
muss auf die Resultante der P2 und P3 fallen.) 

Indem wir nun wieder wie früher die Zusammenpressung der 
Achse vernachlässigen, können wir aus Pi,P2,P3,P4 das in Fig. 272 
links in verjüngtem Maassstab eingetragene Kräftepolygon a 2 3 
bilden, und erhalten damit die Momentenfläche ah cd. 

Ein Kran mit drehbarem Pfosten, an welchem Schnabel und 
Windwerk befestigt sind, habe die in Fig. 274 (a. f. S.) angegebene 
Anordnung. Die Lage von § = L -j- 6r wieder als gegeben be- 
trachtend, verlegen wir Q nach qi qs an die zur Achse normal ge- 
richtete Aqu ziehen die giD, und || Aqi die {3^2 bis zum Schnitte 
mit qiD. Dann stellt die ^3^2 clie Horizontalkraft P] bei A, q^qz 
die ebenfalls horizontale P4 bei D dar. Liegt dort ein Stützzapfen 
zur Aufnahme der Last Q, so setzt sich diese letztere mit P4 
zu einer schiefen Kraft zusammen. 

Durch ganz ähnliche Zerlegung von Q nach B und C erhält 
man die dort wirkenden gleichen, aber entgegengesetzt wirkenden 



Benleaaz, der CoDBtrnotear. 



15 



226 Kranpfosten. 

Horizontalkräfte P2 und Pj, von denen letztere, wofern bei Pein 
Gelenk für die Stange BE vorbanden ist, sich mit der Gegen- 

Fig. 274. Fig. 275. 




Wirkung Q zu einer scbiefgerichteten Mittelkraft zusammensetzt. 
Die vier gefundenen Horizontalkräite haben ganz dieselbe An- 
ordnung wie die Normalbelastungen der Achse in Fig. 259. Wir 
erhalten eine jener ganz ähnliche Momentenfläche ah cd, Fig. 275, 
welcher zufolge zwischen P und D ein Nullpunkt für die biegen- 
den Momente und demnach also Vorwärtsbiegung oberhalb, Rück- 
wärtsbiegung unterhalb derselben entsteht Im Kräftepolygon 
ist 2a = P,, a 2 = P3, 2 1 = P4 und 1 2 = P,. 

§. 95. 

Achse mit drei und mehr Tragpimkten. 



Die Zahl der Tragpunkte der Achsen wird oft bis zu vier aus- 
gedehnt. Sind die Belastungen, siehe Fig. 276, Qi, Q2, Qb und Q4, 
die Schaftstücke Si^SiyS^ lang, so hat man: 



■, .■+..(.+f)+..(.+|;+^)+».(.+§-f&+|) 



Qi 



Fig. 276. 



(90) 




dl 




Mehrfach tragende Achsen. 227 

woraus sich durch passende Zeichenänderung auch -^ ergiebt. 

Zur Erleichterung und Prüfung der Zahlenrechnungen dient es, 
dass wieder Pj -f p^ = ^i -|- ^^ -f ^^ -f Q^ ist. 

Lässt man Q^ und s^ Null werden, so erhält man den Aus- 
druck für die dreifach belastete Axe, und, wenn auch noch Qg und 
S] = Null gesetzt werden , den Ausdruck (86) für die zweifach- 
tragende, endlich bei Q^ und Si = Null jenen für die einfache 
Achse. 

Für die Schaftstücke lassen sich auch Formeln ähnlich (87) 
bilden ; man kann indessen ohne weiteres die einzeln ermittelten 
Achsenköpfe durch Kegelstumpfe verbinden , um genügend ange- 
näherte Formen zu erhalten. 

Der Durchmesser des Achsenkopfes bei Q4 findet sich aus: 

Werden hierin nacheinander Ss, s^ und Si = Null gesetzt, so 

geht die Formel über in die für -r?, ^, -^. 
° äi dl dl 

Es ist klar, dass auch freitragende Schenkel angewandt wer- 
den können , deren Behandlungsweise sich indessen aus den oben 
angegebenen unschwer ableitet, auch z. B. durch Negativsetzen 
von Ol oder a^ sich unmittelbar ergibt 

Die zeichnerische Au&uchung der Kräfte und Momente ge- 
schieht wie folgt Man bilde (Fig. 277 a. f. S.), unter dem Stützpunkt 
a beginnend, aus den gegebenen Kräften 1 bis 5 das Kräftepolygon 
as 0, und daraus nach §.40 das Seil- oder Gelenkpolygon ahcdefg^ 
und trage die zur Schlusslinie ga parallele 06 in das Kräftepol^- 
gon ein , worauf 5 6 = der Kraft P^ bei G, 6 a =r der Kraft Fi 
bei A ist. Aus Fi und Pg können die Zapfen di und d^ bei A 
und Q berechnet werden, während die Ordinaten des Seilpoly- 
gones wie bisher zur Berechnung der Durchmesser der Achse 
dienen. 

Der Schnittpunkt h der verlängerten al und gf ist ein Punkt 
der Richtungslinie Eh der Mittelkraft der Kräfte 1 bis 5. Will 
man die Mittelkraftlage zu Anfang durch aufeinanderfolgendes 
Zusammensetzen der Belastungen bestimmen (s. §. 40), so lässt 
sich sehr bequem so legen, dass ag parallel AG fällt Auch 

16* 



222 EisenbahDwageu-Acbse. 

mit entgegengesetztem Sinne (oder Vorzeichen) einfuhrt, obige 

Beispiele erklären aber das Verfahren ancb daiiir zur Genüge. 



Schief belastete zweifach tragende Achsen. 
Eisenbahnwagenachse. Kranpfosten. 

Bei schiefer Kichtung der Kräfte Qi und Qj wird die zeicb- 
neriscbe Auäösung der vorliegenden Aufgabe kaum weniger ein- 
fach als vorher. Die schiefe Kraftrichtung kommt unter anderen 
bei den Eisenbahnwagenacbsen vor, wesbalh wir eine solche 
als Beispiel nehmen , unter Vernachlässigung freilich einiger we- 
nig bedeutenden Nebeneinflüsse. 

Ausser der im Wagenschwerpunkt S, Fig. 269, angreifenden 

Fig. 269. 




Vertikalbelastung Q der Achse wirkt an demselben Funkte zu 
Zeiten eine durch (Zentrifugalkraft und Schwankungen hervorge- 



Eisenbahnwagen-Achse. 223 

rufene Horizontalkraft If, welche nach Scheffler*) auf 0,4 Q 
steigen kann, so dass eine schief gerichtete Mittelkraft R gegen 
die Achse hin drückt. Diese wird sowohl nach den Schienenköpfen 
Kl und K2 hin, als nach den Zapfen Ä und D hin zerlegt. Bei 
der ersten Zerlegung ist zu beachten, dass die von H abgewendete 
Schiene K2 nur normal (oder innerhalb des Reibungskegels) auf 
die Erzeugende des Radreifenkegels drücken kann, so dass 
< LK2 S' = 900 zu machen ist. In den Durchschnittpunkten 
li und C der Schienenkräfte mit der Achse rufen die letzteren 
die Vertikalkräfte ^1 und Q2 und vemachlässigbare •Horizontal- 
kräfte hervor; die schiefen Zapfenpressungen werden ebenfalls in 
ausser Betracht fallende Horizontalkräfte und die Vertikaldrucke 
Pi und P2 zerlegt Aus diesen werden die Zapfen di und dj berech- 
net und das grössere Resultat beibehalten. Darauf fälle man 
aus dem AngrifFpunkt E der Mittelkraft R ein Loth Ee auf die 
zur Achse parallel gezogene ad; ziehe ea und ßd, verlängere die 
Richtungen von Qi und Q^ bis b und c, und lege durch b und c 
eine Gerade. Hierauf fälle man aus den Nabenrandpunkten 
-B'-B", C'C'Lothe nach 6'6", c'c" und ziehe 6'6", cV, so ist 
äb'Vc'c'^d das Seilpolygon für die vorliegende Beanspruchung 
der Achse. Die Ordinaten t desselben dienen wie oben zur Be- 
rechnung der entsprechenden Dicken y aus der bekannten Zapfen- 
dicke dl und der Ordinate ti an der Zapfenwurzel. 

Die Kraftrichtung Ki B kann auch noch einfacher, als mit- 
telst Aufsuchung des oft unbequem fallenden Punktes S* bestimmt 
werden. Man verbinde irgend einen Punkt der Richtungslinie 

Fiff. 270. ^^^ -^j ^- ^- ^ ™^^ ^^^ Schienenköpfen 

Kx und Kq und zerlege B = JEr^ Fig. 
270, nach den Richtungen EKi und 
EK2 in Eki und fcj r = Ek^ ziehe die 
h^l horizontal und die El || der bekann- 
ten Kraftrichtung K2 S', so ist l E die 
Kraft in K2 und r l die in JBTi , deren 
v.'^ ß/ Richtung gesucht wurde, indem Ek^ 

"" und Äj l die inneren Kräfte an der Ecke 

K2 des Seilpolygons EK^Ki sind, und 
mit der Kraft von der bekannten Richtung K^ S' ins Gleichge- 
wicht treten u. s. w. 




*) Ad. Scheffler, Eisenbahn wagenachsen. Braunschweig 1861. 



224 Eisenbahnwagen-Achse. 

Da die Horizontalkraft H sowohl links als rechts gerichtet 
sein kann, so wird, wie die Punktirung rechts andeutet, die grös- 
sere Seite ass'V'V desPolygones für beide Achsenhälften benutzt. 
Ausserdem suche man auch das Seilpolygon für die blosse Verti- 
kalbelastung Q auf. Liefert dasselbe für den Schaft eine grössere 
Ordinate als ss' ist, so wird sie benutzt; die Totalform des 
Schaftes wird ein ausgekehlter Rotationskörper, wie die Praxis ihn 
vielfach anwendet und folgende Fig. 271 darstellt Die Zapfen der 

Fig. 271. 

i i ^. l 

Eisenbahn^agenachsen haben 250 bis 300 Umdrehungen in der 
Minute und erhalten deshalb, wenn aus Schmiedeisen, das Längen- 
verhältniss 2. Die Anläufe der beiden Zapfen vertreten hier 
Stützzapfen, und werden in Bahnkurven wegen der oben bespro- 
chenen Seitenkraft H nicht unbedeutend beansprucht. Man fin- 
det die Anlauf höhe e hier = —- bis -;ri also stärker als bei ge- 

7 6' ^ 

wohnlichen Stimzapfen gemacht. 

Die Kranpfosten sind gewöhnlich schief belastete, mehr- 
fach tragende Achsen, wie folgende Beispiele zeigen. Ein Ufer- 
kran mit feststehendem Pfosten, Fig. 272, ist durch die Last L 
und das Eigengewicht O des Windwerks und Schnabels be- 
lastet, wodurch die Gesammtbelastung Q der Säule entsteht 
(vergl. die Beispiele §."^34 und die Anmerkung S. 93). Bei 
A und B sind Drehzapfen, bei CD ist der Pfosten in ein guss- 
eisernes Kreuz eingesetzt, welches bei E und F festgehalten 
sei. Zuerst die Kräfte bei E und F aufsuchend, ziehen wir das 
Seilpolygon efq und das Kräftepolygon e2 1 0, worin 21 = ^, 
1 c = der Kraft ^i bei JF, c 2 = der Kraft Q^ bei E. Alle drei 
äusseren Belastungen wirken parallel der Achse, weshalb wir uns 
der bei Fig. 259 benutzten Methode bedienen können. Wir machen 
in Fig. 273 qiq^ = Q^ und q^qz ||-^2i normal zu AB. Diese 
Strecke liefert dann die Horizontalkräfte Pi und P2 bei A und 
B. Der Zapfen bei A soll die ganze Vertikalbelastung aufneh- 
men; es gesellt sich daher zu Pi noch Q in A^ die schief gerich- 
tete Resultante P/ liefernd. Ferner machen wir wieder (7/i nor- 



. Kranpfosten. 225 

mal zu A (7, /2/1 = ^1 , ziehen die /i D . . . und die zu Cfi paral- 
lele/2/3, so 181/2/3 die Grösse einer bei C nach links und einer 

Fifjr. 272. Fig. 273. 





bei D nach rechts wirkenden Kraft. Trägt man ganz entsprechend 
Q^ nach ei ^2, und zieht die €1 D und die e^ es, letztere || Ci (7, so 
. liefert e^e^ die Grösse einer bei C ebenfalls nach links, bei D 
nach rechts wirkenden Kraft. Wir haben deshalb P3=/2/3 4-^3^« 
und P4 = «2 Cj -f" /s/a ^^ machen. Der Vertikaldruck des Pfostens 
werde ganz bei D aufgenommen; dann kommt dort die Vertikal- 
componente Q = /2/1 — ^1^2 zu P4 hinzu, mit ihr die Resul- 
tante P4' liefernd. (Probe: der Schnittpunkt S der P/ und P4' 
muss auf die Resultante der P2 und P3 fallen.) 

Indem wir nun wieder wie früher die Zusammenpressung der 
Achse vernachlässigen, können wir aus Pi,P2,P3,P4 das in Fig. 272 
links in verjüngtem Maassstab eingetragene Kräftepolygon a2 3 
bilden, und erhalten damit die Momentenääche ah cd. 

Ein Kran mit drehbarem Pfosten, an welchem Schnabel und 
Windwerk befestigt sind, habe die in Fig. 274 (a. f. S.) angegebene 
Anordnung. Die Lage von ^ = i -f- G^ wieder als gegeben be- 
trachtend, verlegen wir Q nach qi q^ &n die zur Achse normal ge- 
richtete Aqu ziehen die giD, und || Aqi die q^qi bis zum Schnitte 
mit qiD, Dann stellt die q^qi die Horizontalkraft Pi bei JL, ^2 98 
die ebenfalls horizontale P4 bei D dar. Liegt dort ein Stützzapfen 
zur Aufnahme der Last Q, so setzt sich diese letztere mit P4 
zu einer schiefen Kraft zusammen. 

Durch ganz ähnliche Zerlegung von Q nach B und C erhält 
man die dort wirkenden gleichen, aber entgegengesetzt wirkenden 



Benleauz, der Gonttructear. 



15 



226 KranpfosteiL 

HorizoDtalkräfte P^ und Psi ^on denen letztere, wofern bei JB ein 
Gelenk für die Stange BE vorbanden ist, sieb mit der Gegen- 

Fig. 274. Fig. 275. 




wirlcong Q zu einer schiefgerichteten Mittelkraft zusammensetzt 
Die vier gefundenen Horizontalkräfte haben ganz dieselbe An- 
ordnung wie die Normalbelastungen der Achse in Fig. 259. Wir 
erhalten eine jener ganz ähnliche Momentenfläche abcd^ Fig. 275, 
welcher zuiolge zwischen B und D ein Nullpunkt für die biegen- 
den Momente und demnach also Vorwärtsbiegung oberhalb, Rück- 
wärtsbiegung unterhalb derselben entsteht. Im Eräfbepolygon 
ist 2 a = Pj, a 2 = Pa, 2 1 = P4 und 1 2 = Pj. 



§. 95. 

Aclise mit drei und mehr Tragpunkten. 

Die Zahl der Tragpunkte der Achsen wird oft bis zu vier aus- 
gedehnt Sind die Belastungen, siehe Fig. 276, Qi, Q^^ Qz und Q4, 
die Schaftstücke SuS^^Sz lang, so hat man: 



«1 



Fig. 276. 



(90) 



Q. 



Mehrfach tragende Achsen. 227 

woraus sich durch passende Zeichenänderung auch -^ ergiebt. 

Zur Erleichterung und Prüfung der Zahlenrechnungen dient es, 

dass wieder Pi + ^2 = öi + Ö2 + öa -f- Q4 ist 

Lässt man Q4 und Ss Null werden, so erhält man den Aus- 
druck für die dreifach belastete Axe, und, wenn auch noch Q^ und 
8t = Null gesetzt werden , den Ausdruck (86) für die zweifach- 
tragende, endlich bei Q2 und Si = Null jenen für die einfache 
Achse. 

Für die Schaftstücke lassen sich auch Formeln ähnlich (87) 
bilden ; man kann indessen ohne weiteres die einzeln ermittelten 
Achsenköpfe durch Eegelstumpfe verbinden, um genügend ange- 
näherte Formen zu erhalten. 

Der Durchmesser des Achsenkopfes bei Q4 findet sich aus: 

Werden hierin nacheinander Sa, s^ und Si = Null gesetzt, so 

geht die Formel über in die für -7^, -r^, -ji. 
^ äi dl dl 

Es ist klar, dass auch freitragen.de Schenkel angewandt wer- 
den können, deren Behandlungsweise sich indessen aus den oben 
angegebenen unschwer ableitet, auch z. B. durch Negativsetzen 
von üi oder O) sich unmittelbar ergibt 

Die zeichnerische Aufisucbung der Kräfte und Momente ge- 
schieht wie folgt. Man bilde (Fig. 277 a.f.S.), unter dem Stützpunkt 
a beginnend, aus den gegebenen Kräften 1 bis 5 das Kräftepolygon 
as 0, und daraus nach §.40 das Seil- oder Gelenkpolygon ahcdefg^ 
und trage die zur Schlusslinie ga parallele 06 in das Kräfbepol^- 
gon ein , worauf 5 6 = der Kraft Pj bei G^^ a = der Kraft Pi 
bei A ist. Aus Pi und P3 können die Zapfen di und d^ bei A 
und O berechnet werden, während die Ordinaten des Seilpoly- 
gones wie bisher zur Berechnung der Durchmesser der Achse 
dienen. 

Der Schnittpunkt ä der verlängerten ah und gf ist ein Punkt 
der Richtungslinie Hh der Mittelkraft der Kräfte 1 bis 5. Will 
man die Mittelkraftlage zu Anfang durch aufeinanderfolgendes 
Zusammensetzen der Belastungen bestimmen (s. §. 40), so lässt 
sich sehr bequem so legen, dass ag parallel AQ fallt Auch 

16* 



228 Mehrfach tragende Achsen, 

kann man das gefundene schiefliegende Gelenkpoljgon leicht auf 
eine za AG parallele Schlusslinie niederklappen. 
Fiff. 2T7. 




Hat die vielfach belastete, Achse freitragende Schenkel, wie 
in Fig. 278 angenommen ist, so verfahrt man ganz ähnlich wie 




Mehrfach tragende Achsen. 229 

oben, indem man, wieder bei dem ersten Kraftpunkte a beginnend, 
das Kräf^epoljgon a5 aufträgt, die erste Seilpolygonseite ba 
nach dem Lothe der erston Kraft, die z-weite nach dem Lothe Cc 
der zweiten Kraft zieht, und so bis zur Schksslinie eb fortfahrt 
Die erste und «te Seilrichtung schneiden sich nach wie vor auf 
der Richtung Hh der Mittelkraft. Variationen dieser Aufgaben 
ergeben sich, wenn die Belastungen von entgegengesetzter Sich- 
tung, und wenn sie schief gerichtet sind. Die früher verwandten 
Beispiele deuten den einzuschlagenden Weg zur Genüge an. 



Tragachse mit Belastungen in verscbiedenoi 

Eraftebenen. 



Bedeutend schwieriger als bisher wird die analytische Berech- 
nung einer Tragachse, wenn (Fig. 279) die Belastungen in verschie- 
Fig. 279. 

I 



denen Ebenen wirken; mit der graphostatischen Methode dagegen 

sind die Schwierigkeiten leicht zu überwinden. Man trage zunächst 

(Fig. 280) die Kräftepolygona ^ Oi 1 und ..1 0, 2 für die Kräfte 

Fig. 280. 




230 Mehrfach tragende Achsen. 

Qi und Qj bei gleichem Polabstand GOi = HOf wo aoi, 
dass beide Schlosslinien der alsdann zo zeichnenden Seflpoljgone 
AV D und A^ D in AD znsammenüaUen; bringe daranf das 
zweite Seilpolygon auf die schiefwinkligen Ordinaten BV=zEb'*^ 
C C = Cd* tL 8. w^ so zwar, dass dieselben mit den (vertikalen) 
Ordinaten des ersten Polygons den Winkel f* derEraftebenen ein- 
schliessen, und ausserdem Ton den Anfangspunkten £, (7, J? . . . 
rückwärts getragen werden. Hierauf mache man Bb = B'V^ 
Cc = C(f^ Ee = ITd u. s. w.^ und ziehe das Seilpolygon 
Ahe/cD, so geben dessen Vertikalordinaten (nach §. 44) die wie 
bisher zu benutzenden biegenden Momente für die Achse an. 
Die Linie be/c ist eine Cunre (Hyperbel), Ab und cD dagegen 
sind geradlinig. Zieht man noch Oi 0/ 1| A 1, 0} O^' || D 2, und 
fallt dieLothe O/efund O^K^ so ist ^ef die Zapfenkraft Pi, beide 
mit dem in den Kräftepolygonen benutzten Maassstab zu messen. 
Ihre Richtungen sind durch Zusammensetzung von beziehlich A O 
mit U 2 und von D H mit G 1 unter dem Winkel f* zu ermitteln« 



B. Die Querschnitte sind zusammengesetzt 



§.97. 



Ereisringquerschnitt. 

Will'man eine Achse [mit dem Ereisringquerschnitt, also rohr- 
förmig ausführen, so berechne man vorerst die Zapfen als hoble 
Zapfen nach den Angaben unter/) in §. 79 und beziehe dann, 
unter Beibehaltung des bei den Zapfen angewandten Höhlungs- 
verhältnisses, sämmtliche Abmessungen ebenso auf die Dicke der 
hohlen Zapfen, wie es bisher für die vollen gezeigt wurde. Das 
gebräuchlichste Höhlungverhäitniss ist 0,6. Auch kann man 
übrigens wie folgt verfahren. Man bestimme sämmtliche Dimen- 
sionen der^ Achse [unter Zugrundelegung des vollen Kreisquer- 
schnittes, wähle sodann das\Höhlungverhältniss, und vergrössere 
alle einzelnen^^Durchmesser nach Maassgabe des aus Formel (65) 
zu entnehmenden Coefficienten. 



Fliigelacliseu. 



Heiner Ereuzqnerschnitt. Tabelle über denselben. 



Bei den mehrfach tragenden guaseisernen Acbsen eignet sich 
für den Schaft sehr gut der Erenzquerechnitt. Die Achse er- 
hält dann im Schaft Tier Flügel, und wird danach Flügelachse 
genaont (entsprechend der Benennung der Flügel zapfen ing.86). 
Die Schenkel behalten dabei häufig ihre konoidische Form bei 
(Fig. 281). Bei der Construction einer solchen Achse wird der 
Fig. 2S1. 




Schaft zuerst (pnnktirt) so verzeichnet, ale ob er den vollen Ereis- 
querschnitt erhalten solle, und darauf das Pro61 KS... der Flü- 
gel, in K an den Achsenkopf anschliessend, mit einer Anschwel- 
lung (siehe §. 101) von dem einen Schenkel znm anderen geführt 
Ist dann für irgend eine Stelle (x) des Schaftes: 

y der Durchmesser der ideellen runden Achse, 
h die RippeDhöhe, b die Bippenbreite oder -Dicke, 
30 wähle man b derart, dass: 



inV'-i+i^' 



■ (91) 



Ä ~ Ä K 3« K ' Ä " 

Das für Gewichtberechnungen wichtige Verhältniss zwischen 
dem Inhalt Fi des Kreuzquerschnittes und der Fläche F des run- 
den ist dabei 

§=ii©X-l) (-) 

Folgende Tabelle macht die Benutzung dieser Formeln sehr 
leicht 



232 



Flügelachsen. 



y 


h 
h 


Fl 
F 


h 

y 


h 
h 


F 


h 

y 


h 
h 


El 

F 


2,27 


0,05 


0,63 


1,65 


0,13 


0,84 


1,37 


0,22 


0,94 


2,14 


0,06 


0,66 


1,61 


0,14 


0,85 


1,31 


0,25 


0,95 


2,03 


0.07 


0,69 


1,57 


0,15 


0,86 


1,27 


0,27 


0,96 


1,94 


0,08 


0,73 


1,53 


0,16 


0,87 


1,22 


0,30 


0,97 


1,87 


0,09 


0,76 


1,50 


0,17 


0,88 


1,19 


0,33 


0,99 


1,81 


0,10 


0,78 


1,47 


0,18 


0,89 


1,15 


0,36 


0,99 


1,74 


0,11 


0,80 


1,44 


0,19 


0,90 


1,10 


0,40 


0,99 


1,69 


0,12 


0,82 


1,42 


0,20 


0,92 


1,06 


0,45 


1,00 



Um das Gewicht des Flügelschaftes zu erhalten, multiplicire 
man das zuerst ermittelte Gewicht des ideellen runden Schaftes 
mit dem arithmetischen Mittel aus den in Anwendung kommenden 

F ' 

Werthen von -^ • 

Beispiel, Hat an irgend einer Stelle das Profil der Flügelachse den 
zweifachen Durchmesser der ideellen runden Achse eur Höhe, so ist dort 
nach der zweiten Spalte und dritten Zeile der Tabelle die Bippenbreite 
b = 0,07 der Bippenhöhe zu nehmen. Gleichzeitig lehrt die dritte Spalte, 
dass alsdann der Kreuzquerschnitt nur 0,69mal so gross ist, als der volle 
Kreis, von welchem ausgegangen wurde. 



§. 99. 

Sternförmiger Quersohnitt. Tabelle über denselben. 

Häufig gebraucht ist der Querschnitt in Fig. 282. Um 
ihn anzuwenden, verzeichne man vorerst wieder die ideelle runde 
Achse und das nach Geschmackrücksichten gewählte Höhenprofil 
der Flügel. Alsdann bleibt noch übrig, entweder die Rippendicke b 
für jede Stelle anzunehmen und die Kerndicke k zu suchen, oder 
k anzunehmen (z. B. constant für die ganze Achse) und b zu su- 
chen. Man verfahre in beiden Fällen mit Hilfe der folgenden 
Tabelle derart, dass: 



i = v& + ^ 1 [■ - m 



(93) 



Fliigelachsen. 233 

Ganz zweckmässig ist es, die Flügel schon bei K merklicti 
über den Cylinder des Achsenkopfes heraustreten zu lassen, da- 
Fig. 282. 




mit sich ihre Festigkeit durch Verkleinerung von k geltend macht. 
Der Bund bei K vermittelt sehr bequem diesen Fonnenübergang, 



b 

X 


w.rth.,.«A,,».| 


»,80 


0,76 


0,70 


0,66 


0,60 


0,65 


0,60 


0,45 


0,40 


0,36 


0,30 


0,26 


0,20 


0.06 


1,30 


1,10 


1,60 


1,61 


1,72 


1,84 


1,94 


2,04 


2,16 


2,18 


2,22 


2,26 


2,27 


0,06 


1,30 


1,39 


1,49 


1,68 


1,68 


1,79 


1,87 


1,96 


2,02 


2,07 


2,11 


2,13 


2,14 


0,07 


1,29 


1,38 


1,46 


1,66 


1,65 


1,74 


1,82 


1,89 


1,94 


1,98 


2,00 


2,02 


2,02 


0,08 


1,28 


1,36 


1,45 


1,63 


1,62 


1,70 


1,76 


1,83 


1,87 


1,91 


1,93 


1,93 


1,93 


0,09 


1,27 


1,36 


1,43 


1,61 


1,69 


1,66 


1,72 


1,77 


1,81 


1,84 


1,86 


1,87 


1,87 


0,10 


1,27 


1,34 


1,42 


1,49 


1,66 


1,63 


1,69 


1,72 


1,76 


1,78 


1^ 


1,80 


1,81 


0,11 


1,26 


1,33 


1,40 


1,47 


1,54 


1,60 


1,64 


1,68 


1,71 


1,73 


1,74 


1,75 


1,75 


0,12 


1,26 


1,32 


1,39 


1,45 


1,51 


1,57 


1,61 


1,64 


1,67 


1,68 


1,69 


1,70 


1,70 


0,13 


1,26 


1,31 


1,38 


1,43 


1,49 


1,64 


1,68 


1,61 


1,63 


1,64 


1,65 


1,66 


1,65 


0,14 


1,24 


1,30 


1,36 


1,42 


1,47 


1,61 


1,66 


1,67 


1,69 


1,60 


1,61 


1,61 


1,61 


0,15 


1,23 


1,29 


1,95 


1,40 


1,45 


1,48 


1,62 


1,54 


1,66 


1,67 


1,68 


1,68 


1,68 


0,16 


1,23 


1,28 


1,34 


1,38 


1,43 


1,46 


1,49 


1,62 


1,68 


1,64 


1,65 


1,66 


1,65 


0,17 


1,22 


1,27 


1,33 


1,37 


1,41 


1,46 


1,47 


1,49 


1,60 


1,61 


Hl 


1,62 


1,62 



Beispiel Ist teieder an irgend einer Stelle im Schaft — = 3 und 
— -^ 0,6, d. 1. -^ = 0^, 10 hat man gemäss SpallelS ZeüeS der Tabelle 
b = 0,07 h eu nehmen. 

In Fig. 282 ist h constant angenommen nnd Ti gesucht worden. 
Hierbei ist es für die gewöhnlichen Falle vollkonunen ausreichend 



234 Flngelacbsen. 

zwei Durchmesser des konoidiscben Kernes zwisdien je zwei Trag- 
pnnkten za snchea (z. B. seine Dicke beim ersten und zweiten 
Drittel seiner Länge) und durch die gefundenen Punkte einen 
Eegelstnmpf zu legen; übrigens ist das An&acben des roUständl- 
gen Kemprofils mit Hilfe der Tabellen so leicht, dass es immer- 
hin der Mühe lohnt, einige Punkte mehr au&usnchen. 

Bei der in der folgenden Figor dai^estellten dreüach tragen- 
den Achse ist k constant genommen und fr gesucht worden. Za- 

Fig. 283. 

■^ ■ -5* 



gleich ist hier auch der Schenkel a der Achse im Stemquer- 
schnitt ausgeführt. Die Kopfe erhalten, wie die beiden Durch- 
schnitte verdeutlichen, eine Verdickung zur Aufnahme der Kefl- 
nuthen, der mittlere Kopf ausserdem noch acht kleine Verstei- 
fungsrippen. Dem Zapfen ist ein kleiner Uilfzapfen, welcher beim 
Aufstellen schwerer Achsen der vorliegenden Art sehr nützlich ist, 



§. lOO. 

Die beränderte Flügelaohse. Tabellen über dieselbe. 

Sehr brauchbar für stark belastete Achsen ist die in Fig. 281 
und Fig. 285 angewandte Querschnittform, bei welcher die Flü- 
gel der Achse eine Saumnerve erhalten. Man wählt auch hier 



Flügelachsec. 235 

wieder Dach geschehener Bestimmung des ideellen runden Schaf- 
tes TOn den Dicken y das Profil, also die Höhen h für alle Qaer- 
Bchnitte. Wir machen alsdann in Jedem Querschnitte die Rand- 
dicke c ^ der Flügeldicke b , und hahen darauf bei Anwendung 
der Form Fig. 284 iiir die Saombreite bi zu nehmen: 

nach welcher Formel die folgende Tabelle berechnet ist 



(94) 



6 
h 


Werthe Ton ^ wenn — 


1,10 


1,20 


1,30 


1,40 


1,60 


1,60 


1,70 


1,80 


1,90 


2,00 


0,0Ö 


_ 


_ 


_ 


_ 


_ 


7,94 


6,17 


4,81 


3,64 


2,76 


0,06 


— 


— 


— 


— 


6,99 


6,38 


4,13 


3,17 


2,34 


1,07 


0,07 


— 


— 


— 


6,70 


5,12 


3,91 


3,45 


2,24 


1,61 


1,01 


o,oe 


— 


— 


6,82 


5,16 


3,91 


2,96 


2,22 


1,06 


1,17 


— 


0,09 


- 


- 


6,46 


4,11 


3,10 


2,33 


1,73 


1,01 


- 


- 


0,10 


_ 


6,00 


4,48 


S,S7 


2,53 


1,89 


1,39 


_ 


— 


_ 


0,11 


— 


5,05 


3,77 


2,82 


2,11 


1,67 


1,16 


— 


— 


— 


0,12 


6,56 


4,34 


3,23 


2,42 


1,80 


1,34 


— 


— 


— 


— 


0,13 


6,73 


3,78 


2,81 


2,10 


1,56 


1,16 


— 


— 


— 


— 


0,11 


5,06 


3,34 


2,48 


1,85 


1,38 


1,01 


- 


- 


- 


- 


0,15 


4,63 


2,98 


2,21 


1,65 


1,22 


_ 


_ 


_ 


_ 


_ 


0,16 


4,09 


2,69 


2,00 


1,48 


1,11 


— 


- 


_ 


— 


— 


0,17 


3,78 


2,45 


1,81 


1,35 


- 


- 


- 


- 


- 


- 




286 Fliigelachsen. 

lieber 6 bis 7 and unter 1 wird -^ nicht gemacht, weshalb 

die Tabelle nicht über diese Werthe hinausgeht Man sucht einige 
Saumprofilptmkte auf und verbindet sie durch eine stetige Linie. 
Die hier behandelte, von englischen Constructeuren mit Vorliebe 
benutzte Querschnittform begünstigt einen geringen Materialver- 
brauch, und ist deshalb fiir sehr grosse Ausführungen gut geeig- 
net; auch geben die Saumnerven der Achse ein sehr kräftiges, 
das Gefühl der Sicherheit erweckendes Aussehen. 

Bei der Form in Fig. 265 ist wieder die Kanddicke c^&, die 
Fig. 285. 




Bandbreite bi aber = 2i vorausgesetzt, und dafür die Eemdicke 

h 
k veränderlich gelassen. Man hat -7- so zu wählen , dass folgende 

Gleichung erfüllt wird : 

f = 7ä)"+l![l('-S+s^-("+!^>)- 

eine Formel, deren Benutzung nachfolgende Tabelle leicht macht. 
Bei dieser, wie bei den früheren Flügelacbsen wähle und ver- 
ändere man das Längenprofil so lange, bis an allen Stellen ele- 
gante und doch der strengen Form angenäherte Linien sich er- 
geben. 

Beispiel. Wen» an einer Stelle nahe dem Achienkopf die Profil- 
höhe h = l,5y und >• = Jq iX *o Aat man gemäu Spalte 8 Zeile 7un41 
tu nehmen E = 0,5 h. 

Die Keilbahnen sind bei der Gonstruction in Fig. 285 auf be- 
sonders eingeschaltete Rippen gesetzt, so dass am Achsenkopf der 
Querschnitt ein achtarmiges Kreuz wird. Die so angebrachten 
Keilbabnen sind von beiden Enden zagänglich und deshalb be- 
quemer, als die, welche vor dem Aupass K auf der Hauptrippe 
anzubringen wären. 













Flügelachsen. 












237 


b 
h 


Werthe von — , wenn -7- 

y Ä 


Iw 


0,80 


0,75 


0,70 


0,66 


0,60 


0,55 


0,50 


0,45 


0,40 


0,36 


0,30 


0,26 


0,20 


0,05 


1,28 


1,37 


1,46 


1,56 


1,66 


1,75 


1,84 


1,92 


1,98 


2,03 


2,06 


2,07 


2,08 


0,06 


1,27 


1,34 


1,43 


1,52 


1,58 


1,69 


1,75 


1,82 


1,86 


1,90 


1,93 


1,94 


1,95 


0,07 


1,25 


1,31 


1,40 


1,48 


1,55 


1,65 


1,68 


1,73 


1,77 


1,80 


1,82 


1,82 


1,83 


0,08 


1,23 


1,29 


1,38 


1,44 


1,51 


1,57 


1,62 


1,66 


1,69 


1,71 


1,72 


1,72 


1,73 


0,09 


1,22 


1,27 


1,35 


1,41 


1,47 


1,52 


1,56 


1,59 


1,62 


1,63 


1,64 


1,65 


1,65 


0,10 


1,20 


1,25 


1,32 


1,37 


1,43 


1,47 


1,51 


1,53 


1,55 


1,57 


1,58 


1,59 


1,59 


0,11 


1,19 


1,23 


1,30 


1,34 


1,39 


1,43 


1,46 


1,48 


1,60 


1,50 


1,51 


1,52 


1,52 


0,12 


1,17 


1,21 


1,27 


1,32 


1,35 


1,39 


1,41 


1,43 


1,45 


1,46 


1,47 


1,47 


1,47 


0.13 


1,16 


1,19 


1,25 


1,29 


1,32 


1,35 


1,37 


1,39 


1,40 


1,41 


1,42 


1,42 


1,42 


0,14 


1,U 


1,17 


1,23 


1,26 


1,29 


1,32 


1,34 


1,35 


1,36 


1,36 


1,37 


1,37 


1,37 


0,15 


1,13 


1,15 


1,21 


1,24 


1,27 


1,29 


1,31 


1,32 


1,33 


1,33 


1,34 


1,34 


1,34 


0,16 


1,12 


1,14 


1,19 


1,22 


1,24 


1,26 


1,28 


1,29 


1,29 


1,30 


1,30 


1,30 


1,30 


0,17 


1,10 


1,12 


1,17 


1,20 


1,22 


1,24 


1,25 


1,26 


1,26 


1,26 


1,26 


1,27 


1,27 



§. 101. 

Verzeicliniing der Flügelprofile. 



Zur Verzeichnung der schwachgekrümmten Linie, nach wel- 
cher die Profile der Achsenflügel begrenzt werden, kann man sich 
einer der folgenden Methoden bedienen. In den zugehörigen Fi- 
guren bezeichnet AB dx^ geometrische Achse des Stückes, S den 
(bekannten) Scheitelpunkt der Profilcurve, K den ebenfalls be- 
kannten oder gewählten Ansatzpunkt derselben am Achsenkopf. 

1) Kreisbogen. Nur bei Zeichnungen in kleinem Maassstab 
ist derselbe, wenn er nach Kreisschablonen gezogen werden kann, 
zweckmässig und empfehlenswerth.' 

2) Parabel (Fig. 286) SD\\AB\\ CK\ theile SD in n, 
z. B. in sechs gleiche Theile, ebenso DK\ fölle von den Theil- 
punkten I, II, III . . . Lothe auf CK^ und ziehe aus S die Geraden 
Sl, /S2, S3..., so liefern deren Schnittpunkte mit den Lothen 
I, II, in... die gesuchten Parabelpunkte. 



238 Flügelprofile. 

3) Sinoide. (Fig. 287) 8D\\AB \\ CK] beschreibe mit ^S 
einen Kreis um A , theile den durch CK abgeschnittenen Bogen 

Fig. 286. 




SE desselben in n, z. B. sechs gleiche Theile, ebenso die Gerade 
SD, ziehe aus den Theilpunkten 1, 2, 3... Parallelen zu AB, und 

Fig. 287. 




aus I, II, III... Lethe zu ^JB, so liefern die Schnitte der letzteren 
mit den ersteren die gesuchten Sinoidenpunkte. 

4) Elastische Linie. Man biege eine sorgfältig prismatisch 
gearbeitete Ruthe (Fig. 288) von quadratischem Querschnitt durch 




Druck an den Punkten Ki, K^ und 8 derart, dass die Pfeilhöhe 
CS die verlangte Grösse erhält, und verzeichne dann die Curve, 
indem man die Ruthe als Lehre benutzt Für grosse Ausführungen 
ist die Ruthe etwa 20 bis 30™™ dick zu nehmen und unter Wasser 
aufzubewahren. Bei kleinen Zeichnungen für das gewöhnliche 
Zeichenbrett ist zu empfehlen, sie nicht unter 5^™ dick zu wählen. 



Hölzerne Achsen. 239 

5) Gardioide. Die folgende in vielen Fabriken gebräuchliche 
Methode eignet sich yorzngsweise gut zum Aufreissen der Curve 
auf das zum Modell vorgerichtete Brett Man fertigt behufs der 
Verzeichnung eine hölzerne Schablone I^KEC {Fig. 289) an, 
bei welcher EC und ES' gerade Kanten sind, und deren Ab- 

Fig. 289. 




messungen CS' = CS und CE = CK durch die Lage der zu 
verbindenden Punkte S und K gegeben sind. Man bringe sodann 
in C und K feste Stifte an , und führe die Kante CE längs dem 
Stift C, die Kante S'E längs dem Stift K^ so beschreibt der Punkt 
S^ der Schablone von S nach K einen Bogen einer verkürzten 
(Pen-) Gardioide, welches Bogenstück sich sehr gut zu dem vor- 
liegenden Zwecke eignet, und durch Führung eines Bleistiftes in 
8^ unmittelbar fest und kräftig auf das Modellbrett aufgerissen 
werden kann. 

Für das Entwerfen auf dem gewöhnlichen Zeichenbrett ist es 
sehr bequem, die Curve nach 2) oder 3) zu bestimmen und sie 
darauf mit Hilfe einer angelegten dünnen Ruthe nach 4) zu ziehen. 



§. 102. 

Hölzerne Achsen. 

Die Wasserräder erhalten noch vielfach Achsen aus Eichen- 
holz, denen man ein regelmässiges Vieleck zum Querschnitt gibt. 
Sie werden bis auf die, durch die anzuwendende Zapfenverbindung 
(siehe §. 86) vorgeschriebenen Schenkelenden prismatisch und 
demnach so dick gemacht, wie die stärkst beanspruchte Stelle es 
verlangt Man findet für die Eichenholz-Achse die Dicke, indem 
man für die gleichbelastete gusseiserne Achse die Achsenkopf- 
dicke aufsucht (siehe §. 87 bis 95) und diese mit 1,55 (d. i. mit 
der ^ aus dem Verhältniss der Tragmodel 7,5 für Gusseisen, 2 für 



240 Wellen. 

Holz) multiplicirt. Der so erhaltene Durchmesser kann für einzelne 
Fälle zu klein ausfallen, wenn nämlich etwa die Arme in den 
Achsenkörper eingesteckt, überhaupt der Baum verschwächt wer^ 
den muBS, reicht aber bei Belastung des vollen Querschnittes ans. 
Fällt er kleiner aus, als es die Zapfenverbindung, siehe §. 86, ver- 
langt, so ist der von dieser geforderte Durchmesser des Achsen- 
schenkels für die ganze Achse maassgebend. Die Wahl zwischen 
eisernen und hölzernen Wasserradachsen muss sich nach lokalen 
Preisen und Verhältnissen richten. 

Beispiel. Eine Wasserradachse von 2400^^ Schenkellänge sei 
so heiastet, dass sie gusseiseme Zapfen von 90^^ Dicke und danach 
von U20mm Länge erhalten müsse. Gemäss (§. 88) ist dann die Ächsen- 

kopf dicke für Gusseisen zu nehmen: 2> = 90 . 17 ^^99. == 90 . y^z= 

308inm, In Holz ausgeführt, ist daher zu machen: jy = 1,55 • 308 = 



VL WELLEN. 

§. 104. 

Bereclinungsart der cylindiischen Wellen. 

Der Maschinenbau versteht unter Wellen diejenigen Achsen, 
welche verdrehende Kraftmomente zu übertragen bestimmt sind. 
Dieselben müssen für diesen Zweck solche Abmessungen erhal- 
ten, dass sie 1) fest genug sind, und dass sie 2) durch die ver- 
drehende Kraft nicht zu stark verwunden werden. In der Regel 
erfahren die Wellen ausser der Beanspruchung auf Drehung auch 
noch solche auf Biegung durch die Gewichte und Pressungen der 
auf ihnen sitzenden Räder, Rollen, Hebel u. s. w. Vorerst soll in- 
dessen hierauf keine Rücksicht genommen und auch nur für die 
massiven cylindrischen schmied- und gusseisernen Wellen die Be- 
rechnungsart angegeben werden. 

Es bezeichne für eine solche Welle: 

P die verdrehende Kraft, 

R den Hebelarm, an welchen sie angreift, 

N die Anzahl der Pferdestärken, welche die Welle über- 
trägt, 

n die Anzahl ihrer minutlichen Umdrehungen, 



n 



Wellen. 241 

d den Wellendurchmesser, 

L die Länge der Welle (ausnahmsweise) in Meter, 
^^ den Verdrehungswinkel in Graden, 
© die durch die Verdrehung am Wellenumfang hervor- 
gerufene Spannung, 
G den Drehungsmodul (V& des Elasticitätsmoduls) des 
Materials, 
so ist zu nehmen bei blosser Berücksichtigung der Festigkeit: 

^ = ^^^^ (96) 

und bei blosser Berücksichtigung der Verdrehung: 

_ Y/32 1000.X 36ir^ 

Um dieselbe Sicherheit bei den Wellen anzuwenden, welche 
bei den Zapfen gebraucht wurde, dürfte ® (vergl. §. 5) nur V5 der 
dort eingeführten Spannung betragen ; man findet indessen in gu- 
ten Ausführungen die Spannungen selbst so hoch wie jene, wes- 
halb wir für Schmiedeisen © = 6, für Gusseisen © = 3 einführen 
können. Hiermit erhält man bei blosser Rücksicht auf die 
Festigkeit 
für schmiedeiserne Wellen 

d = 0,95 yPB = 84,71/— (98) 

für gusseiseme Wellen 

d = 1,19 ]/PiZ = 106,7]/— (99) 

In Bezug auf die Verdrehung ist es zweckmässig, den Ver- 
drehungswinkel d" nicht über 74^ a^f den laufenden Meter zu 

machen, d. i. zu setzen d^ = -—. Hiermit erhält man aus (97) 

4 

bei blosser Rücksicht auf die Verdrehung: 
für Bchmiedeiseme Wellen : 

d = 4,13 VpB = 120 y^ (100) 

und für gusseiserne Wellen: 

d = 4,91 1/PB = 143 ]/^ (101) 

Brnleaux, d«r Con(itract«ur. \Q 



242 Berechnung der Wellen. 

Hierzu sei bemerkt, dass sich der sogenannte Effektquotient 

N 

—, aus dem statischen Momente PB nach dem Ausdrucke 

PR = ^±2^:}m K = 716198 ^^716200 ^ . (102) 

2ä n n n ^ 

berechnet. Nach den vorstehenden Formeln ist die folgende Ta- 
belle über die schmiedeisernen Wellen berechnet. Sie zeigt, dass 
eine Welle zwar eine völlig genügende Sicherheit gegen bleibende 
Formänderung haben kann und trotzdem viel zu dünn sein kann, 
um eine genügend kleine Verwindung durch ihre Beanspruchung 
zu erleiden. Würde z. B. eine 8™ lange Welle an einem Ende mit 
einer verdrehenden Kraft von 100^ an einem Arme von 500°*" an- 
gegriffen, und hätte die Aufgabe, dieses Drehmoment von 50000*'>^"*" 
am anderen Ende abzugeben , so würde sie nach Z. 2 fest genug 
sein bei 35°^ Dicke. Dieselbe Zeile Spalte 4 zeigt aber, dass dann 
diese Welle nahe lOmal zu stark auf Verdrehung beansprucht 
wäre, also nach dem Obigen eine Verwindung von 10.8.74 = 20^ 
erfahren würde. Soll die Verdrehung die oben angenommene von 
V4^ auf den laufenden Meter sein, so hat man nach Zeile 7 bis 8, 
Spalte 4, die Wellendicke von etwa 63""* zu wählen, was nach Spalte 
2 ungefähr einer Versechsfachung ihrer Festigkeit entspricht. 

Die Rücksicht auf den Verdrehungswinkel ist bei kurzen Wel- 
lenstücken, z. ß. Wellenhälsen zwischen zwei Rädern u. s. w., un- 
wichtig, weil bei diesen d^ meist von selbst klein genug ausfallt 
Man hat im Grunde genommen in jedem besonderen Falle die 
Länge der Welle, beziehlich die Wichtigkeit der Vermeidung gros- 
ser Verdrehungswinkel in Betracht zu ziehen. 

Für die gusseisernen Wellen kann man die Tabelle eben- 
falls benutzen , indem man den zu ermittelnden Werth von d bei 

N 
demZweifachen des gegebenen Werthes von PB oder — sucht 

n 

Für Guss stahl würde, da dessen Tragmodul Va w^al so gross 
ist, also der des Schmiedeisens , die auf blosse Festigkeit berech- 
nete Welle K 0,6 d. i. 0,84 mal, die auf blosse Verdrehung berech- 
nete X^Oß d. i. 0,88 mal so dick zu nehmen sein, als die gleich- 
werthige schmiedeiserne Welle. 

Anmerkung: Wellen, welche starken Wechseln von lebendigen Kräf- 
ten ausgesetzt sind, wie z. B. die Mühlspindeln (Mübleisen) finden sich be- 
deutend stärker ausgeführt, als obige Formeln angeben ; sie sind besondere 
Construktionen, welche sich den allgemeinen Vorschriften, die wir hier vor 
uns haben, entziehen. 



Berechnung der Wellen. 



SchmiedeiBeme Wellen. 





Auf Feitigkeit berechnet 


Auf Verdrehung berechnet 1 


d 






(TriebwelleD) 


PR 


N 


PR 


^ 


30 


32 9ÜÖ 


0,046 


2 77G 


0,004 


35 


50511 


0,071 


5142 


0,007 


40 


75 398 


0,105 


8 773 


0,012 


45 


107 354 


0,150 


14 053 


0,020 


50 


147 2G3 


0,206 


21418 


0,030 


55 


190096 


0,274 


31369 


0,044 


60 


254470 


0,355 


44413 


0,062 


fi5 


323 536 


0,482 


61173 


0,085 


70 


404 088 


0,564 


82 280 


0,115 


75 


497 012 


0,694 


106 430 


0,151 


j 80 


G03187 


0,842 


HO 367 


0,196 


86 


723 .Wl 


1,010 


178888 


0,260 


90 


3r>a 835 


1,139 


224842 


0,314 


!)5 


1010 073 


1,4U 


279126 


0,390 


100 


1178100 


1,6JG 


342 69« 


0,478 


110 


1568051 


2,19 


501 738 


0,71 


120 


2035 730 


2,84 


710 610 


0,99 


130 


2688 28«i 


3,61 


978768 


1,37 


140 


3232 706 


4,51 


1316.193 


1,64 


150 


3976 068 


6,5B 


1734 809 


2,42 


160 


4825 408 


6,74 


2215 879 


3,14 


170 


5788 006 


8,08 


3862 21 B 


4,00 


180 


6870 G79 


9,59 


3fi9746G 


5,02 


190 


8080688 


11,28 


4466022 


6,24 


200 


9424 800 


13,16 


6483 101 


7,66 


S20 


12541 231 


17,51 


BO-27 813 


11,21 


240 


16386054 


2;,74 


11369 764 


15,88 


2Ö0 


20706 285 


28,91 


16660293 


21,87 


280 


25Stil 651 


36,11 


21063 892 


29,41 


300 


31808 700 


44,41 


27758214 


38,76 



244 Wellen. 

1. Beispiel. Eine Krankette von 2700t Belastung wirkt an einer 
Kettentrommel von 185»*"* (gemessen bis £ur Kettenmitte) ; wie dick ist die 
schmiedeiserne Achse der Trommel wegen der zu übertragenden Torsion 
zu nehmen? Eier ist PB = 2700 , 185 = 499500, und deshalb, da hier 
nur die Festigkeit zu berücksichtigen ist, gemäss Spalte 2, Zeile 10 zu 
nehmen : d = 75^^ , welche Abmessung der Biegungsbelastung wegen noch 
um etwas zu erhöhen sein wird (vergl. §. 111), 

2. Beispiel, Eine Turbine überträgt 92 Pferdestärken mittelst 

einer liegenden schmiedeisernen Welle von 114 minutlichen Umdrehungen 

und einer Länge von 2,6f>*; die der Welle zu gebende Dicke wird gesucht, 

N 92 
Hier ist — = 717 = 0,807. Dies gäbe bei blosser Bücksicht auf die 
n 114 

Festigkeit nach Spalte 3, Zeile 10 bis 11 die Dicke d = nahe 78inm, Will 

Q ß 

man aber die Verwindung auf y^^ pro Meter, also im Ganzen auf -7- 

= Ofi5^ einschränken, so hat man gemäss Spalte 5, Zeile 16 bis 17 d= 
llomm zu nehmen. Eine Ausführung *) für ganz ähnliche Urangaben zeigt 
d = 135^^, sodass daselbst eine noch kleinere Verwindung vorgesehen 
ist, wobei übrigens auch den biegenden Belastungen Bechnung getragen 

— ) 

d. f. 3,18mal höher, als im ersten Falle. 



§. 105. 

Triebwerkwellen. 

Bei der vorstehenden Berechnung der Wellendicken werden 
die etwa auftretenden biegenden Kräfte unberücksichtigt gelassen. 
In der That aber fehlen dieselben selten, nämlich nur dann, wenn 
reine Kräftepaare das verdrehende Moment liefern. Die Wellen der 
Fabriktriebwerke sind in den meisten Fällen biegenden Kräften 
durch Riemenspannungen, Zahnräderpressungen und -Gewichte 
ausgesetzt, deren genaue Inbetrachtziehung zu einer sehr ver- 
wickelten Berechnung führen würde; ausserdem aber ist es bei die- 
sen Wellen praktisch, lange Stränge mit unveränderter Wellen- 
dicke auszuführen, um die Riemscheiben, mit welchen die Kräfte 
ausgeleitet werden , beliebig versetzen zu können. Man kommt in 
diesen Fällen zu einem ganz brauchbaren Resultate, wenn man 
einen solchen Wellenstrang nach der Verdrehungsformel (100) oder 
(101) berechnet. Wie wir sahen, ist dann die Festigkeit der Welle 



*J In der Spinner eir Anlage in Oberursel, 




Triebwerkwellen. 245 

gelegentlich sehr hoch, sodass die verhältnissmässig geringen oben- 
genannten biegenden Kräfte unbedenklich vernachlässigt werden 
können. Damit die Wellen dünn ausfallen, nimmt man n hoch 
an, und ist mit dieser Zahl von 60 und 80 gestiegen bis zu 120, 
140, ja 200 und darüber, je nachdem die zu treibenden Maschinen 
schnell laufen. Die stehenden Triebwellen oder Königsbäume läset 
man meistens langsamer laufen, als die kraftabgebenden liegen- 
den Wellen, gibt ihnen auch eine der Kraftabgabe entsprechende 
Verdünnung von Stockwerk zu Stockwerk. Solche Königswellen 
finden sich noch häufig aus Gusseisen hergestellt; auch gilt dies 
von langen liegenden Leitungen, welche unterwegs keine Kraft 
abgeben. 

Die Praxis ist in der Wahl der Wellendicken nicht conse- 
quent. Wellen, an deren Tüchtigkeit sehr viel gelegen ist, finden 
sich mit hohen Spannungen im Gebrauch, so z. B. die der Lokomo- 
tiven, wo Spannungen bis zu 9 und 10^ in den schmiedeisernen Kur- 
belachsen vorkommen; Schraubenwellen der DampfschiflFe werden 
mit 5 bis 6^ Spannung gebraucht Daneben wird wieder bei man- 
chen Triebwerkwellen eine ganz geringe Spannung — wohl sehr 
häufig mit Recht in Berücksichtigung der Verdrehung — ange- 
wandt, namentlich in England, während andere Triebwerke grosse 
Verdrehungen, d. h. verhältnissmässig dünne Wellen besitzen. 
Die Erörterung solcher Fälle wird durch den Uebelstand erschwert, 
dass die Kraftangaben selten genau zu erhalten sind, indem aus 
der Zahl der „nominellen" Pferdestärken, welche eine Welle über- 
trägt, so gut wie gar kein Schluss auf die wirkliche Arbeitstärke 
zu ziehen ist. Bei Anwendung der obigen Verdrehungsformel 
für die Triebwerkwellen, und kleiner Erhöhung der erhaltenen 
Resultate bei sehr langen Wellensträngen kommt man auf 
mittlere Werthe, welche mit vielen Ausführungen eine gute 
Uebereinstimmung zeigen. 

Einige Beispiele sollen das Gesagte erläutern; es mögen 
dann die vorstehenden Bemerkungen zusammen mit denen des 
folgenden Paragraphen dem Construirenden als Anhalt dienen. 

1. Beispiel. Die Schrauben trelle eines grossen Kriegsdampfers von 
Indret wird durch zwei Dampfkolben von je 80000 1 Druck an recht- 
winklig stehenden Kurbeln von dÖO"*»» Armlänge umgetrieben. Sie ist aus 
Schmiedeisen hergestellt und hat zwischen Krumm achsc und Schiffs- 
schraube eine Länge von 22'^ bei 380"*«* Dicke. Berechnet man sie 
unter blosser Berücksichtigung der Festigkeit, so wäre nach Formel (98) 



246 Triebwerkwellen. 

zu nehmen^ da PB = 2 .y -j , 80000 . 550 .r^^ 62216 OOG^X^^ ist: 

d = Ofi5 ^62 216 000 = 376y4, was einer MaximtUspannung von (?* am 

Wellenumfang entspräche, und sehr nahe mit der AusfOhrung stimmt. Die 
Maximalspannung der Welle berechnet sich eu 5^77 , Wollte man y^ Ver- 
drehung auf den Meter, also im Garnen ^^^^ gestatten, so hätte man nach 

(92) SU nehmen gehabt d = 4,13 ^62 216 000 = 367fi^fn^ was weniger ist^ 

als die Rücksicht auf die Festigkeit fordert. Man hat also hier eine 
etwas kleinere Ver Windung als 5^l>^ zu gewärtigen, wovon weiter unten 
mehr. 

2. Beispiel. In 'der Spinnerei von Saltair überträgt eine gusseiseme 
stehende Königswelle bei 92 minutlichen Umdrehungen 300 Pf erdestärken ; 
sie hat 10 Zoll engl, oder 254mm Durchmesser. Wir würden derselben 

'^/300 
nach der Verdrehungsformel (101) die Dicke d = 143 y -^^z=192,2mm ge- 

ben, während die Ausführung das %fache zeigt. In ähnlicher Weise 
schwer sind die übrigen Wellen derselben Fabrik gehalten. 

3. Beispiel. In dem Walzwerk amBheinfall überträgt eine Schmied- 

eiserne 68"* lange Welle 120 Pferdestärken von einer Turbine zu den 

N 120 

Walzen Strassen. Die Umlaufzahl ist 95, der Effektquotient — also = -^ 

= iy265. Wegen der Verdrehung würden wir nach Spalte 5, Zeile 17 
bis 18 d = 126^fn^ bei blosser Berücksichtigung der Festigkeit nach Spalte 3, 
Zeile 13 bis 14 d^^y92mm nehmen. Die Ausführung zeigt d = 96^«^ in 
den, 32 an der Zahl betragenden Wellenhälsen, und lOO^m in den Schäf- 
ten. Die eintretende Spannung berechnet sich zu 5,2^ für die Lagerhälse 
und 4,6^ für die Schäfte. Der Erbauer der Saltairmühle ♦) würde wenig- 
stens etwa 200'nm Wellendicke angewandt, d. h. die Welle 8 mal so 
fest construirt haben, als geschehen ist. 

4. Beispiel. In der Spinnerei in Logelbach überträgt eine guss- 
eiserne 210"*"* dicke Welle bei 27 minutlichen Umdrehungen 140 Pferde- 
stärken {mit dem Zaum gemessen). Der Effektquotient — ist -^=z5,19, 

Suchen wir bei dem doppelten Werthe in unserer Tabelle nach, da es sich 
um eine gusseiserne Welle handelt , so finden wir gemäss Spalte 5, 
Zeile 25 bis 26 d zwischen 200 und 220; eine genauere Bechnung ergibt 
d = ^J5'«"», was sehr nahe mit der Ausführung stimmt. Die blosse Be- 
rücksichtigung der Festigkeit hätte gemäss Spalte 3, Zeile 23 bis 24 
d^^^l85mm ergeben. 

5. Beispiel. Dieselbe Anlage hat an einer anderen Stelle eine 
25,5m lange gusseiserne Wellenleitung , welche 270 Pferdestärken (mit dem 
Zaume gemessen) bei 50 minutlichen Umdrehungen überträgt, also den 



*) Fnlrbairn, der in ähnlichen Fällen die Formel d = 160 1/ — angewandt 



wissen will. 




Verdrehung der Wellen. 247 

Effektquotienten 5,4 besitzt. Die Wellenhälse haben 175»*^ Durchmesser^ 

im Schaft ist der Querschnitt von der in Fig. 282 angegebenen Form und 

das Profil etwas geschwellt; man kann ihn annähernd durch einen cylin- 

drischen Schaft von 215mm Dicke ersetzt denken, der dann ungefähr die 

Festigkeit des ausgeführten besitzen würde. Unsere Tabelle würde für 

die Wellenhälse, wenn man sie nur mit genügender Festigkeit versehen 

N 
wollte, gemäss Spalte 3, Zeile 23 bis 24 {beim doppelten Werth von — 

n 

wegen des Materials Gusseisen) 180 bis 190 ,. genauer 187^^ Dicke , also 

mehr als die Ausführung zeigt, ergeben. Dem wirklich angewandten 

Durchmesser 175 entspricht eine Spannung S = 5,67*. Für den Schaft 

würden wir ohne Frage,, da die Welle sehr lang ist, die Rechnung auf 

N 
Verdrehung beziehen, demgemäss in Spalte 5 bei — = 2 , 5,4 = 10,8 zu 

suchen haben. Wir finden d zwischen 200 und 220, genauer nach (101) 
d = 143 1/^5,4 = 143.1,52 = 2 17mm ^ was ebenfalls sehr nahe mit der 
Ausführung übereinstimmt. 



§. 106. 

Berechnung des Verdrehungswinkels der Wellen. 

Bei einer cylindrischen Welle von der Dicke d, welche durch 
ihre ganze Länge L das verdrehende statische Moment P R über- 
trägt, ist, wenn das Material den Drehungsmodul G hat, nach 
§.13 Nro. I. der Verdrehungswinkel 

32 . 360 PR 1000 L 180 © 1000 L ,, ^^. 

woraus für Schmiedeisen, wo 6? = 8000: 

^0 = 72,95^^=14,32®^ (104) 

und lür Gusseisen das Doppelte oder 

^0=155,9^^^^=28,65®^ (105) 

folgt. Hierbei ist L wieder ausnahmsweise in Meter eingeführt, 
und bedeutet © wieder die Spannung am Wellenumfang. Man 
sieht, dass man bei bekanntem © den Winkel O* sehr leicht be- 
rechnen kann. Hierbei ist nicht zu vergessen, dass © und d von 
einander abhängen, dass also z. B. d unter Annahme von © be- 
rechnet sein muss. 



248 Verdrehungswinkel der Wellen. 

Die Abgabe des verdrehenden Momentes kann auch so erfolgen, 
dass einzelne Abgabestellen über die Welle yertheilt sind. Man 
kann aber auch dann von den obigen Formeln Gebrauch machen 
(vergl. §. 13, S. 42 und 43), wenn man nämlich für L setzt: 

a. die ganze Wellenlänge (in Meter) > wenn die Triebkraft 
an dem einen Ende eingeleitet, am andern ganz abgeleitet wird; 

b. die halbe Wellenlänge, wenn die Eraftabgabe gleich- 
förmig über die ganze Welle vertheilt ist, was in langen Wellen- 
strängen in der Regel der Fall ist; 

c. ein Drittel der Wellenlänge, wenn die Kraftabgabe 
gleichförmig abnehmend vom Krafteinleitungspunkte bis 
zum Wellenende vertheilt ist (siehe Fall III. in §. 13) was in Fabrik- 
sälen mit verschieden starken Maschinen sich manchmal zweck- 
mässigerweise angeordnet findet; 

d. im allgemeinen den Abstand des Angriffschwerpunk- 
tes der zu überwindenden Widerstandsmomente, wenn die Kraft- 
abgabe irgendwie über die Welle vertheilt ist (siehe Fall IV. in 
§. 13). Man findet den AngriflEschwerpunkt, wenn man die Pro- 
ducte aus den einzelnen Widerstandsmomenten (in Pferdestärken) 
und den Abständen ihrer Angriffpunkte vom Wellenanfang bil- 
det und addirt, und die erhaltene Sunmie durch die ganze Kraft- 
abgabe (in Pferdestärken) theilt. 

Als Beispiele können mehrere der im vorigen §. berechneten 
Wellen dienen. 

1. Beispiel. Die Schrauhenwelle des Indr et' sehen Schiffes aus 
Beispiel i. verdreht sich im Maximum — unter Vernachlässigung der Ver- 
stärkungen durch Anläufe w. «. u?. — wegen @ = 5,77, d = 380 und Lz=z22 

14 32 5 77 22 
nach (104) um — ^ — ' * — •v•4y8^ welche Verdrehung auf das Vio/acÄ« 

ooO 

odery>^3^l^ zurückgeht, wenn je eine der Kurhein in den Todpunkt tritt, 

2. Beispiel. Die Welle aus Beispiel 3. gibt unterwegs keine 
Kraft ah, verwindet sich aber in den 32 Lagerhälsen, deren Länge 
= iOO"" sein möge, mehr als in den Schäften. Wir haben nach (104) ^ 

= 14,32.1 ^^'^^^^'^'^ + ^^^ "Jf^ ^'^ \ = ^^>^^ (0a^3 + 2,981)y^45y^^!! 

eine Verdrehung, welche bei schwankender Kraftabnahme sehr merkbar 
wirken mvss, und wenigstens bei einer feineren Fabrikation nicht zuläs- 
sig sein würde. 

3. Beispiel. Gäbe man derselben Welle gemäss der von Fairbairn 

empfohlenen Eegel 200"'"' Dicke durchweg, so hätte man gemäss dem er- 

* A ^ 1 ' /.^.x j, N . „^, . , « 72,95 . 716 200 . 1,263 . 68 
sten Ausdruck tn (104), da — -=1,263 ist: ^ = — ■ ^^^^ — 

= 3,87\ 




Drehzapfen der Wellen. 249 

4, Beispiel, Lässt man durch einen 50^ langen schmiedeisemen 

Wellenstrang von constanter Dicke 70 Pferdestärken bei 100 Umdrehungen 

an Maschinen abgehen^ welche eine ungefähr gleichförmig über die Welle ver- 

theilte Kraftabgabe veranlassen, so hat man zunächst nach Spalte 5, Zeile 16 

zu nehmen d = 110'^'^. Bei der Verdrehungsberechnung haben wir nun für L 

,. , ,, „. „ ,» . ..., , ,. , ^ 72,96,716 200.0,7.25 
die halbe Wellenlange einzuführen, erhalten also &== — ^^-r^ — 

= 6,45/v/öya®. Direkt erhielte man, da L =z 25 einzusetzen, und weil 

wir oben &^z=z --- in die Berechnung der Formel (100) einführten, & = 6^4^ 

Erscheint in einem bestimmten Falle eine solche Verdrehung 
zu gross, so erhöhe man den Durchmesser entsprechend und hat 
dabei zu bedenken, dass das Steigerungsverhältniss mit seiner 
vierten Potenz , also sehr stark auf die Verminderung von d- ein- 
wirkt 

5. Beispiel, Sollte die im vorigen Beispiel berechnete Welle einen 
nur halb so grossen Verdrehungswinkel, als wir fanden, erhalten, so hätte 

man d auf das '^2 fache, d, i, nach der Zahlentafel Nro, L auf das 

1,189 fache zu erhöhen, also zu nehmen d = 110 . l,189y^>^130^''. 



§. 107. 

Drehzapfen der Wellen. 

m 

Die Zapfen der Triebwellen sind entweder Endzapfen, und 
dürfen dann als Stirn zapfen behandelt werden, oder sie sind, 
was der gewöhnliche Fall ist, Halszapfen, über deren Längen- 
bemessung in §. 82 gesprochen wurde. Bei den Triebwerkwellen 
der Fabriken und manchen anderen Wellen ist übrigens eine be- 
sondere Berechnung der Zapfenlänge unnöthig. Man nehme hier, 
wenn nicht ausnahmsweise die Zapfenlänge l beschränkt werden 
muss, (was z. B. bei den Lokomotiven zu geschehen hat) 1= ^/^d 
(vergl. die Hänglager Kap. VHL), wobei zu bedenken ist, dass 
eine Vergrösserung von l über dieses Maass hinaus nicht ungün- 
stig wirkt, sondern nur die Abnutzung verkleinert. In dieser Be- 
ziehung hüte man sich übrigens, Halszapfen und Stirnzapfen zu 
verwechseln, indem bei letzteren die Verlängerung auch eine Ver- 
grösserung des Durchmessers erfordert. Bei Decken-Triebwerken 
wendet man neuerdings in zunehmendem Maasse Lager mit gelen- 
kig aufgehängten Schalen an, welche sich unbedingt an den Zapfen 



250 Hölzerne Wellen. Belastete Wellen. 

anschmiegen. Bei diesen ist jede Gefahr des Klemmens verhütet, 
weshalb man hier l = 2 bis 3 d und darüber annehmen kann. 
(Siehe das Sellers'sche Lager Kap. VÜL). 

§. 110. 

Zusammengesetzte Querschnitte. Hölzerne Wellen. 

Die Abmessungen der zusanmiengesetzten Wellenquerschnitte 
(Kreisring-, Kreuz- und Sternquerschnitt) findet man, nachdem 
man zuerst die Berechnung für die massive runde Welle (aus 
demselben Material) gemacht, ganz auf dieselbe Weise^'aus [der 
Dicke d der runden Welle, wie es in den §§. 97 bis 100 für die 
Tragachsen gezeigt wurde. Bei hölzernen Wellen (aus Eichenholz) 
nehme man den Durchmesser D des dem Querschnitt- Vieleck 
eingeschriebenen Kreises nicht kleiner als 1,75 mal die Dicke der 
gusseisernen gleichbeanspruchten Welle. Bei dem letzteren Ver- 
hältniss verwinden sich beide Wellen um gleichviel, indem 1,75 die 

]/^aus dem Verhältniss des Elasticitätsmoduls lOÖOO des Gusseisens 
zu 1100, dem des Holzes ist. Hölzerne Wellen kommen übrigens 
nur noch selten vor. 



• §. 111. 

Belastete Wellen. 

Unter einer belasteten Welle wird hier eine solche Welle ver- 
standen, welche ausser einer verdrehenden Beanspruchung noch 
eine solche auf Biegung erfahrt. Wie wir oben sahen, fallen streng 
genonmien sehr viele Wellen unter diese Kategorie; bei einer 
grossen Zahl indessen durften wir die Biegungsbeanspruchung 
vernachlässigen. Wo letzteres nicht geschehen darf oder nicht 
geschehen soll, hat man eine Berechnung auf zusammengesetzte 
Festigkeit auszufuhren. Am bequemsten vollzieht sich diese, wenn 
man die vereint wirkenden statischen Momente in ein ideelles bie- 
gendes Moment verwandelt, und darauf so rechnet, als sei die be- 
lastete Welle eine Tragachse, welcher jene ideellen biegenden 
Momente zukommen. Die Verwandlungsformel wurde §.18 mit- 
getheilt 



Belastete Wellen. 251 

Ist Md das einen Querschnitt beanspruchende verdrehende 
Moment, 
üfft das ebendaselbst wirkende biegende Moment, 
so ist das ideelle biegende Moment, welches diese beiden ersetzt: 

iM,)i = 3/8 M, + Vs VMt^+Ma^ (106) 

Diese Formel wird für numerische Rechnungen nach dem Pon- 
cel et' sehen Theorem genügend genau angenähert: 
wenn Mb>Md^ durch 

{Mö)i = 0,975 Mt + 0,25 M^ (107) 

und wenn Md>Möy durch 

(Mt)i = 0,625 Mt+ OfiMd (108) 

Wir wenden wieder beide, zuerst das analytische« dann das gra- 
phostatische Verfahren an. 

I. Analytisches Verfahren. Die Achse oder Welle ABC, 
welche in Fig. 290 dargestellt ist, trägt bei C ein Stirnrad iJ, an 

Fig. 290. 
Ql 



dessen Umfang die Kraft Q tangential angreift; dann beansprucht 
diese den Schaft CB auf Verdrehung mit dem Moment Md=QB\ 
und biegt ausserdem die Achse, so dass bei J. die zu Q parallele 

Kraft Pi = Q — - — und bei B die Kraft P« = O ^ ent- 

steht. Beim Punkte C findet die stärkste Beanspruchung statt, in- 
dem dort die beiden biegenden Momente in ihrem Maximum IH^ 
= Pi . a = P2 . s sind, weshalb man vor allem für diese Stelle die 
Berechnung auszuführen hat. 

Beispiel Es sei Q = ^500*, B=z300inm^ a = 500mm^ 8=:2000n^m^ 

2000 'iOO • 

SO ist zunächst Pj = 1^ .Q = OßQ = 2000^ und P^ = -^Q z=0,2.Q 

= 5ÖÖ*. Nun hat man Md = 2500 . 300 = 750000, Mb = 2000 . 500 = 1000000. 
Somit ist Mb > Md und daher Formel (107) zu benutzen. Man erhält: 
(3ft )i =0^75 . 1000000+0,25 . 750000=:975000+187500=1162500'kXmfn, Hier- 



252 



Belastete Wellen. 



aus kann die Achsenkopfdicke bei C direkt berechnet werden, Ist die 
Welle aus Gusseisen, und bei C mit kreisförmigem Querschnitt herzustel- 
len, so hat man für dessen Durchmesser D aus: (Mb)i^=B — D* bei 

a ^ o. T^ \y 1162 500.32 ^-o n ^ /• 1. • 

einer Spannung 8 = 3*; D = V = = 158mm, J)er Zapfen bei 

3 71 

A erhielte nach Tabelle S. 80, Spalte 3 Zeile 11 die Dicke d^ = 70»»»». 
Für den Wellenhals bei B erhält man nach Tabelle S. 103, Spalte 2^ 
Zeile 5 (bei dem doppelten Werthe des verdrehenden Momentes, da wir 
Gusseisen vor uns haben) d^ = 50'»»». Hierbei ist nur auf die Festig- 
keit, nicht auf den Verdrehungswinkel Bücksicht genommen. 

I. Graphostatisches Verfahren. Wir behandeln sofort 
dasselbe Beispiel graphostatisch. Nachdem man, Fig. 291, für die 
biegenden Momente das mit horizontaler Schiasslinie construirte 

Fig. 291. 




K— -E— ->1 



Gelenkpolygon abc verzeichnet, und das Kräftepolygon al auf- 
getragen hat, liefert dasselbe zunächst sofort Pi und P3 und in 
ac(f die Momentenfläche für den Schenkel A C 

Niyi ist das Moment Ma aufzusuchen. Hierfür ziehen wir im 
Kräftepolygon in einem Abstand E von dem Pol eine Vertikal- 
ordinate, so ist diese = Jf^. Dieselbe nach cfci = 661, und so- 
dann % davon nach c'cq = bbo tragend, haben wir in c'cq hb 
das Torsionsrechteck für den Schenkel CB. Die Zusammensetzung 




Kupplungen. 253 

der drehenden mit den biegenden Momenten vollziehen wir nun 
nach Formel (106). Wir machen nämlich CC2 = Vs cc' und ziehen 
die Gerade c^ft, so ist auch an jeder anderen Stelle des Polygons, 
z. B. bei/, der Abschnitt //j = Vs/T- Klappt man nun die c'c^ 
nach c'co' auf die a6, so ist die Hypotenuse des Dreiecks c^c^Cq'- 

CjCo' = V(^/g ccff' + (VsCic/)'^, also die Summe cc« -f" ^2^0' = 
ccj -\- CqCs das gesuchte Moment (Mb)i für die Stelle C. Ebenso 
erhält man in ff^ + /2/0' =//« +/2/8 das Moment (JIT^)^ für die 
Stelle F. Die Linie Cif^h^ ist eine Curve (Hyperbel), welche man 
auch durch eine Gerade C360 idi vorliegenden Falle genügend ge- 
nau annähern könnte. Aus dem gefundenen Polygon achh^CiC* 
ermittelt man schliesslich, wie bei den Achsen gelehrt wurde, die 
Abmessungen der belasteten Welle. 

Andere Aufgaben für Momentenzusammensetzung finden sich 
bei den Hebel- und Kurbelachsen. Kap. XHI. und XIV. 



Vn. WELLENVERBmDUNGEN ODER KUPPLUNGEN. 

§. 110. 

Eintheiltmg der Kupplungen. 

Die Theile, durch welche Triebwellen so mit einander ver- 
bunden werden, dass sie sich ihre drehenden Bewegungen gegen- 
seitig mitzutheilen vermögen, heissen Kupplungen. Sie lassen 
sich eintheilen in: 

1) feste, 

2) bewegliche, 

3) lösbare oder Ausrück-Kupplungen. 

Die ersten sind die gewöhnlichen Verbindungen der festge- 
lagerten und sich um eine gemeinschaftliche geometrische Achse 
drehenden Triebwellen. Beweglich heissen solche Kupplungen, 
welche eine Veränderlichkeit in der gegenseitigen Lage der ge- 
kuppelten Wellen gestatten; die lösbaren Kupplungen endlich 
können während des Ganges der verbundenen Wellen aus- und 
meistens auch wieder eingerückt, ausser und in Eingriff gebracht 
werden. Diese drei Kupplungsarten werden im Folgenden an eini- 
gen wichtigen Beispielen besprochen. 



254 Kupplungen. 

§. 112. 

I. Feste Eupplimgen. 

Man fertigt die festen Kupplungen eintbeilig- und zwei- 
theilig (ein- und zwcitnunig) an. Von der erüteren Gattung sind 
die in Fig. 292 und Fig!~293 dargestellten .Muffenkupplungen. 
Fig. 292. 




Die Muffe umscbliesst die zu verbindenden Wellenenden, welche 
bei der zweiten Form zu einem Schloss zusamraengepasst sind. 

Als Bezugeinbeit dient hier wie bei den folgenden Kupplungen 
die Wanddicke S der Hülse, für welche man nehme: 

« = 5 + | (109) 

d bezieht sieb auf die schmiedeieernen Wellen. Ist die Welle von 
GuBseisen, so suche man, wenn besonders gespart werden soll, 
zuerst die ihr gleicbwertbige Scbmiedeisenwelle , ermittle daraus 
S und verfahre wie oben. Die Abmessungen des Keiles sind nach 
der Formel (181) liir Torsionskeile, §. 88, angenommen gedacht. 
Neuerdings verdecken manche an Triebwerken die hervorstehenden 
Keilnasen mit runden, besonders aufgesetzten Kapseln, um die 
Kupplungen glattläufig zu machen, d. i. die Ge&hr zu vermei- 



Scheibenkupplnng. 255 

den, welche dasEriaaseD von BekleidnDgstheilen u. s. w. durch die 
Keile für die Arbeiter mit sich bringt. (Vergl. Verhandl. d. Ver. 
f. Gewerbfleiss in Preussen. 1B69. S. 124). 

Das Schloss der Mufifenkupplung findet sich auch in der • 
Schwalbenschwanzform Fig. 294 , vielfach auch Iniit der blossen 
UeberblattuDg Fig. 295 vor. Die beiden ersteren Formen haben 
Fig. 294. Fig. 295. 



gegen die letzte den Vortheil, die Wellen auch in der Längen- 
richtung zusammenzuhalten, sowie den, dass die Drehkjjmer erhal- 
ten bleiben. 

Eine zweitheilige Kupplung ist die in Fig. 296 dargestellte 
Scheibenkupplung, der Lange nach in Hälften gefreut, and 
Fig. 296. 




darum zweckmässig, weil sie vermöge der Versenkung der Schrau- 
benkopfe und Muttern und wegen des Einschiebens der Keile von 
der Fugenäacbe her glattläutig ist 

Die Anzahl i der Schrauben nehme man: t =; 2 + "Sn- Gibt 
man alsdann dem Schraubenbolzen die äussere Dicke d,^S-\-—^ 

80 sind dieselben genügend fest auch für den Fall, dass d ohne 
Berücksichtigung des Verdrehnngswinkels, also nach Formel (98) 
gerechnet worden ist. Sie sind reichlich fest, wenn d mit Rück- 
sicht auf die Verwindung [nach Formel (100)] bestimmt ist, beide- 
male eine schmiedeiserne Welle vorausgesetzt. 



2&6 Schalenkupplung. 

Die Scheibenkupplnng ist für grosse Fabriktriebwerke in Eng- 
land und Deutschland sehr verbreitet 

Fig. 297 zeigt die Schalenkupplung, welche der Quere 
Fig. 297. 




nach in zwei Stücke gcthcilt ist Die Schalen verdecken sowohl 
die beiden Läiigskcile oder Federn, als vermöge der Einlassangs- 
scheihen die Schrauben , sodass vorstehende Keile an der Kupp- 
lung nicht vorkommen. Soll dieselbe die Wellen der Länge nach 
ganz sicher verbinden, so wird die angedeutete leichte Eindrehong 
der Wellen nebst den in diese eingreifenden Ringfalzen angebracht 
Die Eindrehung ist der Festigkeit wegen immer zulässig, wenn d 
mit Rücksicht auf die Verwindung, [Formel (100)] berechnet ist; 
ihre Tiefe kann ziemlich gering sein, und reicht aus bei der 
d 



GrösBeljö""-)- 



In Fällen, wo die Längsverbindung der Wel- 
len nicht wichtig ist, bleiben die Falzungen weg. Will man die Ver- 
bindungSEchrauben mit Gegenmuttern sichern, so empfiehlt es sich, 
die Hauptmuttem, wie in der Figur angedeutet, halb zu versenken. 
Die Schraubenanzahl i findet man^2, 4, 6, selten mehr' angenom- 
men. Man gelangt zu brauchbaren Abmessungen, wenn man 
nimmt bei: 

1=2 i 6 und mehr. 



100 



d, = 10 - 



Beispiel. Für eine 60mm dicke Triehwelle erhält die gieeischraubige 
Schalenkupplung Schrauben von der Dicke d, = iO + -^ = HO""; wenn 



KegelschaleDkupptung. 257 

man sie vierschraubig machen mit, d,^ 9 + -=-./'^^16'>"», und imb« lechi- 

Man bat die Schalenkupplung auch mit nur einer einzigen 
und zwar einer Differenzialachraube construirt, welche quer mitten 
durch die Kupplung geht"). 

Eine andere Form der Schalenkupplung ist die Tom Verfasser 
construirte Kegelschalenkupplung, Fig. 298, bei welcher die 
Querverbindung der Schalen durch ein rundes Keilschloss bewirkt 
ist, und vorstehende Theile vermieden sind. 

Fig. 29a 



Die Schalen sind mit angegossenen und abgehobelten Federn 
versehen, welche in die Nutben der Wellen genau passen. Aus 
den angegebenen Verhältnissen, welche sich wie bisher auf den 

Modul (J ^ 5 -f- — bezieben, ergibt sich der Anzug des Kegels 

an jeder Seite zu -^ oder jr-, was einem Haftenbleiben auch bei 

blossem Festanflreiben entspricht. Um aber auch bei rüttelnden 
und stoEsenden Bewegungen dem Loswerden der Schalen vorzu- 
beugen, ist am dünnen Ende ein Gewinde an den Halbschalen und 
in der Hülse angebracht Vier Löcher in dem Wulste gestatten das 
Einsetzen eines Zapfenschlüssels, mit dem man das Schloas völlig 
fest zusammenziehen kann. 

Für gewöhnlichere Fälle kann das Gewinde wegbleiben, und 
durch eine versenkte stählerne Klemmschraube iiir jede Hatbschale 

*) Ruggle'e Kopplung. P. M. Joarnal 1866 bii 67. S. 165. - 

Beuloai, d*r CooBlncMut. 17 



258 Bewegliche Kupplungen. 

ersetzt werden. Ist endlich eine Längsverschiebung der einzelnen 
Wellenstücke gegeneinander nicht zu befürchten , so bleiben auch 
die Falze fort Bei grossen Ausführungen, etwa von d = 60"" 
an aufwärts, können Arbeitsleisten in der Hülse und auf den Halb- 
schalen angebracht werden. 

Bisher wurden stets schraiedeiseme Wellen vorausgesetzt, und 
danach die Verhältnisszahlen eingerichtet Bei gusseisernen Wel- 
len werden der Einfachheit halber dieselben Verhältnissmaasse 
innegehalten. Will man durchaus knapp und sparsam mit dem 
Material verfahren , so ermittle man in jedem einzelnen Falle die 
ideelle Wellendicke aus Formel (99) und lege das erhaltene d bei 
der Berechnung zu Grunde. . 

II. Bewegliche Kupplungen. 

§. 113. 

Verscliiedene Arten der Beweglichkeit der 

Kupplungen. 

Es sind drei Arten der Beweglichkeit einer Kupplung bei un- 
gestörter Erhaltung der Drehungsübertragung möglich, nämlich 

a) der Achsenrichtung oder der Länge nach, 

b) senkrecht zur Achsenrichtung oder der Quere nach, 

c) unter Aenderung des Achsenwinkels oder dem Achsenwin- 

kel nach. 
Auch können zwei dieser Beweglichkeiten oder alle drei gleich- 
zeitig gedacht werden. Im ersten Falle decken sich die geometri- 
schen Achsen der Wellen oder fallen zusammen, im zweiten sind 
sie parallel, im dritten schneiden sie einander, bei der Vereinigung 
von h) und c) sind sie geschränkt Alle diese Beweglickeiten wer- 
den von der Praxis gefordert und in Anwendung gebracht. 

§. 114. 

Längsbewegliche und querbewegliche Kupplungen. 

Bei prismatischer Einpassung der die Drehung übertragenden 
Theile wird die Längsbeweglichkeit erreicht Als Beispiel diene die 




KlauenkuppluDg. 259 

Sharp'sche Klauenkupplung Fig. 299. Sie ist zweitheilig, und 
erlaubt kleine Lüugsverschiebungen, bei welchen die ineinander 
greifenden Sektoren mehr oder weniger auseinauder rücken. Auch 
gestattet sie kleine Winkelbewegungen der Achsen, und ist des- 
halb bei nicht gnnz zuverlässiger Stellung der Lager bequem. Sie 
ist in neuerer Zeit an einzelnen Stellen in erneute Aufnahme ge- 
kommen und zwar unter der bequemen Herstellungsweise, daas 
man die ?:weite Hälfte mit der Klauenscite über die fertige erste 
giesBt Das Einpassen der Klauen fällt dann ganz weg. 
Fig. 299. 




Bei denjenigen Schraube n sc h i£Fe n , deren Schraube zum'Auf- 
hnlen eingerichtet ist, wird in die Betriebswelle eine, gewöhnlich 
als Schalenkupplung ausgerührte Kupplung eingeschaltet, welche 
eine grosse Längsbewegung gestattet, nämlich eine solche, die dos 
Herausziehen des pyramidal gestalteten Wellenendes aus der 
Schraubennabc ermöglicht'). 

Der Quere nach beweglich ist die Oldham'scho oder Kreuz- 
scheibenkupplung (Fig. 300 a. f. S.). Sie besteht aus zwei End- 
stücken und einem Mittel^tück. Letzteres bat zwei um 90* ver- 
setzte prismatische Federn , welche in entsprechende Nuthen der 
Endstücke eingreifen. Wenn die beiden Wellenachsen zusammenfal- 
len, sodass ihre Normalprojectionen einander in einem Punkte z. B. 0, 
decken, so wirken die Federn und Nuthen ohne gegenseitige Glei- 
tung als Mitnehmer. Iliickt aber die eine der Achsen parallel mit 
sich selbst von ah, etwa nach P, so gelangt der Mittelpunkt der 
Kreuzscheibe nach Q, und bewegt sich beim Drehen der Wellen 
in einem Kreise OQPQ' vom Durchmesser OP =; dem Achsen- 



*) We|;en Muster rlieBcr dpn Seh rauben Bclii (Ten eigenen Conelruclion 
kann aur die auBführlichen Miltheilungen in Armengaud'e Vignole dt» 
mevaniciem, Pam 1863, auch auf Ledieu, Äpp. ä rapeur de navigatio». 
Pari! 18G2, vcrwii'Ben werden. 

17* 



260 Kreuzscheibenkupplung, 

abstände; er durchläuft diesen Kreis zweimal bei jeder Achsen- 
drehung. Die übrigen Punkte der Kieuzscheibe beschreiben Car- 

Fig. 300. 




dtoiden. Die Bewegungsübertragung geschieht gleichförniig*). 
Als Bezugeinheit oder Model fiir die der Figur eingeschriebenen 

Verhältniaszahlen dient wieder die Grosse J ^ 5 -|- "t ■ 

Eine andere querbewegliche Kupplung ist die aus zwei durch 
eine Koppel verbundenen Kurbeln bestehende sogenannte Knie- 
kupplung, welche jetzt weniger als früher gebraucht wird, Sie 
eignet sich zum Anhängen zweier Kurbelwellen an eine Dampf- 
maschine **). 



S- 116. 

O^enkige Eupplongen. 



Die verbreitetste aller beweglichen Kupplungen ist die Kreuz- 
:elenkkupplung oder das Universalgelenk, auch Hooke'- 



*) Eine Oldham'Bche Kupplang i«t auch die auf dem Winan'schen 
SchifTe, B. Engineer, 1866, S 171, angewandte Verbindang iler Kurbeln der 
Nach barm aschinen. 

") S. Salzenberg'B Vorträge, S. 66. 



Das Uniyersalgelenk. 261 

scher Schlüssel, besser Cardanisches Gelenk genannt*). Sie 
ist dem Achsenwinkel nach innerhalb gewisser Grenzen beweglich, 
und besteht ebenfalls aus zwei Endstücken und einem Mittelstück, 
letzteres bei normaler Ausführung aus zwei einander mit ihren 
geometrischen Achsen rechtwinklig kreuzenden Zapfenpaaren ge- 
bildet, von denen je eines in einem der Endstücke normal zur 
Wellenachse gelagert ist Die Bewegungsübertragung geschflbt 
ungleichförmig, und zwar besteht bei dem Ablenkungswinkel a 
der Wellenachsen zwischen den Drehwinkeln <o und (Oi der trei- 
benden und getriebenen Welle die Beziehung: 



tg(Oi 

■f — • =r cos cc 

tgco 



(110) 



was einer periodischen Schwankung von der Periodenlänge 180« 
entspricht. Man erhält hieraus folgende Werthe. 



to 


« =: 100 


200 


300 


400 


300 


290 38 


280 29 


260 34 


23051 


450 


44034 


• 430 12 


40054 


37027 


600 


590 34 


55026 


560 22 


53004 


900 


900 


900 


900 


900 


1200 


1200 26 


1210 34 


1230 38 


1260 56 


1350 


1350 26 


1360 48 


1390 06 


1420 33 


1500 


1500 22 


151031 


1530 26 


1560 01 


1600 


1800 


1800 


1800 


1800 



Bei kleinem a sind hiernach die Abweichungen nicht bedeu- 
tend. Zwischen den Winkelgeschwindigkeiten tv und Wi besteht 

die Beziehung: . 

Wi cosa 

'w 1 — sin^ (o sin^ a 
1 



(111) 



welche im Maximum 



cos a 



und im Minimum cos a liefert **). Diese 



*) Erfinder des Kreuzgelenks ist der Italiener Cardano (1501 bis 
1576); der Engländer Ilooke (1635 bis 1702) wandte den Mechanismus als 
Wellenkupplung an. 

**) Die Werthe von oi sind so gezählt, dass bei (o =z die (juer- 
zapfenachse der getriebenen und abgelenkten Welle in der Ablenkungs- 
ebenc steht. 



262 Kreuzgelenkkapplang. 

Geschwintligkeitsschwan klingen sind bei geringeD lebendigen Kräf- 
ten iD den beiden Wellen und kleinem a vemachlässigbar klein, 
können aber bei grossem a und scfauelllaufenden grösseren Massen 
manchmal störend einwirken. 

Die Ausfiihrungsrormen der Kreuzgeleokkupplung sind äusseret 

mannigfaltig. Die folgenden Beispiele beschränken eich auf die 

w&tigsten Fälle. Fig. -SOI Kjeuzgelenkkupplnng mit j 

Fig. 301. 



nen Endstücken und schmiedeisernem !tlittelstück. Der Abstand 
Ji der Zapfenmittel wird im Verbältniss zor Wellendicke d schwan- 
kend angenommen , weshalb vollständige Bczugzahlen hier nicht 
angegeben sind. Man berechne die Zapfendicke dj nach den frü- 
heren Regeln , und hat bei bekanntem Verdrehungsmomente 

(P JI) der Welle den Zapfendruck P» genügend genau = — ■ 

Je grösser der Ablenkungswinkel « sein soll, um so grösser ist der 
mit a bezeichnete Abstand zu nehmen. Hier ist a, wie man sieht, 
sehr klein vorausgesetzt. Die Schalenfugen der Lagerungen legt 
man am besten, wie in der Figur angedeutet, in die Wellenachsen- 
ebene, nicht wie häufig vorkommt, rechtwinklig dazu, weil sonst die 
entstehende Abnutzung nicht ausgeglichen werden kann. Hier 
sind die Lagerschalen fest aufeinanderliegend angenommen, müs- 
sen also behufs der Nachstellung vorerst an der Fuge abgefeilt 
und dann unterlegt werden. 

Eine sehr wichtige Rolle spielt das Kreuzgelenk bei denTrieh- 
wellen vieler Sclirauhendampfcr, indem es dort benutzt wird, um 



EreuzgelenkkuppluDg für Schranbenwelten. 263 

der Trieb welle eine gewisse Biegsamkeit zu verleihen, deren sie bei 
der Kachgiebigkeit des Scbif&kÖrpers bedarf. Gewölmlich sind 
bei grossen Dampfern zwei, oft auch mehr bewegliche Kupplungen 
an der Triebachse angebracht. Ein Beispiel einer Kreuzgelenk- 
kapplung eines grossen Dampfers zeigt Fig. 302. Hier bestehen 
Fig. 302, 







alle drei Stücke aus Schmiedeisen ; eines der Endstücke ist sogar 
eiutrnmig mit der Welle hergestellt Das Mittelstück, aus zwei 
gleichen Halhringcn zusammengesetzt, bat hier im Gegensatz zum 
vorigen Beispiel die Zapfenlager an sich, während die Endstücke 
die besonders eingesetzten schmiedeisernen Zapfen tragen. Die 
Lagerschalen sind hier gar nicht aufgeschnitten, weil nur eine 
sehr geringe Abnutzung vorauszusetzen ist, da a auf alle Fälle 
klein bleibt. Wegen des letzteren Grundes haben auch die Zapfen- 
gaheln nur wenig gegenseitigen Spielraum. Man üudet die Zapfen- 
länge U gegen dl nicht gar gross, nämlich 1 bis \,2bdf; es ge- 
schieht überhaupt alles, um die Abmessungen der Kupplung einzu- 
schränken, weshalb auch R so klein als es angeht gewählt wird. 
Eine dritte Form der Kreuzgelenkkupplung zeigt die folgende 
Figur 303 (a. f. S.). Hier sind die Querzapfen als Bolzen drehbar 
in das Mittelstück und die Endstücke eingesetzt, zugleich aber 
der einfachen Ausführung halber aneinander vorbeigehend ange- 
bracht Dadurch entsteht ein Bewegungsfehler in sofern, als die 
geometrischen Achsen der gekuppelten Wellen sich bei jeder Dre- 
hung gegenseitig auch noch hin und herschieben. Bei kleinem 
Abstand der Bolzen und für weniger feine Ausführungen kann 
der Fehler unberücksichtigt bleiben. Die dargestellte Construction 



-2M Kmiz^Ieok fSr Undwirthschaftliche IhschitLen. 

nt b>n landwirdia'rhaftlicheD Maschin«ii, luunendich zur Verbin- 
Aaag der Pferdegöpel mit Arbeitemaachinen nelfach im Gebnacli. 
Ft?. 303L 




Hier ist der Zeichnung ein Proportionsriss beigefügt*). Als 
Model dient die Einheit 5 = 5 -1- -5-, wobei wieder d die Wellen- 
dicke bezeichnet. Der Pol P für die Abmessungen ist deshalb da- 
hio zu legen, wo 5 + -^ = 0, d. i., wo d ^ — 15"". Hier, wo 

der MaassHtab '/s der wirklichen Grösse, ist jig = — d = 3™° 
gemacht. 

Die durch Formel (1 10) ausgedrückte Ungleichförmigkeit der 
BewogungBÜbortragung ist in vielen Fällen unstatthaft, und zwar 
sowohl da, wo blosse geometrische Genauigkeit erwünscht ist 
(Zoigcrwerko der Grossuhren) als wo lebendige Kräfte schnell- 
bewegter Massen ins Spiel kommen (Dreschmascbineu u. a. m.). Dem 



•) Vorgl. g. 68. 



n 



Doppeltes Kreuzgelenk. 265 

Fehler kann abgeholfen werden durch Anwendung der doppel- 
ten Kreuz gelenkkupplung, welche eine geeignete Zusammen- 
stellung zweier einfachen solchen Kupplungen ist. Kuppelt man 
die treibende Welle J, Fig. 304 an die zu treibende B durch Ver- 

Fig. 304. 







t>-. 




mittlung einer Zwischenwelle C, welche mit A und B durch ho- 
mologe oder gleichgelegene Kreuzgelenke von gleichem Ab- 
lenkungswinkel verbunden ist, so wird die Bewegung von A auf B 
gleichförmig übertragen. Hierbei kann die getriebene Welle sehr 
verschiedene Lagen gegen A einnehmen, z. B. die Lage -B, bei 
welcher B von -4 um 2 a abgelenkt ist, oder die Lage Jff^ bei wel- 
cher B mit A parallel ist, oder (was nicht allgemein bekannt zu 
sein scheint) die Lage Jff' in einem Kegelmantel vom halben 
Spitzen Winkel a um die Zwischenachse C. Gleichgelegen sind die 
Kreuzgelenke , wenn die den Achsen A und B angehörigen Quer- 
zapfen gleichzeitig in den bezüglichen Ablenkungsebenen der 
Achse C von A und B liegen. In den Lagen B und B* fallen 
diese Ablenkungsebenen zusammen, bei der Lage Jff* dagegen nicht. 
Im letzteren Falle sind die Achsen A und B gegeneinander ge- 
schränkt (VergL Kap. X zu Anfang.) 

Fig. 305. 




c 



ttt 




Bringt man die Kreuzgelenke ungleichgelegen an J.undB 
an, z. B. um 90^ verdreht, wie Fig. 305 andeutet, so wird der 



266 Walzwerkkupplungeo. 

fieweguDgsfehler nicht beseitigt, sondern unter Umständen be- 
deatendverstärktjindeminletztermFalle wird: tgioi=,tgtocos*a, 
wobei 0) und »i fiir Ä und B gelten. Wäre a = 30», so erhielte 
man für a = 451:^30, ^ ('/jVF)^ = 0,75, d. i. »i = 36« 54 
statt 40" 54, wie obige Tabelle für das einfache Kreuzgelenk nach- 
weist Man hat sich also vor diesem Fehler zu hüten. 

Doppelte Kreuzgelenkkupplungen, wenn auch in unvollkomme- 
ner Form, sind auch die Walz werkkupplungen. Bei diesen ver- 
treten die abgerundeten Wülste, welche als Mitnehmer dienen, die 
Zapfenkreuze ; Ja bei sorgfältigerer Construction, wie z. B. diejenigen 
von Schaltenbrand*], finden sich die Kreuzzapfen vollBtändig 
wieder, und zwar mit Schränkung der Zapfenachsen, wie bei Fig. 303; 
das Mittelstück ist dabei in die Form der Kupplungshiilse über- 
gegangen. Bei Zulassung einer Längsverschiebung der Zwiscben- 
achse übertragen selbst die roh ausgeführten Kupplungen dieser 
Art die Bewegung ziemlich gleichförmig, da sie unter die Anord- 
nung ÄCB" Fig. 304 gehören. Auch hier hat man sich aber 
vor der verkehrten Aufstellung, welche Fig. 305 versinnllcht, in 
Acht zu nehmen *•). 

Auf Schraubenschifien ist noch eine andere recht einfache 
Art gelenkiger Kupplung für wenig veränderliche Achsenwinkel 
in Anwendung, von welcher die folgende Figur 306 ein Bild gibt 
Fig. 306. 




♦) Dingler'B P. J. Band 170, S. 23, «owie Pol. Q-ßl. 1864, S. 109. 

**) Bei der engeführten Mitlheilaog d«rScbal(enbrand'Bchen Kupp- 
lang (Biehe auch Z. d. Vereins d. Ingenien«, Bd. VIU. Tafel X.) ist gerade 
bei dem einen der angebrachten Kupplnngspaare die« nicht berückBiohtigl. 



Lösbare Zahnkupplungen. 267 

Diese Mitnehmerknpplung fordert fiir jedes Wellenende 

ein Lager, uud hat eine gewisse Beweglichkeit, welche der des 

Krenzgetenkes ähnlich und iu vielen Fällen auch als genügend 

anzasehen ist*). 



lEL Lösbare oder Aturück-Kupplmigen. 



Lösbare Zahnkupplungen. 



Die älteste und immer noch viel gebrauchte Äusrückkupplung 
ist die in folgender Figur dargestellte Zabnkupplung. 




Die durch einen kleinen Endzapfen conaxial gehaltenen Wel- 
lenenden Ä und B werden durch Ein- und Ausrücken des auf B 
gleitenden und durch zwei Federn nndrehbar gemachten Kuppel- 
stückes in und ausser Verbindung gesetzt. Model für die Abmes- 



sungen der Hülsen ist 8 = 



; eine passende Zähnezahl er- 



gibt sich anch aus der Formel ^ = 1 -j- -jrr Di^s Ein- und Aus- 



*) Eine mehr verwickelte, aber wegen ihrer Eigenichaden hinBichtlioh 
der BewegungBÜbertragung interessante gelenkige Kupptunf; für Schraabeo- 
ichifiachsen ist die von Otto Dingler, siehe Dingter'B P. J. 1866, 
ä. 197; dieselbe ist gelenkig und zagleich quer* nod längsbeweglich. 



ju^ Z&bnkupplniigeD. 

i'uck^u x^i».-hieht dnrch Hebel, welche in den Ringlalz der Hülse 

AUit' tt eingreife, und von denen die folgende Figur 308 zwei Bei- 

»t^«!«* leigt. Model für die eingescbnebenen Verhältnisse wie oben. 

Fig. 308. 




Die Kuppelzähne findet man verBchieden gestaltet. Fig. 309 
zeigt Muster von den gebräuchlicbeten Formen. Bei der ersten 




n 



ist Vorwärts- und Rückwärtsdrehung gleich gut übertragbar, doch 
die Einrückung während des Ganges nur bei langsamer Bewegung 
bequem. Bei der zweiten Form ist die Einrückung auch bei schnel- 
lem Gange leicht ausführbar, Rückwärtsdrehung aber nicht über- 
tragbar ; die Flanken für die Vomärtsbowegung weichen etwas von 
der Normalen zur Bewegungsrichtung ab, was die Ausrückung er- 
leichtert, ohne dabei — wegen der Kleinheit des Äbweichungswinkels 
— die Sicherheit des Eingerücktbleibens in Frage zu stellen. Bei 
der dritten Form sind die Zahne mit stärkeren Spitzen ausgeführt, 
s die Gefahr des Zahnbruches durch den Stoss beim Einrücken 



Reibungskupplungen. 269 

vermindert, auch oben bei Fig. 307 angewandt ist Die vierte Zahn- 
form erlaubt ein leichtes Einrücken wie die beiden vorigen und 
gestattet, wie die erste, sowohl Vor- als Rückwärtsbewegung. Die 
Spinnraascliinen zeigen eine vielseitige Anwendung schnelllaufender, 
feinzähniger und deshalb sehr genau einsetzender Zahnkupplungen. 
Auf den SchraubenschiflFen , deren Triebschraube nicht zum Auf- 
holen eingerichtet ist, muss dieselbe während des blossen Segeins 
leerlaufen, und ist deshalb mit einer Ausrückkupplung an die 
Triebwelle angeschlossen. Man wendet hier grosse ausrückbare 
Zahn- und auch Mitnehmerkupplungen, letztere dann mit 4 bis 6 
Mitnehmerzapfen versehen, an. 

§. 117. 

Reibungskupplungen. 

Die Kupplungen, deren Hälften einander durch die zwischen 
ihnen erzeugte Reibung mitnehmen , sind zum Ausrücken sehr ge- 
eignet, weil das blosse Nachlassen der die Reibung erzeugenden 
Kraft die Ausrückung schon bewirkt, und weil die Wiedereinrückung 
unter allmählicher Beschleunigung des zu treibenden Theiles, also 
unter Vermeidung von Stössen herbeigeführt werden kann. Wenn 
die Reibungskupplungen mit verhältnissmässig grossem Durch- 
messer ausgeführt werden, so eignen sie sich zur Uebertragung 
beliebig grosser Drehmomente. 

Fig. 310 (a. f. S.) zeigt eine Reibungskupplung, welche als 
Sicherheitskupplung dient, indem der Ring an A nur so fest in 
den (mit Holz gefütterten) Hohlring an B eingepresst ist, als es 
einem festgesetzten Maximum von Umfangskraft entspricht, bei 
welchem also die Ausrückung von selbst erfolgt 

Ramsbotton benutzt diese Kupplung für Walzwerke*). Mo- 
del für die eingeschriebenen Maasse ist 8=6 -j- — • 

o 

Die Kegelkupplung ist in mancherlei Formen gebräuchlich. 
Das in Fig. 311 (a. f. S.) gegebene Beispiel setzt voraus, dass die 
treibende Kupplungshälfte A drehbar auf der in und ausser Be- 



'*') Vergl. Engin eer 1866, Januar, S. 44; auch 06nie ind. Bd. 32, 
S. 101; eine ältefe Form derselben Kopplung ist bei Salzenberg, Vortr. 
S. 173, wo auch verwandte Constnictionen. 



?74 ReibnDgtkDpplDngen. 

v«^ang 70 Mtzenden Welle sitze nnd etwa durch ein Talwwjl 

du pntikUrt angegeben ist. in Umdrehnng erhalteo verde; wird 

Tig. 310. 




1 



dann «liii VürBchiöbliar auf der Welle befestigte Kupplungshalfte £ 
mit ilinini koiiiBclicii Kranz in den Hofalkegelkranz von A einge- 
jintHHt, KO crfulgt dio Mitnehmung. Das Anpressen geschieht durch 
dio Sohrnulie und das Handrad 6. Trifft man noch die Anord- 
nung, duHx di-r DrehungsBiun von B mit demjenigen dos Bades b, 



Reibungskupplungen. 271 

wenn letzteres die Anpressung bewirkt, übereinstimmt — was im- 
mer durch die Wahl entweder einer Hechts- oder einer Links- 
schraube angeht — so bringt blosses Festhalten von 6 die Welle 
zum Stillstand, während ein Anwerfen des Rädchens im Bewe- 
gungssinne die Einrückung bewirkt Beim mittleren Halbmesser 
R des Kegels und dem Anzugwinkel a ist die axial gerichtete 
Anpressungskraft Q zur Uebertragung einer Umfangskraft P 

^ _ Psina _ (PR) sin a . . 

^~~f~~ B f ^^^^^ 

wobei / den Coefficienten der Reibung zwischen den Kegelflächen 
und (PR) das von der Welle zu übertragende statische Moment 
bezeichnet, a darf nicht wohl kleiner als 10® genommen werden, 
damit kein Klemmen eintritt; /ist bei Eisen auf Eisen etwa mit 
0,15 einzuführen. Um P klein, also auch Q klein zu halten, wähle 
man R gross, z. B. zwischen 3 und 6 d. 

Die üebersetzung, welche Schraube und Handrad bedingen, 
ist noch sehr gross; sie beträgt bei der Schraubensteiguug s und 
dem Handradhalbmesser b unter Berücksichtigung der Schraubeu- 

s s 

reibunff rund 2'-z — r oder«— r, wodurch die am Handrade anzu- 
° 2no nb 

bringende Umfangskraft q auf ein kleines Maass gebracht werden 
kann. 

Beispiel, Eine schmiedeiserne Triebwelle von der Dicke d = 50*" 
überträgt bei 50 minutlichen Umdrehungen nach Tabelle §. 104, Spalte 6, 
5te Zeile 0,030.50 = i,Ö Pferdestärken oder ein statisches Moment (PB) 
= 31418>:Xmm, Mit der obigen Kegelkupplung vom Halbmesser 5d = 
U50«^^ versehen, bedarf es nach (112) eum Einrücken einer Anpressungs- 
kraft Q = ^^' ^y^' Ist a — 10^, f — 0,15, so gibt dies Q = 

OK Q /) "tyQfi 

— * -\!, ,^^^100^, Bas Handrad erhält nach den angegebenen Ver- 

0,lo 

hältnissen den Halbmesser b = i = lOÖ*»«. Ist die Schrauben- 

Steigung 6^^, so kommt die zum Einrücken erforderliche Umfangskraft q 

am Handrade: q = * ^^ . = l,9^vy^*. 

TT . 100 ' 

Für nicht zu grosse Kräfte ist die Kegelkupplung in der vor- 
stehenden oder in verwandten Formen ganz zweckmässig *). Statt 
einen Hohlkegel links und einen Vollkegel rechts kann man auch 
an beiden Stücken je einen Voll- und einen Hohlkegelstumpf an- 

*) Anwendungen derselben finden eich u. a. mehrfach an den Wind« 
werken etc. der Maschinerien am Suez-Canal, siehe Armengand, Pnbl. ind. 
Bd. 17. Tafel 9. 



272 Riffelknppliuig. 

liriDgen, diese aber snch in schmale Elemente vertheOen, wie in 

Fig. 312 angedeatet Im letzteren Falle gehen die beiden Stücke 

Fig. 312. 




in ringförmig geriefte Scheiben über, nnd das Ganze kann in die 
Form der in Fig. 313 dargestellten Riffelscheibenkupplnng 
gebracht verden. Hier ist die Kupplnng wieder anf den Wellen- 
stoes gesetzt Die Berechnung geschieht wie oben; nnr hat man 
als II nicht den äusseren Halbmesser, sondern den des Angriff- 
schwerpnnktefl der reibenden Flächen einzuführen, welcher genü* 
gend genau gefunden wird, wenn man ihn um > ^ der Riefenßäche 
Ton dem äusseren Rande abstehend annimmt. Der Riickhebel 
braacht hier nur eine sehr kleine Bewegung zu machen, weshalb 
Fig. 313. 




seine Achse in Form eines Excentriks den Zapfen der Rückgabel 
umfassen kann, wie die Figur darstellt*). 



*) Siehe ilieee Kupplang ii 
incngaud'B Vignalc dei mec, Tafel 11. 



Wendegetriebe angewandt 



Riffclscheibenkupplung. 273 

Will man mit einer Kegelkupplung der einen oder anderen 
Form starke Triebwellen verbinden und jeweilig trennen, so kann 
die AnpreBsungskraft Q nuter Umständen störend wirken, indem 
sie die getriebene Welle in deren Längenrichtung zu verschieben 
sucht und z.B. deren Lageranläufe stark gegen die Lager drückt. 
Wird Q mittelst eines getrennt gelagerten Hebels, wie bei Fig. 313, 
ausgeübt, so findet während des Ganges eine Q entsprechende 
gleitende Beibuug an dem Halsringe statt; wird dagegen Q mit- 
telst einer auf der Welle selbst sitzenden Schraubenmutter ausgeübt, 
80 entsteht ein RückwRrtsdrücken der treibenden Welle, ähnlich 
dem vorhin besprochenen, welches dort an der getriebenen Welle 
vorkam. Hatte die Welle z. B. 100""" Durchmesser, so ergibt sich 
bei einer ähnlichen Rechnung, wie die im obigen Beispiel, und bei 

B = 6 . rf = COO""" ein Axialdnick Q = 51gr2j^:IZf .^^ 065% 

der schon sehr störende Abnutzungen hervorrufen würde. Der 
Uebehtand lässt sich aber vollständig beseitigen, wenn man die 
Kraft Q statt auf Auseinandertreibung der Achsen auf Näherung 
derselben wirken lässt. Dies geschieht in der vom Verfasser con- 
struirten Riffelscheibenkupplung, welche Fig. 314 darstellt 




274 Cylinderknpplung. 

Im Querschnitt ist hier der Rand von A hakenförmig über 
den von B hingeführt. Das Handrädchen a wirkt wieder 80 wie 
das in Fig. 311; auch ist die Constniction der mit dem Rädchen 
verbundenen Schraube im Prinzip dieselbe wie dort, indem nur 
die Schraube hier soviel erweitert ist, dass die Welle durch sie 
hindurchgehen kann , und ausserdem Schraube mit Mutter ver- 
tauscht ist. Die Kupplung hat keine vorstehenden Theile, was, 
wie wir wissen, zweckmässig ist. Die Riefen sind hier wie oben 
mit einer Unterschneidung im Grunde auszuführen, wie in der Ne- 
benfigur (314) angedeutet, damit die Scheiben bei entstehender Ab- 
nutzung und Einschleifung gut zusammenrücken können. Model für 

die reinen Verhältnisszahlen ist wieder die Einheit 3 = 5-j- — • — 

Auch die einfache Kegelkupplung hat man schon so angeordnet*), 
dass Q die Wellen zusammenzieht. 

Die folgende Fig. 315 zeigt die Cylinder-Reibungskupp- 
lung oder kurz Cylinderknpplung von Köchlin. Hier ist die 
zum Mitnehmen bestimmte Keibungsfläche cylindTisch gemacht 
An den hohlcylindrischeu Theil des Stückes A werden drei erha- 
bencylindrische Backen durch radiales Auseinanderrücken der- 
selben angepresst. Die Backen sind aussen mit einem ßronze- 
beschlag versehen, welcher eine sanfte Gleitung sichert und auch 
nach starker Abnutzung erneuert werden kann. Das Andrücken 
geschieht durch Druck auf das Gleitstück 2?', wodurch die mit 
dem Hebel h verbundene Links- und Rechtsschraube bewegt wird. 
Dabei gleiten die Backen in radialer Richtung auf Führungen, 
deren Detail die Nebenfigur zur Rechten verdeutlicht. Durch 
Einstellen der Schraubenmuttern mittelst der angedeuteten Stell- 
schrauben lassen sich die Backen so setzen, dass eine Radialbe- 
wegung von etwa 1°*"*, bei grossen Ausführungen 2"", genügt, um 
die Ein- oder Auskehrung zu bewirken. Klemmung wie bei der 
Kegelkupplung ist nicht zu befürchten, da die rückwirkende ela- 
stische Kraft des Cylinderringes in der Richtung der Lösungsbe- 
wegung wirkt. Zugleich bewirkt die Einschaltung der Schrauben, 
wie bei der Kupplung Fig. 311, dass die Lösung nicht selbstthä- 
tig erfolgen kann, und die Anpressung Q an I? nach geschehener 
Einkehrung aufhören darf Man darf dafür aber den Winkel der 
Schraubensteigung nicht so gross wie den Reibungswinkel machen. 

♦) Z. B in der Werkstätte des Conservatoire d. A. et. m. in Paris. 








Cylinderkupplung. 275 

Ist s diese Steigung, b die Länge des Schraubenfaebels, so 
hat man für die Uebertragung des Momentes (PB) beim Coeffi- 
Fig. 315. 




cienten / der Reibung an den Backen, und bei Berücksichtigung der 

s P 
Schrauben reibung rund Q = 2. ' • —r oder: 

^- nh f.R ^"^* 

welcher Werth, wie das obige Beispiel lehrt, sehr klein gehalten 
werden kann. Richtet man die Sache so ein, dass li der getrie- 
bene Theil ist, so findet während der Ruhe keine Gleitung an B' 
statt. Bei senkrechter Aufstellung kann ausserdem die Kraft Q 
durch ein Gewicht ausgeübt werden, dessen Sinkenlassen dann 
mit sanftem Angriff die Bewegung einleitet Die Köchlin'sche 



276 Cylinder - RciliangsknpploDgen. 

Knpplang ist von vornherein gelungen, weil manzurCntcrbringnng 
der Theile gezwungen war, R genügend gross auch für die Herab- 
ziehung von P zu nehmen. Köchlin's erste Ausfuhrung der Con- 
struction war zur Uebertragung Ton 30 Pferdestärken bestimmt*). 
Die obigen YerbäHnisszahlen entsprechen einem ^linimum tod R; 
nichts hindert, H, wenn nöthig, grosser zu wählen. Bezugeinbeit 

ist oben nieder Ö =^ 5 ~\- -^. Eine sehr hübsche und einfache 

Form hat Bodmer derselben Kupplung (wohl ohne Anlehnung an 
Köchlin) gegeben**); auch auf Mahlgänge hat man verwandte 
Constnictionen mit Vortheil angewandt *•*). Man hat in Cylinder- 
kupi)lungen die Bremsbacken auch mit Kniehebeln angepresst. 
Ein neueres Beispiel hierzu ist die in Fig. 316 dargestellte Cylin- 
Fig. 816. 




*] NähcrcB im Bulletin v. Mülhauien 1664. 
•*) S. Fftirbairn, Mill« a. Millworka, Bd. 
•*) S. Uhland'i prakt. HMOh.-Constmcteur. 



Cylinder-Reibungskupplungen. 277 

derkupplung von Fossey*), der sie für ein Münzprägewerk 
verwendete. 

In dieser sehr gedrängten Gonstruction sind die vier Brems- 
backen ohne Bronzebeschlag ausgeführt. Die Schenkel der Knie- 
hebel gehen über die ganze Breite der Backen und sind mit nur 
halbcylindrischen Zapfen versehen, mit welchen sie den Druck 
nach aussen ausüben; für das Rückwärtsziehen der Backen sind 
schwache durchgehende Bolzen eingesetzt. Schlicssen die Knie- 
schenkel mit der Normalen zur Achse den Winkel a ein, so hat 
man unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen für die An- 
pressungskraft Q: 

Ptga_iPR)tgcc 

^--y- E T ^ ^ 

Der Winkel « kann hier, abweichend von dem Kegel winkel der 
Kupplung in Fig. 311 sehr klein gewählt werden, da ein Klemmen 
nicht zu befurchten ist Man findet a = 2 und P angewandt, 
wodurch alsbald eine bedeutende Uebersetzung erzielt wird. Bei 

a = IV4® erhalt man z. B. ^•-v^ ',^^ = -=- • 

Jr 0,150 5 

Andere Cylinderkupplungen mit Kniehebeln construirte Ga- 
rand**). Jackson und Andere treiben die Bremsbacken mit 
hydraulischem Drucke nach aussen ***). Schürmann wendet 
statt der festen Backen eine Gurte an, welche nach aussen ge- 
presstf), Napier eine solche, welche angespannt wird ff). So 
und in noch anderer Weise ist die Cylinderkupplung in der neue- 
ren Zeit mannigfach gestaltet zur Anwendung gekommen; über- 
haupt haben die Reibungskupplungen die ihnen eine Zeitlang ver- 
sagte Würdigung jetzt an vielen Stellen erfahren. 

§. 118. 

Eraitmaschinenkupplungen. 

Wenn man zwei Kraftmaschinen auf dieselbe Wellenleitung 
treibend einwirken lassen will, so vermittelt man gerne die Bewe- 



♦)S. Armengraud'8 Publ. indußtrielle, Bd. XVII, Tafel 10. 
♦*) Dingler'ß P. J. Bd. 149. S. 22. 
♦**) Dingler's P. J. Bd. 163. S. 261. 

t) S. Zeitschr. d. Vereine d. Ing. Bd. V. (1861) S. 301. 
tt) S. Engineer 18G8, Juli, S. GL 



.7 



278 Die Pouyer'sche Kupplung, 

gung beider odei" wenigstens einer derselben mittelst einer Kupp- 
lung, welche sich beim Stillestellen der betreffenden Maschine 
selbstthätig auslÖBt, während die andere Maschine noch geht, 
und sieb beim Wiederin gangkommen der Maschine aticb wieder 
selbstthätig einkehrt. Als eine solche K raftui aschinen kuppln ng 
kann jedes einseitige Sperrwerk dienen, und in der That sind die 
in der Praxis angewandten Kraftmaschinenkupplungen dem Zwecke 
angepasste einseitige SperrwCrke. Die zuerst in Anwendung ge- 
kommene Kraftmascbinenkupplung ist die von Pouyer-Quertier, 
auch kurz die Pouyer'sche Kupplung genannt Sie ist in 
Fig. 317 dargestellt. Die mannigfach verschieden ausführbare 

Fig. 317. 



inPHan 




Anordnung ist hier so getroffen , dass der von der abzulösenden 
Kraftmaschine betriebene Tbeü Ä lose auf die Welle B gesetzt 
ist A hat z, U. an seinem Umfang Radziihne, oder es sitzt ein 
Zahnrad auf der verlängerten Nabe, wie die Punktirung andeutet; 
ein Bronzefutter für Erleichterung des Ganges ist in die Nabe 
von A eingesetzt. Auf der Wolle li sitzt ein Sperrrad, in welches 
eine der beiden Sperrklinken a eingreift, wenn A treibend auf 
Ji einwirkt, die sich aber beide auslösen, wenn A stillestcht, wäh- 



o 



Die Uhlhorn'sche Kupplung. 279 

rend B weitergeht. Die Drehungsrichtung ist die durch den 
Pfeil angegebene. Das Auslösen erfolgt durch die Bremszäume 
h\ und 62? welche beim Beginn des Zurückbleibens des Stückes A 
durch die Reibung an B mitgenommen, die Hebel b und damit 
die Klinken a entsprechend drehen, bis die Ilubbegrenzungsschrau- 
ben erreicht sind. Darauf bleiben die Zäume mit A zurück und 
gleiten auf B, Kommt A wieder in eine nur sehr wenig schnel- 
lere Bewegung als JB, so halten die Zäume die Klinkhebel h auf 
und veranlassen die Klinken a, sich wieder in die Zahnlücken zu 
legen, worauf die Kraftübertragung wieder stattfindet. Damit die 
Klinken nicht an den Zahnspitzen hängen bleiben können , ist der 
Winkel y der Klinke mit der Zahnflank^ kleiner als das Comple- 
ment des Reibungswiukels zu machen; hier ist y = 60^ gemacht. 
Pouyer wendet nur einen Zaum an, und will beide Klinken gleich- 
zeitig eingreifen lassen. Hier ist durch Anwendung einer ungera- 
den Zähnezahl (13) am Sperrrad eine Versetzung der Klinken 
um 1/2 Theilung bewirkt, sodass immer nur eine eingreift, aber 
auch das Stück A niemals um mehr als % Theilung freigehen 
kann, ohne dass die Mitnehmung eintritt. Die Wichtigkeit der 
Beachtung des Reibungswinkels ist nicht immer eingesehen wor- 
den; es sind deshalb Pouyer'sche Kupplungen ausgeführt wor- 
den, bei welchen das erwähnte Haftenbleiben der Klinken an den 
Zahnspitzen eintrat und den Bruch eines oder gar aller Sperr- 
zähne nach sich zog. Es empfiehlt sich, die Klinken a aus Stahl 
zu fertigen und an der Vorderkante zu härten. Model für die der 

Figur eingeschriebenen Verhältnisszahlen ist ä = 5 -f" T * 

o 

In Deutschland häufig der Pouyer'schen vorgezogen ist die 
Uhlhorn'sche Kraftmaschinen -Kupplung, von welcher 
Fig. 318 (a. f. S.) eine Darstellung gibt. 

A ist als der abzulösenden oder einzeln stillzustellenden Ma- 
schine angehörig angenommen, B also als das getriebene Stück. 
A ist ein Hohlsperrrad, in welches die Sperrklinken oder Mitneh- 
mer h eingreifen. Das Einführen der Mitnehmer in die Zahnlücken 
von A geschieht durch die Sperrfedern a, welche sich gegen die 
Mitnehmer stemmen und sie in die Lücken leiten, sobald A schnel- 
ler als B zu gehen begirmt. Im umgekehrten Falle legen sich 
die Mitnehmer in die in B angebrachten Aussparungen, so wie 
die Figur in der unteren Hälfte zeigt, ein. Alsdann klappen die 
Sperrfedern über sie hin , wie dies bei einem gewöhnlichen Sperr- 



280 Die Uhlliorn'sclie Kupplung, 

werk beim Rückgang geschieht. Die Gelenke der Mitnehmer sind 
wieder nur als Halbzapfen ausgeführt (vergL (lg. 316) und durch 
Fig. 318. 




den Deckring und entsprechende Querschnitte in ihrer Stellung 
gehalten. Uhlhorn wandte früher nur zwei Zahnlückeu in Ä 
an, emptiehlt aber neuerdings deren vier anzuwenden, damit nur 
wähi'end einer Vierteldrehung Beschleunigung eintreten könne. 
Durch Anwendung von nur drei Lücken (im allgemeinen einer 
ungeraden Zalil derselben), gestaltet sich die Suche noch günsti- 
ger, indem die Ueschlcuiiigung dabei auf eine Sechsteldrehung 
(allgemein auf ■/] l'heilung wie oben bei Pouyer) eingeschränkt 
wird. Es steht nichts im Wege, B treibend statt getrieben zu 
machen; die Drehung hat alsdann der Pfeilrichtung entgegen 
stattzufinden. 

Wie oben bemerkt, sind die Kraftmaschinenkupplungcn Sperr- 
werke; sie können dcslialb auch zu anderen Zwecken, auch zu an- 
derer Art von Wellen Verbindung benutzt werden, z. B. sn, dass 
das eine Stück eine Zeitlang treibend und vorwärtslaufend thätig 
ist, und darauf eine Zeitlang rückwärts läuft. Ein derartiger Me- 
chanismus kommt bei der Aufwindetrommel der Selbstspinner vor; 
das Gesperre, welches dort benutzt wird, ist sehr ähnlich dem der 
Pouyer'schen Kupplung. Ja man hat Grund anzunehmen, dass 
Pouyer durch diesen Mechanismus der Spinnmaschine zu der 
Eraftnia!9chiuenkui>plung geleitet wurde. 



Verschiedene LaRerarten 281 



VIIL ZAPFENLAGER. 

§. 119. 

Theile der Lager und verschiedenen Arten der- 
selben. 

Die Constructionstheile , welche die Zapfen der Achsen und 
Wellen unmittelbar zu tragen bestimmt sind, heissen deren La- 
ger. Ist ein Zapfenlager vollständig ausgebildet, so unterscheiden 
sich an ihm: 1) die Schalen, aus Bronze oder einem ähnlichen 
Material gefertigt; 2) der meist gusseiserne, ein- oder mehrtheilige 
Lager körper; 3) die verscliiedenen nothwendigen Verbindungs- 
theile, namentlich -Schrauben. Für diese Gegenstände bedingen 
die vielen Anwendungsarten der Lager eine Reihe verschiedener 
Hauptformen und -Anordnungen. Zunächst zerfallen die Lager in: 

a. Lager für Tragzapfen oder Traglager, 

b. Lager für Stützzapfen oder Stützlager. 

Bei beiden ist die Schalenfuge womöglich ganz oder nahe 
senkrecht zur Richtung des Zapfendruckes zu stellen. Hieraus 
gehen, bei gegebener Lage des Zapfens und gegebener Stellung 
der Befestigungsfläche gegen denselben, andere Unterscheidungen 
von Lagerformen hervor, von denen die wichtigsten, zunächst für 
cylindrische Zapfen bestimmt, nachstehend behandelt sind. 

§. 120. 

Bezngeinheit oder Model für Lager. 

Die Einheit, welche bei den Lagerschalen vorkommt und 
dazu dient, deren Wanddicken, Randbreiten und Vorsprünge zu 
bestimmen, ist die schon bei den Zapfen gebrauchte Zahl: 

e = 3 + Vioo d 
während d die Weite der Schalenhöhlung bezeichnet. Für den 
Lagerkörper und die Schrauben, sowie die mit dem Lagerkörper 
zusammengepassten Flächen der Schalen gilt der Model: 

dl = 10-f l,15d (115) 



282 Model für die Lager. 

Die Schalenlänge ist bei allen Traglagem schon durch die 
Regeln für die Zapfenlänge bestimmt Bei den Traglagern, 
welche nach der vorstehenden Einheit gebaut werden, ist fiir den 
Fall, dass derZapfen ein normaler schmiedeisernerStirn- 
zapfen ist, also der Dicke d entsprechend belastet wird, vor- 
ausgesetzt, dass immer der Zapfendruck in den Lagerkörper 
hinein gerichtet sei. Wenn das Umgekehrte eintritt, d. h. P den 
Deckel von dem Rumpfe abzuheben trachtet, müssen grössere 
Abmessungen angewandt werden. Man baue dann das Lager un- 
ter Beibehaltung der angegebenen Yerhältnisszahlen nach dem 

Model : 

dl' = 10 + l,75d (116) 

wobei d den Durchmesser des 1,5(2 langen schmiedeisernen 
Stimzapfens für die Last P auch dann bezeichnet, wenn { etwa 
grösser als 1,5 ä, oder wenn derZapfen aus Gusseisen gefertigt ist 
Bei den Lagern der Balancier- Achsen für Kurbel-Dampfmaschinen 
kommt das Vorstehende gewöhnlich zur Verwendung (vergl. §.128). 
Bei den Lagern für Wellen halse benutze man im vorliegenden 
Falle den grösseren der Werthe aus (115) und (116). Bei An- 
wendung des Models d/ erhalten die Deckelschrauben des La- 
gei-8 ungefähr dieselbe Sicherheit, wie der normale schmiedeiseme 
Stirnzapfen selbst (® = 6), sind aber weniger sicher als die Be- 
festigungsschrauben nach Formel (32) werden. Der Werth d/ ist 
nach bewährten praktischen Ausfuhrungen festgesetzt; die Praxis 
erachtet also hier jene Sicherheit, die im Mittel mit derjenigen 
übereinstimmt, welche der Formel (43) §. 66 entspricht, für aus- 
reichend (vergL den lagerartigen Pleuelkopf Kap. XVI). 

Beispiel. Einem Drucke von 8000t entspricht nach Tab, §. 80 ein 
schmiedeiserner Stirnzapfen von lOWntn hei 150*»"» Länge, Soll der Druck 
in den Lagerdeckel gerichtet sein, so ist der Model dj = iO + 1,15, 100 
= 125f^m zu klein; es muss die Einheit d/ = iO + 1,75 . 100 = iöS*»« 
angewandt werden. Dabei erhalten die Deckelschrauben 37"*'^ Dicke, und 
sind etwas stärker als Formel (43) fordert. — Der gusseiserne Zapfen 
für denselben Druck erhielte die Dicke 135"^^, also nach [115) die Ein- 
heit 10 + 1,15,135 = 165«"»; auch .hier ist also beim Druck nach oben 
die Einheit 185««» zu benutzen. — Ein Wellenhals voti 170"^^ Dicke für 
denselben Druck erhält die normale Einheit dj = iO + 1,15 . 170 = 206^»*, 
was 180"»"» weit übertrifft, demnach bei dem normal ausgeführten Lager 
verstattet, den Druck in den Lagerdeckel zu richten. 




Coristruction der Zapfenlager. 
A. T r a g 1 a g e r. 



Stehlager. 

Folgende Figur zeigt ein Btebendes Traglager oder knrz 
Steblager fiir Zapfen von 30 bis zu 200'"'° Durchmesser. Die 
Fig. 319. 




Lagersohle ist parallel der Sclialenfugo, also senkrecht zur mitt- 
leren Zapfendruckriclitung , und befindet sich nahe unterhalb 
der Schalen. Lagerkörper und Deckel sind auf den Model di aua 



284 Stehlager. 

(115) bezogen, mit Ausnahme des Oelbehälters auf dem Deckel, 
welcher bei kleinen Lagern immer noch ziemlich gross ausfallen 
soll; er geht quer über den Deckel mit der äusseren Breite 0,7di. 

Die Schalenlänge hängt von der Länge des Zapfens ab, wel- 
che, wie aus §. 79 bekannt, 1,5 d, 2(2 u. s. w. sein kann. Vorlie- 
gendes Lager kann gut bis zu Z == 2 d gebraucht werden ; der bei- 
derseits vorstehende Schalcnwulst wird nämlich mehr oder weni- 
ger abgedreht, je nachdem der Zapfen bei einem und demselben 
Durchmesser kurz oder lang ist. Die Deckelschrauben haben un- 
ten einen gewöhnlichen vierseitigen Kopf; dieser ist, wie der 
Grundriss linker Hand zeigt, zwischen zwei Kjiaggen eingeschlos- 
sen, die in der Ausnehmung der Lagersohle angebracht sind, und 
die Schraube hindern, sich zu drehen. 

Die Fussschrauben sind etwas stärker genommen, als die des 
Deckels, da sie stets sehr fest angezogen werden; häufig gehen 
sie nur durch eine Sohlplatte, vergl. Fig. 413, und erhalten dann 
eine besondere Kopfform, s. §. 126. Behufs Festkeilens des Lager- 
fusses auf letztere sind die seitlichen Fussränder etwas abgeschrägt. 
Die Ausnehmung der Lagersohle erspart einestheils Material und 
liefert anderntheils die nothigen Arboitsleisten. Die Fuge zwischen 
Deckel und Lagerkörper wird bei regelmässigem Betriebe mit 
Holzscheibchen geschlossen, damit der Deckel fest aufgeschraubt 
werden darf, ohne den Zapfen zu klemmen. 

Wird ein solches Lager für einen dünneren als den normalen 
Zapfen construirt, weil der Zapfendruck in den Deckel gerichtet 
sein soll (siehe den vorigen Paragraphen), so werden Deckel und 
Rumpf in der Wanddicke stärker, als beim normalen Lager, indem 
das äussere Profil der Schale nach wie vor nach dem wirklichen 
Zapfen gerichtet wird. 

Beispiel. Der im vorigen Paragraphen ah Beispiel gewählte Zapfen 
van 100^^ Dicke erforderte für die erwähnte Kraftrichtung nach {116) 
einen Model d^' = i85»»«». Das äussere Schalenprofil im Lagerrumpfe 
erhält aber zur Breite und Höhe die Abmessung 10 + 1^15 . 100 = 125^^^ 
so dass die Wanddicke an jeder Seite um y^ (185 — i^ö)=50'»"» zunimmt. 
Die Breite des Lagers kann aber dabei unter Umständen kleiner wer- 
den müssen^ als im Normalfalle. So wird bei dem begonnenen Beispiel 
die wirkliche Zapfenlänge z=z 1,5 . 100 = 150"^»^, die Schalenranddicke e = 

(3 4" 7^) ^00 = 10, also der Maximal- Zwischenraum zwischen den 

Schalenrändern 150 — 2 . 10 = 130"*^, während das Normahnaass 
0,9 . 185 = 167^^ ausfallen würde. Der Lagerrumpf muss somit um die 

hier überschüssigen 57»»"» verschmälert werden. 



§. 122. 

ProportioDsriss des Steblagers. 

Bei den Lagern laset Bich der Proportionsnss gut rerwerthen. 
Als Beispiel ist hier vorhin behandeltes Stehlager gewählt*). 
Fig. 320. 




Die Pole 0, Oi und O-t gelten für die Zapfendicken d, die 
Pole P, P, und Pj fiir die Abmessungen, welche auf den Model 

*) Daa HauB £«cher Wyea in Zürich bedient sich sehr schön »ngo- 
feriigtor Proportion ariseo für die Lager, freilich unter Anwendung der geo 
metriichen Proportionalität aller AbmeMungen, also nnr eine» einzigen Po- 
le«, wobei aber immerhia die Methode schon sehr gute Dienste leistet. 



Stehlager. 



- 1,15 d bezogen sind, di wird = 0, wenn d = — yjk 



d, = 10 - 

= — 8,7"°". Es ist deshalb P an die Stelle zu legen, wo die 
Strahlen Oa and Ob in der vertikalen Richtung um aÄ = — 8,7"" 
auseinanderstehen. Die Schnitte der Strahlen aus wie aus P 
mit den Ordinalen I, 11 u. s. w. gehen die zusammengehörigen 
Abmessungen an. Die Schalendimensionen müssen einen eigenen 
Pol erhalten, da sie auf einen anderen Model Itczogen sind. Der- 
selbe ist e^3-|-''iMd und wird^Obeid= '— — .^"v> — 43"°". 

Wo daher der Vertikalabstand a'b' der Polstrahlen fiir d die Grösse 
— 43"" hat, sind die Pole E und Ei resp. deren Lagenlinie an- 
zubringen. Für den Oelbehätter auf dem. Lagerdeckel ist die Ab- 
messung 10+ ^ =; 10 + 0,25. 10 + 0,25. 1,15 d= 12,5 + 0,29d, 



d. i. = 4,17 (3 + 0,07 d) oder 4,1 7 e 
die Weite des Oelbebälters. 



Somit ist E auch Pol für 



Tabelle über die Oewlobte der Stehlager. 









Lager- 




Sohl- 


Deckel. 


FUM- 


ScbalcD 


Schalen 


d 




^1 




Deokd 




SchrauLen 












Körper 




platte 




2 Sl. 


l = 'Ad 


l=l,5d 


27— 30 


5 


45 


0,86 


0,35 


0,78 


0,1 S 


0,13 


0,41 


0,44 


33- 37 


6 


£3 


1,41 


0,53 


l,2ö 


0,24 


0,'20 


0,54 


0,58 


40— 45 


ti 


.6-2 


2,2G 


0,91 


2,04 


0,33 


0,28 


0,C9 


0,7Ö 


60- 55 


7 


73 


3,G9 


1,48 


3,30 


0,56 


0,47 


1,25 


1,45 


GO— 65 


3 


S5 


5,82 


2,34 


5,25 


0,81 


0,Ö7 


1,85 


2,13 


70- 75 


8 


M 


8,39 


3,38 


7,5fi 


1,14 


0,93 


2,86 


3,26 


80— 85 





loe 


10,58 


4,81 


10,77 


1,55 


1,25 


3,40 


3,86 


90- S5 


10 


11!) 


13,86 


G,25 


14,40 


2,15 


1,70 


4,37 


4,03 


100-105 


10 


131 


18,79 


8.72 


19,52 


2,85 


2,23 


5,41 


6,09 


110-115 


11 


142 


23,55 


10,02 


24,47 


3,48 


2,07 


7,41 


8,23 


120—130 


la 


lOO 


33,70 


15,53 


35,00 


4,93 


3,72 


10,33 


11,36 


140-160 


13 


lai 


50,41 


23,38 


52,38 


7,27 


5,38 


14,07 


15,40 


IGO— 170 


15 


206 


71,91 


33,3ß 


74,13 


10,57 


7,70 


17,22 


18,77 


180-190 


Iß 


229 


98,79 


45,82 


99,96 


14,13 


10,10 


21,19 


22,87 


200 


17 


240 


113,73 


52,75 


118,16 


16,23 


12,24 


27,14 


32,21 



Stehlager. 287 

Bemerkung. Bei den Fussschrauben ist angenommen, dass 
gie, wie bei Fig. 320, durch die Sohlplatte gehen. Das Gewicht 
der letzteren ist ebenfalls hier aufgenommen. 

Beispiel, Ein Stehlager für den Zapfen von 90^^ Dicke und 135^*»* 
Länge ist nach dem Vorstehenden mit der Einheit 119mm^foelche d = 95*»"» 
entspricht, zu construiren. Die ungefähren Gewichte sind dann gemäss 
der achten Zeile der obigen Tabelle die folgenden, Lagerkörper und 
Deckel 19,33^; Sohlplatte 13fi8Jc; Schalen 4,93i(; Deckel- und Fussschrau- 
ben (zusammen 4 Stück) 2,85*; mithin Oesammtgewicht 41,53ft, 



§. 124. 

Andere SchalenformeiL Holzschalenlager. 

Häufig findet man die äusseren Bearbeitungsflächen der Scha- 
len anders ausgeführt, als oben angegeben ist, z. B. achtseitig, wie 
in Fig. 321, oder cylindrisch, wie in den Figuren 322 und 323. Bei 
Fig. 321. Fig. 322. Fig. 823. 

: j • 






den letzteren beiden Formen geschieht das Einpassen in den Lager- 
rumpf bequem auf der Drehbank; doch sind zur Hinderung des 
Umschleppens der Schalen seitliche Lappen von der Länge 2 c, wie 
bei Fig. 322, oder abzudrehende Schildzapfen, wie bei Fig. 323 an- 
zubringen und in Lagerrumpf und Deckel einzupassen. Jede die- 
ser Formen hat ihre Vorzüge und ihre Nachtheile, so dass eine 
bestimmte Entscheidung für eine Form als die beste kaum thun- 
lich sein möchte. Das nur verdient festgehalten zu werden, dass 
in einer und derselben Maschinenbauanstalt stets dieselbe Scha- 
lenform angewandt werden sollte. Die Abänderungen an Rumpf 
und Deckel, welche die Schalenformen Fig. 322 und 323 erfordern, 
sind im einzelnen Falle leicht zu machen. 

Die Pockholzschalen (vergl. §. 83) müssen sehr einfach 
geformt werden. Zweckmässig ist'*') die in folgender Fig. 324 



*) Nach Professor Werner. 



288 Holzschalenlager. 

angewandte Schalen form, welcher entsprechend übrigens das ganze 
Lager eine Art von Umformung erfahren muss, wozu die hier be- 
nutzten Einzelformen und Verhältnisazabten Anleitung geben. 
Fig. 324. 




Die Schalen von Weissmetall und ähnlichen Ersatzmitteln 
der Bronze werden so ausgeführt, dass eine gusBeiseme, manchmal 
auch bronzene Pfanne ein aus dem betreffenden Metall gebildetes 
eingegossenes Futter erhält. Bei bronzener Aussenschale kann 
die Legirung in ziemlich dünner Schicht mit einem schweren 
Löthkolben eingetragen werden. 



§■ 125. 

Bumpflager. 

Manchmal zwingt der Raummangel, den Lagerfuss abzukür- 
zen, 80 daSB nur der Rumpf übrig bleibt. Derselbe wird durch 
die Deckelschrauben anf seine Unterlage geschraubt, indem man 
diese Schrauben mit einem Zwischenkopf (siehe §. G2, Fig. 153) 
versieht Manche benutzen recht zweckmässig diese Anbringungs- 
art der Deckelschraubcn auch für das ausgebildete Steblager in 
solchen Füllen, wo der Zapfeudruck abwechselnd in die Unter- 



") 



Bumpflager. 289 

und Oherschale gerichtet ist (vergl. §. 120 u. 121), indem dabei 
der Lageifaes aach durch diese Schrauben noch gebalten wird. 
Fig. 32&. 




§. 126. 
Grosses Stehlager. 
Fig. 326 zeigt ein Steblager für Zapfen von 200 bis 300™" 
Fig. 326. 




290 Grosses SteUager. 

Darehmesser. Es erhält vier Deckekchraobeii nnd eben so Tiele 
j^ussscbraoben, mit denen es anf die für sich befestigte Sohlplatte 
niedergeschraubt wird. Den Fnssschranben gibt man passend die 
in Fig. 141, §. 62 angegebene Form^) oder wohl besser noch eine 
Form, welche die in Fig. 141 mit der in Fig 143 vereinigt, damit 
man sie bei festliegender Sohlplatte wegnehmen und wieder 
einbringen kann, während der Lagerfiiss im^nstande der Fest- 
schraubung dennoch die Schraubenschäfte an Drehungen hindert. 
Lagerkörper und -Deckel sind hier mehr ausgehöhlt als bei der 
obigen Construction. Bei den Lagern der Kurbelwellen und anderen, 
rüttelnden Bewegungen ausgesetzten Lagern ist es gut, den Deckel- 
schrauben Gegenmuttern oder eine anderweite Sicherung (vergL 
§. 64) zu geben, damit dieselben nicht losgernttelt werden können« 

§. 127. 

Tabelle über die Gewichte der grossen SteUager. 













Deckel- 


F1188- 






d 


dx 


Jjajjer- 
Körper. 


Lager- 
Deckel. 


Sohl- 
platte. 


Schra 
4 St 


kuben. 
4 St. 


Schalen 


Schalen 
l — ljSd 


210 


252 


134,05 


59,70 


129,28 


19,75 


11,16 


37,41 


41,52 


220 


263 


152,40 


67,87 


146,96 


22,57 


12,81 


44,61 


49,51 


230 


275 


174,24 


77,58 


168,00 


25,86 


14,69 


51,84 


57,31 


240 


286 


192,38 


85,28 


184,68 


28,10 


15,82 


58,75 


65,24 


250 


298 


221,67 


89,72 


213,79 


31,92 


17,71 


66,29 


73,58 


260 


S09 


247,14 


110,06 


238,34 


35,47 


19,63 


74,11 


82,26 


270 


820 


274,48 


122,24 


264,71 


39,64 


22,04 


82,58 


91,66 


280 


332 


306,51 


136,51 


295,62 


44,29 


24,64 


91,08 


101,10 


290 


344 


329,22 


146,62 


317,52 


48,21 


27,10 


99,49 


110,43 


300 


355 


374,75 


166,89 


361,50 


53,64 


29,62 


108,39 


121,27 



§. 128. 

Erhöhtes Stehlager. 

Manchmal reicht das gewöhnliche 2- oder 48chraubige Steh- 
lager nicht aus, einestheils wegen seiner geringen Höhe, andem- 



*) Nach Prof. Müller* s Angabe. 



\ 



Erhöhtes Steblager. 291 

theile rein wegen der Schlichtheit der äussern Form; man bedarf 
mit anderen Worten manchmal eines höheren und ausserdem et- 
was entwickelter, reicher geformten Lagers. Dies macht sich na- 
mentlich bei der Lagerung der Balancier- Achsen für Dampßna- 
schinen fühlbar, wo die unmittelbare Unterlage des Lagers ein 
architektonisch ausgeführtes Gebälke ist Gleichzeitig ist hier 
in der Regel, bei den Kurhelmaschinen wenigstens, der Zapfen- 
druck zeitweise in die Oberschale gerichtet Das Lager muss also 
nach der Einheit in (116) construirt, und dabei in der Breite — 
der Länge des Zapfens parallel gemessen — verkleinert werden, 
wie in §. 121 an einem Beispiel erklärt wurde. Zu allem diesem 
eignet sich sehr gut das einem englischen Vorbild entnommene 
Lager in folgender Figur. Dasselbe ist so gezeichnet, als sei der 
Fig. 327. 




normale Model (115) zü Grunde gelegt, der entsprechende dün- 
nere Zapfen, welchem es zukommen würde, wenn es nach dem Mo- 
del (116) construirt gedacht wird, aber oben punktirt eingetragen. 
Zwischen Deckel und Rumpf sind trennende und doch genügend 
elastische Holzplättchen eingelegt 

19* 



Tnglager einer Scbntabenwelle. 



§. 129. 

Stetilager mit stellbarer Unterscbala 

In maocheo fallen, wo im übrigen ein Stelllager passt, und 
der Druck in die Unterschale gerichtet ist, erweist es sich als nner- 
laaslich, die abwärts stattfindende Abnotzang durch Hebnng der 
Unterschale oder des ganzen Lagerkörpers anazugleichen. Solche 
Constmctionen gehören allerdings ronriegend besonderen Mascbi- 
oen an; doch mag ein Beispiel nützlich sein, da in der Praxis 
die Genanigkeit der Beriicksichtignng der Abnntznngsrichtong im 
Zunehmen ist Das in folgender Figur dargestellte Lager ist eioem 
Scbraabenschiff entnommen. 

Fig. 32Ö. 




Der Lagerkörper ist nicht festgeschranbt, sondern mht, durch 
den Achscndmck angepresst, auf einem Keilaystem, mittelst des- 
sen er auf Höhe eingestellt und nach eingetretener Abnutzung anf- 
wärls gerückt werden kann. Die Oberschale ist mit Plantschen 
Tersehen, durch welche (hier weggelassene) Deckelschrauben in den 
Lagerkörper gehen. Die Unterschale wird durch ein Weissguss- 
futtcr, welches in den Lagerkörper eingegossen ist, gebildet 



Wechselnde Zapfendruck-Richtung. 



§. 130. 

Dreiscfaalige Stehlager. 

Bei der horizontalen Dampfmaschine nnd hie und da ander- 
wärts kommen Stehlager vor, in welchen ein Zapfendruck bald 
Dach der einen, bald nach der anderen Seite stattfindet, während 
eine dritte Pressung, vom Schwungradgewicht z. B. herrührend, 
fortwährend nach unten gerichtet ist. Man bedient sich dann, 
da das vielfach versuchte Schiefstelten der Stehlager dem Uebel- 
Btande der Oval-ÄusDutznug nur in geringem Maasse abhilft, um 
die entstehenden Abnutzungen gut ausgleichfn zu können, neuer- 
dings gern eines Lagers mit dreitheiliger Schale , von welcher 
nämlich ein Theii den constanten Vertikaldruck, die beiden ande- 
ren den abwechBelnd vor- und rückwärts wirkenden Uorizontal- 
drack aufnehmen sollen. Ein solches Lager stellt Fig. 329 dar. 

Fig. 829. 




294 Dreischalige Lager. 

Die Sohlschale mbt auf zwei Keilen , welche der Länge nach mit 
Muttergewinde vergehen sind, nm mittelst der beiden hineinragenden 
Stellschrauben an jedem Fuolcte ihrer Bahn festgestellt werden za 
können. Die Fl&nkenscbalen werden jede durch zwei andere Stell- 
schranben angeschoben, welche yermittelst einer schmiedeisemen 
Druckplatte ihre Pressung abgeben. Bei etwaigem Herausnehmen 
der Schalen werden nach abgenommenem Lagerdeckel vorerst die 
Druckplatten nach oben gezogen, worauf die Schalen genügend zu- 
rückgehen , um TOm Zapfen unbehindert nach oben heraus za 
gehen. Die Pressungen auf die Lagerflanken erfordern fiir die- 
selben die hier angewandte Verbreiterung des Lagermmpfes. 

Ein anderes Dreischalenlager*; stellt flg. 330 dar. Hier ist 
die Unterschale unrerstellbar , oder moss im Nothfalle durch Ua- 

Fig. 330. 




') Einer DampfmaBohine der Soc, Fiveg-LiUeB in Paria entnommen. 



Dreischalige Lager. 295 

terlegen erhöht werden; die beiden Flankenschalea werden durch 
Keile, welche an dem festaufgescliraubten Lagerdeckel hängen, 
angeschoben. Jeder der Keile endigt nämlich oben in eine Schraube, 
deren Mutter drehbar im Deckel befestigt ist, und ihrerseits oben 
in einen Sechseckkopf ausläuft Mittelst eines hier aufgesetzten 
Schlüssels wird sie gedreht, und darauf mit der unmittelbar auf 
dem Deckel aufliegenden Gegenmutter festgeklemmt Starke seit- 
liche Stützen machen den Lagerkörper geeignet, die Seitenpres- 
aungen, weTche vom Kolbendrucke herrühren, aufzunehmen. Häu- 
fig ist (wie auch im Original der Figur), der Lagerkörpei- mit dem 
MaschineDrabmen zusammengegossen. 

Ein drittes, leicht aasfubrbares Dreischalenlager zeigt die 
folgende Figur. 

Es dient in solchen Fällen, wo ausser i-egelmässigen Vertikal- 
presBungen nach unten und oben eiue beständig wirkende Seiten- 

Fig. S81. 




kraft auf den Zapfen wirkt Letztere würde bei einem gewöhn- 
lichen Stehlager in der FugenrichtuDg eine nicht ausgteichbare 
Abnutzung herbeiführen; hier wird dieselbe durch Anpressen der 
kleinen Seitenpfanne unschädlich gemacht Für kleine stehende 
Lokomobilen mit seitwärts wirkendem Riemenzug ist das vorlie- 
gende Lager empfchlenewerth. 



Traglager. 



. 131. 



Oabellager. 

Die folgende Figur zeigt das Gabellager, welches vorwie- 
gend als Halslager für stehende Wellen passt Hier ist die La- 
Fig. 332. 




gersohle senkrecht zur Schalenfuge und symmetrisch zu dersel- 
ben in der Nähe der Schalen angebracht Der Deckel bleibt fest 
aufgeschraubt, wenn man die Schalen herausnehmen will, indem 
nach Wegnahme der Druckschrauben die Schalen leicht seitlich 
wegzuziehen sind. Die Deckelschrauben haben Zwiscbenköpfe, 
wie beim Rumpflager, und dienen, wie dort, auch zum Festschrau- 
ben des Lagerkörpers, Vorliegendes Lager passt auf die Sohl- 
platte des Stehlagers von dem gleichen Zapfendarchmesser *). 

*) Ein dem beecbriebeneu ähnlichca Halalager, bei welchem der Bahmen 
sla ein geschloasenea GtusBtück ausgeführt ist, und die beiden NachBtellangs- 
■chraubeo von aussen durch die Wangenatücke des Rahmens eingeschraubt 
Bind, ist mitgetheilt in; The Engineer and Machiniet'a Aaaitlant, London 
1854, Tafel I. 



Trsglager. 



297 



§. 132. 

Tabelle über die Gewichte der Oabellager. 











Deckel- 


Druck- 




d 


d 


Lager- 


Lager- 


Schrau- 


schrau- 


Schalen 


*• 


**i 


Körper. 


Deckel. 


ben 
2 St. 


ben 
2 St. 


» = Vs d. 

* 


27— 30 


45 


0,95 


0,61 


0,17 


0,06 


0,61 


33— 37 


53 


1,66 


1,00 


0,26 


0,07 


0,67 


40— 45 


62 


2,60 


1,60 


0,36 


1,10 


0,87 


60— BÖ 


73 


4,06 


2,61 


0,49 


0,14 


1,56 


60— 66 


86 


6,44 


4,12 


0,71 


0,22 


2,31 


70— 76 


96 


9,28 


6,93 


1,03 


0,32 


3,57 


80—86 


108 


11,71 


7,49 


1,46 


0,46 


4,25 


90— 96 


119 


16,34 


9,81 


1,81 


0,60 


6,46 


100—106 


131 


20,80 


13,30 


2,38 


0,79 


6,80 


110—116 


142 


26,06 


16,67 


2,80 


0,95 


9,26 


120—130 


160 


37,29 


23,84 


4,32 


1,49 


12,91 


140—160 


183 


66,79 


35,67 


5,66 


1,98 


17,67 


160—170 


206 


. 79,68 


50,88 


8,40 


3,00 


21,63 


180—190 


229 


109,32 


69,90 


10,85 


9,94 


26,27 


200 


240 


126,84 


80,46 


12,66 


4,63 


33,94 



Bemerkung. Bei den Deckelschrauben ist auqji^m hinte- 
ren Ende eine Mutter nebst Scheibe angenommen und eine Sohl- 
plattendicke von 0,22 dl vorausgesetzt 

Beispiel, Es sei ein Gabellager für eine stehende Welle van 95^*» 
Durchmesser zu construiren. Ah Bezugeinheit dient dann gemäss Zeile 
8 die Grösse d| = liPww (für die Schalentheile die Wanddicke c = 3 
4- 0,07 . PS^v^iO»»». Es ergeben sich darauf nach derselben Zeile die 
folgenden Gewichte. Lagerkörper und -Deckel 25,15*; Schalen 5,46*; 
Deckel- und Druckschrauben (4 Stück zusammen) 2,41*; Gesammtgewicht 
33,02*, Erhielte das Lager eine Sohlplatte (um es etwa an einem HoU- 
bdlken zu befestigen), so würde diese nach Tabelle §. 123 Zeile 8 ein Ge- 
wicht von 14,40* erhalten, wodurch das Gesammtgewicht auf 47,42* er- 
höht würde. 



298 Traglager. 

§. 133. 

Wandlager. 

Das Waodlager, Fig. 333, ist aas dem Stehlager insofern ab- 
geleitet, als der Lagerrumpf hier ganz wie dort gebaut ist. Die 
Befestigungsplatte dagegen steht hier senkrecht «ur Scbalenfugo 
und parallel zur Zapfenachae, wie beim Gabellager, breitet sich 
aber, nur zu einer Seite der Fuge aus, wobei der Lagerkörper eine 
Eonsolform bekommt. 

Fig. 338. 




Der Lagerdeckel erhält hier, wie hei denLagera in §. 135 und 
137 genau flatselbe Modell, wie das Stehlager Ton demselben Zapfen- 
durchmesser; das nämliche gilt von den Schalen, welchen man 
also auch hier wieder eine Länge bis zu 2 ä geben kann. 

Die Deckelschrauben sind mit Gewinde eingesetzte oder durch 
Keile gehaltene Schraubstifte nach Fig. 148 und 149 §. 62. lieber 
die Gewichte der Wandlager siehe §. 136. 

Bei AasfUhrungen für die grösseren Zapfendurchmeeser gehe 
man der Ausbrecbung der Mittelwand eine verstärkende oder bes- 
ser gesagt nur verzierende Umsäumung von 0, 1 d, Dicke und 
0,4 d, Breite, letztere in der Richtung der Zapfenlänge gemessen. 
Die Wandplatte ist auf ihrem Rücken um 0,03 d, ausgenommen, 



Traglager. "SSS 

UDter BelassuDg einer riogBumlaufenden Arbeit&leiste von 0,26 di 
Breite. 

§. 134. 

Wandarmlager mit Engelsohalen. 

Das in folgender Figur dargestellte WandarmUger wird ge- 
vöhnlich als Sellers'scbeB Lager bezeiclmet, insofern es sich um 




die eigenthiimlicbe Form und Aufstellung des SchaleDgehäuses 
handelt unabhängig von Seilers und zur selben Zeit ist es in- 
dessen bei Stehelin in Thann (Elsass) durch Ingenieur Zimmer- 
mann*) und wahrscheinlich noch vorher in nur wenig abweichen- 
der Form durch Schönherr in Chemnitz construirt worden. 
Es wird auch als Hänglager , überhaupt vorzugsweise fiir Trieb- 



*) Aaa der Fabrik vo 
mit« röhrt du Origioal z 



Geschwind und Zii 
obiger Figur her. 



tahon in Karll- 



300^ Kugelschalenlager. 

wellen ausgeführt, in welchem Falle, wie bekannt, die Zapfen nicht 
als Stimzapfen aufzufassen sind. 

Die Schalen sind, um sie aus Gusseisen herstellen zu dürfen, 
mit sehr grosser Auflagefläche ausgeführt, nämlich vier Zapfen- 
durchmesser lang gemacht Die Abnutzung fallt dabei sehr klein 
aus, sodass Nachstellung der Schalen nicht vorzusehen ist. Letz- 
tere greifen an der Fuge mit Falzen (die hier wegen Kleinheit 
des Maassstabes weggelassen sind) oder mit Passstifben in einan- 
der, um Querverschiebungen der Halbschalen zu hindern. Das 
Schalengehäuse endigt in eine gusseiseme flachwindige Schraube, 
vermittelst deren das Zapfenmittel der Höhe nach genau einge- 
stellt werden kann ; auch ist der Wandabstand ein wenig verstell- 
bar, wie aus dem Querschnitt hervorgeht, sodass, da die Kugel- 
gestalt der Einpassungsstelle die axiale Einstellung der Schalen 
sichert, das Lager hinsichtlich der Aufstellung der damit verse- 
henen Triebwerke sehr bequem ist. Diese schätzbare Eigenschaft 
vdegt für viele Anwendungsfalle die etwas schvderige Herstellung 
auf. Fabrikmässige Massenanfertigung verringert übrigens die 
Schwierigkeit beträchtlich. — Am unteren Ende der Schraube oder 
seitlich an der Dille, durch welche die Schraube hindurchgeht^ 
werden Trop&chalen angebracht, welche Seilers aus Gusseisen 
in äusserst geringem Gewicht herstellt; an der Unterseite der 
Schale bemerkt man eine schmale Kippe, welche dazu dient, das 
abtriefende .Oel bis ans Zapfenende zu leiten. 



§. 135. 

Stimlager. 

Fig. 335 zeigt ein anderes aus dem Stehlager abgeleitetes 
Traglager, bei welchem die Befestigungsplatte ebenfalls senkrecht 
zur Schalenfuge und nur zu einer Seite derselben parallel der 
Stirnseite des Zapfens angebracht und danach Stirnseiten- 
lager oder Stirnlager genannt ist. 

Die Deckelschrauben werden von unten eingeschoben, was 
ihre Anbringung und Wegnahme sehr bequem macht. 

Bei Annahme von nur zwei Befestigungsschrauben für die 
Wandplatte ist vorausgesetzt, dass diese Platte seitlich zwischen 
Keilen liege und auch in der Richtung von oben nach unten noch 



Sümlager. 301 

gestötzt sei, was in der Regel gescheben kann (vei^L das folgende 
Kapitel). In Fällen, wo Bolches nicht anszufübreti ist, möchte es 
Fig. 335. 




zweclonüssiger sein, 4 Schrauben für die Platte anzuwenden. — 
Die Gewichte der Stirnlager nach Fig. 335 finden sich in der 
Tabelle g. 138. 



Anderes Sümlager. 



Ein anderes Stiralager zeigt Fig. 336 (a.f.S.). Es ist aus dem 
Gabellager abgeleitet, hat indeEsen nicht die grosse Anwendbar- 
keit der vorigen Construction. Die Deckelschranben sind mit Köpfen 
yeisehen und eingeschoben, erhalten aber an der Deckelfuge Ein- 
legeringe. Die Gewichtangaben in §. 138 beziehen sich auf das 
Lager in Fig. 335. Aus Wandlager und Stirnseitenlager lassen 
sich dadurch, dass man die Befestigungsplatte weit von der Schale 



302 Stirnliiger. 

abrückt, noch andere Lagerformen bilden, die in der That nicbt 

selten für einzelne Zwecke in der Praxis angewandt werden. An- 

Fig. 386. 




haltpunkte für solche Constructionen findet i 
den Lagerarten. 



I an den folgen- 



§. 137. 

Booklager. 

Das bockfÖrmige Traglager oder Üocklager, Fig. 337, ist aus 
dem Stehlagor Fig. 319 abgeleitet Hier ist nur die Lagersohle 
weiter von der Schale abgelegt als dort. Die Form des Bock- 
gestelles findet sieh in mannigfachen Abänderungen in der Höhe 
sowohl als in der Form vor, Dio Gesammtbreite des Fusses ist 
hier gleich der Bockhöhe gemacht, so dass die Endpunkte der 
Sohle und das Zapfonmittel in den Ecken eines gleichseitigen 



Bocklager. 303 

Dreieckes liegen. Dennoch erscheint das Passgestell, nnd zwar in 
Folge der Eioziehnng der Scbenkelproßle, TerbältnlssmäsBig schlank. 
Fig. 387. 




!♦ tiO—- .( 



Tabelle über die Oewiohte der Wand-, Stirn- und 
Bocklager. 



d 


d. 


Lft 


ger-Körper. 












WaDd- 


Stjrn- 


Bock- 




zu b O. 0. 






lager. 


Uger. 


l<tg«. 




27- 30 


45 


I,DO 


1,40 


4,90 


0,08 


0.16 


33-37 


63 


3,21 


2,57 


6,02 


0,12 


0,24 


40— 45 


62 


5,U 


4,12 


10,84 


0,18 


0,33 


60—65 


73 


8,98 


6,72 


28,96 


0,30 


0^ 


60- 65 


85 


13,26 


10,61 


33,05 


0,48 


0,81 


70— 75 


96 


19,08 


iiyiB 


47,6« 


0,61 


'l,14 


80—85 


108 


27,18 


21,78 


67,88 


0,72 


1,55 


90- 95 


119 


36,34 


29,11 


90,78 


1,11 


2,15 


100-105 


131 


49,26 


39,46 


173,05 


1,46 


2,86 


110—115 


142 


Cl,75 


49,45 


154,24 


1,85 


8,48 



302 Stürnlager. 

abrückt, DOch andere Lagerformeo büden, die in der l^t nicht 

selten für einzelne Zwecke in der Praxis angewandt werden. An- 

Fig. 336. 




haltpunkte für solche Constnictionen findet mau an den folgen- 
den Lagerarten. 



§. 137. 

Bocklager. 

Das bockfönnige Traglager oder Üocklager, Fig. 337, ist aus 
dem Stehlager Fig. 319 abgeleitet Hier ist nur die LagerBohle 
weiter von der Schale abgelegt als dort Die Form des Bock- 
gestelles findet sich in mannigfachen Abänderungen in der Höhe 
sowohl als in der Form vor. Die Gesammtbreite des Kusses ist 
hier gleich der Bockhöbe gemacht, so dasa die Endpunkte der 
Sohle und das Zapfenmittel in den Ecken eines gleichseitigen 



Bocklager. 303 

Dreieckes liegen. DeDDOch erscheint das Fasegestell, und zwar in 
Folge (lerEiDEiehtiiigderSchetikelprofile,Terbältni8BmBSB)g schlank. 
Fig. 387. 




Tabelle über die Gewichte der Wand-, Bttm- und 
Booklager. 



d 


dl 


La 


ger-K6rper. 




^ 


b. 


p 


1 


Wand- 


Stini- 


Bock. 




zu b a. a 






Uger. 


lager. 


lager. 


zu 0. 


27— SO 


45 


1^6 


1,40 


4,90 


0,08 


0.16 


33—37 


53 


3,21 


2fi7 


8,02 


0,12 


0,2* 


40- 45 


62 


5,14 


4,12 


10,84 


0,18 


o,as 


60- 55 


73 


8,93 


6,72 


28,96 


0,80 


0,66 


60- 65 


66 


13,26 


10,61 


83,06 


0,4S 


0,81 


70- 75 


96 


19,08 


16,28 


47,66 


0,61 


1,14 


80— 66 


106 


27,18 


21,76 


67,88 


0,72 


1JS6 


90— 95 


119 


36,34 


29,11 


90,78 


1,11 


2,16 


100-105 


131 


49,26 


39,46 


178,06 


1,40 


2,86 


110-115 


142 


01,76 


49,46 


164,24 


1,88 


3,48 



304 Hängelager. 

Diese Tabelle enthält .die Gewichte der Lager nach Fig. 333, 
335 nnd 337. Die Gewichte der Deckel und Schalen dieser La- 
ger finden sich in der Tabelle §. 142. 

Beispiel. Für d = 95"« und l := MSmm viegt das Wandlagtr 
mit Deckel, Schalen und SeckeUchravben gemäss Zeile 8 hier und §. 127: 
36^4 -\- 6,25 + 4,93 + 1,11 = 48,63^; da» Stirnlager 29,11 + fi^5 
+ 4,93 + 2,15 — 42,W, das Bocklager endlich 90,78 + 6,25 + 4^3 
+ 2,15 ^ 104,14*. 

§. 139. 

Rippenhäng^ger. 

Bei den Hänglagem befindet sich die Befestigungeplatte ober 
den Schalen, and meist in gewisser Entfernung Ton denselben, 
üherdiess parallel mit der Schalenfuge. Nach der Zusammensetznng 
Fig. 3Se. 




IläiiRlager. 305 

des LagerkörperB heisst das nebenstehende hängende Traglager 
Rippenhänglager, Fig. 338. 

Es trägt die Schale in einem hakenförmigen Untertheil; er- 
Btere ist eingerichtet wie bisher; der Deckel wird mit einem Keil 
angetrieben und durch die darüber liegende Klemmschraube in 
der gewünschten Stellung festgehalten. Bei den Zapfendurch- 
mesaern unter &0'°°> genügt an jeder Seite der Befestigungsplatte 
eine Schraube, welche man alsdann 0,3d|'dick nehme; die 
Scbraubendillen auf der Unterseite der Platte, welche hier behufs 
Materialereparniss ausgehöhlt sind, werden dann entsprechend 
verändert; man sehe dieserhalb übrigens das folgende Lager. Die 
Gewichte der vorliegenden Lager siehe in §. 142. 

§. 140. 

SäulenhänglaKer. 
Ilter ist die Hauptanordnung ganz wie bei dem vorigen La- 
ger , der Deckel überdies genau nach demselben Modell wie dort 
Fig. 339. 




306 Hänglager. 

geformt; nur der Lagerkörper, dessen Ilauptform dem Lager den 
Namen gibt, ist anders gestaltet Die Säule ist hohl und hat 
innen 0,55 d, Durchmesser. Bei grösseren Zapfendicken wende 
man, wie in Fig. 339 vier Befestigungsschrauben, statt deren 



§- HI- 

Gabelhänglager. 

Während bei den beiden vorigen Gonstructionen die ein- oder 
auszulegende Welle stets seitwärts bewegt werden muss, braucht 
dieselbe bei dem Gabclhänglager, Fig. 340, nur senkrecht be- 
Fig. 310. 




K v '.r 



HängUger. 307 

wegt zu werden, indem das Untertheil des Lagers sich ganz weg- 
nehmen läset; auch ist die Oberschale leicht herauszunehmen und 
nachzusehen. Die Mittelwand ist 0,\.5di dick zu nehmen. 

Pie an Holzdecken zu befestigenden Hänglager werden meist 
nicht unmittelbar an die Deckenbalken, sondern auf zwischen- 
gelegte Querhölzer geschraubt; diese dienen gleichzeitig dazu, den 
Lagern die gewünschten Deckenabstände zu geben. Lässt sieb 
damit die passende Höhe nicht erzielen, so ist selbstverständ- 
lieh dem Lager eine andere Höhe zu geben. Auch dann können 
die hier angegebenen Verhältnisszahlen, welche gleichsam dem 
Normalfalle entsprechen, verwerthet werden, indem sie immerhia 
als Anhalt dienen können. 

Sind die Hänglager an feaerstcbere, d. i. aus eisernen Trägem 
mit zwischengespannten Wölbungen construirten Decken zu be- 
festigen, so muss die Kopfplatte entsprechend umgestaltet werden. 
Eine praktische Befestigung ist die mit Hakenscbrauben Fig. 84L 



Fig. 341. 



Fig. 342. 




Die Schrauben, hier vier an der Zahl (vergL Fig. 145 §. 62), 
gehen durch Dillen, welche der Kopfplatte des Lagere seitlich an- 
gegossen sind; diese Befestigungsart vermeidet jede Schwächung 
des Trägers. Die an der Kopfplatte noch angebrachten Rand- 
leisten ermöglichen das Einstellen des Lagers durch Keile. Bei 
der Anordnung in Fig. 342, welche Fairbairn angibt, lauft die 
Wellenachse parallel dem Träger, während sie vorhin normal da- 
zu lief. Die Befestigung des Lagers an den Träger und das Ge- 

20* 



308 Hänglager, Stiitzlager. 

wölbe ist zwar etwas umständlich, indem sie die Zugänglicbkeit 
der äusseren Wölbungsfläche voraussetzt, aber auch sehr sicher. 
Der Träger wird auch hier nur mit Ilakenschrauben und Keilung 
erfasst, nicht aber durch Bohrung geschwächt. 

§. 142. 

Tabelle über die Gewichte der Rippen-, Saiden- und 

Oabelhänglager. 



« 


^ 


Lagerkörp« 


er 


Lagerdeckel 


Deckel- 
schranben 


n 


b. 


f» 


d 


^^1 


tt. 


o« 














Rippen- 


Saulen- 


Gabel- 


zu 




zuau.b 


zu c. 






hängl. 


häDgl. 


hängl. 


a und b 


zu c. 


1 St. 


3 St 


27— 30 


45 


4,85 


4,75 


4,54 


0,59 


0,75 


0,15 


0,24 


33— 37 


53 


7,94 


7,78 


7,26 


0,89 


1,14 


0,23 


0,38 


40 45 


62 


12,70 


12,45 


11,88 


1,37 


1,80 


0,36 


0,51 


50— 55 


73 


20,72 


20,31 


19,39 


2,17 


2,87 


0,57 


0,86 


60— 65 


85 


32,71 


32,06 


30,61 


3,37 


4,47 


0,88 


1^4 


70— 75 


96 


47,13 


46,19 


44,09 


4,81 


6,40 


1,25 


1,73 


80— 85 


108 


67,12 


65,78 


62,80 


6,81 


9,07 


1,82 


2,44 


90— 95 


119 


89,76 


87,96 


83,98 


9,08 


11,81 


2,34 


3,24 


100—105 


131 


121,67 


119,24 


113,84 


12,27 


16,36 


3,56 


3,28 



B. S t ü t z 1 a g e r. 



§. 143. 
Stehendes Fusslager. 



Fig. 343 zeigt ein vielgebräuchliches stehendes Fusslager. 
Seine Spurplatte ist unten flach zugespitzt, um sich genau der 
Stellung der Zapfenstirn fügen zu können. Behufs Verstellbar- 
keit des Lagers auf der Sohlplatte sind in letzterer die Schrauben- 



Stützlagcr. 
löcher in der Quere länglich, während sie im Lagcrfus 
Längenrichtung des Lagers länglich genommen sind. 
Fig. 343. 



309 
in der 




li 144. 

WandfÜBslager. 

Das folgende Fusslagcr ist aus dem stehenden ahgeleitnt. Es 
wird seitlich angeschraubt ; dabei ist seine Wandplatte stets auf 
einen untergelegten Keil zu stützen, den man 0,8 d] hoch mache, 
um nach seiner Wegnahme das Lager unter dem Zapfen wegzie- 
hen zu können, ohne letzteren aus seiner Lage bringen zu miiäsen. 
Die Ausnehmung in der Spurplattc dient sehr (;ut alsOelkauimer; 
die Abnutzung normal auf die Zapfenstirn kann durch Nachdre- 
hen der Stellschraube beiiucm ausgeglichen werden. 



8tützlager. 
Fig. SM. 




§■ H5. 

Tabelle über die Gewichte der stehenden und 
WandfusBlager. 



d 




dl 


Lagerkörper. 


Sohl- 

plalte 


FuBSBcbrauben 


SUll- 
scbraa- 


Schale 
and 
Spur- 


Stehen- 


b. 
Wand- 


aus 


za b 








Lager. 


Lager, 


zua. 


4 St. 


2 St. 


be ta b. 


platU. 


27 — 


30 


45 


1,46 


1^0 


1.37 


0,20 


0,17 


0,06 


0,66 


33- 


37 


53 


2,39 


2,95 


2,24 


0,42 


0,26 


0,14 


1,02 


40 — 


45 


62 


3,81 


4,73 


3,58 


0,59 


0,39 


0,20 


1,61 


W — 


56 


73 


6,23 


7,73 


5,86 


0,98 


0,57 


0.3-2 


2,46 


60- 


66 


85 


9,83 


11,29 


9,22 


1,34 


0,94 


0,45 


3,61 


70- 


75 


9G 


14,16 


17,56 


13,29 


2,0* 


1,29 


0,67 


5,32 


80- 


85 


108 


17,86 


22,16 


16,77 


2,50 


1,76 


0,80 


6,35 


90 — 


95 


119 


23,41 


29,04 


21,97 


3,46 


2,31 


1,15 


8,57 


100- 


1K> 


131 


31,74 


39,36 


29,79 


4,95 


3,03 


1,65 


11,28 



Stiitzlager. 



Stellbare Spurpfiume. 

Man findet manchmal, u. a. bei Ausfuhrungea belgiBcher Cod- 
Btructeure, das Fusslager einer Welle in zwei Einzel-Conetractio- 
nen, ein reines Traglager und ein reines Stützkger, aufgelöst, 
beide auf derselben Grundplatte befestigt Als Traglager kana 
das Steblager oder das Gabellager, jedesmal mit passend gerichte- 
ter Schalenfuge, benutzt werden; der andere Lagertheil, recht nahe 
dem ebengenannten angebracht, ist dann eine blosse Spurpfanne, 
welche man nun uber sowohl sehr zugänglich, als auch in der 
Abniitzungsrichtung verstellbar anbringen kann. Ein Beispiel die- 
ser auf mancherlei Art gestaltbaren Construction zeigt die fol- 
gende Figur. 

Fig 34S. 

u...- ;»fl- - „ ---l*-»^ 



Die Spurpfanne besteht aus Bronze. Sie stützt sich mit einer 
eingelegten stählernen Druckplatte auf einen stumpfen Körner, 
in welchen die Nachstellschraube endigt, und wird durch die 
prismatische Form des lose von der Schale umfassten Kopfes der 
Schraube am Umlaufen gehindert. Eine Penn'sche Sicherung 
(vergl. Fig. 168, §. 64) verhindert unbeabsichtigte Verstellung der 
Schraube in dem Untersatz, wek-her mit einigen Schrauben auf 
der Grundplatte befestigt wird. Der Model für die VerhaltnisB- 
zahloD ist der frühere. Eine Anwendung der stellbaren Spur- 
pfanne ist in §. 151. Das vorliegende kleine Stützlager ist eng 



312 Stützlager. 

verwandt mit dem eigentlichen Lager derSellers'scIien Construc- 
tionFig. 334; es ist wie jenes gelenkig aufgehäugt, auf eine Schraube 
gestützt, in der Höhenrichtung und bei ovalen Schraubenlöchern 
iu der Fussplatte auch in horizontaler Richtung verBtellbar, und 
bietet deshalb ähnliche Bequemlichkeiten wie jenes dar. 

§■ 147. 

Kamnüager. 

Zur Lagerung der Kammzapfen können die gegebenen Lager- 
körper benutzt werden. Man gebe dann nur, Fig. 346 , den Scha- 
lenrändem etwas stärkere Abmessungen als sonst, und verstärke 

Fig. 316. 



auch den Lagerkörper entsprechend der seitlichen Belastung. — 
Noch manche andere Arten von Kammlagern kommen bei Turbi- 
nen und SchraubenschifTen vor; sie sind Besonderheiten dieser 
Maschinen und künnteu desh^b hier unerörtert bleiben. Die stei- 
gende Wichtigkeit des Kammlagors lässt indessen die Mittheilung 
wenigstens eines Beispieles angemessen erscheinen. Das in fol- 
gender Figur dargestellte Lager ist einem grossen Schrauben- 
dampfer entnommen. 

Der aus congnienten Hälften gebildete Lagerkörper ruht mit 
zwei Schildzapfen in einem besonderen Untergestelle und erhält 
dadurch die wegen der Biegsamkeit des Schiffskörpers unentbehr- 
liche Gelenkigkeit*) (vergl. §. 113). Das Material des eigentlichen 

*) Es fragt sich, ob iiiuht ein volUtändig-es Kreuzgelenk ale Lagerge- 
stell empfchtenawcrlli wäre, um die durch das Schlingern cntatehendo ein- 
aeitige Belastung der Eammringe und die dadurch bedingte veraUrkte Ab- 
uüUuDg der Pfannen tu besoiligen. 



Stützlager. 313 

Lagerfuttors ist 'Weissmetall. Für ausreichende Schmierung muss 
gesorgt Bein, weshalb jeder King in jeder Hillfle ein Schmierloch 

Fig. 347. 




erhält Auf den Böcken für die Schildzapfen befindet sich gewöhn- 
lich noch ein Gestell für ein Windwerk zum Ausrücken einer nahe- 
bei gelegenen Kupplung. Hier ist dasselbe unberücksichtigt ge- 
lassen. Häufig erhält das Schraubenschiff zwei solcher Lager, 
eines dicht hinter der Maschine, ein zweites nahe beim Stern. 



§. 148. 



Mehrfache Lager. 

Bei WellenTerzweigungen ist es oft sehr zweckmässig, mehrere 
Lager aus einem Stück herzustellen, um denselben eine sichere 
gegenseitige Lage zu geben. Sehr geeignet zu solchen Vereini- 
gungen (Zwillingen) sind das Stirnseitenlager und das Wandlager, 
die sich gut aneinander schliessen lassen, sodann auch nament- 
lich das Säulenhänglager sowie auch, obwohl weniger bequem, das 
Rippenhänglager. (S. Constructionslehre für den Mascbinenbau 
§. 35.) 



314 



IX. LAGERVERBIKDUNGEN ODER LAGERSTÜHLE. 



§. 149. 



Allgemeines über die Lagerstühle. 



Die Lagerstühle haben den Zweck, einzelne oder mehrere 
Lager in einer bestimmten Stellung gegen Gebäudetheile oder 
Maschinengestelle zu erhalten. Sie werden fast nur aus Gusseisen 
gefertigt, und es soll auch nur auf die Constructionen aus diesem 
Material hier Rücksicht genommen werden. Einfache Lager- 
stühle heissen solche, welche nur ein einziges Lager zu tragen 
haben, im Gegensatz zu den mehrfachen, welche mehrere La- 
ger aufzunehmen bestimmt sind. Für beide sind beim Entwerfen 
mehr oder weniger genau die folgenden Bedingungen zu beobach- 
ten, welche namentlich dadurch hervorgerufen werden, dass in die 
unmittelbare Nähe der Lagerstühle fast immer die 2iahnräder der 
zu lagernden Wellen gelegt werden. 

1. Die Wellen sollen nicht zu fern von den Rädern durch 
die Lager gefasst werden. 

2. Die Richtung des Zapfendruckes darf bei keinem Lager 
in die Schalenfuge fallen. 

3. Wenn es angeht, sollen namentlich bei schwereren und 
schwer zugänglichen Wellen die Lager so gewählt und angebracht 
sein, dass man die Lagerschalen herausnehmen kann, ohne die 
Wellen von ihrem Platze nehmen zu müssen. 

4. Der Lagerstuhl soll das Ein- und Auslegen der Wellen 
mit ihren Zahnrädern möglichst wenig behindern. 

5. Die Zahl der Bearbeitungsebenen soll möglichst gering 
sein; alle Arbeitsflächen sollen womöglich bei einmaligem Auf- 
spannen des Stuhles auf die Hobelmaschine geebnet werden können. 



Lagerstüble. 31 5 

Wie diese Vorachiiften befolgt werden könneD, aollen die 
nachfolgenden Deispiele zeigen. 



§. 150. 

Ein&ctae LagerstüUe. 

Einen Lagerstuhl für ein Stehlager oder einen Stehlager- 
stuhl zeigt Fig. 348. Es ist angenommen, dosa das angewandte 
Fig. 348. 




Lager ein Rumpflager (nach §. 125) sei, indem diese Gonstraction 
verstattet, den Stuhl oben schmal zu halten. Die beiden Streben, 
welche hauptsächlich den Stuhl bilden, sind zur Erhöhung ihrer 
rückwirkenden Festigkeit durch einen Quersteg DE verbunden. 
Die Funkte D und E des Ansatzes desselben an die Streben be- 
kommen Btets eine gute Lage, wenn man sie mittelst folgenden 
Verfahrens aufsucht. Beschreibe über der ganzen Strebenhöhe 
AB als Durchmesser aus i^ einen Halbkreis AGB, balbireBogen 



316 Lagerstiihle. 

AGB in G; ziehe BG über G hinaus, nnd mache GH^ AF; 
verbinde endlich UmitA, und ziehe GC^HA, 80 ist^Cdor Ab- 
stand des Stegansatzpunktes vom Strebenfuss. — Die Abmessungen 
der Theile des Stuhles haben Bich nach dem Zapfendruck in dem 
Bumpflager zu richten, und können unter Berücksichtigung der 
Lagerabmessungen nach dem Gefühl bestimmt werden. Will man 
den vorliegenden Stuhl gemäss Bedingung 3. des vorigen Para- 
graphen eingerichtet wissen, so unterlege man das Lager mit einer 
sogenannten Schieblade, einer Platte, welche seitlich darunter 
weggezogen werden kann, und der man eine Höbe 0,3 di gebe, 
wenn di die Bezugeinheit des Lagers bezeichnet. 

Eine ruhigere Form als der verstehende Stuhl hat der in Fig. 349. 
Fig. 319. 




Derselbe eignet sich namentlich für bedeutendere Dimensionen, wo 
eine grosse Ruhe des Ausdruckes zweckmässig ist. — In gewisBeu 



Gothischer Lagerstuhl. 
Fig. SSO. 




318 LageistüUe. 

Fällen wird verlangt, dass das Maschinengestell reiö architekto- 
nischen Formgebungen sich anschliesse, am den passendsten Ein- 
druck zu machen; ein Beispiel dieser Art gibt der gothische 
Lagerstuhl Fig. 350 (a. vor. S.). 

Fig. 351 zeigt einen MauerlagerstahL Derselbe reicht 
durch eine ManeröSnung, durch welche die zn lagernde Welle 
Fig. 351. 




gehen soll , und entspricht in seiner Haoptform einem jener Fen- 
ster, welche in der Baukunst Ochsenaugea genannt werden. 
Der Zapfendruck wird durch das angebrachte Stimlager aufge- 
nommen, welches nach Entfernung des untergelegten Schlüssele 
weggenommen werden kann, ohne dass man die Welle bewegen 
müsste. Nicht zu übersehen ist die (punktirte) Platte, welche den 
durch die Mauer gehenden Cylinder horizontal tangirt Die einge- 
schriebenen Verbältnisszahlen beziehen sich auf die Bezugeinheit 
rf, des Lagers. 

Fig. 352 führt einen Wandlagerstuhl vor. Statt des Un- 
terlegeschlüssels von Fig. 351 ist hier ein in die Lagersohle und 
deren Gegenplatte eingelassener Schlüssel angebracht, welcher 
leicht seitlich weggezogen werden kann, vergL §. 144. Eine an 
der Wandplatte angebrachte Mauerleiste erleichtert die Befesti- 
gung des Stuhles. 

Einen leichteren Wandlagerstuhl zeigt Fig. 353. Hier ist 
ein Stehlager angewandt, dessen Wandabstand wegen des fiir die 



Lagerstühle. 319 

FaBSScfaruuben ausgesparten Schlitzes veränderlich ist Dasselbe 
Modell kann lur Lager von verschiedener Grösse benutzt werden. 





Ein kleiner ganz teickter und einfacher Wandstahl ist in 
Fig. 354 (a. f. S.) dargestellt Er ist gleichsam nur ein Wandarm 
und dient zur Lagerung leichter Vorgelegewellen. Als Wand- 



320 Lagerstühle. 

lageistuhl hat man im strengsten Sinne auch das Sellers'sche 

Lager Fig. 344 aufzufassen; der Lagerkörper mit seiner Schraube 

Fig. 3M. 

I -^ 



und den drei Muttern ist dann das abgelöste eigentliche Lager; 
statt der Bcfestigungsplatte, die man sonst anwendet, ist die 
Dille mit den Stellschrauben an dem Stuhle angebracht 

Vielfach benutzt man bei der Befestigung der Lagerstühle an 
Mauern und auf Fundamenten den Cementverguss. Wenn mau 
sich seiner bedienen will, setzt man den Stuhl sorgfaltig richtig auf 
Keile, Terstreicht die Fugen zwischen der Befestigungsplatte und 
dem darunter oder dahinter liegenden Mauerwerk mit Thon , and 
giesst sie mit dünnflüssigem Cement aus; dieser erhärtet in wenig 
Tagen genügend, um das Herausschlagen der Keile und das toII^ 
ständige Festziehen der Schrauben zu gestatten. 



§. 15L 

Mehrfache Lagerstühle. 

Fig. 355, BrückenlsgerstuhL Die Welle AB kommt von 
unten, z. B. von einer Turbine her, um ihre Bewegung an die hori- 
zontale Welle CD abzugeben. Der Zapfendrnck ist bei E senk- 
recht zur Ebene der beiden Wellen gerichtet, während er bei F 
schief nach unten geht, indem er sich dort aus dem Zahndruck 
der Räder und dem Uewicht von Rad und Welle zusammensetzt. 
Diesen Kraftrichtungen entsprechend ist bei E ein Gabelhalslager 



Lagerstühle. 'i2l 

(nach §.131), bei F ein Stirnlager (nach§. 135) mit untergelegtem^* 
Scblüssel angewandt 




A^ % 



Fig. 356, Fu38lag«rstuhl. Eine liegende Welle AB, bei 
C in einem Stirnlager laufend, überträgt ihre Kraft auf die 
rig. 36G. 




stehende Welle D, welche von einem Fusslager (nach §. 144) ge- 
tragen wird. Letzteres wird ähnlich wie das Wandlager in 



322 Lagerstüble. 

Fig. 352 durch einen eingesuliobenen Schlüesel in senkrechter 

Sichtung getragen, so dass es nach dessen Wegnahme leicht nach 

Fig. 357. 




unten gezogen werden kann. Der Bock fiir das Fosslager ist aaf 
das kastenförmige Untergestell besonders aufgeschraubt Die 



Lagerstühle. 323 

Gründungsanker des Fussgestellcs haben ihre Ifuttem im Inneren 
des letzteren. 

Eine andere Lösung der yorstehenden Aufgabe ist in Fig. 357 
gegeben. Die Welle AC iür das grosse Zahnrad endigt hier hin- 
ter dem Lagerstuhl in einen Stimzapfen, was die Anwendung 
eines kleineren Stirnlagers als vorhin bei C gestattet. Freilich 
ist dabei das Bad nicht so bequem zugänglich, wie bei der ersten 
Lösung. Die Lagerung des Königsbaumes DEF ist nach den 
in §. 146 angedeuteten Grundsätzen bewirkt, indem bei E, dem 
oberen Lagerstuhl- Rahmen angegossen, ein Gabelhalslager an- 
genommen ist, die senkrechte Stützung bei F aber durch eine stell- 
bare Spurpfanne nach Fig. 345 erfolgt. Nach vorn ist der obere 
Gesimsrahmen kreisförmig ansgebogen, sodass ein runder (guss- 
eisemer) Radachirm oder Raddeckel, welcher die Gefahr bei der 
Wartung des Getriebes beseitigt, aufgelegt werden kann. Der- 
selbe ist punktirt angedeutet Vier Grundanker befestigen die 
untere Platte auf einer Quader-Unterlage, welche auch durch einen 
mit Cement gemauerten Ziegelsockel ersetzt werden kann. Die 
beiden rückwärts gelegenen Anker gehen durch die beiden Säulen 
hindurch und verbinden dadurch zugleich Ober- und Untertheil. 
Der Grundriss zeigt, wie die cy- 
Fig- 368. lindrischen Fortsätze der Säulen 

im Gesimsrahmen festgekeilt sind. 
In der Sohlplatte sind die Säulen- 
^ H HB x^ plinthen ebenfalls festgekeilt und 

V 111 \ mit Eisenkitt eingekittet, zu wel- 

chem Ende die Sohlplatte so aus- 
genommen ist, wie es nebenste- 
hende Figur verdeutlicht. Eine 
den Säulenplinthen gleiche qua- 
dratische Plinthe dient zur Auf- 
nahme der stellbaren Spurpfanne. 
Fig. 359 (a.f.S.), Liegender Lagerstuhl für zwei stehende 
Wellen A und S, welche durch Stirnräder einander ihre Bewe- 
gung mittheilen. Die Welle A kann als von einer Turbine *) her- 
aufkommend angesehen werden, während ^alsdann einem Eönigs- 

*) In einer Spinnerei bei Cbnr irt bei einem Tangentialrad ein äbnli- 
cber Lag'entubl aofgeBtellt ; der Stuhl and die Hälfte dei ^oaien Stirnrades 
liegen in einer Bogenöffnnng der grOMen Oiebelm&uer dta Spinn ereigebäudee. 




324 Liegender Lagerstuhl, 

bäume angehört Bei A ist ein Halslager nach Fig. 336 ange- 
bracht, hei B ein Fusslager mit untergelegter Schiehlade, bo daas 
man nach Abstlitzung des Rades auf der Welle B das Lager be- 
qtteo) wegnehmen und nachsehen kann. 



Fig. 859. 

■W ' i i 



n wn n 



kmi 



I 



J 




Fig. 360, Wandlagerstuhl fiir eine atebende Welle AB, 
welche einen Theil ihrer Triebkraft an eine liegende, zur Wand 
Fig. S60. 




Wandlagerstühle. 325 

rechtwinklig gelagerte Welle DE abgibt Bei C wird ein Gahcl- 
haUlager, bei E ein Stimlager angewandt. Das horizontale Kegel- 
rad ist von dem halbkreisformigenLagcrstuhlrafanien umschlosseD, 
was theilweiso auch von dem eingreifenden Rade gilt, so dass die 
Torliegande Lagerstuhl-Consbruction auch gleichzeitig als Räder- 
scbirm dient. 

Das Wegnehmen der stehenden Wellen ist bei dieser Stubl- 
anlage nicht ganz so bequem, als es sicli bei anderer Anordnung 
erzielen lässt, macht aber immerhin keine bedeutende Schwierig- 
keiten. In einzelnen Fällen kann es angehen, den Stuhl von unten 
noch zu s*liessen und die stehende Welle mit einer halbsäulen- 
fonnig gestalteten, vor Gefahr schützenden Umhüllung zu umgeben. 

Eine einer Wand parallel laufende Welle vl£, welche an eine 
Qaerwelle i)£^ einen Thetl ihrer Arbeitstärke abgibt, kann durch 
einen Stuhl von folgender Construction. getragen werden. Für 

Fig. S61. 




die Mauptwelle ist bei G ein Stehlager angebracht, lur die Neben- 
welle bei F ein Stirnlager. Der Wandabstjvnd des Lagers bei 
G ist wieder verstellbar (vergL Fig. 353). Sind die Zahnräder 
gleichgross, so eignet sich die Construction, welche Fig. 362 (a.f. S.) 
im Grundriss zeigt. Hier wird die Achse AB bei G durch ein 
Stimlager aufgenommen. Findet die Bewegungsübertragung am 
Ende der Welle in einer Gebäudeecke statt, so geht die Construc- 
tion in die Fig. 363 (a. f. S) angewandte über; die Lager bei 



326 Waodlagerstühle. 

G und H fallen dann gleicbgross aus. Die Figuren 364 und 365 
zeigen die beiden LagerEtühle in kavalierperspectiven Ansichten. 
Fig. 863. Fig. 363. 





Manchmal hat man mitten in einem Gebäude in der Nähe der 
Decke von einer horizontalen Welle aus Querwellen zu treiben*). 
Einen hierbei brauchbaren Lagerstuhl zeigt Fig. 366. Derselbe 
fügt sich vermöge der ihn stützenden Säule in die Architektur 
eines grossen Arbeitsaales leicht hinein , und hat dabei eine ein- 



•) Vergl. Ärmcngaud, Vignole des n 



Säulenlagerstuhl. 

Fiff. 366. 




328 SäulonkgerBtahl, WandlagenituhL 

&che LageranordouDg; bei Ä nämticli ein Stirulager nach §. 135, 
bei E und F zwei Wandlager nach §. 133, bei C ein Fusslager 
nach §. 144. 

Fig. 3G7, Waudlagcrstahl für vier Lager. Eine hori- 

Fig. 367. 




zontalti Welle AB treibt die vertikale CD und zwei horizontale 
E und F mittelst Kegelrädern. Bei B ist ein Stirnlager, bei C 
ein Fusslager (nach §. 144) angewandt; die Lager bei E und 
^endlich sind Wandlagcr (nach §. 133). Alle vier Lagersohlen 
sind durch passende Wahl der Zapfendurcliniesser , welche einen 
genügenden Spielraum in Fällen wie der vorliegende stets gewäh- 
ren, in eine und dieselbe Ebene gebracht. Trotz den vielen Lagern 
gest^tet sich dadurch die vorliegende Construction, welche sämmt- 
liche Bedingungen von §. 149 erfüllt, so einfach, als man wohl 
nur wünschen kann. 



§. 152. 

Berechnung der eisernen Säulen. 

Vielfach fallt dem Maschinenbauer die Berechnung und Aus- 
führung eiserner Säulen zu, welche fast ganz zu rein baulichen 
!^wecken dienen, oder doch in nur entferntem Zusammenhang mit 
Maschinen stehen ; häufig jedoch benutzt er sie auch als Gestelltheile 
von Maschinen, oder wendet sie unmittelbar als Träger von Lagern 
an. Ihre Construction findet deshalb hier eine passende Stelle. 



Berechnung eiserner Säulen. 329 

Man berechnet die eisernen Säulen gewöhnlich auf rückwir- 
kende oder Strebfestigkeit und in gewissen Grenzfällen auf Druck- 
festigkeit; es herrscht indess hinsichtlich der ersteren Berechnung 
eine ziemlich grosse Unbestimmtheit, soweit es die Annahme der 
Belastungsweise, welche der Rechnung zu Grunde zu legen ist, an- 
geht. Von den in der folgenden Figur angedeuteten Beanspruchungs- 
arten, welche den Fällen U, III und IV des §. 16 entsprechen, 

Fig. 363. 



^^^ 




t^^^^'^^rv-» 




setzt die erste Gelenkigkeit der Säule an beiden Enden, die zweite 
solche an nur einem Ende voraus, während bei der dritten beide 
Enden als fest eingespannt angenommen sind. Die Belastungen, 
welche den Bruch drohen, sind bei: 

b. 



a. 



7C'' 



JE 



2^2 



JE 



47C9 



C. 

JE 



P P P 

wenn die Säulen prismatisch und von der Länge (Höhe) l sind, 
der Querschnitt das Trägheitsmoment J und das Material den 
Elasticitätsmodul E besitzt. Wie in §. 16 erwähnt wurde, sprechen 
Versuche dafür, dass freistehende Säulen sich wie der Stab im 
Falle c verhalten, wenn ihre Enden einfach abgeflacht sind. Wählt 
man nun die Belastung kleiner als sie dem Falle a. entspricht, 
80 ist unter allen Umständen, selbst wenn eine gewisse Gelenkig- 
keit der Enden dennoch vorausgesetzt wird, Sicherheit vorhan- 
den *)• Wir nehmen deshalb für die der Längenachse nach ge- 
richtete zulässige Belastung P: 

*) Ba meister Drewitz prüfte grusseiserne Säulen mit der Belastung 

JE 

n^ Ij- , ohne die leiseste nachtheilige Aenderung an denselben bemerken 

:za können. Erbkam 's Bauzeitung V. S. 584. 



330 Bereclmung eiserner Säulen. 

P = 0.4«'^' =3,94^ (117) 

Ist der Querschnitt ein voller Kreis vom Durchmesser d, so er- 
hält man für Gusseisen, bei welchem E = 10000: 

P = 1937 ^ ./xy 1900 ^,d = O.lbYT'^T . . (118) 

Für Schmiedeisen ist E = 20 000. Dies gibt: 

P = 38 00 ^, d = 0,13 Vri/^ . . . (119) 

i. Beispiel, Für die Belastung P = 15000 hat hiernach eine volle 

gusseiserne Säule von der Höhe l die Dicke d = 0,15 YiOOO ]/''i5ÖÖ^v^ 
105^"* zu erhalten. (Armengaud findet a. a. 0. für die vorliegenden 
Angaben d := 100^^, Bei Anwendung von Schmiedeisen käme d = 9i'"'*.J 

Je geringer die in die Formeln eingeführte Länge l ist, um 
so kleiner fallt d aus. Der Querschnitt darf aber nicht so klein 
werden, dass in ihm die Druckspannung statthafte Grenzen über- 
schreitet. Damit die Spannung im Querschnitt nicht über 6* bei 
Schmiedeisen wie Gusseisen (deren Drucktragmodel beide =15* 
sind) hinausgehe, darf man in beiden Fällen d nicht kleiner neh- 
men als: 

d = 0,46 VP 
oder die Belastung nicht grösser als > . . . . (120) *) 

P=4,71d« ) 

Diese Formeln kommen zur Geltung, wenn die obigen Strebfestig- 
keitsformeln d grösser als — bei Gusseisen oder als ^ bei 

Schmiedeisen liefern würden**). 

Nach den Formeln (118) und (120) ist die folgende Tabelle 
für runde volle gusseiserne Säulen berechnet. Sie gibt die 
Belastungen in Eil., welche den in Eingang und Kopf angegebenen 
Säulendicken und -Höhen entsprechen. 



*) Hierbei herrsoht dieselbe Tragsicherheit wie bei (118) und (119) mit 
Beziehung auf den Fall a. indem dort der Coefficient 0,4 eingeführt varde, 
hier aber die Spannung = 0,4 des Tragmoduls gesetzt worden ist. 

*♦) Genauer .. ,_ und .. _, » Das Grenzverhältniss fallt hier anders aus, 
22,b7 o2,0o 

als §. 16 far verschiedene Fälle angibt, weil dort andere Voraussetzungen 
gelten, nämlich 1) die Beanspruchungsweise genau bekannt ist oder als be- 
kannt angesehen wird, und 2) alsdann gleiche Sicherheit gegen den Bruch 
durch Zerknickung und Druck als gefordert angenommen ist. 



Berechnung eiserner Säulen. 



331 



d 


= 2000 


3000 


4000 


5000 


6000 


7000 


30 


892 


174 


98 


62 


43 


82 


85 


726 


822 


182 


116 


81 


59 


40 


1240 


530 


310 


198 


138 


102 


45 


1986 


883 


496 


818 


220 


162 


50 


3027 


1350 


760 


487 


338 


248 


60 


6278 


2802 


1576 


1009 


701 


514 


70 


11674 


5170 


2906 


1861 


1294 


942 


80 


19850 


8791 


4960 


8174 


2209 


1618 


90 


31782 


14125 


7944 


5022 


3531 


2607 


100 


*74120 


21488 


12110 


7750 


5403 


3962 


120 


♦67853 


44642 


25111 


16071 


11161 


8222 


140 


*92355 


81100 


46521 


29774 


20718 


15190 


160 


*120627 


♦120627 


79364 


50793 


85328 


25955 


180 


*152669 


♦152669 


127176 


81361 


49215 


41536 


200 


*1884Ö0 


♦188480 


♦188460 


124006 


86235 


63180 



Die mit einem Sternchen bezeichneten Zahlen in den Spal- 
ten 2, 3 und 4 sind aus der Formel (120) berechnet Diese 
schränkt dort die zulässige Belastung merklich ein. So ergäbe 
z. B. die Berechnung nach (118) für d = 180 und i = 2000 die 

zulässige Belastung P = — ' ^ — = 498636* , während nach 

(120) sich nur etwas über '/s dieses Werthes ergibt. Jenes P 
würde auch im Querschnitt eine Spannung weit über den Trag- 
modul hinaus, nämlich von nahe 20* hervorrufen. 

Hohle Säulen. Die gusseisemen Säulen werden gewöhnlich 
Fiff. 869. ^^^^ hergestellt Ihre Abmessungen ermitteln 
sich leicht durch Querschnittverwandlung aus 
denen der vollen gleichwerthigen Säule. Ist der 
lichte Durchmesser des Querschnittes du der äus- 
sere (2oi dor der vollen Säule d, so ist zu nehmen: 

^_ 1^ 

d " 




V^ - (D* 



(121). 



332 Hohle SäuleiL 

Das HöblungsTerhaliniss j- wird häofig = 0,7 bis 0^ gefunden. 
Man erhalt für: 

0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 



^ = 0,5 

Mo 



^ = 1,016 1,035 1,07 1,10 1,14 1,20 
a 



1,31 1,52 



Die Grenze der Anwendung der Strebfestigkeitsformel fallt nicht 
ganz, obwohl nahe mit der obigen zusammen. Man sehe zu, dass 
do nicht kleiner wird als: 

4, »•«V^ 



oder die Belastung nicht grösser als 

P = 4.7. *. [. - (I)] 



(122) 



Man hat bei 



1=».* 



0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 



1 — ^^y = 0,75 0,64 0,51 0,44 0,36 0,28 0,19 0,10 



1 



= 1,15 1,25 1,40 1,51 1,67 1,89 2.29 320. 



v^ - (I)' 

2. Beispiel. Obige Säule von 15 000^ Belastung, welche 105^'^ dick 
ausfieh erhält hei einem Höhlungsverhältniss 0,8 die Dicke do = 1,14 , 105 
= 1197 '^^^ 120^^^, und die Lichtweite d^ = 0,8 . 120 = 9^"", d. f. eine 

Wanddicke von 12^^. Für die Spannung ^ =z 6^ im Querschnitt dürfte 
sie nach (122) die Belastung P = 4,71,120^.0,36,^^^^24 480* tragen. So- 
9nit wären die gefundenen Werthe brauchbar, wenn man die geringe 

Wanddicke als gut im Ouss ausführbar ansehen will. Wählt man 

-^ =: 0,7, so kommen die auch wegen (122) brauchbaren Werthe d^ = 

»0 

112r"* und dl = 79"»"*, entsprechend der Wanddicke 3^,ö"*"», welche auch 
als gut herstellbar angesehen werden darf. 

Manchmal ist man in der Lage, für eine hohle Säule den 
äusseren Durchmesser do wählen zu können, alsdann bestimmt 
sich beim Material Gusseisen die Lichtweite di aus folgendem 
Ausdruck : 



Hohle Säulen. Rügelsäulen. 



333 



d, = do ]/ 1 — 0, 



000 516 






und die Belastung 



P= 1900 






(123) 



wobei P = dem Unterschied der Tragkräfte zweier voller Säulen 
von den Dicken do und di ist. 

Dabei ist aber wieder, damit die Druckspannung nicht 6* 
übersteige, darauf zu achten, dass P nicht grösser werde als: 

P = 4,71 (do« — di») 
und d| nicht grösser als: 



äi = do ]/i _ 0, 



2122 



do' 



(124) 



abgesehen davon, dass auf gute Ausführbarkeit der Gusswand 
gesehen werden nmss. 

3, Beispiel, In einem Berliner Kasemengebäude waren hohle Säu- 
len von nahe 16 900^ Tragkraft bei 3600^^ Höhe anzubringen. Man gab 
ihnen die Dicke d© = ^57^^. Dann hätten sie nach (123) die Lichtweite 

dl = 157 y 1— j^ =z 157 ,0y9499y^yl49"*"^ zu erhalten. 

Nach (124) darf man höchstens nehmen: dj = 157 W 1 J- — ^-^ 

= 0^9244 . i57/v^i45'""*. Dies würde immer erst eine Wanddicke von 
^mm li^fgrn. Machen wir daher diese jetzt nach empirischer Wahl =: 15^^, 
80 kommt d^ = 2^*""*. Man hat genommen d^ = 124"^"^. 

4. Beispiel Eine gusseiserne Säule von 4700^"^ Höhe und 235"^"^ 
äusserer Dicke hat zu tragen 125 000^ und wurde mit der Höhlungsweite 
dl = 170'^'^ ausgeführt. Wir erhielten nac h (123) für die Belastung be» 

T> r i- o* !/• *• 1 * j n^AV. 0,000 516. 125 000. 4700 
Berechnung auf Strebfesttgkett : d, = 235 y 1 -^^ 

=235 . 0ß543i^\y20r^'^, nach (124) aber nur di =235 Vi - ^'^^^^^35^ ^^ 
= 235 . 0,721u^Kyl69mm^ d, i. fast genau wie die Ausführung. 

Man sieht aus diesen Beispielen, dass man sorgfaltig alle 
Umstände zu erwägen hat, um Fehler zu vermeiden, und ein be- 



Fig. 370. 






«: 



I 



'^. 



^ 



•tt--»-*« 






/" 



i I 



griindetes Urtheil über den einzelnen Fall zu 
gewinnen. 

Flügelfläulen. Der kreuzförmige Quer- 
schnitt, welcher bei den Achsen grosse Dienste 
leistete, eignet sich auch für Säulen. Maa 
kann die Rippenhöhe und -Dicke A und h wie-* 
der einfach durch Querschnittverwandlung aus 



334 FlügelsäuleiL 

der Dicke d der gleicbwerthigen vollen Randsäule herleiten, indem 
man macht: 

. I = if ay = »■»» ii)' ■■■■ <-) 

woraus mit genügender Annäherung b bei gewähltem Profil (h) 
bestimmter ist Bezüglich der Druckfestigkeit achte man darauf^ 
dass die Quersclinittabmessungen nicht kleiner ausfallen als: 



** = Ä 



(126) 



oder die Belastung nicht grösser als: 

P= I2bh 

5. Beispiel Um die Säule aus dem 1. Beispiel in eine FlUgelsäule 
zu verwandeln, toählen wir h z= l^Öd = 1,5 , 105,/^^^158'^*^, Dann wird 

nach (125) b = '-^ — '— ..^v^ iß"". Dabei dürfte wegen der Druck' 

46t 

festigTceit (© = 6) die Belastung betragen: P = 12,18,158 = 34120t ^ 

wonach die Annahmen völlig zulässig sind. 

Für unmittelbare Berechnung von b und h hat man für 
Gusseisen: 

* - 10000 «» -p- - ^'^^^ W 

und daraus } ... (127) 

p = 3300 ^ 

soll aber wieder wegen der Druckfestigkeit nicht über die in (126) 
gegebenen Grössen gehen. 

f>, Beispiel. In dem der Zuckerfabrik in Waghäusel zugehörigen 
neuen Baffineriegebäude (erbaut 1859 bis 1860), dessen Decken durchweg 
von Flügelsäulen getragen sind, erfahren die Säulen im Kellergeschosse 
der Angabe nach 2400 Centner oder 120 000t Belastung, Sie haben 2'' 
Höhe und sind in den Flügeln 50 auf 360^* stark. Diesen Abmessungen 

entspräche nach (127) eine Tragkraft von 3300. OQOO^ ^^^1890000^, 

nach (125) aber bei der Druckspannung © = 6* nur P = 12 . 50 . 360 
= 216 000t, was aber immer noch sehr weit die gegebene Belastung über- 
steigt. Die Pfosten sind also reichlich stark; sie erfahren eine Druck- 
spannung von Q Kß qc(\ = ^Va** ^^ "^^ ^^^' betragende Probebe- 
lastung brachte erst die Spannung öVg* hervor *). 

*) DasGebäade ist auch wegen der eigenthümlichen Constinction seiner 
feuerfesten Decken bemerkenswerth. Dieselben sind in sechs Stockwerken 
mit Kreuzgewölben, und in den beiden obersten mit den gebräuchlichen 
Kappengewölben eingedeckt, und werden von nahe 500 Flügelsäulen getra- 
gen. Der ganze Innenbau ist dabei lose zwischen die nur mit Querankem 
angehängten Mauern gestellt. S. Förster's Bauz. 1861. S. 93. 



Gekuppelte Säulen. 335 

Gekuppelte Säulen. Oftmals kommt es in Frage, ob es bei 
sehr bedeutender Belastung zweckmässig hinsichtlich der Mate- 
rialersparniss sei, statt einer Säule deren zwei oder mehr auf- 
zustellen. Wendet man m Säulen statt der einen an, so findet 
sich unter der Voraussetzung, dass auf Strebfestigkeit be- 
rechnet werden muss, bei Annahme geometrisch ähnlicher 
Querschnitte für das Verhältniss der Körperinhalte V^ und V: 

Fl = V^r (128) 

d. h. die gekuppelten Säulen brauchen VmmBl so viel Material 
als die einzelne Säule. Es ist also hinsichtlich des Materialver- 
brauchs für Säulen günstig, wenige stark belastete Säulen 
zum Tragen einer gegebenen Last zu verwenden. 

7. Beispiel. Auch aus der obigen Tabelle lässt sich dies entnehmen. 
Wählt man z. B, zum Tragen von 1294^ bei 6"* Säulenhöhe eine volle 
runde Säule, so hat diese nach Zeile 8 die Dicke 70^"^ zu erhalten, 
während bei 4 Säulen von je 50'»»» Dicke die Gesammtlast = 4,338 = 
1352^, also nahe ebenso gross wird. Die Querschnitte verhalten sich aber 

wie 4*50^:70^, d. i. wie 100:49 oder sehr nahe wie 'V4:l. 

Verminderung der Säulenhöhe wirkt bedeutend auf den Ma- 
terialverbrauch ein, da sich nach (118) die Quer- 
schnitte gleichbelasteter ähnlicher Säulen, wenn 
sie auf Strebfestigkeit zu berechnen sind, direkt 
wie die Höhen (Z) verhalten. Dieser Umstand 
vermag die Auflösung einer Säule in mehrere ge- 
legentlich zu rechtfertigen, wenn nämlich eine 
Höhenverminderung damit verknüpft werden kann. 
So z. B. sind nach Obigem die dreistäbigen Eisen- 
kerne nach Fig. 371, welche manche Architekten 
in Ziegelpfeilern anbringen*), noch immerhin vor- 
theilbafter als einfache Stäbe, indem hier das 



Fig. 371. 




Volumverhältniss = 



V^ 



2 



d.i.-!-^= 0,866 ausfällt 



Endlich ist noch zu bemerken, dass die Säulen, welche man 
in Maschinengestellen angewandt findet, meistens weit stärker aus- 
geführt sind, als die obige Berechnung sie liefert Dies erklärt 
sich daraus, dass solche Säulen' oft auch noch biegenden und Zug- 
kräften ausgesetzt sind, auch vielfach Erschütterungen auszuhaJ- 
ten haben, sodass die grössere Materialverwendung in der Regel 



*) Pfeiler des Yestibüls im Theater zu Karlsruhe. 



336 SäuleDrüsse. 

gerechtfertigt ist*). Namentlich ist zn beachten, dass gosseiseme 
SäuleD, die auf Zag beansprucht werden, wie die Gestellaäulen 
stehender Dampfmaschinen, zum mindesten mit dem Doppelten 
des aas (120), (122), (124) und (126) erhaltenen Querschnittes aus- 
zufuhren sind. Bei Gebäuden findet man manchmal auch die 
Sicherheit grösser gewählt, als unsere Rechnung that, wie das 
Beispiel 6. zeigte; miinchmal jedoch auch wird die Tragkrafl; in 
noch höherem Maasse ausgenutzt, als wir annahmen. 



Formgebung der eisernen Säulen. 

Die Säulen, welche als Maschin engestelltheile dienen, werden 
entweder mit bekannten Mitteln auf eisernen Grundplatten be- 
festigt, oder sie werden, wie die nls Gebäudetheile wirkenden 
Säulen auf Mauerwerk oder Quader gestellt. Ganz schwer be- 
lastete Gebäudesäulen werden manchmal mit einfacher Unterle- 
gung einer Bleiplatte ohne weitere Befestigung auf einen Sockel- 
Stein gesetzt. Hat man aber ihre Stellung mehr zu sichern, so 
wird eine Verankerung mit dem Sockel hergestellt Die folgenden 
Figuren zeigen drei Arten solcher Befestigungen. Die SohlfiächO' 
Fig. 372. Fig. 373. Fig. 371. 




*] So bei Mühlen, wo die das Müblengebiet tragenden Sänien eine 6- 
bi» 6ma] grösBere Sicherheit gewähren, ala wir oben anführten, und wo 
man wegen der Vibrationen doch die Abmenangen nicht gern Terkleinert. 



Säulenfüsse und -Kapitale. 337 

der Säule liegt in allen drei Fällen unterhalb des Estrichs. Bei 
dem ersten ist eine besondere Sohlplatte mittelst eines Grund- 
ankers mit einem Ziegelsockel verbunden, beim zweiten eine der 
Säule angegossene Fussäantsche mit Steinschrauben an den Quader- 
sockel befestigt. Die dritte Construktion (Borsig) wird so ge- 
braucht, dass der mit dem Grundanker auf die glatte und geebnete 
Sohlplatte befestigte Cylinder, welcher in dem hohlen Säulenfuss 
einen gewissen Spielraum hat, nach genauer Einstellung der Säule 
mit Blei umgössen wird. Es ist zu dem Ende Im Säulenfuss ein 
Eingussloch ausgespart. 

Der über dem Estrich vorstehende Theil des Säulenfusses 
wird mehr oder weniger nach den Stilformen der Baukunst ge- 
staltet In Fig. 372 ist nur eine einfache runde Platte zwischen 
Plintbe und Säulenschaft eingeschaltet; bei Fig. 373 ausser dieser 
ein runder Wulst. In Fig. 374 ist die sogenannte attische Ba- 
sis mit zwei Wülsten und der Einziehung (Trochilus) zwischen 
demselben nebst den trennenden Flättchen benutzt. 

Das Kapital der Säulen wird in construktiver Beziehung 
je nach der herzustelleudeu Verbindung in vielfach abgeänderter 
Form ausgeluhrt. Fig. 375 zeigt in Durchschnitt und Seiten- 
ansicht die Verbindung eines Säuleukopfes mit einem Holzgebälk 



I^-476. 




und dem Fusse der im nächsten Stockwerk anhebenden Säule. 
Ein Kasten über dem Kapital nimmt den Unterzug auf , der hau- 



338 Kapitale. 

fig gerade in dem Kasten eeioe Stossfuge hat. Bei Anwendung 
eiserner Unterziige wird der Kasten entsprechend schmäter. Die 
nächstfolgende Säule setzt sich mit einer FlantecbenTerhindnng 
auf den Kasten auf*). 

Die Kapitälformen werden in stilistischer Beziehung mit 
vieler Mannigfaltigkeit behandelt, und bieten auch dazu Tiel Ge- 
legenheit, die von manchen weniger benutzt wird, als sie verdient. 
Die Baukunst liefert hier eine reiche Fülle von Vorbildern, welche 
bei richtiger Auswahl auch mit sehr einfachen Mitteln Schönes 
hervorzubringen gestatten. 

Für die unteren Stockwerke grosser Fabrikgebäude und für 
schwerbelastete Eisensäulen überhaupt eignet sich gut das einfache 
Würfelkapitäl, welches in romanischen Bauten eine so vielfache 
Verwendung findet Fig. 376 stellt ein solches dar **). Ebenfalls für 
schwerbelaEtete aber schlankere Säulen geeignet ist das norman- 
nische Kapital, Fig. 377. Etwas leichter und belebter ist das 
gewissen gothiscben Kapitalen***) unter Vereinfachung nach- 
gebildete in Fig. 378. In allen drei Fällen ist die Modellirung 



Fi?. 376. 



Fiitr. 877. 



Fig. 378. 




und Gussherstellung ein&ch. Am meisten in Maschinenbanten 
verbreitet ist das in Fig. 379 dargestellte zwischen der römisch- 

•) Andere verwandte Construktionen undZubehörfiodetmMi inBrandt'i 
EiEencoBBtruktionen. Berlin I8C5. 

*•) Angewandt unter anderen in den Werkstätten de« österr, Lloyd in 
Trieit, auch im kk. Artenal zu Wien, beidemal vielleicht bei zo Kblanken 
VerhMtnigien der Säulen. 

•••) Unter anderen im Tower in London. 



Kapitale. 339 

dorisctiGn und toskaDischen Ordnung liegende Kapital mit 
einem Echinus unter einer quadratischen Deckplatte (Abakus) 
und dem den Schaft vom Kapital scheidenden Rundstab (Ästragal). 
Durch Streckung und Kürzuiig des Abstandea des letzteren vom 
Echinus kann man der Schlankheit oder Gedrücktheit der Säule 
leicht Rechnung tragen. Die strengen Formen des griechisch- 
dorischen Stiles passen nicht für Eisensäulen, weshalb man sie, 
die so vollkommen den Steinstil an sich tragen , auch selten in 
Maschinenbauten findet, und mit Recht vermeidet. 

Fig. 379. Fijf. 380. Fig. 381. 




Besser passen dagegen ftir die Eisenbauten die korinthischen 
Säulen von der einfachen und graziösen Gestalt, welche in Fig. 
80 wiedergegeben ist. Das Kapital ist durch einen Kranz von (21) 
Blättern, unten ausgekehlt, oben gewölbt, gebildet, und durch 
einen Ästragal vom Schafte getrennt. Lässt man das Ornament 
weg, wie in der rechten Hälfte der Figur geschehen ist, so erhält 
man eine ebenso wirksame als einfache Kapitalform (vergL Fig. 357). 
Selbst mit der Kannelirung lüsst sich das Kapital wenigstens fiir 
einzelne Fälle rechtfertigen, wenn man bedenkt, daes in Deutsch- 
land die Kannelirung des Säulenschaftes sogar beliebt ist, wenig- 
atens nicht gescheut wird. Das geriefte Kapital ist leicht aus- 
führbar, wenn man es als Kapsel, welche bei dem Anfang der 
Riefen über dem Ästragal beginnt, für sich giesst, und über den 
Kern der Säule stülpt. Fig. 381 zeigt ein den Renaissance- 
Formen sich annäherndes Kapital mit achteckigem Abakus, für 
leichte schlanke Säulen wohl geeignet. 

Der AnschluBB an Gebälke, eiserne wie hölzerne, bedingt 
manchmal die Einschiebnng einer länglichen Platte zwischen Säule 

28» 



340 KnpitüIforiueD. 

und Gebälk, die bei aller Einfachheit doch stilgerecht behandelt 
werden kann. Fig. 382 zeigt die Anwendung einer Eolchen Zwischen- 
lage auf das Würfelkapitäl , also in der Bestimmung fiir schwere 




._-,^?::r.~"-Äi1iÄS3WGa6r^ 



massige Construktionen. Fig. 363 stellt ein leichteres Kapital dar, 
bei welchem das Oberstück behufs Aufnahme eines Balkens kasten- 
förmig erweitert ist; Fig. 384 eine noch schlankere und leichtere 
ConstruktioD. Diese Figur zeigt zugleich die Anwendung eines 
hohen Stjlobates oder Sockels tiir die in sehr schlanken Ver- 
hältnissen aus zuluhr enden Säulen. Dieser Sockel wird, wie hier, 
manchmal achteckig im Querschnitt gebildet, was sich der gothi- 



Flügelsäulen. 341 

Beben Stilbildung nähert Vielfacb aber findet man auch diese 
Sockel rund. Der Säulenschaft wird der Uebung der Architektur 
gemäss nach oben verjüngt ausgeführt. Verjüngung auf 0,8 bis 
0,7 der unteren Dicke, welche bis zu etwa 1/3 der Höhe beibehal- 
ten wird, liefert angenehme Verhältnisse *). 

Die schon oben besprochenen Flügelsäulen sind in industriel- 



Fig. 385. 



Fig. 386. 



^>^««^^ 




Fig. 387. 





a 



♦) Die in einer grossen rheinischen Maschinenfabrik ausgeführte Ver- 
jüngung der Säulen nach unten (Tischfuss) zeigt wohl, dass die Praxis 
oft weit weniger spröde gegen das Stilisiren ist, als sie vorgibt, kann aber 
wohl nur den Anspruch auf Originalität, nicht auf Stilrichtigkeit machen. 



342 Riemenscheiben. 

len Gebäuden nicht ganz selten angewandt. Man fuhrt für sie 
im Vergleich zu den hohlen Säulen an , dass sie nicht wie diese 
durch Excentrischwer den des Gusskernes mangelhaft werden können, 
oder wenigstens , dass ähnliche Gussfehler an ihnen nicht verbor- 
gen bleiben können. Die Figuren 385 bis 387 (a. v. S.) stellen solche 
Flügelsäulen dar. Fig. 385 eine solche aus den Kellern der Bahn 
von St Germain. liier ist der Schaft von unten bis oben geflü- 
gelt und daselbst leicht in Fuss und Kapital übergeführt; zu- 
gleich eine Säulenschwellung genau in die Mitte verlegt Weit 
eleganter sind die Flügelsäulen, welche Rolland in der Tabacks- 
manufaktur in Strasshurg anwendete, siehe Fig. 386. Hier ist 
in einem Stockwerk der Flügelsäule ein vierkantiger Sockel un- 
tergestellt, im folgenden Sto.ckwerk fehlt dagegen dieser Sockel. 
Die Verbindung zwischen Sockel und Säule unter, wie die zwischen 
Kapital, Gebälk und der nächsten Säule oben zeigt Fig. 387. 
Man sieht hier, dass die Flügelsäule auch in angenehm wirkender 
und zugleich solider Form verwendet werden kann. 

Die gegebenen wenigen Beispiele mögen genügen, auf dem 
anziehenden und soviel Mannigfaltigkeit gewährenden Gebiete der 
Formgebung der Säulen wenigstens einen Anhalt für diejenigen 
zu geben, welche Werth auf die Schönheit der Maschinenbauten 
legen. 



X. RIEMENSCHEIBEN ODER ROLLEN. 

§. 154. 

Einfheilung der Räder. 

Die Räder, welche in den Maschinen zur Bewegungsüber- 
tragung gebraucht werden, um Drehungen zu übertragen, zerfallen 
in zwei Hauptklassen: 

1. Reibungsräder; 2. Zahnräder, 
je nachdem die Kraftübertragung nämlich bewirkt werden soll: 
entweder durch die Reibung an den glatten Umfangen der als- 
dann durchgängig als Drehungskörper gestalteten Räder, oder 
durch das Ineinandergreifen von Zähnen und Zahnlücken an den 
Radumfängen. 



Reibungsräder. 343 

Jede der beiden Hauptklassen zerfallt wieder in zwei Unter- 
abtheilungen: 

a. direktwirkende; b. indirektwirkende Räder, 
je nachdem nämlich die Kraftübertragung von einem Rade ent- 
weder unmittelbar auf das andere, oder unter Vermittelung eines 
Zugkraftorganes (Seil, Band, Kette) geschehen soll. Demnach 
kann man folgende vier Gattungen von Rädern zur Drehungsüber- 
tragung unterscheiden: 

I. Direktwirkende Reibungsräder, auch Reibungsräder 
oder Reibräder schlechthin genannt; 

II. Indirektwirkende Reibungsräder, Riemscheiben , RoIt 
len, Seilräder; 

HL Direktwirkende Zahnräder, schlechthin [Zahn- oder 
Kammräder genannt; 

IV, Indirektwirkende Zahnräder, Kettenzahnräder oder 
Kettenräder kurzweg genannt 

Weitaus am meisten angewandt sind die zweite und dritte 
Gattung, weshalb auch diese im Folgenden mit Vorzug behandelt 
werden. 



§. 155. 

Cylindrisohe und konische Reibräder. 

Die cylindrischen Reibungsräder, Fig. 388 (a. f. S.), müssen 
behufs Ueberwindung eines Ümfangwiderstandes P mit einem 
Drucke Q radial zusammengepresst werden, welcher bei dem 
Reibungscoefficienten / am Radumfange ist: 

Q = j (129) 

Der Coefficient / hat dabei folgende Werthe: 

für Eisen auf Eisen .... 0,10 bis 0,30 
für Holz auf Eisen .... 0,10 bis 0,60 
für Holz auf Holz .... 0,40 bis 0,60. 



344 



Reibräder. 



Die kleineren Zahlen sind zu benutzen, wenn auf Fettigkeit 
und grosse Glätte der Reibflächen zu rechnen istj was der gewöhn- 
liche Fall ist 

Von der Kraft P geht ein nicht unbeträchtlicher Antheü 
(3 bis 10 Procent), welcher mit den Zapfendicken zunimmt, auf 
die schädlichen Widerstände der getriebenen Welle. Die gross- 
artigste Anwendung der cylindrischen , oder doch wie solche wir- 
kenden Reibräder findet bei den Lokomotiven statt; die Entwick- 
lung des Eisenbahnwesens beruht geradezu auf dem schlichten 
Reibrädermechanismus. Andere Anwendungen finden bei einzel- 
nen Aufzügen, bei Holzbearbeitungsmaschinen an den Speisevor- 
richtungen, bei Spinnereiapparaten u. s. w. in mannigfachen For- 
men und sehr zahlreich statt 

Die Abmessungen der Reibräder richten sich einestheils nach 
dem statthaften Maximum des Flächendrackes an den Radumfan- 
gen *), anderentheils nach der Beanspruchung des Radkranzes und 
der Arme durch die Kraft Q. Kranz und Arme müssen bei gleicher 

Fig. 388. Fig. 389. 





Umfangskraft P und übrigens gleichen Abmessungen in den Quer- 
schnittmaassen etwas stärker genommen werden, als bei den Riem- 
scheiben (s. §. 166). 

Bei den konischen Reibrädern, Fig. 389, ist der Druck Q 
(mit genügender Genauigkeit) als in der Mitte der Kranzbreite, 
normal zur Kegelfläche gerichtet anzunehmen. Die Zahl der An- 
wendungen konischer Reibräder ist gering **). 

*) Die Radumfange platten sich an der Dmckstelle ab. Nach Kr aus s' 
Versuchen hatte ein mit 55001^ belastetes Eisenbahnwagenrad mit Gussstahl- 
reif 264mm2 Auflagefläche auf der (eisernen) Schiene, ein mit 3750^ belaste- 
tes 156mm2 (Schweiz, polyt ZeiUchrift 1866, S. 65). 

♦♦) Die Anwendung von Reibungsrädem in Form von Plankegeln im 
Triebwerk von Appreturmaschinen siehe Verhandlungen des Vereins für 
Gewerbfleiss in Preussen 1866. S. 39. 



§. 156. 

Eeilräder. 

Die Keilräder sind Reibräder, deren Kranzprofile keilförmig 
ineinandergreifen. Sie wurden in Italien durch Minotto, in Eng- 
land durch Robertson besonders ausgebildet, woher sie häufig 
nach diesen Namen benannt werden; vorzugsweise werden sie als 
Stirnräder (für parallele Achsen) gebraucht, DieKranzquerschnitte 
für ein einfaches Keilrädsrpaar zeigt Fig. 390. Der Radialdruck 
Q fallt hier weit kleiner ans, als bei den cylindrischen Beibrädern, 
nämlich bei einem Keilwiokel 0'- 

Q = p[^l (130) 

Ein Nachtheil , und zwar Ursache starker Reibungen ist der 
Umstand, dass nur in einem cylindrischen Schnitte durch jeden 
Kranz die berührenden Kreise auf einander nnrwälzen; derF^ler 
Tig. 390. Fig. 391. 




wir^aher um 60 kleiner, je kleiner die Kopflängen/; und %i der Keile 
im Verhältniss zu den Radien R and Bi sind. Um unter gleichem 

Flächendrucke -^ und -^ möglichst klein ausführen zu können, 

macht man die Keilräder mehrfach, siehe Fig. 391. Der Winkel 
6 wird vielfach 30*, bei Robertson noch kleiner gewählt. Starke 
Erwärmnng und Abnatzung sind bei grossen Umfangsgeschwindig- 
keiten unvermeidlich. Minotto hat mit besonderer Vorliebe 
auch die konischen Keilräder praktisch za machen getrachtet; er 



346 Keilrader. 

gibt ihnen nur eine Rinne und richtet diese zum Xachstellen ein, 
so dass das eingreifende Keilprofil genan an derselben Stelle zum 
Eingriff gebraucht werden kann. Robertson macht die Rinnen 
wie bei den Stirnrädern fest, d. h. nnrentellbar. Aach anf die 
LokomotiTe hat man den Keilrädertrieb angewandt, nnd damit im 
Modell steile Rampen überwnnden. Die Abnutzung tritt aber 
hier zu störend in den Weg. In Amerika benutzt man die Keil- 
rader mit Erfolg seit Jahren bei Fördermaschinen für Gruben; 
Torzugsweise sind dieselben wohl für Uebersetzungen ins Lang- 
same zu empfehlen. Neuerdings hat indessen Gwynne, wie es 
scheint mit dauerndem Erfolg und ebenso Webers in Berlin 
die Keilräder zu Uebersetzungen ins Schnelle benutzt, und zwar 
zum Betrieb Ton Centrifugalpumpen von TOOminutlichen Umdre- 
hungen des Kreisels; sie wenden einspurige Rader mit gewölb- 
tem Keilprofil an , bei denen sie die schon von M i n o 1 1 o em- 
pfohlene Nachstellbarkeit wieder einführten *), 



§. 157. 

Regel für die Anordnung der 



Die Riemscheiben sind indirektwirkende Reibungsräder. Sie 
werden in mehreren Formen angewandt; hier sollen vorerst die 
sogenannten cylindrischen Rollen für bandförmige Rie- 
men behandelt werden. Die gegenseitigen Stellungen der Rollen- 
achsen sind viererlei Art: 

L Die Achsen fallen geometrisch zusammen; 

2. sie sind parallel; 

3. sie schneiden einander; 

4. sie gehen an einander vorbei, sind ge^hränkt. 

In diesen verschiedenen Fällen werden die Riemen entweder 
unmittelbar, oder durch Vermittlung von Leitrollen von der Kraft- 
rolle zur Lastrolle geleitet; immer aber sollen die Scheiben so an- 
geordnet werden , dass der Riemen ohne besondere Riemenführer 
auf den Rollen bleibt. Die hierauf bezügliche geometrische An- 
ordnung eines Riementriebes heisst dessen Leitung. 



'*') S. Engineering 1868 (V), S. 502 und S. 593, sowie ebenda 1869 , Mai, 
S. 353. 



RiemenleituDg. 347 

Dieselbe wird richtig vollzogen, wenn man die Scheiben 
so anordnet, dass bei jeder Rolle die Mittellinie des auf- 
laufenden Riementrums in die Mittelebene der Rolle 
fällt. 

Bei gewölbten Riemscheibenkränzen , s. S. 367, sind kleine 
Abweichungen von der genauen Leitungsrichtung statthaft; die- 
selben können bis zu 1/2 Ws V4® {^9 = 0,8 bis 1,2 Proc.) gehen. 



§. 158. 

Selbstleitende Riementriebe. 

Diejenigen Riementriebe, bei welchen die obige Bedingung 
ohne Zuhilfenahme von Leitrollen oder anderen Führungen erfüllt 
wird, heissen selbstleitende Riementriebe. Die einfachsten 
derselben sind die für parallele Wellen, welche Fig, 392 und Fig. 
393 darstellen. Der Riemen in Fig. 392 heisst ein offener, der 

Fig. 392. FiR. 393. 




in Fig. 393 ein geschränkter oder gekreuzter, ßeide können 
in beiden Drehrichtungen umlaufen. 

Für Rollen mit geometrisch zusammenfallenden Achsen ist 
kein selbstleitender Riementrieb ausführbar, ebensowenig für Rol- 
len mit schneidenden Achsen. Dagegen ist der selbstleitende 
Riementrieb für die vierte Achsenstellung ausführbar und vielfach 
angewandt, Fig. 394 (a f. S.). 



348 RiemenleitaDg. 

Dieser RiemeD trieb wird selbstleitend, wenn man die Rollen 
so legt, dass die Durchschnittlinie oder Spar SS der 

Fig. 394. 



is 





Rollenebenen beide Rollenschnitte an der Ablaufstelle 
des Riemens berührt Die Ablaufstellen sind in Fig. 394 a 
und 6i, der Riemen muss sich in der Richtung der Pfeile bewe- 
gen. Will man die andere Drehrichtung durchführen , so müssen 
die Rollen so auf ihren Achsen verschoben werden, dass die Rol- 
lenebenenspur die Rollen an den gegenüberliegenden Punkten ai 
und b berührt Dies wird erreicht, wenn man die Rollen ebensoweit 
jenseits der Kreuzungsstelle K der Wellen schiebt, als sie jetzt 
diesseits liegen. Vorstehender Riementrieb ist der allgemeine 
Fall der selbstleitenden Riementriebe; er liefert den oflFenen Rie- 
men, wenn der Winkel /J, den die Rollenebenen einschliessen, 
= 0, den gekreuzten oder geschränkten, wenn ß = 180<> wird. 
In den Zwischenstellungen findet eine theilweise Riemen- 



Riemenleituug. 349 

scliränkuDg statt Ist ^ = 90", so ist der Riemen tialb- 
geschränkt (sogenannter halber Riemen); ist ß = 45o, so liat 
der Riemen Viertelechränkung u. s. f. 

Wenn der theilweise geschränkte Riemen verhältniasmässig 
kurz ist, 80 wird der Riemen au der Äblaufstelte leicht von der 
Rolle gezogen. Damit dieses nicht eintrete, ist*) der kleinste zu- 
lässige RoUenabstand = dem zweifachen Durchmesser der grös- 
seren Rolle zu setzen, d. i. , es soll der Ablenkungswinkel des Rie- 
mens nicht über 25" betragen. Soll ferner der Kiemen nicht zu 
sehr angegriffen werden, so hat man**) den RollenabBtand auch 
nicht unter loYbD zu nehmen, wenn b die Riemenbreite, D den 
Durchmesser der treibenden Rolle bezeichnet Das grössere der 
beiden Ergebnisse ist in jedem besonderen Falle beizubehalten. 

§. 159. 
Biementriebe mit LeitroUen. 

Regel: Die Riemenleituog bei einem Leitrollentriebe ist 
richtig, wenn jede Rolle an der Ablaufstelle von der 
Spur ihrer Ebene mit derjenigen der nächstfolgendea 
Rolle berührt wird. 

Die Figuren 395 und 396 zeigen Riemenleitungen für paral- 
Fiß. 395. Fig. 996. 





•) Nach Redtenbaohor. 

**) Siehe Herrn Völker '• An&ati in der Zeitachrift dea Vereina dent- 
■cber Ingenieure. Bd. IT (1660), S. 115. 



350 RiemenleituDg. 

lele Wellen. In Fig. 395 sind die Leitrollen in Ebenen gelegt, 
welche beide Triebrollen berühren, und erhalten den Abstand 
der Triebrollen-Mittelebenen zu Durchmessern. Die entstehende 
Riemenleitung gestattet Bewegung in beiden Drehrichtungen. 
Gewöhnlich wird nur ein Drehungssinn erfordert. Hierfür ge- 
nügt die einfachere Anordnung in Fig. 396, wo die Achsen der bei- 
den Leitrollen zusammenfallend gemacht sind« Ä und B Trieb- 
rollen ; in den Ablauipunkten derselben werden an die Rollen be- 
rührende parallele Ebenen gelegt und als Mittelebenen der Leit- 
rollen benutzt, die wieder als Durchmesser den Abstand der Rol- 
lenebenen erhalten ; die Rollen C und D haben entgegengesetzte 
Drehrichtungen. 

Betrachtet man B als Leitrolle, in welchem Falle man sie 
auch lose auf die Achse von A stecken kann, so können C und D 
als Triebrollen dienen. Können die Leitrollen zwischen die 
Achsen A und B gelegt werden, wie Fig. 397 angibt, so erhal- 

Fig. 397. 




ten sie gleichen Drehungssinn, und können deshalb auf ge- 
meinschaftlicher Achse befestigt werden. Es ist nur Drehung in 
einem Sinne statthaft Die Rollen C und D können auch in eine 
einzige, dann aber schief zu stellende Rolle vereinigt werden. 
Fig. 398, Winkelriementrieb oder Riemenleitung für 



Riemenleitung. 351 

Achsen, welche einander schneiden. Sie lässt sich aus 
der Anordnung in Fig. 396 durch Verlegung der Achse B ab- 

Fig. 398. 




leiten, und entspricht wie sie der Drehung in nur einer Richtung. 
Soll der Drehungssinn umgekehrt werden, so können die Leit- 
rollen und deren gemeinschaftliche Achse erhalten bleiben; nur 
sind die Leitrollen auf letzterer entsprechend zu verschieben. 
Hierbei ist nicht zu vergessen, dass die Leitrollen in entgegenge- 
setztem Sinn umlaufen, also nicht beide fest auf der sie tragenden 
Achse sein dürfen. 

Aus der Anordnung Fig. 397 leitet sich für Achsen, welche 
einen sehr spitzen Winkel einschliessen, die Riemenleitung Fig. 399 
(a. f. S.), bei welcher die Leitrollen C und D wieder gleichsinnig 
laufen. Noch einfacher gestaltet sich und für noch weniger spit- 
zen Achsenwinkel (bis zu 25<^) die Anordnung Fig. 400. 

Fig. 401, Halbgeschränkter Riemen mit Leitrolle. 
Die Triebrollen sind so gestellt, dass die Halbschränkung von 
Fig. 394 möglich würde, wenn nicht der Rollenabstand zu klein 
wäre. Um die Riemenleitung zu bewirken, ist hier zunächst eines 
der Riemenstücke in dieSpur SS der Rollenebenen gelegt; so- 
dann sind nach einem beliebig gewählten Punkt c der Spur SS die 
Tangenten ca und c& an die Rollen umfange gezogen, und darauf 
berührend an ac und ic, und in deren Ebene die Leitrolle C an- 
gebracht. Die Drehung kann in beiden Richtungen erfolgen ; jedoch 
hat die Leitrollenachse eine für die Construktion unbequeme Lage, 



852 Riemenleitung. 

welche Damentlich die Aufstellung des Riementriebes sehr er- 
schwert, und dadurch diese Anordnung unpraktisch macht 



Fig. 399. 




Fig. 400. 




Fig. 401. 





Riemenleitung. 353 

Fig. 402, Andere Anordnung des halbgeschränkten 
Riementriebes mit Leitrolle. Hier liegen die Triebrollen 
wieder so, dass die Spur SS ihrer Ebeben sie beide berührt; so- 
dann ist aber die Leitrolle in die Ebene der Triebrolle Ä gebracht. 
Das von A ablaufende Riemen tnim wird nun wie beim geschränk- 
ten Riemen schief nach Rolle S hin abgeleitet, das auflaufende 
Trum dagegen durch die Leitrolle C geführt, welche die Spur S 
und eine Tangente an A, welche aus einem beliebigen Punkt von 
S gezogen ist, berührt Es ist nur die durch die Pfeile angegebene 
Drehrichtung zulässig. Sehr geeignet ist diese Riemenleitung für 
den Betrieb reihenweise geordneter stehender Wellen von einer 
liegenden Welle aus , und passt deshalb bei kleinem Rollenstand 
für Getreide-, Farbstoff-, Graphitmiihlen u. s. w. 

Fig. 403, Halber Riemen mit stellbarer Leitrolle. Bei 
dieser Anordnung, welche einen grösseren Rollenstand, als die 

Fig. 403. 



« 




vorige voraussetzt, kann durch Verstellen der Leitrolle C in die 
(punktirte) Stellung Co der Riemen von der festen Rolle B auf 
.eine Leerrolle S^ geführt, die Leitrolle also zur Auskehmng des 
Riementriebes benutzt werden. Die Lage C^ ist so zu wählen, 
dass, wenn sie stattfindet, der Riemen ungefähr ebensostark, oder 
ein wenig schwächer gespannt ist, als bei der Hauptlage. 

Allgemeiner Fall für geschränkte Achsen. Können 
die Rollen nicht so gelegt werden, dass die Spur ihrer Ebenen 
beide Rollen berührt, so müssen zwei Leitrollen angewandt wer- 
den. Den allgemeinen Fall dieser Anordnung, welcher überhaupt 

BCDlmui, d« Conitncleiu. 23 



354 Riemenleitung. 

als allgemeiner Fall der Leitrollentriebe anzusehen ist, zeigt Fig. 
404, eine AnwenduDg desselben auf den Fall, dass die Spur 8S 
durch die Mitte der zweiten Rollenebene geht, Fig. 405, wobei 
Fig. iM. Fig. 405. 




man sich die Achse von B in einer zu A parallelen Ebene zu den- 
ken hat. Man suche zuerst die Spur SS der KoUenebenen auf, 
wähle in ihr zwei beliebige Punkte c und ci und ziehe von den- 
selben aus die Tangenten ca und cb, c, a, und c, b, an die Rollen- 
schnitte, so hat man in den Ebenen cab und c,ai&i die Ebenen 
zweier richtig wirkenden Leitrollen C und C|, welche so zu legen 
sind, dass sie die zugehörigen Rollentangenten berühren. Der 
Riementrieb kann nach beiden Richtungen umlaufen. 

Eine Vereinfachung der Riemenleitung Fig. 404 erzielt man, 
indem man die LeitroUen auf eine und dieselbe geometrische Achse 
mm bringt, welche man parallel den beiden Triebrollen legt, Fig. 
406. SS Spur der Rollenebenen, ac und 6|Ci Nonnalehenen auf 
» dieselbe, in welche die I^eitrollen C nnd C, gelegt werden, berüh- 
rend die Geraden ac und 6|C|. Eine schiefe Ablenkung geschieht 
nur bei den Leitrollen. Die Pfeile geben die zulässige Drehrich- 
tung an; soll dieselbe den entgegengesetzten Sinn haben, so sind 
die punktirt angegebenen Leitrollen C und C^ anzuordnen. 

Es verdient, namentlich mit Rücksicht auf üebungsaufgaben, 



Riemenleitnng. 355 

bemerkt zu werdeo, dasB der Riemea statt Ton e nach a und von 
c, nacli ai auch von c nach oi und ron Ci nach a geleitet werden 
Fig. 406. 




kann, vodorch ebenfalls Drehung in entgegengesetztem Sinne her- 
vorgebracht wird. Auch lassen sich die Leitrollen senkrecht an- 
statt wagerecht stellen, d. h. so, dass C in die Ebene der Rolle A, 
Ci in diejenige von B fällt, wobei aber gebührende Rücksicht auf 
die Grösse des Ablenkungswinkels zu nehmen ist (§. 158). 

Wenn dann ausserdem die Triebrollen noch so gelegt werden 
können, dass die Spur SS der Rollenebencn die eine der Rollen 
berührt, so lässt sich bei ausreichendem Abstände der parallelen 
Ebenen, in welchen die Achsen von A und B liegen, statt der in 
Fig. 405, die recht praktische Riemenleitung in Fig. 407 (a. f. S.) 
anwenden, wo die Leitrollenachsen parallel zur Welle A angebracht 
sind. Die Rollenebene B kann dabei einen beliebigen Winkel mit 
der Ebene A einscbliessen. Ist der Abstand AC gross gegen die 
Riemenbreite, so ist es statthaft, die Leitrollen neben-, statt über- 
einander zu legen, Fig. 408; ebenso können bei genügendem Ab- 
stände zwischen B und C BioiB Fest- und Losscheiben angebracht 
werden. 

Kann wegen Raummangels etwa eine der angegebenen he- 
qaemen Anordnungen nicht benutzt werden, so suche man wenig* 



356 Riemenleitung. 

stens die Leitrollen in eine der Hauptebenen der Aufstellung zu 
bringen und unter sich parallel zu machen, wie es z. B. Fig. 409 

Fig. 407. 




zeigt. Ziehe die Tangente ab^ und lege in die zur Zeichnung 
senkrechte durch ab geführte Ebene die Leitrolle C derart, dass 

Fig. 408. Fig. 409. 



mS 




B 







sie in a die Spur von A und C berührt; ziehe ferner von ai aus 
die Gerade aio^ parallel zu a&, und lege in die dadurch geführte 
zu C parallele Ebene die zweite Leitrolle Ci, berührend die Spur 
von A und Ci und die Ebene von 5, so werden die Achsen 
mm und mimi parallel und kommen in eine zur Rollet parallele 
Ebene zu liegen. 



Riemenleitung. 



357 



Durch Weiterleitung des Riemens auf eine vierte Rolle lässt 
sich aus der Anordnung Fig. 408 eine solche macheu, bei welcher 
zwei Triebrollen JSund C von einer KrafbroUe J. aus getrieben wer- 
den. Fig. 410 zeigt eine solche, in Spinnereien jetzt viel gebrauchte 

Fig. 410. 




Anordnung, wo dann B und C in verschiedenen Stockwerken 
liegen, auch beide als Fest- und Losscheibe ausgeführt werden, 
wobei also Gebrauch von der in §. 157 als statthaft angeführten 
Abweichung von der genauen Zuleitung des Riemens gemacht wird. 
Verwandt ist die folgende Riemenleitung, Fig. 411, bei welcher 

Fig. 411. 




von der Welle A aus zwei zu einander parallele Wellen getrieben 
werden, von denen die eine, jB, rechtwinklig schneidend, die an- 
dere, C, rechtwinklig geschränkt gegen A liegt ♦). 

Riemenleitungen, bei welchen 3 bis 4 und mehr Rollen von 



♦) S. Sc. Americaiu, 1869, Mai. S. 340. 



358 Anspannungen des Treibriemens. 

einer KrafbroUe aus getrieben werden, kommen im Spinnmaschi- 
nenfacbe mannigfach vor*). 

Scbliesslich sei noch zu den sämmtlicben Biemenleitungen 
bemerkt, dass man bei Anwendung solcher Riemenschlösser, welche 
auf einer Seite über die Riemenoberfläche hervortreten, den Rie- 
men immer so aufzulegen hat, dass stets dieselbe (die Fleisch-) 
Seite des Riemens die Rolle berührt**). 

§. 160. 

Der Treibriemen und seine Anspannungen. 

Die Treibriemen werden gewöhnlich in Bandform aus Kuhleder, 
neuerdings auch aus Kautschuk gefertigt und in einer Breite von 
50 bis 300"*" angewandt; für grosse Kräfte benutzt man doppelte 
und dreifache Riemen, für kleine Kräfte und sehr rasche Bewegun- 
gen häufig runde Treibschnüre aus Hanf, Baumwolle oder Leder. 

Fig. 412. 




Soll die Rolle B, Fig. 412, die mit einem Umfangswiderstande P 
belastete Rolle Ä umtreiben, so müssen die Riemenanspannungen 
T und t im führenden und geführten Riementrum wenigstens so 
gross sein, dass: 

L — ^ I - 



-^ 1.1 

e^ — 1 ^ P 



e/« — r 

Hierfür ist annähernd und einfacher zu setzen: 






/« + 



/»«»* 



wobei bezeichnet: 



(131) 



(132) 



♦) Siehe z. B. Armengaud's Publ. ind. Bd. XII, Taf. 34. 
**) Yergl. auch Arxnengaud's Progres de rindastrie ä PExpos. univer- 
selle, Bd. I, Taf. 30. 



Anspannungen des Treibriemens. 359 

e die Grundzahl der natürlichen Logarithmen = 2,718 ..., 
/ den ßeibungscoefiicienten fiir die Gleitung des Riemens 

auf der Rolle, 
a den in Bogenmaass ausgedrückten Umfassungswinkel der 
in Betracht gezogenen Rolle. 
In (131) und (132) ist indessen keine Rücksicht auf Riemen- ■ 
Steifigkeit und Achsenreibung genommen ; diese mit in Betracht 
gezogen, ergibt sich 

L = 1 1 

T_ ef^ ^^^^' 

P ~ ©/«(l —«) — (!+«) , 
oder angenähert wie oben: 

* 1 



P A , ^„ . /'« 



(l +/« +^) (1 - u) - (1 + u) 



wofern: 



(134) 



**-^ + 2Ti ^^^^^ 

Hierin bezeichnet für die Rolle, an welcher « genommen wird: 
R den Rollenhalbmesser, 
b die Riemenbreite, 
d die Riemendicke, 
d die Wellzapfendicke, 
s den Steifigkeitscoefficienten des Riemens, 
/i den Reibungscoefficienten der Wellzapfen. 

Im Durchschnitt ist bei dem einfachen bandförmigen 

d 
Riemen, der vorerst hier betrachtet wird, d = 4,5"™, -^ etwa 

= 0,25, 5 = 0,009, /i = 0,08 zu setzen. Mit diesen Werthen er- 
gibt* sich zunächst für mittlere Riemscheiben 

1 + M = 1,02, l — tt = 0,98. 
Der Goefiicient für die Reibung des Riemens auf der Rolle 
ist ferner nach Morin für: 

Gewöhnliche fette Riemen auf dergleichen Scheiben 0,28 

Stark gefettete Riemen auf dergleichen Scheiben . . 0,12 

Die Coefficienten für Kautschuk sind wahrscheinlich wenig 



360 Gleitaiigsverlust 

Ton den vontehenden verschiedeD, and zwar wie es scheint etwas 
grösser, d. L günstiger. 

Der Umspannungswinkel a geht bis zu etwa 0,8 ar herab, 
möchte aber in gewöhnlichen Fällen etwa 0,95 x betragen. Nimmt 
man nan an, dass / in der Regel = 0.23 sei, in Folge der Ein- 
fettung der Riemen aber auf 0,24 herabsinke, so sind die Werthe 
Ton T und t zwischen denjenigen, welche sich bei /a = 0,24.0,8 x 
und fa = 0,28 . 0,95 tc finden, zu suchen. 

Der erstere Werth liefert aus (134J 

P = 1,37, -p = 2.44, -^ = 3,81. ^ = 0,561 . (136) 
während der andere Werth liefert: 

i = 0,89, p = 1,95, ^^ = 2,84, j, = 0,456 . (137) 

Bemerkung. In Folge der Verschiedenheit der Anspannun- 
gen T und i sind die Umfangsgeschwindigkeiten v und ri der Rol- 
len in den Kreisen von den Halbmessern 7i -|~ "9" ^^^ ^1 + "ö" 

nicht gleich gross, sondern es findet ein durch unvermeid- 
liches Gleiten des Riemens hervorgebrachter Gesch\^indigkeits- 
verlust — der Gleitungsverlust oder Schlipf — statt, welcher sich 
aus folgender Formel berechnen lässt: 

i±ZI_ü = - (138) 

1 + f 

wobei noch E den Elasticitätsmodul des Riemens, 3i die Span- 
nung im führenden Riementrum bezeichnet Im Mittel beträgt 
derselbe*) nahe V« Procent. Der hierbei gleichzeitig stattfindende 
Arbeitsverlust geht auf Erwärmung und Abreibung des Riemens 
und der Rollen. 

§. 161. 

Berechnung des einfachen bandförmigen Riemens. 

Man kann in dem führenden Riemen trum gut die Spannung 

♦) Bei JE; = 15 — 20*, s. Tabelle §.2, einem Mittelwerthe, welchenHirn 
aaf Anregung des VerfasserB durch sorgfältige Versuche an gebrauchten 
aber wohl erhaltenen Riemen bestimmt hat. Aeltere Versuche von BeVan 
geben allerdings E nur ungefähr halb so gross, und fuhren dann zu einem 
Gleitungsverlust, der weit stärker als oben mitgetheilt ist 



Berechnung der Riemenbreite. 361 

©1 = -— V'ft» pro wm^ gestatten; für die grösseren Riemenbrei- 
ten wird ausserdem meist dickeres Leder gewählt, als für die klei- 
neren, und zwar erhält man gute Uebereinstimmuug mit der Praxis, 

wenn man setzt: ö = 1,5 yb. Hieraus ergibt sich, wenn noch 
2> = @^ d die pro mm Breite entstehende Anspannung bezeich- 
net, für: 

6 = 50 100 150 200 250 300™ 

5 = 3,97 4,74 5,25 5,64 5,97 6,24mm 
Si = 0,09 0,16 0,21 0,27 0,31 0,36^ 
p = 0,36 0,76 1,10 1,52 1,85 2,25^. 
Unter diesen Annahmen erhält man für die Riemenbreite : 

1. wenn an der Riemscheibe ein Umfangswiderstand P wirkt: 

b = 18 VP (139) 

2. wenn N Pferdestärken bei n minutlichen Umdrehungen 
übertragen werden sollen: 

b = 15250 V;^ (140) 

3. oder wenn die Uebertragung bei t;"* Riemengeschwindigkeit 
stattfinden soll: 

b = 156 yf (141) 

4. bei einem statischen Momente (PB) als Widerstand: 

b = 6,87 y^ (PB) (142) 

5. oder auch: 

'='''VW ^^*^> 

Die übertragbare Kraft ist beim Riementrieb begrenzt Ein 
einfacher Lederriemen von der Maximalbreite 200™™ kann nach 

(139) als Maximum die Kraft P = -i- 2002 = 123,5^ übertragen, 

wobei übrigens seine Anspannung T nach Formel (136) = 2,44 
• 123,5 = 301,3^ ist Das zulässige Maximum der Riemen-, d. i. 
Rollenumfangsgeschwindigkeit, zu 32™ setzend, erhält man-für den- 
selben Riemen das Maximum der übertragbaren Arbeitstärke in 

Pferden aus (141): N^nax = t^ 200« . 32 = 52,6 Pferdestärken. 



362 Berechnung der Riemenbreite. 

Selten wird indessen die Riemengeschwindigkeit bis zu 32"^ ge- 
trieben. Bei dem Doppelriemen [vergL Formel (145)] steigen auch 
Pmax wnd Nmax »uf Ungefähr das Doppelte. 

§. 162. 

Tabelle über die Breite des einfachen Riemens. 



Nebenstehende Tabelle ist nach den obigen Formeln berech- 

N b N 

net, wobei wegen der kleinen Werthe von r=r— und ^ — statt ihrer 

1000 -^ und 1000 4 ~ eingeführt sind, 
/in E n ° 

1. Beispiel, Ein Riementrieb ist bestimmt , 2 Pferdestärken von 

einer ßOmal in der Minute umlaufenden Welle auf eine doppelt so schnell 

laufende zu übertragen; Rtemenbreite und RoUenhalbmesser werden ge- 

N 1 R b 

sucht. Hier ist — = 57., -^- = ^. Wählt man -^ = 0,23, so kommt: 

n oü Hl Ja 

1000 .^^= 1000.0,23 _ ^^^ ^^^^^^ j^^^ ^ ^^^^ ^ Zeile 13: 

B n 30 ^ ^ ^ 

b etwas über 120mm ^ bei welcher Zahl man stehen bleiben kann. An der 

anderen Scheibe rechnend hat man — = ^7; , Äi = -77, also =- = ;8 . 0,23 

flj OO ii J\\ 

gibt 1000-= = 7,66 wie vorhin. — Man hat nun noch JJ = 



-Bi wi ~ ' ^'^ ""' "''•• ^^" "^^ " 0,23 

120 = 522fnm^ B^ = 261mm^ wofür wir 520 und ^60»»"» nehmen würden. 

2. Beispiel. Ein Seilauf zug von 200^ Zuglast, welche durch ein 
15^*» dickes Seil gehoben werden soll, habe eine Setitrommel von 90»»»» Halb' 
messer (gemessen bis zur Seilmitte), und soll durch eine auf der Trommel- 
welle sitzende Biemscheibe von 1»» Durchmesser, der eine gleichgrosse gegen- 
übersteht, getrieben werden; gesucht: die Biemenbreite. Hier ist der auf 

90 200 
den Biemscheibenumfang zurückgeführte Widerstand P = — ' = 5ß*, 

und demnach gemäss Spalte 2 Zeile 12 die Biemenbreite zu nehmen: 
b = llO^m. 

3. Beispiel. Eine Pumpe von 40^^ Kolbenwiderstand soll durch eine 
Kurbel von 300mm Armlänge getrieben werden ; die Kurbelwelle werde von 

7 
einer zweiten ^ -j mal so schnell laufenden Welle mittelst Biemen getrie- 

ben; gesucht: die Scheiben und der Biemen. Hier ist -^ = 1,75; wir wäh- 
len j^ = j , dies gibt -g- {PB) = 0,25 .40. 300 = 3000, also nach Spalte 4 



TabeUe über die ledernen Treibriemen. 



363 



Riemen- 
breite b. 


P 


N 


iiPB) 


■«»if 


50 


7,72 


0,011 


385 


0,538 


55 


9,34 


0,013 


512 


0,715 


60 


11,11 


0,015 


665 


0,929 


65 


13,04 


0,018 


846 


1,181 


70 


15,12 


0,021 


1056 


1,475 


76 


17,36 


0,024 


1299 


1,814 


80 


19,75 


0,027 


1576 


2,202 


85 


22,30 


0,031 


1890 


2,641 


90 


25,00 


0,036 


2245 


3,135 


95 


27,85 


0,039 


2641 


3,687 


100 


30,86 


0,043 


3080 


4,300 


110 


37,34 


0,052 


4099 


5,732 


120 


44,44 


0,062 


5322 


7,430 


130 


52,15 


0,073 


6767 


9,446 


140 


60,49 


0,084 


8452 


11,799 


150 


69,44 


0,097 


10396 


14,513 


160 


79,00 


0,110 


12616 


17,613 


170 


89,19 


0,124 


15132 


21,126 


180 


102,29 


0,139 


17963 


25,078 


190 


110,75 


0,155 


21126 


29,487 


200 


122,72 


0,172 


24640 


84,392 


210 


135,30 


0,190 


28524 


39,813 


220 


148,49 


0,208 


32796 


45,776 


230 


162,30 


0,227 


37474 


52,306 


240 


176,72 


0,248 


42678 


69,429 


250 


191,76 


0,269 


48125 


67,172 


260 


207,40 


0,291 


54134 


75,559 


270 


223,66 


0,313 


60624 


84,620 


280 


240,53 


0,337 


67612 


94,372 


290 


258,02 


0,362 


75118 


101,848 



364 Dojinelriemeo. Treibschnüre. 



i. A. 



Zeile 11: b = 100"^, und sentit //; = i . 100 = JOO*«, E = y.^OO 



^. Lti^piel. Gabi man der *jnj:?eren Scheibe aus Beispiel L wm 

■ .,, rw ^t i»*M)y looo ^^., „, 

tornhtrun 000'*»^ HalOmmtr, so wäre — = = r^^rr — r^r = OjOoo, Hitr^ 

für ist dann nach Spalte 3 Ztile 12 b citaas über 110^^ zu nehmten. 

Fällt ein« lüenienbreite über 300*" hinaus, so kann die Ueber- 
iragung aui zwei Kiemen von der halben herauskommenden Breite 
vertheilt, o<ler auch ein Doppelriemen angewandt werden (s. den 
folgetden Paragraphe:.;. 



§. 163. 

DoppelriemeiL Treibschnüre. 

Nimmt man die Dicke des Doppelriemens zweimal so gross 
an, als die des gleichbreiten einfachen, was wegen der Bearbei- 
tung der Lederflächen, wenn diese gekittet werden, nur annähernd 
richtig ist, so ist die übertragbare Kraft doppelt so gross als 
oben zu setzen. Man hat daher bei der Breite b^ des Doppel- 
riemens 

18« 162 l (144) 

A, = 12,7 VP = 0,7& J 
d. b. man berechne die Breite für den einfachen Riemen und 
gebe alsdann dem Doppelriemen das 0,7fache des Resultats zur 
Breite. Es ist zu empfehlen, R nicht zu klein zu nehmen, da die 
Steifigkeit des Doppelriemens weit grösser ist als die des ein- 
fachen. 

Die Treibschnüre werden fast immer nach dem Gefühl an- 
genommen; ist die zu übertragende Umfangskraft P bekannt, 

so gebe man der Treibschnur eine nicht unter 4 ]/P^ betragende 
Dicke. — Einzelne Fabrikanten haben dem runden Treibriemen 
eine grössere Aufmerksamkeit geschenkt, als gewöhnlich geschieht 
Combe in Belfast setzt mittelst runder Lederseile das gesanmite 
weit über 60 Pferdestärken beanspruchende Triebwerk seiner 
grossen Maschinenbauanstalt in Bewegung, wodurch er alle ste- 
henden Wellbäume und konischen Räder daselbst überflüssig 
machte. Auch anderweitig hat er, wie es scheint, völlig bewährte 



Keilkette. 



365 



ADwendungän von seinen Triebseilen gemacht Diese nimmt er nicht 
dicker als 25™" und legt ihrer 2, 3, 4 bis 6 nebeneinander je 
nach der zu übertragenden Kraft. Die Scheiben haben keilförmig 
profilirte Rinnen fiir die Seile (vergl. Fig. 416); sie sind indirekt 
wirkende Keilräder. 



Keilkette. 

Man hat in den letzten Jahren viele Versuche gemacht, den 
glatten Lederriemen durch andere Zugkraftorgane zu ersetzen. 
Der Rouiller'sclie Kettenriemen (Lederkette) war eines dieser 
Ersatzmittel*); so sehr gut sich derselbe anfangs zu bewähren 
schien, so hat sie sich doch auf Dauer nicht als brauchbar erwie- 
sen; nicht besser ist es mit den gewebten Riemen mit Drahtein- 
lage (Godin) gegangen. Auch <ler mit Gattapertja belegte 
Lederriemen hat dem gewöhnlichen Lederriemen nicht wesentliche 
Concurrenz halten können. Nur der Gummirifemen mit Leinwand- 
oder Baamwoll-Einlage scheint, namentlich für grössere Kräfte, 
dem Lederriemen ebenbürtig zu sein. 

Einen für einzelne Zwecke passenden Ersatz des bandförmi- 
gen Riemens, für grosse Unifangskräfle, u. a. für den Betrieb land- 
wirthschaftlichcr Maschinen nicht übel geeignet, ist die {Clis- 
Bold'sche) Keilkette, Fig. 413, eine eiserne Gelenkkette, bei 
Fig. 413. 




welcher je ein ums andere Glied mit einer keilförmig zugeschnit- 
tenen Lederbewickelüng versehen ist, die in den trapezisch' pro- 



•) Siehe zweite Anfl^e dieses Werkes. 



36G 



Keilkette. 



filirten RoUenumfang passt Angström wendet statt der Leder- 
keile Holzkeile mit Eisengamitur an *). Hinsichtlich der Berech- 
nung der Anspannungen tritt hier die Reibung der Kettenzapfen 
an die Stelle der in §. 160 in Betracht gezogenen Riemensteifig- 
keit, so dass die Formeln unter (133) und (134) benutzt werden 

können, wenn man ~— r fiir/a beim Keilwinkel setzt. 

sinO '' 

Bei / = 0,24, a = 0,8 jt, = 30» ergibt sich : 



I = 0,20, I = 1,23, 



TA- t t 

^-^ = 1,43, ^ = 0,163 



und bei/ = 0,28, a = 0,95 ä, = 30»: 



t T 

± = 0,12, ^ = 1,15, 



±^=1,27, ^ = 0,105 



(145) 



welche Werthe bedeutend günstiger als die für den Bandriemen, 
Formel (136) und (137), sind, und bei dem grossen laufenden Ge- 
wicht der Keilkette eine manchmal ganz schlaff erscheinende Auf- 
legung derselben gestatten. Unter Zugrundelegung der Werthe 
aus (145) ergibt sich (vergl. §. 79) für die Kettenzapfendicke : 



oder auch: 



d = 0,54 1/P = 457 \/-^ 



ei =0,46 ff (Pi2) = 41,11 V'if 



(146) 



wobei zu machen ist: 

^ = 3, A = 23A, £=V. f = V. 1 = 2% (147) 
und es sehr zweckmässig ist, bei der kleineren Rolle 

ZU nehmen. In der Praxis geht man mit d, wie es scheint, nicht 
gern unter 8"^™, auch wenn geringere Abmessungen ausreichend 
wären; hierlür berechnet sich die übertragbare Umfangskrafb P 
zu nahe 220^, was einem etwa 270°*°^ breiten einfachen Riemen 
entspräche. 

Beispiel, Gegeben N ■= 20y n =^ 50, n^ = 100; der Keilkettentrieb 
ist tu berechnen. Wir wählen den Halbmesser (der kleineren Scheibe) 



*) Siehe Zeitschr. d. V. deutech. Ing. 1868, S. 706. 



Teige der Riemenscheibe, 367 

B,=5J, u.ä A«6«. äann nacH (M5); d = 4i,ll ''\fYm = fä = 'M 

= 14,0€ ^>^ M". Dies gibt nach {146) l = 3 . 14 = 4»~, b = 3»/^ 
.14 „T'^ 38", e -/-^ 5—, e .^>-^ 3™, Ä = S'/,.14 ,^v^ 30—, B, = 51 
= 210™, S =: «ö-". 

Der Keilkettentrieb ist sowohl theoretisch als nach des Er- 
finders Angabe und Gedankengange der indirekte Keilrädertrieb 
(vergl. §. 156); eine andere Form desselben (ebenfalls von Glts- 
Bold versucht), bei welcher statt der Kette ein im Querschnitt 
trapezischer dicker Riemen benutzt wurde, ist wegen dessen ge- 
ringer Dauerhaftigkeit aufgegeben worden; als eine unvollkommene 
Form des indirekten Keilradtriebee ist übrigens der Schnurtrieb 
mit Keilrinne (vergl, Fig. 416) zu betrachten*). 

§. 165. 

Der Kranz oder die Felge der Riemenscheibe. 

Bei flachen Riemen erhält die Rollenfelge eine sanfte Wölbung, 
Fig. 414 und Fig. 415, welche den Riemen stets nach der Kranz- 

Fig. 4U. Fig. 415. Fig. 416. 



mitte hinführt Man nehme die Wölbungshöhe s = Vm der 
Riemenbreite , oder mit anderen Worten so , dass auf jede 20™" 
Riemenbreite l"" Wölbungshöhe kommt. Die Felgenbreite .Bwird, 



*) Verauche dea HatcbinenfabriliBnten Wedding in Berlin zeigten, 
dui bei -eitler Rinne mit 60" Eeilwinkel (liebe Fig. 416] die Kraft zvaa 
GleiteDmachen doppelt so gross anefallt, sie bei hohlkehliger, die Scbnnr 
berührend er Rinne, eine einfache Bestätigang der obigen Angabe, da ■ . ^ 
— 2 ist. 



368 Felge und Speichen der Rollen. 

wenn die Scheibe freisteht, etwas > 6, bis zu ^4 der Riemenbreite 
genommen; wenn sie neben anderen für denselben Riemen be- 
stimmten Rollen steht, aber nur wenig >> b. Die Randdicke k der 

Felge fällt gut aus bei i = 2 -j- t^« Schnell laufende und stark 

stossende Riemscheiben erhalten hier und da Seitenränder, Fig. 415, 
die Schmirscheiben eine trapezische eingedrehte Rinne, Fig. 416. 

Beispiel. Eine einzelne Rolle für einen 120"^ breiten Riemen er- 
hält nach dem Obigen eine Krambreite 5 = % . 120 = löO^'^y am Rande 

120 
eine Kranzdicke •=. 2 -\- 1^5 := 3,6'^'^; die Wölbung wird -^=6*^ hoch, 

der Kranz in der Mitte also 2.3,5 -^ 6 = 13^^^ dick. 

Die in neuerer Zeit vielfach in Anwendung gekommene Be- 
lederung der Riemscheiben bewirkt eine merkbare Erhöhung der 
Adhäsion, d. i. des Reibungscoefficienten für die Gleitung des Rie- 
mens auf der Scheibe. Bei ganz neuem Lederbesatz fand der Ver- 

T 

fasser das Verhältniss -— [vergl. Formel (136)] zu 6 bis 7; nach 

einigem Gebrauche fiel dasselbe aber auf 4 bis 5; a war dabei 

T 

stets = Jt. Das Verhältniss —- = 4 entspricht einem Reibungs- 

T 

coefficienten von *xvy 0,44, und einem Verhältniss -5 = nahe 1,48, 

was sehr günstig ist, und allenfalls eine Verringerung der Riemen- 
breite gestatten würde. Bemerkt sei indessen, dass gebrauchte, 
mit einer aus eingetrocknetem Schmiermittel bestehende Harz- 

T 

Schicht bedeckte Scheiben auch — = 3,5 bis 4, sogar 5 zeigten. 

V 

Jedenfalls stellt sich das Beledern hiernach als zweckmässig 
heraus; nur ist besondere Sorgfalt in Beziehung auf die Befesti- 
gung des Lederringes auf der Scheibe zu empfehlen. 



§. 166. 

Die Arme oder Speichen der Riemsoheibe. 

Man gibt den Riemscheibenspeichen in der Regel ovale Quer- 
schnitte, deren Breite sich an jeder Stelle zur Höhe (letztere in der 
Rollenebene gemessen) wie 1 : 2 verhält. Das Querprofil ver- 
zeichnet man einfach mittelst zweier Kreisbogen, deren Mittelpunkte 



Speichen der Rollen. 369 

um die Quersclmittböhe h' auseinandersteben, Fig. 417, und run- 
det die entetehende linseDförmige Figur an den Spitzen bis auf 



Fig. 417. 



Ä' ab. Die Speichenachse wird 
gerade, Fig. 418, oder einfach ge- 
bogen, Fig. 419, oder zweifach 
(SfÖrmig) gebogen gemacht. Die 
einfach gebogenen Speichen er- 
balten eine gnte Krümmung, wenn 
man, Fig. 419, vom Annradius 
OA auB den Bogen jl£?=s/, der 
Speichentheilung EF aufträgt, 
und E zum Speichenendpunkt 
macht, wobei der Erümmungs- 
mittelpunkt C der Speichenachee 
ant dem zu OA senkrechten Speichenradiue OA^ liegt. C wird 
gefunden, indem man OD = DE und DC senkrecht zu OE 
macht. 

Fig. 418. Fig. 419. 





Eine gute Speichenvertheilung wird erhalten, wenn die Spei- 
cbenzahl 91 genommen wird : 

"=K' + ?) "*'' 

Dies liefert folgende Zahlenreihe; 



Femer erhält man gute Abmessungen fUr die Speiche, wenn 
man deren Höhe h in der RoUeamitte nach folgender Formel 
nimmt: 

* = »+'+ 4^5 (149) 



10 3 



24 



370 



Rollenspeichen. 



und die Höhe hi am Radkranz = ^/^ h macht. Diese Formel 
nähert eine strengere an, bei welcher vorausgesetzt wurde, dass 
die Arme (in der Nabenmitte) mit 2^ Spannung beansprucht wer- 
den sollen. Dies trifft bei Anwendung von Formel (149) für die 
schwereren Riemenscheiben zu, während die leichteren (mit 
Rücksicht auf die Gussherstellung) etwas sicherer der Rechnung 
nach genommen sind. Es ist angenommen, dass die Scheibe ge- 
nügend stark für einen Doppelriemen zu sein habe, auch die Wahl 
der Armzahl noch völlig freigestellt 

1. Beispiel. Eine Scheibe von 2764nim Durchmesser und 228^^ 

Eiemenhreite erhält 6 Arme von 90^^ Höhe in der Nahe. Sie erhielte 

228 1 
nach (148) die Armzahl 91 = 6 und die Arvihöhe h = 6 -] j — h 77% 



1367 



= 6 + 57 ■]- 23 = 86 



mm 



2. Beispiel. Bei R = 86ö»»to und b = 144mm erhalten wir % z= 4, 

q/j/i 

— - = C + 5Ö + 9 = 51'nm^ bei der Anwendung von 



^ 4 ^10 



6 Armen aber h =z 6 -{- 36 -^ 6 = 48^»*, was mit einer vorliegenden 
Ausführung übereinstimmt. 

Verzeichnung der Speichenprofile, a. Gerade Speichen, 
Fig. 420. Ziehe den Durchmesser EOC, mache ah=cC=Cd=.^IJi 
und ziehe die Geraden ac und id, so liefern diese links und rechts 
von OE die Speichenbegrenzungen, welche an Kranz und Nabe weich 
überzuführen sind. b. Einfach gebogene Speichen, Fig. 421. 
Csei gefunden, wie oben angegeben wurde, so ziehe man die Gerade 

Fig. 420. Fig. 421. 





ad, mache aE = Eh = -tt, und Co =^ Cd = ~, soistcderMit- 

o 



Nabe der Rollen. 371 

telpuukt und ch der Halbmesser für die innere Speichenbegren- 
zuug, während d der Mittelpunkt und da der Halbmesser iiir die 
äussere Begrenzung der Speiche ist. 



§■ 1G7- 

Die Nabe der RtemBoheibe. 

Die Rollen-Nabe wird cyliiidrisch und mit weicher Ineinander- 
fUhrung der Speichenansätze ausgeführt Mau nehme für die 
Nabeuwanddicke bei der Wellendicke d: 

«■='" + ^ + 1 c™) 

und die Nabenlänge L nicht unter 2,&w; doch wird dieses Maass 
häufig der Bequemlichkeit halber bis aut B erhöht; dieses ist 
namentlich zweckmässig, wenn die Rolle als Losscheibe gebraucht 
wird. 

Fig. 422. 



1. Beispiel. Die Solle in dem Beispiel des vorigen Paragraphen hat 
eine eO^-* dicke Welle. Sie btl-ommt daher nach (150) eine Nabe von 
10 + ^ + -^ = 10 + 10 + 7 = S7-«« Wanddicke und 3,5 . 37 ./-^ 
67m>n Länge. 

Die Naben der Losscheiben dürfen auf geringere Wanddicke 
abgedreht werden ; häufig gibt man ihnen eine Auabücbsung aus 
Bronze oder Weissmetall. Die Befestigungskeile sind bei deo 
Riemschciben das, was wir früher Torsionskeile nannten, s. §. 90, 
und sind für leichtere Scheiben als Hohlkeile, iiir stärker bean- 
spruchte als flach aufgelegte, für die stärksten als Versenkkeile 
auszuführen, wobei wieder die Keilbreite 

24* 



372 BefcBtiguDg der Rollennabe. 

, = . + f| 

die Keildicke: (151) 

und der Anzug = '/loo bis '/soo genommea werden kann. 

2. Beispiel, Obige Scheibe erhält nach (151) einenKeil von derDicke 
g = 4 -\-^ = I6""», und der Dickt «i = 4 + ~ = 10««. 

Vielfach fiilirt man in neuerer Zeit die Riemscbeiben, nament- 
lich die für kleinere Krailabgaben, gehälfttit aus, vergl. Fig. 423, 
nm sie leicht auf die Wellen setzen zu köonen. 




Man kann bei solchen häufig dea Befestigungskeil ganz ent- 
behren, indem man die Nabe mit den VerbindungsBchranben ge- 
nügend fest auf die Welle klemmen kann. Die Scheibenbälllen 
werden am Kranz verbunden gegossen und nach dem Ab- und 
Ausdrehen erst auseinander gesjirengt, nachdem man die Spreng- 
fuge durch kleine Bohrungen vorbereitet hat. Lässt man die Nabo 
beim Ausdrehen eine Spur enger als die Wellendjcke angibt, so 
gelingt das Festklemmen leicht. Die Armbälften an der Trennuogs- 
fuge werden jede beinahe so stark coustruirt wie ein ganzer 
Arm*). 



•) üeber die sogenannte Keilnabe för Riemicheiben, eine Nabe mit 
dreitheiligcm, als KeÜBtück dienenden konischem Einsatz siehe Constr.-Lehre 
f. d. Maschinenbau 8. 590. 



Gewichte der Riemscheiben. 



373 



§. 168. 

Tabelle über die Gewichte der Biemscheibeiu 



Die Gewichte der Rollen lassen sich nur annähernd allgemein 
vorausberechnen, da die Nabenhöhlung von der Welle abhängt, 
auch die Freiheit in der Wahl gerader oder gebogener Speichen 
kleine Unterschiede bei sonst gleichgrossen Rollen hervorruft. Im 
Durchschnitt wird das Gewicht O einer nach den obigen Regeln 
entworfenen Riemscheibe gut ausgedrückt durch die Formel: 

G = [4,73 I 4- 0,44 (I)' + 0,09 (f)'] J» . . (152) 

wobei R und b in Decimetern einzusetzen sind. Nach dieser 
Formel ist die folgende Tabelle berechnet 



B 


G 


R 


(r 


R 


G 


R 


G 


b 


b^ 


h 


63 


b 


63 


h 


ft3 


1 


5,26 


2,5 


15,98 


5,0 


45,00 


8,25 


119,51 


1,1 


5,86 


2,6 


16,85 


5,2 


49,15 


8,70 


129,47 


1,2 


6,47 


2,7 


17,75 


5,4 


52,54 


8,75 


135,37 


1,3 


7,09 


2,8 


18,67 


5,6 


56,09 


9,00 


143,82 


1,4 


7,73 


2,9 


19,61 


5,8 


59,80 


9,25 


152,63 


1,5 


8,39 


3,0 


20,58 


6,0 


63,66 


9,50 


161,82 


1,6 


9,06 


3,2 


22,59 


6,2 


97,69 


9,75 


171,36 


1,7 


9,75 


3,4 


24,71 


6,4 


71,88 


10,00 


181,30 


1,8 


10,46 


3,6 


26,92 


6,6 


76,26 


10,25 


191,63 


1,9 


11,19 


3,8 


29,27 


6,8 


80,81 


10,50 


202,63 


2,0 


12,66 


4,0 


31,72 


7,0 


85,54 


11,0 


225,06 


2,1 


12,71 


4,2 


34,30 


7,25 


91,72 


11,5 


249,46 


2,2 


13,49 


4,4 


37,00 


7,50 


98,19 


12,0 


275,64 


2,3 


14,30 


4,6 


39,83 


7,75 


104,98 


12,5 


298,93 


2,4 


15,13 

• 


4,8 


42,79 


8,00 


112,08 


13,0 


333,58 



Beispiel. Für die grössere Rolle aus Beispiel i, §. 162 fand sich 

R 620 

y = ^ = 4,33 , und b = 120^^ = 1,2 Decimeter, Nach Spalte rf. 



374 Drahtseiltrieb. 

Zeile 12 bis 13 wird daher das ungefähre Gewicht der Biemscheihe 

G = ^^>^^ + ^^»^^ ^^3 — t^y28 . 35,56 = 61,45^, Die kleinere RoUe 

erhielt 260^^ Durchmesser; mithin ist für dieselbe -r- = r^-r = 2,17, 

1/Q\ß 

und ihr Gewicht nach Spalte 2, Zeile 12 bis 13: 

G == ^>^^ + ^^>^^ . ^^2^ — 13,1.1,728 = 22,64k, 



XIIL DER DRAHTSEILTRIEB. 

§. 169. 

Anordnung des Drahtseiltriebes. 

Der Drahtseiltrieb, erfunden gegen 1850 von den Brüdern 
Hirn*), bezweckt die Fortleitung von Triebkräften auf grosse 
Entfernungen, die bis zu 1000°* und darüber gehen können, ohne 
dass erhebliche Kraftverluste stattfinden. Er beruht der Haupt- 
sache nach auf denselben Grundsätzen, wie der Riementrieb, in- 
dem er nichts anderes ist als ein, meist schnelllaufender Rollen- 
trieb, bei welchem statt des Riemens ein schlaff auf den Rollen 
hängendes, sich durch sein eigenes Gewicht spannendes Draht- 
seil angewandt wird. 

Die beiden Hauptrollen eines einfachen Seiltriebes erhalten 
durchgängig parallele Achsen, sowie eine gemeinschaftliche Mittel- 
ebene, so dass Selbstleitung des Seiles entsteht. Gewöhnlich liegen 
ausserdem die Rollenachsen des einfachen Seiltriebes auch noch in 
einer wagerechten Ebene, wobei der Seiltrieb ein horizontaler 
heisst; ist die Ebene der Achsen geneigt gegen die Bodenfläche, 
so wird der Seil trieb ein schiefer genannt; senkrechte Seil- 
triebe sind wenig gebräuchlich. Ein Seiltrieb, bei welchem die 
getriebene Rolle die übertragene Kraft behufs der Fortleitung 
wieder an eine treibende abgibt, heisst ein zusammengesetzter 
Seiltrieb. Bei dem einfachen Seiltrieb werden die Triebrollen in 
der Regel von gleicher Grösse gemacht. 



*) Und zuerst anpfewandt für 42 Pferdestärken bei GOminutlichen Um- 
drehungen der Rollen und 85" Abstand derselben. 



Drahtseiltrieb. 375 

Damit das Treibeeil bei nicht ausreichender Höhe über dem 
Boden diesen nicht streife, müssen demselben bei den grösseren 
Rolle nah stände II Tragrollen untergestellt werden, welche bei 
ganz kleinem Rollenstand auch als Spannrollen dienen könuen. 
Die Schiefstellung der Tragrollen ermöglicht auch die Seil-Leitung 
für winklig und geschränkt stehende Triebrolten-Ächseu, ohne dass 
indessen hiervon bis jetzt viel Gebrauch gemacht worden wäre. 
Für bedeutende Ablenkungen ist auch die Einschaltung liegen- 
der Leitrollen zwischen nahhe nach harte stehende, oder aber die 
Anwendung eines zusammengesetzten Seiltriebes mit einge- 
schalteten Winkelrädem besser geeignet 

Als untere Grenze fiir den Triehrollenstand möchte die Grösse 
von 15 bis 20 Meter anzusehen sein; die Abstände der etwaigen 
Tragrollen richten sich nach der Lage des Seiles über dem Boden 
und der Zugänglichkeit des letzteren. 



§. "0. 

Das Treibseil und seine Anspannungen. 

Die gewöhnlichen Treibseile sind 36drähtige runde Eiseu- 

drahtseile , aus 6 Litzen von je 6 Drähten bestehend, welche um 

eine Hanfseele herumgelegt sind, und selbst jede eine dünne Hanf- 

seele enthalten, Fig. 424. Will man das Seil verstärken, so kann 

Fig. 424. Fig. 425. 





man, wie es scheint ohne Nachtheil, statt der mittleren Hanflitze 
auch noch eine 6drähtige Seillitze anbringen. Ja Einzelne wollen 



376 



Drahtseiltrieb. 



auch die Hanfseelen der einzelnen Litzen noch durch Drähte ersetzt 
wissen, indem sie dadurch das beim Zerreiben der Hanfeinlage ent- 
stehende Schlaffwerden des Seiles verhüten wollen. Entschieden ist 
noch nicht über dieZulässigkeit dieser Einrichtung, welche das Seil 
unelastischer macht; doch steht so viel fest,dass man zu jenen 
Hanfseelen das beste, nicht wie früher Gewohnheit war, das 
schlechteste Material nehmen soll. Die Drähte drängen sich so 
eng als möglich zusammen, so zwar, dass das fertige Seil fast ganz 
genau die 8fache *) Drahtdicke zum Durchmesser erhält 

Für noch grössere Drahtzahlen werden ebenfalls vorzugsweise 
6litzige Seile angewandt (so dass also die Gesammtzahl durch 6 
aufgehen muss) und dabei in den einzelnen Litzen die Drähte um 
eine Hanfseele herum geordnet; die Litzen selbst liegen dann 
wieder um eine Hanfseele herum. Man bedient sich ausser den 
obigen Drahtzahlen der Zahlen 48, 54, 60, 66, 72 u. s. w.; doch 
ist man keineswegs an die Sechslitzigkeit des Seiles gebunden. Ein 
60drähtiges Seil stellt Fig. 425 (a. vor. S.) im Durchschnitt dar; 
man erkennt daran die Construktion deutlich. Bei derselben hat 
man für den äusseren Seildurchmesser d bei der Drahtdicke d : 
wenn die Drahtzahl i = 36 48 54 60 66 72 

y=8,00 10,25 11,33 12,80 13,25 14,20. 

Hinsichtlich der Anspannungen T und t des führenden und 
geführten Seiltrumes, Fig. 426, ist die Formel (133) anzuwenden, 

Fig. 426. 




'*') Bei Annahme vollständigen Schlusses der Drahte nicht die lOfache, 
wie es in der Gonstruktionslehre §. 237 angegeben ist, wo ein lockeres 
Aufeinanderliegen der Drähte vorausgesetzt wurde. Diese Zifferanderung 
bringt keine wesentliche Aenderung in den dortigen Angaben hervor, da 
sich die Angaben für den Rollenhalbmesser doch stets schliesslich auf die 

Drahtdicke beziehen, für welche dort stets — zu nehmen ist. 




Seildiüke. 377 

in welcher zu setzen ist: 

wenn/i wieder den Coefficienten der Zapfenreibung, D den Zapfen- 
durchmesser, R den Rollenhalbmesser bezeichnet. Die Seilsteifig- 
keit wirkt in u nicht mit, indem sie bei den zu wählenden Ver- 
hältnissen so klein ist, dass sie nur ganz unmerklich auftritt. Im 

Mittel wird -r=r- = -— ; setzt man noch/, = 0,1, so wird: 

R 16 -^ 

u = 0,003. 
Hiermit bei /= 0,24 und a = 7t die Gleichung (133) aufge- 
löst, gibt für die mindestens nothwendigen Anspannungen der 
Seiltrümer: 

~ 0,97, I = 2,02, ^^^ = 2,99, 1 = 0,48 . . (153) 

wofür wir nehmen : 

l = l,| = 2,^^=3,f = l (154) 

Bemerkung. Der in §. 160 erwähnte Gleitungsverlust beträgt 
beim einfachen Seiltrieb durchschnittlich noch nicht Vsq Procent, ist also 
vemachlässigbar. 

§. 171. 

Berechnung der Seildieke und Triebrollengrösse. 

Für ein i-drähtiges Eisendraht-Treibseil machen wir 
nun die durch den Zug T im führenden Seiltrum hervorge- 
rufene Dehnungs-Spannung ©i in den Drähten: ©i <^ 18^, und 
haben zu nehmen: 

1. Wenn an der Seilscheibe ein Umfangswiderstand P wirkt, 
die Drahtdicke: 

d= 1,60 y^yj (155) 

2. wenn -RT Pferdestärken bei v^ Umfangs- oder Seilgeschwin- 
digkeit übertragen werden sollen : 

3==13,86yXy^ (156) 

wobei V nicht über 30 bis 32°* betragen darf; 



378 Triebseilberechnung. 

3. wenn ^Pferdestärken bei n minutlichen Umdrehungen 
der Rollen übertragen werden sollen : 



a=l349Vi-y^ 



(157) 



4* wenn noch s = 18 — ©i die durch das Biegen des Seiles 
um die Rollen in den Drähten entstehende Biegungsspannung be- 
zeichnet, und ein statisches Moment (PR) der Drehung der ge- 
triebenen Rolle entgegenwirkt: 



d = 0,0634 y-^ y^ (PR) . . . 



(158) 



5. oder endlich, wenn statt des Momentes (PB) wieder N 
und n gegeben sind: 

Ä = 5,67 ]7-L \7j- ^ (159) 

Dabei ist sorgfaltig darauf zu achten, dass der Rollenhalb- 
messer R im Verhältniss £ur Drahtdicke nicht kleiner gewählt 
werde, als: 

2 = 15222 (160) 

OS 

Diese letzte Formel hat folgende Ergebnisse: 



Sl 


s 




®i 


s 


B 
d 


0,5 


17,5 


571 


9 


9 


1111 


1 


17 


588 


10 


8 


1250 


2 


16 


625 


11 


7 


1429 


3 


15 


667 


12 


6 


1667 


4 


14 


71^4 


13 


5 


2000 


• 

5 


13 


769 


14 


4 


2500 


6 


12 


833 


15 


3 


3333 


7 


11 


909 


16 


2 


5000 


8 


10 


1000 


17 


1 


10000 



Den im Zahlenwerth kleinsten Rollenhalbmesser bei constanter 

s 
Summe ©i + s erzielt man, wenn man jsr- = 2 nimmt. Dies ent- 

' ©1 c 



Tabelle über die Triebseile. 



li 



379 



spricht unseren Werthen S| = 6, s= 12, -jr' = 833; inderNähe 

dieser Werthe fällt die numerische Grösse von JB wenig verschie- 
den von ihrem Minimum aus. R grösser als nöthig zu nehmen 
(vielleicht wegen vorhandenen Modelles) ist unschädlich. 



§. 172. 

Tabelle über die Drahtdicke der Triebseile. 



Die erstere der beiden folgenden Tabellen ist nach Formel 

(155) bis (157), die andere nach (158) und (159) berechnet; um 

N 
unbequeme Zahlen zu vermeiden, wurde aus (147) 1000 ^ y. 

N 



anstatt 



B.ün 



entwickelt. 



Drahtdicke «f bei der Drahtzahl 


P 


N 


1000 iV 
©lÄn 


f — 36 


i — 42 


i ^ 48 


t — 60 


f = 72 


0,5 


0,46 


0,43 


0,39 


0,35 


3,52 


0,047 


0,005 


0,6 


0,55 


0,52 


0,46 


0,42 


5,06 


0,068 


0,007 


0,7 


0,65 


0,61 


0,54 


0,49 


6,89 


0,092 


0,010 


0,8 


0,74 


0,69 


0,62 


0,57 


9,00 


0,121 


0,013 


0,9 


0,83 


0,78 


0,70 


0,64 


11,39 


0,153 


0,016 


1,0 


0,92 


0,87 


0,77 


0,71 


14,06 


0,188 


0,020 


1,2 


1,11 


1,04 


0,93 


0,85 


20,25 


0,279 


0,028 


1,4 


1,29 


1,21 


1,08 


0,99 


27,56 


0,369 


0,039 


1,6 


1,48 


1,39 


1,24 


1,13 


36,00 


0,482 


0,051 


1,8 


1,66 


1,56 


1,39 


1,27 


45,56 


0,610 


0,064 


2,0 


1,85 


1,73 


1,55 


1,41 


56,25 


0,753 


0,079 


2,2 


2,03 


1,91 


1,70 


1,26 


86,06 


0,912 


0,096 


2,4 


2,22 


2,08 


1,86 


1,70 


81,00 


1,085 


0,114 


2,6 


2,40 


2,25 


2,01 


1,84 


95,06 


1,273 


0,134 


2,8 


2,59 


2,42 


2,17 


1,98 


10,25 


1,477 


0,155 


3,0 


2,77 


2,60 


2,32 


2,12 


126,56 


1,700 


0,178 



380 Triebseilberechnung. 

Drahtdicken unter 0,5"°* und viel über 2"*" werden in Treib- 
seilen nicht gerne benutzt. Die zweite bis fünfte Spalte in dieser 
wie in der folgenden Tabelle geben die Drahtdicken bis auf Hun- 
dertelmillimeter an, eine Folge der Umrechnung der betreflFenden 
Werthe aus denen der ersten Spalte; es versteht sich von selbst, 
daBS für praktische Ausführungen jene Zahlen auf alle Fälle ab- 
zurunden sind. Die Qualität des zu Triebseilen zu benutzenden 
Eisendrahtes muss sehr sorgfältig gewählt werden, um den Seilen 
eine grosse Dauer zu verschaffen. Am besten eignet sich Draht 
aus schwedischem Eisen, indem derselbe eine besonders grosse 
Zähigkeit bei übrigens recht grosser Festigkeit besitzt. Seilfabri- 
kanten haben namentlich darauf zu sehen, dass die einzelnen Draht- 
adern recht lang sind, damit möglichst wenig Stossfugen in den 
Drähten anzubringen sind. Stahldraht ist nicht so zweckmässig 
als Eisendraht zu Triebseilen befunden worden. 





Drahtdicke d bei der Drahtzahl 


















4 (^^) 


8 N 
©, n 


f = 36 


i — 42 


i — 48 


f — 60 


t — 72 


0,5 


0,47 


0,45 


0,42 


0,40 


17 658 


0,026 


0,6 


0,57 


0,55 


0,51 


0,48 


30 613 


0,048 


0,7 


0,66 


0,64 


0,59 


0,56 


48 454 


0,068 


0,8 


0,76 


0,78 


0,67 


0,63 


72 328 


0,101 


0,9 


0,85 


0,82 


0,76 


0,71 


102 982 


0,144 


1,0 


0,95 


0,91 


0,84 


0,79 


141 265 


0,197 


1,2 


1,14 


1,09 


1,01 


0,95 


244106 


0,341 


1,4 


1,33 


1,27 


1,18 


1,11 


387 631 


0,542 


1,6 


1,52 


1,45 


1,35 


1,27 


578 621 


0,894 


1,8 


1,71 


1,64 


1,52 


1,43 


823 857 


1,152 


2,0 


1,91 


1,82 


1,69 


1,59 


1130120 


1,580 


2,2 


2,09 


2,00 


1,86 


1,75 


1504190 


2,103 


2,4 


2,28 


2,18 


2,02 


1,90 


1952 847 


2,730 


2,6 


2,47 


2,36 


2,19 


2,06 


2482 874 


3,471 


2,8 


2,66 


2,54 


2,36 


2,22 


3101 049 


4,335 


3,0 


2,85 


2,73 


2,53 


2,38 


3814 155 


5,332 



Bemerkung (vergL §. 162). In Formel (155) bis (157) ist 
der Rollenhalbmesser R als bekannt vorausgesetzt; die von jenen 



Triebseilberechnung. 38 1 

Formeln gelieferten Werthe von d sind aus diesem Grunde nur 

dann brauchbar, wenn das sich schliesslich ergebende Verhältniss 

R 
von -T- nicht solche Werthe für die Spannung s liefert, welche zu 

©i hinzugefügt, 18*^ übersteigen. In diesem Falle ist die Rech- 
nung mit einem grösseren Werthe von li zu wiederholen. (Siehe 
übrigens §. 174.) — Um Gebrauch von den gegebenen Formeln 
und der vorstehenden Tabelle zu machen, hat man zunächst bei 
gegebenen Kräften die Spannung ©^ zu wählen. Dieses geschieht 
unter Berücksichtigung dessen, was im folgenden Paragraphen 
gesagt ist, und möge in den nachstehenden Beispielen als abge- 
macht betrachtet werden. 

1, Beispiel, Man will mittelst 5'» hoher Seilscheiben 250^ Umfangskraft 

übertragcfi; wie dick sind die Drähte eines 36drähtigen Seiles zu nehmen? 

P 250 
Macht man ©j = 7*, so ist ^= -zr^^SSjööyWas nach Sp.6, Z.9 der er- 

sten Tab. eine Drahtdicke von 1fi>nm erheischt. Dies gibt -p- = /x^ 937: 

O 10 

nach der aus (160) berechneten Tabelle soll aber bei S^ = 7, und 
« = li ; -r ^ 909 sein ; unsere Annahme ist mithin brauchbar. Hätte 

man aber R = 1200"*^ gewählt, so würde man erhalten haben: -p = 

•v./ 750 , was zu wenig ist, wnd die Annahme als unstatthaft er' 

weist. 

2, Beispiel, Es seien 300 Pferdestärken mit einem Seiltrieb zu 
übertragen. — Um ein nicht zu dickes Seil zu erhalten, wählen wir die 
Seilgeschwindigkeit v = 25m ^ ferner werde ©j = 8, also s-=^ 10 gewählt. 

Dann kommt ^— = -=: 1,5, Die erste Tabelle zeigt in Spalte 7, 

Zeile 15 den Werth 1,477. Demnach bekäme das sechsunddreissiger Seil 
2,8mfri Drahtdicke, das sechsziger 2,17mm •^y 2,2mm Drahtdicke, was an- 
nehmbar erscheint. Es wird nun nach §. 171 zu nehmen sein (we- 
gen s = 10) R = 1000 . 2,2 = 2200mm ^ und da v z= |^^^, n=i 

€0.1000.25 _o. _^ 

— — — — - = 108.4 t/'v.^ 108. 
2. 2200. n ' 

3, Beispiel, Wieviel Pferdestärken vermag ein 36drähtiges Seil 
von 2mm Drahtdicke auf 3m hohen Rollen bei 90 minutlichen Umdrehun- 
gen der Rollen zu übertragen? Hier ist -?• = — ;r— = 750, was nach 

o 2 

(160) s =r ^11^ = 13,33t, und somit ©i = 4,67t entspricht. Dies liefert, 

1000 N 
da nach Sp. 8 Z. 11 der ersten Tab. für «f = 2mm ^ _ — = 0,079 ist, 

©iZi n ' 



382 



Einsenkungen der Triebseile. 



N = 0,0^9^«. ®. • B ^ 0,079 . 90Jfi7 . 1500 ^ ,,_g Pf„destärlcen. Schei- 

hen von 2fi^ Durchmesser tcürden ergehen haben 'T==""ö" =^ ^'^^» ®^*^ 
8 = iC*, ©, = ;?*; wt^Ätn JV = 0,079,90^2.1250 ^ ^^^^^ Pferdestärken. 

4. Beispiel. An der getriebenen Welle eines Seiltriebes soll ein 
Widerstand van 50* an einem Hebelarme von 1000"*"^ fortwährend über^ 
wunden werden; welche Drahtdicke erhält ein Sßdrähtiges Seil bei dem 
kleinsten zulässigen Bollenhalbmesser? — Wegen des letzteren ümstandes 

ist nach §. 171 zu wählen 8 = 12^^, ©j = 6*, sodass ^PB=2.50.1000 

= 100000 wird. Dies liefert nach Spalte 6 Zeile 5 der zweiten Tabelle 
die Drahtdicke d = 0,9"»'/», sodann nach Tabelle §, 171 B = 833 . 0,9 
•v^ 750"*«*, 

5. Beispiel. Ein Seiltrieb mit 2idrähtigem Seile soll 30 Pferde- 
stärken bei 100 minutlichen Umdrehungen übertragen, und sei ©i=6*^e- 

s N 

wählt, dann wird nach dem obigen s -= 18 — 6 = 12^ und -=- — 

' ^ ©in 

2 30 
= ' = 0,6 und daher nach Sp. 7, Z. 8 und 9 der zweiten Tab. die 

Drahtdicke d = nahe 1,4*^^, Für den Bollenhalbmesser hat man dabei 
nach (160) B = 1,4 . 833 = 1166^"*, wofür wir 1200'nm nehmen würden. 



§. 173. 

Die Einsenkungen der Treibseile beim horizontalen 
Seiltrieb. Tabelle über dieselben. 



Damit das Treibseil in seinen beiden Trümern die richtigen 
Anspannungen Tund t erhalte (nicht zu kleine, weil sonst das Seil 

Fig. 427, 




gleitet, nicht zu grosse, damit es nicht überspannt wird), muss 
die Einsenkung, welche man den beiden Seiltrümern im Ruhe- 
stand verleiht, von einer bestimmten Grösse sein; auch muss man 



Einsenkungen der Triebseile. 383 

die Einsenkungen des in Bewegung befindlichen Seiles kennen, um 
den von dem Seiltrieb beanspruchten Baum ermessen zu können. 
Die Seilsenkung hängt von der in den Drähten beabsichtigten 
Dehnungsspannung ab. 

Ist A der Bollenstand eines horizontalen Seiltriebes in Meter 
gemessen, 
h die ebenfalls in Meter gemessene Einsenkung des Sei- 
les (und zwar beim führenden Trum Äj, beim geführten 
Äj, beim ruhenden Seil ho)^ 
© die in demselben hervorgerufene Dehnungsspannung auf 
den Quadratmillimeter (beim führenden Seiltrum ©i, 
beim geführten ©j, beim ruhenden Seil ©o)f 
so ist für das Eisendrahtseil, wenn es eine beliebige Drahtzahl hat: 

-^ = 0,3535 Aeo ® — y Aeo ^y — A . . (lei) 

und: 

f = 0,00877 (*+ ^) (162) 

Aus dieser Formel ist die auf umstehender Seite folgende 
Tabelle berechnet. Für erste und vorläufige Aunäherungsrech- 
nungen ist mit ziemlicher Annäherung auch: 

A "^ 912 © ^ ^ 

Man benutzt die umstehende Tabelle, indem man gemäss den 

A 

in der Aufgabe gegebenen Grössen den Quotienten -^ aus dem 

Bollenstand und der im Seil herschenden Dehnungsspannung bil- 
det, den nächstliegenden Tabellenwerth aufsucht, und mittelst des 

zugehörigen Werthes von -j- die Senkhöhe h berechnet. Die 

Spannung ©o im ruhenden Seile ist nicht*) das arithmetische 
Mittel aus ©i und ©2, sondern bestimmt sich aus der Länge der 
beiden Seiltrümer auf etwas verwickelterem Wege. Der Werth, 
dessen man bedarf, ist die Senkung h^ der ruhenden Seiltrümer. 
Sie ist annähernd: 



h, = \/^-^t:tR^^^0fi7h, + 0,2Sh, . . 



(104) 



*) Wie in der früheren Aufl. des Conetr. angenommen wurde. 



402 Tragrollen. 

= und II t, DE = und || ^i, EF = und || G, worauf die Verbin- 
dungslinie FA = und II der gesuchten Kraft Q ist. 

Die Tragrollen werden gewöhnlich gerade so construirt wie 
Kraftrollen für dieselbe Seildicke , und erhalten dann bei Befol- 
gung der Regeln in §. 178 und 179 annähernd folgendes Gewicht: 

bei der einfachen Rolle: 

§=[(«+ 1* + W) (D + (».'» + ^ + ^) (D' 

bei der Rolle mit zwei Kimmen, Fig. 199: 

l=[(-+^+T)(l)+(°.-+^+^)(D' 



+(„,«,5+o^)(D-]a,c) 



wobei R und d in Decimetern einzuführen sind. 

1. Beispiel, In dem Betspiel 4, §. 173, fand sich ein 36drähtiges 
Seil von 0,9^^^ Drahtdicke, also 8.0,9 = 7,^«»»» Durchmesser, bei einem 

Bollenhalhmesser B = 750"*"^. Dies gibt -j = =-p = 104, Für eine 

einkimmige Bolle ergibt sich daher nach (175) das Gewicht G=0,012^[i4:5'\- 
13,89 . 36,4 + 13,89^ . 7,32) 104 + (0,33 + 13,89 . 0,116 + 13,89^ . 0,0072) 104^ 
+ (0,005 + 13,89 , 0,0007) 104^ = nahe 95^. 

2, Beispiel. Für den 300pferdigen Seiltrieb aus dem zweiten Bei- 
spiel §. 172 fand sich d = 2,25'nm^ also nach §. 170, da das Seil zu 60 
Drähten berechnet wurde, d = 12,8 . 2,2 ./^v^ ^8'/»"», B = 2200,' 

B 2200 

-^ also = = 79. Die zweikimmige Zwischenrolle hierfür erhält 

nach (176) ein Gewicht: G = 0,28^ [(84 + 3,57,66,4 + 3,57^ . 13,30) 79 
+ (0,33 + 3,57 , 0,116 -\- 3,57^ . 0,0072) 79'^ + (0,005 + 3,57 . 0,0007) 79^] 
== nahe 1050^, 

Für grosse Rollen bei beträchtlicher Seildicke wird, wie das 
letzte Beispiel zeigt, das Tragrollengewicht schon recht gross; es 
ist deshalb zu begreifen, dass man durch Anwendung der Spann- 
stangen-Construction (System der „hängenden" Räder) einen 
leichteren Bau zu erzielen gesucht hat. Eine danach construirte 
Zwischenrolle ist in Fig. 446 skizzirt; obiges Rad fällt dabei um 
etwa ein Viertel leichter aus, als wir es fanden. Aus Eisenblech 
hergestellte Seilrollen sind unter anderem in Schweden, wo der 
Seiltrieb bereits festen Fuss gefasst hat, mit Vortheil zur Anwen- 
dung gekonmien *). 

*) Vergl. Zeitschr. d. V. deutscher Ingenicure 1868, S. 591. 



^ 



• Trag- und ZwischeiiroUeii. 403 

§. 183. 

Pfeiler für die Tragstationen. 

In Fig. 446 ist eine Tragstatioii für die Tragrolle eines zu- 
sammengesetzten Seiltriebes skizzirL Das Gestelle wiid am testen 
nicht aus Holz, aouderii aus Ziegeln oder anderein Mauerwerk her- 
Fig. 446. 




gestellt, die Lagerung entweder, wie hier angedeutet, mit niedri- 
gen Bocklagern, oder aber, namentlich wenn der Pfeiler ohnedies 
schon sehr hoch ausfallt, unter Anwendung eines Bocklager Stuh- 
les nach Fig. 348 bis 350 ausgeführt. Die Sohltilatton der bei- 
den Lager werden mit vier kräftigen Ankern , welche in die Tiefe 
der Pt'eilergrüiidung hiuabgreifeu, festgeschraubt. Der Aclise gebe 
man cüie Liinge = dem Uollenhalbmesser R zwischen den Zapfen- 
mitteln. Bei zweiroiligcu Stationen wird der Pfeiler sehr tief ge- 



404 Trag- und Zwischenrollen. • 

schlitzt, und die obere Rolle am praktischsten auf einen eisernen 
Lagerstuhl gelagert. In einzelnen Fällen hat man die Tragrollen 
auch fliegend laufend angebracht, wie die Punktirung in der Vorder- 
ansicht Fig. 446 andeutet. Dies ist namentlich für das Auflegen 
eines neuen Seiles bequem. Bei der letzteren Operation bedient 
sich Ingenieur Ziegler sehr geschickt eines improvisirten (aus 



Fig. 447. 




Winkeleisen hergestellten) Herland'schen Auflegers, siebe Fig. 
447, welcher in die Rinne der einen Rolle mit HakenBcbraubeu 
befestigt wird. 

Wenn in dem ganzen vorstehenden Kapitel stets angenom- 
mea wurde, dass die beiden Kraftrollen gleich gross seien , so ist 
damit nicht ausgesprochen, dass man sich auf dieses Verhaltniss 
einschränken soll. Manchmal möchte man in der That durch 
wichtige Gründe zur Anwendung von Uebersetzung im Seiltrieb 
veranlasst sein. Man ermittele in solchen Fällen nur die Seildicke 
und RollengrÖsse bei der kleineren der beiden Kraftrollen, und 
halte überhaupt durchweg fest, dass eine genügende Grösse 
der Rolle den wesentlichsten Antbeil an der Güte des 
Seiltriebes hat. 



Allgemeines über die Zahnräder. 405 



XIL ZAHNRÄDER, 

§. 184. 

Anordnung der Zahnräder. 

Die geometrischen Achsen der Zahnräder kommen in densel- 
ben vier Ilauptstellungen vor, welche bei den Riemscheiben, §.157, 
angeführt wurden; auch erhalten die Räder je nach der Achsen- 
stellung verschiedene Grundformen und Anordnungen. 

Die Räder für parallele Achsen erhalten eine cylindrische 
Grundform (Stirnräder), die für schneidende Achsen eine kegel- 
förmige (Kegelräder, Winkelräder), die für geschränkte Achsen 
eine cylindrische oder konoidische (hyperboloidische). Die 
Radzähne erhalten entweder gerade in der Erzeugenden der 
Grundfigur liegende Achsen, was der am meisten gebräuchliche 
Fall ist, oder die Zahnachsen werden schraubenförmig gewun- 
den (Schraubenräder), wobei die Grundform des Rades irgend eine 
der vorhin angegebenen ist. Soll die Uebertragung der Bewegung 
ohne Aenderung des Bewegungsgesetzes stattfinden, so werden die 
Grundformen der Räder Drehungskörper zu ihren geometri- 
schen Achsen, und diese einfachen Räderarten sind es, welche hier 
behandelt werden sollen^ 



A. Die Verzahnung der Stirnräder. 

§. 185. 

Allgemeines über Material und Form der Zähne 

der Stirnräder. 

Bei den Stirnrädern können die Zahnformen so gewählt wer- 
den, dass Räder von gleicher Theilung stets richtig mit- 
einander arbeiten. Räder von diesen Zahnform-Eigenschaften 
hcissen Satzräder, diejenigen hingegen, welchen die genannte 
Eigenschaft fehlt, Einzelräder. 



406 Allgemeines über die Stirnräder. 

In jedem Räderpaar heissen zwei den verschiedenen Rädern 
angehörige, aus den Radmittelpunkten beschriebene Kreise, welche 
in jedem Augenblick gleiche Umfangsgeschwindigkeit haben, Ver- 
hältnisskreise. Die berührenden Verhältnisskreise eines cy- 
lindrischen Stirnräderpaares heissen dessen T heilkreise. Auf 
ihnen wird die Zahntheilung, d. i. die Entfernung der Mittel- 
ebenen zweier benaclibarten Zähne abgetragen. Die Zahnachse 
liegt bei den geradzähnigen Stirnrädern, von welchen liier 
vorerst nur die Rede sein soll, im Theilkreiscylinder. 

Die Stirnradzähne werden prismatisch geformt; dabei heissen 
die Grundflächen der Zahnprismen die Endflächen der Zähne, der 
über den Theilkreiscylinder hervorragende Theil des Zahnes der 
Zahnkopf, der andere Theil der Zahnfuss, die obere Fläche 
des Zahnkopfes ist der Zahn seh eitel, die untere des Zahnfusses 
die Sohle oder Wurzel des Zahnes; die Zahnsohlen stehen in der 
Regel auf dem Radboden auf. Die Flächen, welche die Zahnsohle 
mit dem Zahnscheitel verbinden, heissen dieZahnflanken; in ih- 
rer Formgebung insbesondere besteht das, was man die 
Verzahnung der Räder nennt. Der Raum zwischen zwei be- 
nachbarten Zähnen heisst die Zahnlücke. 

Beim Stirnrad nennt man ferner Zahn länge, l Fig. 448, 

den Abstand von Zahusohle und Scheitel, 
Zahnbreite, 6, den Abstand der End- 
flächen des Zahnes, Zahn dicke, d, 
die Länge des zwischen die Zahnflan- 
ken fallenden Theilkreisbogens , und 
Lücken weite endlich die Länge des in 
die Lücke fallenden Bogens des Theil- 
kreises. Indem man die Lückenweite grösser macht als die Zahn- 
dicke, und die Kopflänge der Zähne kleiner als die Fusslänge, 
entstehen die Flanken- und Scheitelspielräume zwischen 
den Zähnen. 

Bei der Anfertigung der Zahnräder muss den Zahnformen be- 
sondere Sorgfalt gewidmet werden, wenn der Gang der Räder be- 
friedigend ausfallen soll. Am allerwich tigsten ist hierbei , auf die 
Genauigkeit der Th eilung sein Augenmerk zu richten; Fehler 
in den Zahnformen sind lange nicht so störend, als Fehler in der 
Theilung. Die Benutzung der Theilmaschinen resp. Räderschneide- 
maschinen zur Zahnräderfertigung erhöht daher die Zuverlässig- 
keit der gelieferten Räder auf jeden Fall. Die Anwendung solcher 





Periplieriemaasstab. Stichzahl. 407 

Maschinen verbreitet sich ])ei uns jetzt mehr und mehr, was sehr 
erfreulich ist. Die Wechselräder, der Drehbänke sollte man 
eigentlich nicht anders, als mit Maschinentheilung anwenden, da 
die Fehler der bloss gegossenen Räder bei jeder zu schneidenden 
Schraube sich nachtheilig merkbar machen. Noch schlimmer wir- 
ken diese P'ehler, wenn man Schraubenräder (siehe unten §. 203) 
auf solchen Bänken schneiden will. Der sanfte stossfreie Gang, 
der bei diesen Rädern sonst leicht zu erzielen ist, wird durch 
die Fehler wieder sehr beeinträchtigt. Bei der Wahl der Zahn- 
form, welche in einer Maschinenbauanstalt durchweg, oder für 
jede bestimmte Klasse von Rädern einzeln gebraucht werden soll, 
empfiehlt es sich , alle Umstände sehr genau zu erwägen, ehe man 
sich entschliesst, da von derselben so vieles abhängt. Im Folgen- 
den sind deshalb Anhalt- und Beurtheilungspunkte mit Sorgfalt 
zusammengestellt. 

§. 18G. 

Theilkreishalbmesser. Peripheriemaa438tab. 

Bei einer Theilung t und einer Zähnezahl 3 eines Rades hat 
man für den Theilkreishalbmesser R: 

j = .^ = 0,159153 (177) 

Der Halbmesser, welchen man mittelst dieser Formel erhält, 
ist wegen der Zahl 7t stets irrational, so dass bei abgerundeter 
Grösse der Theilung R immer einen Bruch bei sich führen wird. 
Zur Erleichterung der bezüglichen Rechnung dient indessen die 
nach (177) berechnete Tabelle des folgenden Paragraphen. Will 
man die Irrationalität von R vermeiden, so wähle man die Stufen 
der Theilungeu nicht nach einfachen Bruchtheilen oder Vielfachen 
der Maasseinheit (Millimeter, Linien etc.), sondern nach einfachen 
Bruchtheilen oder Vielfachen des ;rfachen der Maassein- 
heit, ein Verfahren, welches in vielen Maschinenbauanstalten ge- 
bräuchlich ist. (leht t durch tc Maasseinheiten einfach auf, so 
liefert die obige Gleichung : 

^ = 1(4) • • • • ^'''> 

stets einen rationalen Werth für R, Der Quotient — heisst auch 

n 

wohl die Stichzahl des Rades. 



408 Peripheriemaasstab. 

Hat z, B, ein 24zahnige8 Bad eine Theilung von 6 X 3,f4 . , . Miliime' 

24 
ter, 80 wird nach (177) sein Theilkreiahalhmesaer B = —.6= 72^'*; hat 

ein (nach pretissischem Maasa construirtes) Bad eine Theilung von 

3 X 5>^^ • • • Linien oder die Stichzahl 3 bei 30 Zähnen^ so wird sein 

30 
Thetlkreishalbmesser B nach {178) = — . 5 = 45 Linien, 

Für das Auftragen der Theilungen und ihrer Bruchtheile 
bedient man sich sehr bequem des P er ipheri e -Maassta- 
b e s *). Derselbe wird für Metermaass erhalten, indem man die eine 
Seite eines (prismatischen, hölzernen oder metallenen) Maasstabes 
in 314 Millimeter und deren Hälften eintheilt, und auf der gegen- 
überstehenden Seite diese Länge in 100 Theile und deren Hälften 
getheilt aufträgt. Gleichnumcrirte Längen auf beiden Seiten 
verhalten sich dann wie 1 : n. Der Maasstab dient auch bequem 
zur Streckung (Rectification) von Kreisen und deren Bögen. 

Im Folgenden werden nun stets beide Methoden berücksichtigt, 
nämlich die, welche die Theilung nach dem gewöhnlichen Maass- 
system und rational, also die Halbmesser irrational ausführt, und 
die, welche die Theilung rational in Einheiten des Peripherie- 
maasstabes (Peripheriemillimeter, -Linien u. s. w.), und damit 
die Halbmesser ebenfalls rational, aber im gewöhnlichen Maass- 
system, macht. Die auf nebenstehender Seite folgende Tabelle ist 
nicht zu verwechseln mit der Donkin'schen **), nach dem Ausdruck 

—- = -— - — , welche den Halbmesser eines Kreises liefert, 

der ein regelmässiges Vieleck von 3 Seiten von der Länge t um- 
schreibt. Dieser Halbmesser ist namentlich bei kleinem 3 ver- 
schieden vom Radius R im obigen und gewöhnlichen Sinne. Die 
Verwechselung beider hat schon viele fehlerhafte Ausführungen 
hervorgerufen. 



♦) Derartige Maasstäbe , welche ich vor Jahren in den Uebungen im 
Maschinen-Conetruircn im Zürcher Polytechnikum einführte, haben auf 
meine Veranlassung sehr schön gefertigt und halten vorräthig die Herren 
Optiker Ernst (Schilflände) und Ulrich (Münsterplatz) in Zürich; auch 
sind solche aus der Königl. Eisengiesserei in Berlin zu beziehen. Ein 
solcher Maasstab von SHunn Länge ist gleichzeitig fast ganz genau ein 
preussischer Fuss, getheilt in Hundertstel und deren Hälften. 

♦♦) Siehe u. a. Salze nberg's Vorträge S. 93. 



\ 



Theilkr eishalbmess er. 



409 



§. 187. 

Tabelle über die Theilkreislialbmesser. 



3 





1 


2 


3 


4 


5 


6 


7 


8 


9 








0,159 


0,318 


0,477 


0,637 


0,798 


0,955 


1,114 


1,273 


1,432 


10 


1,59 


1,75 


1,91 


2,07 


2,23 


2,39 


2,55 


2,71 


2,86 


3,02 


20 


3,18 


3,34 


3,50 


3,66 


3,82 


3,98 


4,14 


4,30 


4,46 


4,62 


30 


4,77 


4,93 


5,09 


5,25 


5,41 


5,57 


5,73 


5,89 


6,05 


6,21 


40 


6,37 


6,53 


6,68 


6,84 


7,00 


7,16 


7,32 


7,48 


7,64 


7,80 


50 


7,96 


8,12 


8,28 


8,43 


8,59 


8,75 


8,91 


9,07 


9,23 


9,39 


60 


9,55 


9,71 


9,87 


10,03 


10,19 


10,34 


10,50 


10,66 


10,82 


10,98 


70 


11,14 


11,30 


11,46 


11,62 


11,78 


11,94 


12,10 


12,25 


12,41 


12,57 


80 


12,73 


12,89 


13,05 


13,21 


13,37 


13,53 


13,69 


13,85 


14,01 


14,16 


90 


14,32 


14,48 


14,64 


14,80 


14,96 


15,12 


15,28 


15,44 


15,60 


15,76 


100 


15,92 


16,07 


16,23 


16,39 


16,55 


16,71 


16,87 


17,03 


17,19 


17,35 


110 


17,51 


17,67 


17,82 


17,98 


18,14 


18,30 


18,46 


18,62 


18,78 


18,94 


120 


19,10 


19,26 


19,42 


19,58 


19,73 


19,89 


20,05 


20,21 


20,37 


20,53 


130 


20,69 


20,85 


21,01 


21,17 


21,33 


21,49 


21,64 


21,80 


21,96 


22,12 


140 


22,28 


22,44 


22,60 


22,76 


22,92 


23,08 


23,24 


23,40 


23,55 


23,71 


150 


23,87 


24,03 


24,19 


24,35 


24,51 


24,67 


24,83 


24,99 


25,15 


25,30 


160 


25,46 


25,62 


25,78 


25,94 


26,10 


26,26 


26,42 


26,58 


26,74 


26,90 


170 


27,06 


27,21 


27,37 


27,53 


27,69 


27,85 


28,01 


28,17 


28,33 


28,49 


180 


28,65 


28,81 


28,97 


29,12 


29,28 


29,44 


29,60 


29,76 


29,92 


30,08 


190 


30,24 


30,40 


30,56 


30,72 


30,88 


31,03 


31,19 


31,35 


31,51 


31,67 


200 


31,83 


31,99 


32,15 


32,31 


32,47 


32,63 


32,78 


32,94 


33,10 


33,26 


210 


33,42 


33,58 


33,74 


33,90 


34,06 


34,22 


34,38 


34,54 


34,69 


34,85 


220 


35,01 


35,17 


35,33 


35,49 


35,65 


35,81 


35,97 


36,13 


36,29 


36,45 


230 


36,60 


36,76 


36,92 


37,08 


37,?4 

• 


37,40 


37,56 


37,72 


37,88 


38,04 


240 


38,20 


38,36 


38,51 


38,67 


38,83 


38,99 


39,15 


39,31 


39,47 


39,63 


250 


39,79 


39,95 


40,11 


40,26 


40,42 


40,58 


40,74 


40,90 


41,06 


41,22 


260 


41,38 


41,54 


41,70 


41,86 


42,02 


42,17 


42,33 


42,49 


42,65 


42,81 


270 


42,97 


43,13 


43,29 


43,45 


43,61 


43,77 


45,93 


44,08 


44,24 


44,40 


280 


44,56 


44,72 


44,88 


45,04 


45,20 


45,36 


45,52 


45,68 


45,84 


45,99 


290 


46,15 


46,31 


46,47 


46,63 


46,79 


46,95 


47,11 


47,27 


47,43 


47,59 



410 Tabelle über die Theilkreishalbmesser. 

Erste Benutzungsart der vorstehenden Tabelle. 

Beispiel, Ein Rad soll 63 Zähne und 30"*m Jh eilung erhalten, wel- 
chen Halbmesser erhält sein Tfteilkreis? — Nach Zeile 7 Spalte 5 ist hier 

-j- = i0,05, also R = 10,03. t = 10,03.30 = 300t9mm ^ abzurunden auf 

301mm, Wäre die Thcilung 30 Linien gewesen, so würde R = 301 Linien 
geworden sein. 

Zweite Benutzungsart der Tabelle. Die Tabelle erleich- 
tert auch das Auffinden der Zähnezahl, welche man einem Rad 
von bekannter (berechneter) Theilung und gegebenem (noch ab- 
rundbarem) Tlieilkreishalbmesser zu geben hat. 

Beispiel. Welche Zähnezahl erhält ein Rad von lOOOfnm Theilkreis- 
halbmesser bei 40"^^ Theilung? — Es ist hier — = --—- = 26. Fast ge* 

nau entspricht diesem Werth die Zahl 24,99 in Spalte 9 Zeile 16, und 
erhält demnach das Rad 150 + 7 = 157 Zähne. Der Halbmesser wäre 
streng genommen zu verkleinern auf 24,99 .40 =^999,6"^^, was aber einen 
vernachlässigbaren Unterschied liefert. 

Dritte Benutzungsart der Tabelle. Bei gegebenem 
Halbmesser und gegebener Zähnezahl die Tlieilung eines Rades zu 
suchen. 

Beispiel. Gegeben R = 400, 3 = 54. Dem Werthe 3 = 54 ent- 

R 

spricht nach Spalte 6 Zeile 6 der Quotient — ^= 8,59. Man hat demnach 

hier zu nehmen: t = -— — ■ = 7-— = 46,56"*"^. 

0,59 0.0.7 

Bei der Verzeichnung der Theilung ist es am besten , den 
Kreis von dem auf die obige Weise sorgfaltig ermittelten Halb- 
messer R recht genau aufzutragen und ihn dann in 3 gleiche 
Theile zu theilen. 



§. 188. 

» 

Allgemeine Verzahnung. 

In einem Stirnräderpaare liegen zusammenarbeitende Zahn- 
umrisse in einem Lothschnitt zu den Radachsen, und geschieht 
deshalb die Verzeichnung und Auftragung der Zahnformen in 
einem solchen Schnitte (Endfläche). Die sogenannte allgemeine 
Verzahnung lehrt, wie bei gegebenem Zahnprofil des einen Ra- 



Allgemeine Verzahnung, 411 

des dasjenige fiir das eingreifende Rad unter der Voraussetzung 
gleichförmiger Bewegungsübertragung zu bestimmen ist. 

I. Erstes Verfahren des Verfassers Fig. 449. Das 
Zahnprofil aShc und der Theilkreis T des Hades und der 
Theilkreis Ti des Rades 0| gegeben; gesucht wird die Zahncurve 
Ol &*... des Rades Oi. Lege die gegebene Curve so, dass ihr Theil- 
kreispunkt S in die Centrale OOi fallt, so ist S gleichzeitig ein 
Punkt des gesuchten Zahnprofils. Um einen zweiten Punkt a, zu 
finden, der mit a zusammentreffen soll, ziehe a 1 normal zur gege- 



benen Curve ina, mache SV = Sl^ sodann die Strecke 1 Sj == der 
Strecke ST, und Ssi = l'l , schlage sodann aus S einen Kreis- 
bogen mit Si a und aus 1' einen solchen mit 1 a, so ist der Schnitt- 
punkt üi der gesuchte Curvenpunkt. Solche Profilpunkte, welche 
wie c so gelegen sind, dass ihre Nonnale den zugehörigen Theil- 
kreis nicht trifit, sind für den gegebenen Theilkreis nicht benutz- 
bar; um sie dazu zu machen, müsste man die Theilkreise Tund 
Ti verlegen (hier vergrössern). Die gefundene Curve kann Spitzen, 
Schleifen, überhaupt unausführbare Formen erhalten, ohne des- 
halb geometrisch unrichtig zu werden. 

Fig. 449. Fig. 450. 

? oi 





I 

6 
O. 



Oi< 



II. Abgekürztes Verfahren (Poncelet), Fig. 450. Man 
suche auf dem Theilkreis Tj die Punkte .<?, , ^ , i*i , t'i . . . auf, 
welche mit den Punkton .s, f , n, t; . . . des gegebenen Kreises T 
zusammentreffen, beschreibe aus 5i, ^i, W| u. s. w. mit den Längen 



412 Allgemeine Verzalinung. 

der Normalen zur gegebenen Zahncune va, vc u, s. w. Bögen, 
und führe berührend an dieselben eine stetige Curve, so ist diese das 
gesuchta Zahnproäl. Die Punkte s,i, u, v . . . sollen in kleinen 
Abständen gewählt werden. — Trägt man in beiden Verfahrungs- > 
arten von den Punkten Si, ti, U| . . . die Länge der Normalen va, 
ue . . . rückwärts auf (stOt . . ., Fig. 449J, so erhält man die 
Hohlradverzalinuug (innere Verzahnung) für das Rad Oi Ti. 
III. Zweites Verfahren des Verfassers, Fig. 451. Das 
Zahnprotil abc Hde und der zugehörige Theilkreis T sowie der Theil- 
kreis Ti gegeben. Man zieh« die Somialen o 1 , 6 2, c 3 u. s. w., be- 
schreibe aus durch a,i,c u. s. w, Kreise, mache dann SI =: al. 
All = 62, ÄJIl = c3 u. s. w., und ziehe die Curve I, II, lU, S, 
IV, V u. s. w., so gibt diese, welche den Namen Eingrifflinie 
fuhrt, zunächst den geometrischen Ort der Zahnberührungen, 
und zwar greift der Punkt a ein, wenn er in I liegt, 6 in II, c 
in III u. s. w. Darauf besclireibe man aus 0, Kreise durch die 
Punkte I, II, in u. s. w., mache auf Ti ^' = M', ,§2' = 'S2,'S^ ='SZ 
u. 8, f., und ferner 1' «i = 1 o, 2' J, ^^ 2 i, 3' C| ^ 3 c u. s. f., so ist 
die Curve «, A, Cj , . ., welche die gefundenen Punkte ai,bi,ei . . . 
stetig verbindet, das gesuchte Zahnprofil. Dieses Verfahren ist 
FiR. 151. Fig. 462. 




ebenso genau und dabei leiditer als Nro. I, und liefert ausserdem 
die Kingviffliiiie fs. d. folg. Paragraphen). 

IV. Theoretisches Profil des Zahnfussansatzes. Fig. 
452. Manchmal muss man , um den Zahnfuss genügend stark zu 



Zalmeingriff. 413 

erhalten, dessen Ansatz an den Radboden soweit als thunlicli in 
die Lücke hineinbiegen: dieses sein Ausatzprofil darf aber nicht 
in die Bahn der Spitze des Gegenzahnes hineinschneiden. Letz- 
tere Bahn, welche der Kürze halber die Kopf bahn des betreffenden 
Hades heisse, wird auf folgende Weise gefunden. aS&Zahncurve des 
Rades T, Ui Sbi die des Rades Ti, aiO© Verlängerung des Fusspro- 
files des letzteren Zahnes, IS II EingrifFlinie, durch die Kopfkreise 
K und Kl begrenzt. Trage nun von S aus die beziehlich gleichen 
Theilkreisstücke Sl, 1 2, 23 . . ., Sl', 1' 2', 2'3' . . . auf T und Tj 
in der Richtung der zu profilirenden Zahnlücke auf, fasse nachein- 
ander Sa, 1 a , 2 a , 3 a . . . in den Zirkel und beschreibe mit den 
erhaltenen Zirkelöifuungen aus 1', 2', 3' . . . Kreise, so hüllen diese 
die Kopfbahn aaig . . ., das sogenannte theoretische Profil des 
Zahnfusses, ein, an welches tangirend das wirkliche Profil ai/i 
des Zahnfusses so angelegt wird, dass es in den Fusskreis Fi über- 
geht. Das genannte theoretische Profil ist eine verlängerte oder 
verkürzte cyklische Curve (s. §. 191), hier wo Teine gerade Linie 
ist (Zahnstange), eine verkürzte Evolvente (s. übrigens §. 196). 

§. 189. 

Ueber den Zalmeingriff 

Das dritte der obigen Verfahren hat neben dem gesuchten 
Zahnprofil die Eingrifflinie zusammenarbeitender Räder be- 
stimmen gelehrt; an dieselbe knüpfen sich folgende für die Ver- 
zahnungstheorie wichtige Sätze. 

Die EingriflFlinie hat den Theilkreispunkt des Zahnprofils mit 
diesem gemein, und schneidet dasselbe rechtwinklig, so dass also 
die Tangente NN der Eingrifllinie in S normal zum Zahnprofil 
steht. Jedem Eingriflpunkt entspricht eine Zahnberührung, und 
demnach ein Berührungspunkt auf jedem der Theilkreise, so dem 
Eingriflpunkte II der Punkt 2 auf 1\ 2' auf Ti ; es heisse der Theil- 
kreisbogen zwischen dem Theilkreispunkte der Eingrifflinie und 
dem einen Eingriffpunkte entsprechenden Berührungspunkte der 
Theilkreise der Wälzungsbogen zu dem betreflbnden Eingriff- 
punkte. So ist S 2 der Wälzungsbogen auf T zum Punkte II, S 2^ 
der auf Ti zu demselben Eingriffpunkte. 

Die Summe der Wälzungsbogen zu den äussersten Eingriff- 
punkten (1 S + St) oder V S + S5') heisst der Eingriffbogen, 



412 Allgemeine Verzalinung. 

der Normalen zur gegebenen Zalincurve va, uc u. s. w. Bögen, 
und fiihre berührend an dieselben eine stetige Curve, so ist diese das 
gesuchte Zahnprofil. Die Punkte s,t,u,v... sollen in kleinen 
Abständen gewählt werden. — Trägt man in beiden Verfahrungs- ' 
arten von den Punkten Si, t,, «, ... die Länge der Normalen va, 
uc . . . rückwärts auf (Sio, . . ., Fig. 449), so erhält man die 
Hohlradverzahnung (innere Verzahnung) fiir das Rad 0, Tf. 

III, Zweites Verfahren des Verfassers. Fig. 451. Das 
Zulinprofil abc Stle und der zugehörige Theilkreis T sowie der Theil- 
kreis T| gegeben. Man zielre die Normalen al, 62, c3 u.s.w., be- 
sehreibe aus durch a,b,c u. s. w. Kreise, mache dann SI = al, 
SU = b2, SIII = c3 u. s. w., und ziehe die Curve I, II, III, S, 
IV, V u. s. w., so gibt diese, welche den Namen Eingrifflinie 
fuhrt , zunächst den geometrisclien Ort der Zahnberührungen, 
und zwar greift der Punkt a ein , wenn er in I liegt, l in II, c 
in III u, s. w. Darauf beschreibe man aus 0, Kreise durch die 
Punkte 1,11, III u. s.w., mache auf T, S1'=h1,S1' = S2,S3*=S3 
u. s. f., und ferner 1' a, = I a, 2' 6, = 2 &, 3' Ci = 3 c u. s. f , so ist 
die Curve d, A, Ci . . . , welclie die gefundenen Punkt« 0| , ij , Ci . . . 
stetig verbindet, das gesuchte Zahnprotil. Dieses Verfahren ist 
FiR. 451. Fig. 452. 




ebenso genau und dabei leichter als Nro. I, und liefert ausserdem 
die Eingrifflinie (s. d. folg. Paragraphen). 

IV. TheoretiBcheB Profil des Zahnfnsaansatzes. Fig. 
Iö2. .Miiuchmal musa man, uov dva Zahnfusa genügend stark zu 



Zalincingriff. t '. 

orhalton, dessen Ansatz an den Radboden sowrit nh \':.z'.'.. i :: 
die Lücke hineinbiegen: dieses sein Ansatziip'til d.tr: ./'-: :.-..' 
in die I>ahn der Spitze des Gegenzahnes lnneiij>r]jLr; ": :- L-*:- 
tereBahn, welche der Kürze halber die Kopfbahn d«r* r'v^rrf- r-i-: 
l{adeslieisse,wird anf folgende Weise gefnnden. 'tSlZ..':.:. ir^-: '.-.• 
IJades T^ttiSbi die des Rades J], «la,, VerläuL'» ruri:: •!• • i .r-;: - 
files des letzteren Zahnes, I>S'II Kingriftlini«-. dui' i. 'V.- K y\:.-' 
Jt nnd A'^i begrenzt. Trage nnn \<m Saus die b«-/.'-.:.. . ..•-:. 
Theilkreisstürice Nl, 1 i>, 23 . . ., SV. V 2\ 2':/ . . . ;..: 7 . 'I 
in der Ilichtung der zu profilirenden Zaliulü'kf* w\\\. : .-•- : ■ . •..;.- 
ander Hn^ 1 a, 2 a. 3a . . . in den Zirkel und bf-« ;.:.:> :;..• .• :. 
erhaltenen Zirkelöllimngen aus T, 2', l-J' , . . Kr»ri-v. -o i.,,j:. ..^-'^ 
dieKopfl)ahn aai^ . . ., das sogenannte theor^ti-.'.fj'r J'r o?':. V"*. 
Zahnfusses, ein, an welches tangirend das wirkli'.lj'- Vr'A.. s: • 
des Zahnfusses so angelegt wird, dass es in den I"ij--kr'-.' } ;.>•■- 
geht. Das genannte theoretische Trofil ist eine vf-jü:.^'»—,- »w" 
verkürzte cyklische Curve (s. §. 191j, hifr wo T t-iut j.»"iiri- ^;.:i- 
ist (Zahnstange), eine v<'rkürzt<; Kvolvente (s. ulin-*!- . ."-»• 

§. ISO. 

Ueber den Zahneingrifi. 

Das dritte der obig<'n Verfahren iia* l-'-»-: nn: i*-*?' .:.•• 
Zahnprofil die Kingrifflinie zurfari.Tuviiuntcuv:.-.'' 
stinnnen gelehrt; an dieselbe knüj'f-L a:: jt^rii- :. 
zahnungstlieorie wichtige Sätze. 

Die Tiingritninio hat den ThrZi-j-^zimmit' er J-..;-i.r-' . . 
diesem gemein, uml schneidet 'L>««*fli.*- Tffir m^ '-' ... 

die Tangente NN der Kin'/rifliiie r * DCüiii r.m ^ 
stellt. Jedem Kingriflpunkt '"i'^nzL-n' mk Ioll»'^ . ■ 
demnach ein RerührunL'«'rivjr.r: an ^^na. üf Ti-v^:-.- 
Kingrifl'punktell derl'unirt J. «u* r - üi -T - *••-'• - 
kreisbogen zwischen d'riL Tii^lkr-afirnjcc?- «*r - 
dem einen Kingriffpunl-v ^jin-iifrtTi-ai«: >rri:/T .-. ..-, 
Tlieilkreise der Walz-ir» »»"Z*^ ir ■*« j^.*-f^. -...■. 

punkte. So ist .S'2 drr «"ijnmrr-^.rps Jif * : r.-. ' 
der auf 2\ zu deras^Ir/T^ £.itfnftiKiö>: 

Die Summe der WuznuptivigKf n t^. .-:. 

punkten (1 ,S' + S't rÄa ff - -^i' «^-»^ '^'. 







408 Peripheriemaasstab. 

Hat z, B, ein 24zähniges Bad eine Theilung von 6 X 3ff4 . . . Millime- 
ter , 80 wird nach (177) sein Theilkreishalbmesser B = — .ö= 7^«»«; hat 

ein (nach preussischem Maaas construirtes) Bad eine Theilung von 

3 y<^ 3,14 , . * Linien oder die Stichzahl 3 bei 30 Zähnen ^ so wird sein 

30 
Theilkreishalbmesser B nach (178) = -^ . 3 z=i 45 Linien. 

Für das Auftragen der Theilungcn und ihrer Bruchtheile 
bedient man sich sehr bequem des P eripheri e-Maassta- 
bes*). Derselbe wird für Metermaass erhalten, indem man die eine 
Seite eines (prismatischen, hölzernen oder metallenen) Maasstabes 
in 314 Millimeter und deren Hälften eintheilt, und auf der gegen- 
überstehenden Seite diese Länge in 100 Theile und deren Hälften 
getheilt aufträgt. Gleichnumcrirte Längen auf beiden Seiten 
verhalten sich dann wie 1 : 7t. Der Maasstab dient auch bequem 
zur Streckung (Rectification) von Kreisen und deren Bögen. 

Im Folgenden werden nun stets beide Methoden berücksichtigt, 
nämlich die, welche die Theilung nach dem gewöhnlichen Maass- 
system und rational, also die Halbmesser irrational ausführt, und 
die, welche die Theilung rational in Einheiten des Peripherie- 
maasstabes (Peripheriemillimeter, -Linien u. s. w.), und damit 
die Halbmesser ebenfalls rational, aber im gewöhnlichen Maass- 
system, macht. Die auf nebenstehender Seite folgende Tabelle ist 
nicht zu verwechseln mit der Donkin' sehen**), nach dem Ausdruck 

-- == r^TTr-i welche den Halbmesser eines Kreises liefert, 

2 s^n (^) 

der ein regelmässiges Vieleck von 3 Seiten von der Länge t um- 
schreibt. Dieser Halbmesser ist namentlich bei kleinem 3 ver- 
schieden vom Radius R im obigen und gewöhnlichen Sinne. Die 
Verwechselung beider hat schon viele fehlerhafte Ausführungen 
hervorgerufen. 



♦) Derartige Maasstäbe, welche ich vor Jahren in den Uebungen im 
Maschin en-Construiren im Zürcher Polytechnikum einführte, haben auf 
meine Veranlassung sehr schön gefertigt und halten vorräthig die Herren 
Optiker Ernst (Schifflände) und Ulrich (Münsterplatz) in Zürich; auch 
sind solche aus der Königl. Eisengieseerei in Berlin zu beziehen. Ein 
solcher Maasstab von dl4n>ni Länge ist gleichzeitig fast ganz genau ein 
preussischer Fuss, getheilt in Hundertstel und deren Hälften. 

♦♦) Siehe u. a. Salze nberg's Vorträge S. 93. 



Theilkr eishalbmess er. 



40Ü 



§. 187. 

Tabelle über die Theilkreishalbmesser. 



3 





1 


2 


3 


4 


5 


6 


7 


8 


9 








0,159 


0,318 


0,477 


0,637 


0,798 


0,955 


1,114 


1,273 


1,432 


10 


1,59 


1,75 


1,91 


2,07 


2,23 


2,39 


2,55 


2,71 


2,86 


3,02 


20 


3,18 


3,34 


3,50 


3,66 


3,82 


3,98 


4,14 


4,30 


4,46 


4,62 


30 


4,77 


4,93 


5,09 


5,25 


5,41 


5,57 


5,73 


5,89 


6,05 


6,21 


40 


6,37 


6,53 


6,68 


6,84 


7,00 


7,16 


7,32 


7,48 


7,64 


7,80 


50 


7,96 


8,12 


8,28 


8,43 


8,59 


8,75 


8,91 


9,07 


9,23 


9,39 


60 


9,55 


9,71 


9,87 


10,03 


10,19 


10,34 


10,50 


10,66 


10,82 


10,98 


70 


11,14 


11,30 


11,46 


11,62 


11,78 


11,94 


12,10 


12,25 


12,41 


12,57 


80 


12,73 


12,89 


13,(fö 


13,21 


18,37 


13,53 


13,69 


13,85 


14,01 


14,16 


90 


14,32 


14,48 


14,64 


14,80 


14,96 


15,12 


15,28 


15,44 


15,60 


15,76 


100 


15,92 


16,07 


16,23 


16,39 


16,55 


16,71 


16,87 


17,03 


17,19 


17,35 


110 


17,51 


17,67 


17,82 


17,98 


18,14 


18,30 


18,46 


18,62 


18,78 


18,94 


120 


19,10 


19,26 


19,42 


19,58 


19,73 


19,89 


20,05 


20,21 


20,37 


20,53 


130 


20,69 


20,85 


21,01 


21,17 


21,33 


21,49 


21,64 


21,80 


21,96 


22,12 


140 


22,28 


22,44 


22,60 


22,76 


22,92 


23,08 


23,24 


23,40 


23,55 


23,71 


150 


23,87 


24,03 


24,19 


24,35 


24,51 


24,67 


24,83 


24,99 


25,15 


25,30 


160 


25,46 


25,62 


25,78 


25,94 


26,10 


26,26 


26,42 


26,58 


26,74 


26,90 


170 


27,06 


27,21 


27,37 


27,53 


27,69 


27,85 


23,01 


28,17 


28,33 


28,49 


180 


28,65 


28,81 


28,97 


29,12 


29,28 


29,44 


29,60 


29,76 


29,92 


30,08 


190 


30,24 


30,40 


30,56 


30,72 


30,88 


31,03 


31,19 


31,35 


31,51 


31,67 


200 


31,83 


31,99 


32,15 


32,31 


32,47 


32,63 


32,78 


32,94 


33,10 


33,26 


210 


33,42 


33,58 


33,74 


33,90 


34,06 


34,22 


34,38 


34,54 


34,69 


34,85 


220 


35,01 


35,17 


35,33 


35,49 


35,65 


35,81 


35,97 


36,13 


36,29 


36,45 


230 


36,60 


36,76 


36,92 


37,08 


37,?4 

• 


37,40 


37,56 


37,72 


37,88 


38,04 


240 


38,20 


38,36 


38,51 


38,67 


38,83 


38,99 


39,15 


39,31 


39,47 


39,63 


250 


39,79 


39,95 


40,11 


40,26 


40,42 


40,58 


40,74 


40,90 


41,06 


41,22 


260 


41,38 


41,54 


41,70 


41,86 


42,02 


42,17 


42,33 


42,49 


42,65 


42,81 


270 


42,97 


43,13 


43,29 


43,45 


43,61 


43,77 


45,93 


44,08 


44,24 


44,40 


280 


44,56 


44,72 


44,88 


45,04 


45,20 


45,36 


45,52 


45,68 


45,84 


45,99 


290 


46,15 


46,31 


46,47 


46,63 


46,79 


46,95 


47,11 


47,27 


47,43 


47,59 



410 Tabelle über die Theilkreishalbmesser. 

Erste Benutzungsart der vorstehenden Tabelle. 

Bei Sinei. Ein Rad soll 63 Zähne und 30^^ Theilung erhalten^ wel- 
chen Halbmesser erhält sein TJ^eilkreis? — Nach Zeile 7 Spalte 5 ist hier 

-r = iÖ,05, also R = 10fi3.t z=z 10,03,30 = 300,9mm ^ abzurunden auf 

V 

301mm, Wäre die TJieilung 30 Linien gewesen, so würde R = 301 Linien 
geworden sein. 

Zweite Benutzungsart der Tabelle. Die Tabelle erleich- 
tert auch das Auffinden der Zähnezahl, welche man einem Rad 
von bekannter (berechneter) Theilung und gegebenem (noch ab- 
rundbarem) Theilkreislialbmesser zu geben hat. 

Beispiel. Welche Zähnczalil erhält ein Rad von 1000"^m Theilkreis- 
halbmesser bei 40mm Theilung? — Es ist hier -j- = -— — = 25. Fast ge- 

nau entspricht diesem Werth die Zahl 24,09 in Spalte 9 Zeile 16, und 
erhält demnach das Rad 150 + r = 157 Zähne. Der Halbmesser wäre 
streng genommen zu verkleinern auf 24,99 .40 =999,6^^, was aber einen 
vernachlässigbaren Unterschied liefert. 

Dritte Benutzungsart der Tabelle. Bei gegebenem 
Halbmesser und gegebener Zähnezahl die Theilung eines Rades zu 
suchen. 

Beispiel. Gegeben R = 400, 3 = 54. Dem Werthe 3 = 54 ent- 

spricht nach Spalte 6 Zeile 6 der Quotient — z=r 8,59. Man hat demnach 

V 

hier SU nehmen: t = -—— = 77-rr. = 46y56mm, 

SJ)9 o.oU 

Bei der Verzeichnung der Theilung ist es am besten , den 
Kreis von dem auf die obige Weise sorgfaltig ermittelten Halb^ 
messer B. recht genau aufzutragen und ihn dann in 3 gleiche 
Theile zu theilen. 



§. 188. 

Allgemeine Verzahnung. 

In einem Stirnräderpaare liegen zusammenarbeitende Zahn- 
umrisse in einem Lothschnitt zu den Radachsen, und geschieht 
deshalb die Verzeichnung und Auftragung der Zahnformen in 
einem solchen Schnitte (Endfläche). Die sogenannte allgemeine 
Verzahnung lehrt, wie bei gegebenem Zahnprotil des einen Ra- 




Allgemeine Verzahnung. 411 

des dasjenige für das eingreifende Rad unter der Voraussetzung 
gleichförmiger Bewegungsübertragung zu bestimmen ist. 

I. Erstes Verfahren des Verfassers Fig. 449. Das 
Zahnprofil aSbc und der Theilkreis T des Rades und der 
Theilkreis Ti des Rades 0| gegeben; gesucht wird die Zahncurve 
Ol S ... des Rades Oi. Lege die gegebene Curvc so, dass ihr Theil- 
kreispunkt S in die Centrale 00| fällt, so ist S gleichzeitig ein 
Punkt des gesuchten Zahnprofils. Um einen zweiten Punkt ai zu 
finden, der mit a zusammentreffen soll, ziehe al normal zur gege- 



benen Curve in tt, mache SV = Sl^ sodann die Strecke 1 Si = der 
Strecke SV^ und aSs'i = l'l j schlage sodann aus S einen Kreis- 
bogen mit Si a und aus 1' einen solchen mit 1 a, so ist der Schnitt- 
punkt Gl der gesuchte Curvenpunkt. Solche Profilpuukte, welche 
wie c so gelegen sind, dass ihre Normale den zugehörigen Theil- 
kreis nicht trifft , sind für den gegebenen Theilkreis nicht benutz- 
bar ; um sie dazu zu machen, müsste man die Theilkreise T und 
Ti verlegen (hier vergrössern). Die gefundene Curve kann Spitzen, 
Schleifen, überhaupt unausführbare Formen erhalten, ohne des- 
halb geometrisch unrichtig zu werden. 

Fig. 449. Fig. 450. 

? oi 





6 



04 



IL Abgekürztes Verfahren (Poncelet), Fig. 450. Man 
suche auf dem Theilkreis Ti die Punkte ä, , ti , Ui , Vi . . . auf, 
welche mit den Punkten s, t, u^ v . . . des gegebenen Kreises T 
zusammen trefi'en, beschreibe aus 5i, ^1, Ui u. s. w. mit den Längen 



412 Allgemeine Verzahnung. 

der Xortnalen zur gegebenen Zahncurve va, uc u. b. w. Bögen, 
nnd führe berührend an dieselben eine stetige Curve, so ist diese das 
gesuchte Zahnprofil. Die Punkte s,t,u,v... sollen in kleinen 
Abständen gewählt werden, — Trägt man in beiden Verfahrunga- ' 
arten von den Punkten Si, (i, Mj . . . die Länge der Normalen va, 
uc . . . rückwärts auf (siCh . . ., Fig. 449), so erhält man die 
Uohlra<lverzalinuug (innere Verzahnung) für das Rad Oi Tf 

III. Zweites Verfahren des Verfassers. Fig. 451. Das 
Zahnjirofil abcSde und der zugehörige Theilkreis T sonne der Theil- 
kreis Ti gegebeu. Mau ziehe die Normalen a 1, t2, c3 u.8.w., be- 
schreibe aus durch a,b,c u, s. w. Kreise, mache dann SI = al, 
Sil = 62, SIU = c3 u. s. w., und ziehe die Curve I, II, III, S, 
IV, V u, B. w,, so gibt diese, welche den Namen Eiugrifflinie 
fülirt, zunächst den geometrischen Ort der Zahnberührungen, 
und zwar greift der Punkt a ein, wenn er in I liegt, b in II, c 
in III u. s. w. Dai'auf beschreibe man aus Op Kreise durch die 
Punkte I, II, III u. s. w., mache auf Ti sT' = 'SI,^' = 'S2,'S^ ='S3 
u. 8. f., und ferner 1 ' «i = 1 a, 2' i, ^ 2 1, 3' C| = 3 c u. s. f., so ist 
die Curve «, biCi . . ., welche die gefundenen Punkte a,,bi,c, . ■ ■ 
stetig verbindet, das gesuchte Zalinprotil. Dieses Verfahren ist 
Fi);. 151. Fig. 152. 




ebenso genau und diil>oi leichter als Nro. I, und liefert ausserdem 
die Eingriffiiuie (s. d. folg. Paragraphen). 

IV. Theoretisches Profil des Zalinfussansatzes. Fig. 
452. Manchmal muss man, um den Zahnfuss genügend stark zu 



ZahneingrifF. 413 

erhalten, dessen Ansatz an den Radboden soweit als thunlich in 
die Lücke hineinbiegen: dieses sein Ansatzprofil darf aber nicht 
in die Bahn der Spitze des Gegenzahnes liineinschneideii. Letz- 
tere Bahn, welche der Kürze halber die Kopf bahn des betreflfenden 
Hades heisse, wird auf folgende Weise gefunden. aSftZahncurve des 
Bades T, aj Sbi die des Rades Ti, UiOq Verlängerung des Fusspro- 
files des letzteren Zahnes, ISII EingrifFlinie, durch die Kopf kreise 
K und Kl begrenzt. Trage nun von S aus die beziehlich gleichen 
Theilkreisstücke S 1, 1 2, 2 3 . . . , S 1', 1' 2', 2' 3' . . . auf T und T, 
in der Richtung der zu profilirenden Zahnlücke auf, fasse nachein- 
ander Sa, la, 2a, 3a. ..in den Zirkel und beschreibe mit den 
erhaltenen Zirkelöfliiungen aus 1', 2', 3' . . . Kreise, so hüllen diese 
die Kopfbahn auig . . ., das sogenannte theoretische Profil des 
Zahnfusses, ein, an welches tangirend das wirkliche Profil ai/i 
des Zahnfusses so angelegt wird, dass es in den Fusskreis Fi über- 
geht. Das genannte theoretische Profil ist eine verlängerte oder 
verkürzte cyklische Curve (s. §. 191), hier wo Teine gerade Linie 
ist (Zahnstange), eine verkürzte Evolvente (s. übrigens §. 196). 

§. 189. 

Ueber den Zahneingrifll 

Das dritte der obigen Verfahren hat neben dem gesuchten 
Zahnprofil die Eingrifflinie zusammenarbeitender Räder be- 
stimmen gelehrt; an dieselbe knüpfen sich folgende für die Ver- 
zahnungstheorie wichtige Sätze. 

Die Eingriflflinie hat den Theilkreispunkt des Zahnprofils mit 
diesem gemein, und schneidet dasselbe rechtwinklig, so dass also 
die Tangente NN der Eingrifflinie in S normal zum Zahnprofil 
steht. Jedem Eingriöpunkt entspricht eine Zahnberührung, und 
demnach ein Berührungspunkt auf jedem der Theilkreise, so dem 
EingrifFpunkte II der Punkt 2 auf 1\ 2' auf Ti ; es heisse der Theil- 
kreisbogen zwischen dem Theilkreispunkte der Eingrifflinie und 
dem einen Eingrift'punkte entsprechenden Berührungspunkte der 
Theilkreise der Wälzungsbogen zu dem betreffenden Eingriff- 
punkte. So ist S 2 der Wälzungsbogen auf T zum Punkte II, S 2^ 
der auf Ti zu demselben Eingriffpunkte. 

Die Summe der Wälzungsbogen zu den äussersten Eingriff- 
punkten (1 S -f 55 oder i^S -f S5') heisst der Eingriffbogen, 



412 Allgemeine Verzahnung. 

der Normalen zur gegebenen Zahncurve va, ftcu. s.' /^ ^®* 
und führe berührend an dieselben eine stetige Curve. so ' -' *^ * ^ ^ " ^'^ 
gfsuchtc Zuhnproiil. Die Punkte s, *, w, v . . . sr' - ^^ii^gmi- 
Abstünden gewählt werden. — Trägt man in bp" '^'^"^^ ^^' ^^ 
arten von den Punkten Su h, t»i . . . die Lär '^'^ Radboden so- 
HC. rückwärts auf (s^a, . . ., Fig. 4 ^»"^kopfes über den 

Hohlradverzahnung (innere Verza^ •*'^^''^^" ™^^^' ^^ ^"^^ 
IIL Zweites Verfahren des opfkreise K und AI, 

Zaliuprofil a 6 <r Srfe und der zugeh^' ^' 

kreis T, gegeben. Man ziehe (*• *'''^"^" Zahnprotile bei be- 

schreibe aus durch a,6,c ^"'?' ^"'! ^^ ^"^^^' gegebenen 

,511 ---j 2 iSIII = c3 r .anproiil. Dieses letztere ist nur 

IV V u. s. w. so fäti^ .rJ^ninie bostinimbar, wenn im voraus 

führt, zunächst dr ^,;.;i"'t'i"zolnen Punkten der Eingrifflinie be- 

und zwar greift . 'J//V>'''" /"^'""'"^'^liaug gegeben, so kann das 
in lU u. 8. w. ■■- ■' ' v/i^ eonstruirt werden. Diese Aulgabe ist es, 

-. - ^ _ -- '■", „/hljrfn von ehiem gegebenen Zabnprofil aus- 

punkte I,n • :.^c **^ 

u. s. £, 

die 

str 




et 



^ <. 165), dass die allen gomeinsoliaftliclie Eingrifflinie so gcform 
i»t, d**^'^ ^^^ dui'ch den Theilkreis sowohl, als durch den Uadius zi 



^•'''('"'fcten gleicli lang, l'nter Einhaltung dieser Bedingung 
^■' Ijfliobig viele Kader zu einem g(»gcboneu hinzuconstruirt 

**' ;^<>lclie Iiä<ler sind unter der weiteren Bedingung Satzräder 

geformt 

zu 

ihrem Tli(»ilkreispunkt in zwei congi'uente Stücke zerlegt wird *). 

Bei allen Satzränderverzahnungen sind desluilb bei der Zahn- 
stange die Zahnprofilstücke über und unter dem Theilkreise con- 
gruent. 

Der Strahl, welcher von dem Theilkrcispunkte der Eingriff- 
linie aus nach irgend einem Eingrifti)unkte gezogen wird (z. B. S l 
in Fig. 451), gibt die Iiiclitung und den Angriffpunkt des Zahn- 



*) Maiichorloi über tue Kinffrifllinio und iiishcsonck-rc die Kin|rrilV- 
diiiior findet iiiaii in dor „Com struct ioiisleliic für den Maschinen- 
bau", §. 178 u. f. 



Cyklische- Ciirven. 415 

• (Iruckes für den betreffenden Eingrifl'punkt an. Damit der Acliseu- 
\ druck zwischen den Rädern nicht zu gross ausfalle, soll der Win^ 
\e\ zwischen der Achsendruckrichtung und der Centrale nicht zu 
'*ein sein. 



§. 190. 

Die cyklischen Curven. 

•r Erzielung der Satzräderverzahnungen, oder überhaupt 
Verzahnungen, deren geonietrisclie Eigenschaften man all- 
>rausbestimmen will, eignen sich am besten die Kreisrol- 
ler cyklischen Curven*). Wenn ein Kreis auf einem 
^11 ohne Gleitung rollt, so beschreibt jeder Punkt in einem 
oeiner Iladien eine solche Curve, welche eine gemeine, verlän- 
gerte oder verkürzte Cykloide heisst, je nachdem der beschrei- 
bende Punkt auf dem Umfang des rollenden Kreises liegt, oder 
durch eine Verlängerung oder durch eine Verkürzung des 
Halbmessers des rollenden Kreises zu erreichen ist. 

Der ruhende Kreis ist der Grundkreis der Curve, sein 
Halbmesser werde hier mit ]{ bezeichnet; der rollende Kreis heisst 
der Wälzungskreis oder Radkreis und habe den Halbmesser 
r; der dem beschreibenden Punkt diametral gegenüberliegende 
Punkt des Radkreises werde der Gegen punkt des Curvenpunk- 
tes genannt. Bezeichnet man nun den Halbmesser desjenigen der 
beiden Kreise, welcher den anderen mit seiner Innenseite berührt, 
als negativ, den anderen als positiv, so lassen sich zunächst 
die fünf Arten der cyklischen Curven, welche sich durch Verände- 
rung von I{ und r ergeben, wie folgt zusammenstellen. 



Grund- 
kreis. 


Rad- 
kreis. 


Entstehende Curve. 


+ B 


_|_ jr 


Aufrtidliiiie oder Epicykloide. 


+ « 


+ r 


Radliuie schlechthiu oder Cykloide. 


- E 


+ r 


Inradlinie oder Hypocykloide. 


+ R 


± » 


Fadenlinie oder Kreisevolvente. 


+ R 


— r 


Uraradlinie oder Pericykloide. 



*) Siehe u. A. Dr. Zehme's elem. u. aoal. Behandl. d. verscb.* Cykloi- 
den, Iserlohn und Elberfeld 1854, und Dr. Wcissenborn's cyklische Cnr- 
veo, Eisen ach 1856. 



414 Zahneingriff. 

seine Länge in Theilungen ausgedrückt die Eingriffdauer des 
betrachteten Zahneingriffes, welche hiernach leicht graphisch zu 
bestimmen ist. Dieselbe hängt von der Länge der Eingriff- 
strecke, d. i. des benutzten Stückes der Eingriö'linie ab. Da 
nun aber der Zahnfuss wegen des Ansatzes an den Radboden so- 
wohl, als wegen des Durchlassens des Gegenzahnkopfes über den 
Kopikreis des Gegenrades hinaus verlängert werden muss, so sind 
es bei unseren gewöhnlichen Rädern die Kopfkreise K und Ku 
welche die Eingriffstrecke (V-I) begrenzen. 

Für ein Rad gibt es zu einem gegebenen Zahnprofile bei be- 
kanntem Theilkreis nur eine Eingriff linie, und zu einer gegebenen 
Eingrifflinie nur ein richtiges Zahnprofil. Dieses letztere ist nur 
in dem Falle aus der Eingrifflinie bestimmbar, wenn im voraus 
die Wälzungsbogen zu den einzelnen Punkten der Eingrifflinie be- 
kannt sind. Ist aber dieser Zusammenhang gegeben, so kann das 
entsprechende Zahnprofil construirt werden. Diese Aufgabe ist es, 
welche das obige Verfahren von einem gegebenen Zahnprofil aus- 
gehend löst. 

Bei den cykloidischen Verzahnungen ist der Wälzungsbogen 
gleich der Eiugriffstreeke , und deshalb sind diese Verzahnungen 
besonders einfach liinsichtlich ihrer geometrisclien Eigenschaften. 

Bei richtig zusammenarbeitenden Zahnrädern sind die Ein- 
grifflinien congruent und die Wälzungsbogen zu homologen Ein- 
grifti)unkten gleich lang. Unter Einhaltung dieser Bedingung 
können beliebig viele Räder zu einem gegebenen liinzuconstruirt 
werden. 

Solche Räder sind unter der weiteren Bedingung Satzräder 
(s. §. 185), dass die allen gemeinschaftliche Eingriö'linie so geformt 
ist, dass sie durch den Theilkreis sowohl, als durch den Radius zu 
ihrem Theilkreispunkt in zwei congruente Stücke zerlegt wird *). 

Bei allen Satzränderverzahnungeu sind deshalb bei der Zahn- 
stange die Zahnprotilstücke über und unter dem Theilkreise con- 
gruent. 

Der Stralü , welcher von dem Theilkreispunkte der Eingriff- 
linie aus nach irgend einem Eingrifipunkte gezogen wird (z. B. SI 
in Fig. 451), gibt die Richtung und den Angriffpunkt des Zahn- 



*) Mancherlei über die Eingriflflinie und insbesondere die Eingriff- 
dauer findet man in der „Constructionslehre für den Maschinen- 
bau«, §. 178 u. f. 



Cyklisclie- Curven. 415 

(Iruckes für den betreffenden Eingriffpiinkt an. Damit der Acliseu- 
druck zwischen den Rädern nicht zu gross ausfalle, soll der Win- 
kel zwischen der Achsendruckrichtung und der Centrale nicht zu 
klein sein. 

§. 190. 

Die cyklischen Curven. 

Zur Erzielung der Satzräderverzahnungen, oder überhaupt 
solcher Verzahnungen, deren geometrische Eigenschaften man all- 
gemein vorausbestimmen will, eignen sich am besten dieKreisrol- 
lungs- oder cyklischen Curven*). Wenn ein Kreis auf einem 
anderen ohne Gleitung rollt, so beschreibt jeder Punkt in einem 
seiner Radien eine solche Curve, welche eine gemeine, verlän- 
gerte oder verkürzte Cykloide heisst, je nachdem der beschrei- 
bende Punkt auf dem Umfang des rollenden Kreises liegt, oder 
durch eine Verlängerung oder durch eine Verkürzung des 
Halbmessers des rollenden Kreises zu erreichen ist. 

Der ruhende Kreis ist der Grundkreis der Curve, sein 
Halbmesser werde hier mit li bezeichnet; der rollende Kreis heisst 
der Wälzungskreis oder Radkreis und habe den Halbmesser 
r; der dem beschreibenden Punkt diametral gegenüberliegende 
Punkt des Radkreises werde der Gegenpunkt des Curvenpunk- 
tes genannt. Bezeichnet man nun den Halbmesser desjenigen der 
beiden Kreise, welcher den anderen mit seiner Innenseite berührt, 
als negativ, den anderen als positiv, so lassen sich zunächst 
die fünf Arten der cyklischen Curven, welche sich durch Verände- 
rung von iJ und r ergeben, wie folgt zusammenstellen. 



Grund- 
kreis. 


Rad- 
kreis. 


Entstehende Curve. 


+ R 


+ r 


Aufradlinie oder P]picykloide. 


+ 00 


+ r 


Radlinie schlechthin oder Cykloide. 


- R 


+ r 


Inradlinie oder Hypocykloide. 


+ -B 


+ 00 


Fadenlinie oder Kreisevolvente. 


+ li 


— r 


Umradlinie oder Pericykloide. 



*) Siehe u. A. Dr. Zehme^s elem. u. aoal. Behandl. d. verscb.' Cykloi- 
den, Iserluhn und Elberfeld 1854, und Dr. Weissenborn's cyklische Cur- 
veo, Eisenach 1856. 



416 Cyklische Curren. 

Bei allen fünf Arten gelten sodann die beiden folgenden SÜtze: ■ 

1. Die Normale üu einem Curvenpunkt geht durch 
den zugehörigen Berührungspunkt der Erzeugung»' 
kreise. 

2. Der Krümmungsmittelpunkt zu einem Funkt der 
Curve ist der Durchschnitt der Normalen mit der Gera- 
den, welche den Gegenpunkt mit dem Mittelpunkt des 
Urundkreises verbindet. Bei den verlängerten und verkürz- 
ten Curven liegt der „Gegenpunkt" auf dem verlängerten Radius 
zum Curvenelement und der durch den Berührungspunkt gezoge- 
nen Senkrechten zur Normale. 

Auf dem ersteren Satze beruht die vorzügliche Anwendbarkeit 
der cyklischen Curven zur Verzahnung; auf den zweiten lassen 
sich vortrefflicli die Ersetzungen der cykloidischen Zahncurven 
durch Kreisbögen stützen. 



§. 191. 

Verzeichnung der cyklischen Curren. 

I. Genaues Verfahren. Fig. 453. G Grundkreis, TT Rad- 
kreis, A Anfangspunkt der Curve. Trage von A aus auf G und W 
nach derselben Seite kleine gleichlange Bogenstücke auf, und es 
seien nun a und m, zwei zusammengehörige Theilpunkte. Be- 
Fig. 463. 




schreibe aus A mit dem Abstand aui einen Bogen, und aus a mit 
der Sehne Auf ebenfalls einen Bogen, so schneidet letzterer den 
ersteren in einem Punkte P der gesuchten Curve. Dieses Verfah- 



Radlinienverzahnung. 417 

ren, welches in Fig. 453 nur für Auf- und Inradlinie angewandt 
ist, gilt für alle fünf Arten der cyklischen Curven. 

IL Abgekürztes Verfahren. Beschreibe aus den Theil- 
punkten 1, 2, 3, a, . . . mit den zugehörigen, von A aus gemesse- 
nen Sehnen des Radkreises Kreisbogen, so berühren diese sämmt- 
lich die gesuchte Curve und können, bei recht kleiner Theilung, 
A — 1,1 — 2 . . . zur Verzeichnung derselben dienen. 

Für die in B anfangende verlängerte oder verkürzte 
Curve bestimme zuerst P (wobei es nicht nÖthig ist, die gemeine 
Curve selbst zu verzeichnen), beschreibe dann aus a mit ai J? 
einen Bogen, und aus P einen solchen mit ^J?, so schneiden die 
beiden Bogen einander in einem Punkte Q der gesuchten Curve. 

Oder: Ziehe durch a^ einen Radius Or^h im Radkreise, und 
durch h einen Kreisbogen h C concentrisch mit dem Grundkreise, 
und mache a^Qi = A ft, so ist Qi der Curvenpunkt für die Wäl- 
zung auf dem Bogen Adj = Aus. 

§. 192. 

Radlinienverzahnimg für Satzräder. 

Das Zahnprofil wird bei dieser, streng genommen als dop- 
pelte zu bezeichnenden Verzahnung zusammengesetzt aus einem 
Auf- und einem Inradlinienbogen , beide erzeugt durch einen für 
jede Theilung constanten Radkreis. 

I. Verzahnung eines aussenverzahnten Rades, Fig. 
454(a.f.S). Gegeben die Zähnezahl 3 und die Theilung t oder die 

Stichzahl — des Rades. Dann mache man OS = R = ^ 
n 23r 

= "rt- ( — ) , und den Halbmesser ro der Radkreise W= 0,875 1 oder 

= 2,75 (— ); verzeichne den Kopfkreis K um 0,3 f von jT ab- 
stehend, sowie den Fusskreis F um 0,4^ von T entfernt, und 

mache die Zahndicke = ^^40^- Sb = ab] Sc = ic. Sa Aufrad- 
linienbogen, erzeugt durch Rollen von TT auf T\ Si Inradlinien- 
bogen, erzeugt durch Rollen von TT in T. 

Bei dem eilfzähnigen Rad wird Si gerade und radial. Die 
Verzahnung kann gut bis zu sieben Zähnen herab benutzt wer- 
den; die Inradlinienbogen werden zwar bei 3 <C H unterkrümmt, 

Rculeanx, der Constructenr. 27 



410 Tabelle über die Theilkreishalbmesser. 

Erste Benutzungsart der vorstehenden Tabelle. 

Bei spiel. Ein Rad soll 63 Zähne und SO^^Jheilung erhalten^ wel- 
chen Halbmesser erhält sein Tfteilkreis? — Nach Zeile 7 Spalte 5 ist hier 

— = 10,03 y also B = 10,03, t = 10,03,30 = SOOyQmm ^ abzurunden auf 

V 

301mm, Wäre die Theilung 30 Linien gewesen, so würde B = 301 Linien 
geworden sein. 

Zweite Benutzungsart der Tabelle. Die Tabelle erleich- 
tert auch das Auffinden der Zähnezahl, welche man einem Rad 
von bekannter (berechneter) Theilung und gegebenem (noch ab- 
rundbarem) Theilkreishalbmesser zu geben hat. 

Beispiel. Welche Zähnezahl erhält ein Bad von lOOOfnm Theilkreis- 
halbmesser bei iOfnfn Theilung? — Es ist hier --■ = -—- = 25. Fast ge- 

nau entspricht diesem Werth die Zahl 24,90 in Spalte 9 Zeile 16, und 
erhält demnach das Bad 150 -{- 7 ■= 157 Zähne. Der Halbmesser wäre 
streng genommen zu verkleinern auf 24,99 .40 =.999,6»^^ ^ was aber einen 
vernachlässigbaren Unterschied liefert. 

Dritte Benutzungsart der Tabelle. Bei gegebenem 
Halbmesser und gegebener Zähnezahl die Theilung eines Rades zu 
suchen. 

Beispiel. Gegeben B = 400, 3 = 54. Dem Werthe 3 = 54 ent- 
spricht nach Sx)dlte 6 Zeile 6 der Quotient — - =: 8,59. Man hat demnach 

hier zu nehmen: t = — — - = ^-— • = 46,56""**. 

0,59 o.öi) 

7 / 

Bei der Verzciclinung der Theilung ist es am besten , den 
Kreis von dem auf die obige Weise sorgfaltig ermittelten Halb- 
messer jR recht genau aufzutragen und ihn dann in 3 gleiche 
Theile zu theilen. 



§. 188. 

Allgemeine Verzahnung. 

In einem Stirnräderpaare liegen zusanmienarbeitende Zahn- 
umrisse in einem Lothschnitt zu den Radachsen, und geschieht 
deshalb die Verzeichnung und Auftragung der Zahnformen in 
einem solchen Schnitte (Endfläche). Die sogenannte allgemeine 
Verzahnung lehrt, wie bei gegebenem Zahnprofil des einen Ra- 



Allgemeine Verzahnung. 411 

des dasjenige für das eingreifende Rad unter der Voraussetzung 
gleichförmiger Bewegungsübertragung zu bestimmen ist. 

I. Erstes Verfahren des Verfassers Fig. 449. Das 
Zahnprofil aSbc und der Theilkreis T des Rades und der 
Theilkreis Ti des Rades 0| gegeben; gesucht wird die Zahncurve 
«1 S ... des Rades Oi. Lege die gegebene Curve so, dass ihr Theil- 
kreispunkt S in die Centrale OOi fällt, so ist S gleichzeitig ein 
Punkt des gesuchten Zalmprofils. Um einen zweiten Punkt Ui zu 
finden, der mit a zusammentreffen soll, ziehe al normal zur gege- 



benen Curve ina, mache SV = Sl, sodann die Strecke 1 Si = der 
Strecke SV, und Ssi = Tl , schlage sodann aus S einen Kreis- 
bogen mit Si a und aus 1' einen solchen mit 1 a, so ist der Schnitt- 
punkt ai der gesuclite Curvenpunkt. Solche Prolilpuukte, welche 
wie c 80 gelegen sind, dass ihre Normale den zugehörigen Theil- 
kreis nicht trifft, sind für den gegebenen Theilkreis nicht benutz- 
bar; um sie dazu zu machen, müsste man die Theilkreise Tund 
Ti verlegen (hier vergrössern). Die gefundene Curve kann Spitzen, 
Schleifen, überhaupt unausführbare Formen erhalten, ohne des- 
halb geometrisch unrichtig zu werden. 

Fig. 449. Fig. 450. 

? oi 





6 







1<P 



II. Abgekürztes Verfahren (Poncelet), Fig. 450. Man 
suche auf dem Theilkreis Ti die Punkte s^ , fi , Ui , Vi . . . auf, 
welche mit den Punkten 8, f , m, t; . . . des gegebenen Kreises T 
zusanunen treffen, beschreibe aus 5i, fi, Uj u. s. w. mit den Längen 



412 Allgemeine Verzalinung. 

der Normalen zur gegebenen Zahncurve va, «c u. b. w. Bögen, 
und führe berührend an dieselben eine stetige Curve, so ist diese das 
gesuchte Zabnprolil. Die Punkte s, t, u, v . . . sollen in kleinen 
Abständen gewählt werden. — Trägt man in beiden Verfahrungs- • 
arten von den Punkten si, (i, W| . - - die Länge der Normalen va, 
«c . . . rückwärts auf (si «a ■ ■ -, Fig- 449), so erhält man die 
Hoblradverzabnung (innere Verzahnung) lUr das Rad Oi Ti- 
III. Zweites Verfahren des Verfassers, Fig. 451. Das 
Zahnprofil abc Sde und der zugehörige Theilkreis T sowie der Theil- 
kreis Tj gegeben. Man ziehe die Normalen al, 12, c3 u.s. w., be- 
schreibe aus durch a,b,c u. s. w. Kreise, mache dann SI ^ al, 
SU = b2, SlII = c3 n. s. w., nnd ziehe die Curve I, II, III, S, 
IV, V u. 8. w., so gibt diese, welche den Namen Eingrifflinie 
führt, zunächst den geometrischen Ort der Zahnberührungen, 
und zwar greift der Punkt a ein , wenn er in I liegt, b in II, c 
in III u, s. w. Darauf beschreibe man aus 0| Kreise durch die 
Punkte I, II, III u. s. w., mache auf T, Sl' = 'Sl,S2' = S2,S^ = S3 
u. B. f., und ferner V a, = 1 a, 2'6i=; 26, 3'ci ^t 3c u.s.f., so ist 
die Curve «i A| Ci . . . , welche die gefundenen Punkte «j , 6, , Cj ... 
stetig verbindet, das gesuchte Zahnprofi!. Dieses Verfahren ist 
FiR. 451. FiR. 452. 




ebenso genau und dabei leichter als Nro. I, und liefert ausserdem 
die Eingriftlinie (s. d. folg. Paragraphen). 

IV. Theoretisches Profil des Zahnfussansatzes. Fig. 
452. Manchmal muss man, um den Zahufuss genügend stark zu 



ZahneingrifF. 413 

erbalten, dessen Ansatz an den Radboden soweit als tbunlicb in 
die Lücke hineinbiegen: dieses sein Ansatzprofil darf aber nicht 
in die Bahn der Spitze des Gegenzahncs hineinschneideti. Letz- 
tere Bahn, welche der Kürze halber dieKopfbahn des betreffenden 
Ilades heisse, wird auf folgende Weise gefunden, a S 6 Zahncurve des 
Rades T, aj Sbi die des Rades Ti, a,ao Verlängerung des Fusspro- 
files des letzteren Zahnes, IS II EingrifFlinie, durch die Kopfkreiso 
K und Kl begrenzt. Trage nun von S aus die beziehlich gleichen 
Theilkreisstücke Sl, 1 2, 2 3 . . ., Sl', 1' 2', 2'3' . . . auf T und T, 
in der Richtung der zu profilirenden Zahnlücke auf, fasse nachein- 
ander Sa, la, 2a, 3a. ..in den Zirkel und beschreibe mit den 
erhaltenen Zirkelöffnungen aus 1', 2', 3' . . . Kreise, so hüllen diese 
dieKopfbahn auig . . ., das sogenannte theoretische Profil des 
Zahnfusses, ein, an welches tangirend das wirkliche Profil a,/i 
des Zahnfusses so angelegt wird, dass es in den Fusskreis Fi über- 
geht. Das genannte theoretische Profil ist eine verlängerte oder 
verkürzte cyklische Curve (s. §. 191), hier wo Teine gerade Linie 
ist (Zahnstange), eine verkürzte Evolvente (s. übrigens §. 196). 

§. 189. 

Ueber den Zahneingrifll 

Das dritte der obigen Verfahren hat neben dem gesuchten 
Zahnprofil die Eingrifflinie zusammenarbeitender Räder be- 
stimmen gelehrt; an dieselbe knüpfen sich folgende für die Ver- 
zahnungstheorie wichtige Sätze. 

Die EingriflTlinie hat den Theilkreispunkt des Zahnprofils mit 
diesem gemein, und schneidet dasselbe rechtwinklig, so dass also 
die Tangente NN der Eingrifflinie in S normal zum Zahnprofil 
steht. Jedem Eingriöpunkt entspricht eine Zahnberührung, und 
demnach ein Berührungspunkt auf jedem der Theilkreise, so dem 
Eingriffpunkte II der Punkt 2 auf 1\ 2' auf Ti ; es heisse der Theil- 
kreisbogen zwischen dem Theilkreispunkte der Eingrifflinie und 
dem einen Eingritfpunkte entsprechenden Berührungspunkte der 
Theilkreise der Wälzungsbogen zu dem betreffenden P^ingriff- 

punkte. So ist S 2 der Wälzungsbogen auf T zum Punkte II, S 2^ 
der auf Ti zu demselben Eingriffpunkte. 

Die Summe der Wälzungsbogen zu den äussersten Eingriff- 
punkten (1 S -f Sf) oder 1^ -f Ä5') heisst der Eingriffbogen, 



414 Zahneinffriff. 



O' 



seine Länge in Theilungen ausgedrückt die Eingriffdauer des 
betrachteten Zahneingritfes, welche hiernach leicht graphisch zu 
bestimmen ist. Dieselbe hängt von der Länge der Eingriff- 
s trecke, d. i. des benutzten Stückes der Eingriff linie ab. Da 
nun aber der Zahnfuss wegen des Ansatzes an den Radboden so- 
wohl, als wegen des Durchlassens des Gegenzahnkopfes über den 
Kopikreis des Gegenrades liinaus verlängert werden muss, so sind 
es bei unseren gewöhnlichen Rädern die Kopf kr eise K und K^ 
welche die Eingriffstrecke (V-I) begrenzen. 

P ur ein Rad gibt es zu einem gegebenen Zahnprofile bei be- 
kanntem Theilkreis nur eine Eingriff linie, und zu einer gegebenen 
Eingrifflinie nur ein richtiges Zahnprofil. Dieses letztere ist nur 
in dem Falle aus der Eingrifflinie bestimmbar, wenn im voraus 
die Wälzungsbogen zu den einzelnen Punkten der Eingrifflinie be- 
kannt sind. Ist aber dieser Zusammenhang gegeben, so kann das 
entsprechende Zahnprofil construirt werden. Diese Aufgabe ist es, 
welche das obige Verfahren von einem gegebenen Zahnprofil aus- 
gehend löst. 

Bei den cykloidischen Verzahnungen ist der Wälzungsbogen 
gleich der Eingriffstrecke, und deshalb sind diese Verzahnungen 
besonders einfach hinsichtlich ilirer geometrisclien Eigenschaften. 

Bei richtig zusammenarbeitenden Zahnrädern sind die Ein- 
grifflinien congruent und die Wälzungsbogen zu homologen Ein- 
grifli)unkten gleich lang. Unter Einhaltung dieser Bedingung 
können beliebig viele Räder zu einem gegebenen hinzuconstruirt 
werden. 

Solche Räder sind unter der weiteren Bedingung Satzräder 
(s. §. 185), dass die allen gemeinschaftliche Eingriö'linie so geformt 
ist, dass sie durch den Theilkreis sowohl, als durch den Radius zu 
ihrem Theilkreispunkt in zwei congruente Stücke zerlegt wird *). 

Bei allen Satzränderverzahnungen sind deshalb bei der Zahn- 
stange die Zahnprotilstücke über und unter dem Theilkreise con- 
gruent. 

Der Strahl, welcher von dem Theilkreispunkte der Eingriff- 
linie aus nach irgend einem Eingrifipunkte gezogen wird (z. B. S>I 
in Fig. 451), gibt die Richtung und den Angrifipunkt des Zahn- 



*) Mancherlei über die EingriflFlinie und insbesondere die Eingriff- 
dauer findet man in der „Constructionslehre für den Maschinen- 
bau", §. 178 u. f. 



Cyklische Ciirven. 415 

dnickes für den betreffenden Eingriftpunkt an. Damit der Aclisen- 
druck zwischen den Rädern nicht zu gross ausfalle, soll der Win- 
kel zwischen der Achsendruckrichtung und der Centrale nicht zu 
klein sein. 

§. 190. 

Die cyklischen Curven. 

Zur Erzielung der Satzräderverzahnungen, oder überhaupt 
solcher Verzahnungen, deren geometrische Eigenschaften man all- 
gemein vorausbestimmen will, eignen sich am besten dieKreisrol- 
lungs- oder cyklischen Curven*). Wenn ein Kreis auf einem 
anderen ohne Gleitung rollt, so beschreibt jeder Punkt in einem 
seiner Radien eine solche Curve, welche eine gemeine, verlän- 
gerte oder verkürzte Cykloide heisst, je nachdem der beschrei- 
bende Punkt aufdem Umfang des rollenden Kreises liegt, oder 
durch eine Verlängerung oder durch eine Verkürzung des 
Halbmessers des rollenden Kreises zu erreichen ist. 

Der ruhende Kreis ist der Grundkreis der Curve, sein 
Halbmesser werde hier mit li bezeichnet; der rollende Kreis heisst 
der Wälzungskreis oder Radkreis und habe den Halbmesser 
r; der dem beschreibenden Punkt diametral gegenüberliegende 
Punkt des Radkreises werde der Gegen punkt des Curvenpunk- 
tes genannt. Bezeichnet man nun den Halbmesser desjenigen der 
beiden Kreise, welcher den anderen mit seiner Innenseite berührt, 
als negativ, den anderen als positiv, so lassen sich zunächst 
die fünf Arten der cyklischen Curven, welche sich durch Verände- 
rung von R und r ergeben, wie folgt zusammenstellen. 



Grund- 
kreis. 


Rad- 
kreis. 


Entstehende Cun'e. 


+ -K 


+ r 


Aufradlinie oder Epicykloide. 


+ 00 


+ r 


Radlinic schlecLthin oder Cykloide. 


- li 


+ r 


Inradlinie oder Ilypocykloide. 


+ It 


+ 00 


Fadenlinie oder Kreisevolvente. 


+ B 


— r 


Umradlinie oder Pericykloide. 



*) Siehe u. A. Dr. Zehme's elem. u. aoal. Behandl. d. verscb." Cykloi- 
den, Iserlohn und Elberfeld 1854, und Dr. Weissenborn's cyklische Cur- 
veo, Eisen ach 1856. 



410 Cyltlische Curven. 

Bei allen fünf Arten gelten sodann clicbeidenfolgendenSätze: ■ 

1. Die Normale zu einem Curvenpunkt geht durch 
den zugehörigen Berührungspunkt der Erzeugungs- 
kreise. 

2, Der Krümmungsmittelpunkt zu einem Punkt der 
Curve ist der Durchschnitt der Normalen mit der Gera- 
den, welche den Gegenpunkt mit dem Mittelpunkt des 
Grundkreises verbindet. Bei den verlängerten und verkürz- 
ten Curven liegt der „Gegenpunkt" auf dem verlängerten Radius 
zum Curvenelement und der durch den Berührungspunkt gezoge* 
neu Senkrechten zur Normale. 

Auf dem ersteren Satze heruht die vorzügliche Anwendbarkeit 
der cyklischen Curven zur Verzahnung; auf den zweiten lassen 
sich vortrettlich die Ersetzungen der cykloidischen Zahncurven 
durch Kreisbögen stützen. 



§. 191. 

Verzeiclmxmg der cyklischen Curven. 

L Genaues Verfahren. Fig. 453. G Grundkreis, TT Rad- 
kreis, A Anfangspunkt der Curve. Trage von A aus auf G und W 
nach derselben Seite kleine gleichlange Bogenstücke auf, und es 
seien nun a und «j zwei zusammengehörige Theilpunkte. Be- 
Fig. 453. 




schreibe aus A mit dem Abstand aat einen Bogen, und aus a mit 
der Sehne A a, ebenfalls einen Bogen , so schneidet letzterer den 
ersteren in einem Punkte F der gesuchten Curve. Dieses Verfah- 



Radlinienverzähnung. 417 

ren , welches in Fig. 453 nur für Auf- und Inradlinie angewandt 
ist, gilt für alle fünf Arten der cyklischen Curven. 

IL Abgekürztes Verfahren. Beschreibe aus den Theil- 
punkten 1, 2, 3, a, . . . mit den zugehörigen, von A aus gemesse- 
nen Sehnen des Radkreises Kreisbogen, so berühren diese sämmt- 
lich die gesuchte Curve und können, bei recht kleiner Theilung, 
A — 1,1 — 2 . . . zur Verzeichnung derselben dienen. 

Für die in B anfangende verlängerte oder verkürzte 
Curve bestimme zuerst P (wobei es nicht nothig ist, die gemeine 
Curve selbst zu verzeichnen), beschreibe dann aus a mit aiB 
einen Bogen, imd aus P einen solchen mit ^P, so schneiden die 
beiden Bogen einander in einem Punkte Q der gesuchten Curve. 

Oder: Ziehe durch a^ enien Radius o^ft im Radkreise, und 
durch h einen Kreisbogen h C concentrisch mit dem Grundkreise, 
und mache GqQi = A 6, so ist Qi der Curvenpunkt für die Wäl- 
zung auf dem Bogen Aa2 = A a^, 

§. 192. 

Radlinienverzahnmig für Satzräder. 

Das Zahnprofil wird bei dieser, streng genommen als dop- 
pelte zu bezeichnenden Verzahnung zusammengesetzt aus einem 
Auf- und einem Inradlinicnbogen , beide erzeugt durch einen für 
jede Theilung constanten Radkreis. 

1. Verzahnung eines aussenverzahnten Rades, Fig. 
454 (a. f. S). Gegeben die Zähnezahl 3 und die Theilung t oder die 

Stichzahl — des Rades. Dann mache man OS = B = ^ 

= "rt" ( — ) , und den Halbmesser r^ der Radkreise W= 0,875 1 oder 

= 2,75 ( — j; verzeichne den Kopfkreis K um 0,3^ von T ab- 
stehend, sowie den Fusskreis F um 0,4^ von T entfernt, und 

mache die Zahndicke = ^V4o^- Sb = ab\ Sc = ic, Sa Aufrad- 
linienbogen, erzeugt durch Rollen von TT auf T\ Si Inradlinicn- 
bogen, erzeugt durch Rollen von W in T. 

* Bei dem eilfzähnigen Rad wird Si gerade und radial. Die 
Verzahnung kann gut bis zu sieben Zähnen herab benutzt wer- 
den ; die Inradlinicnbogen werden zwar bei 3 <C 1 1 unterkrümmt, 

Reuleaux, dor Constructenr. 27 



4H 



Bauflmienv^TTAh nun g. 



d. L lUM^h der ZahrnnTtt^lfebene Lin geijogen. Diese Unterkrü»- 
nntnj? der Zabnäanken bt aber dadorch mwrhädlifft za marh?^, 
daM man dieZahßiofiääaQkeD anter B«aclitiinf des theoretiacKen 
FoAtprofilei axurn&det /'^ f. Im. wo in Fiä. 4->2 als Beispiel 
da« ^ielienzährii^e Kad der rorliegenden Verzahnung im Eingriff 
Ukit der Zahn^tan^e ge-waUt wiirde>. and aosserdem dem Raiie 
eine .Seiten^ich^ibe '%. |. 214, S. 465» gibC Die oben angege- 
benen Verhäitni^Me liefern einen ScheiteUpielraam Ton ^ h f. einen 
(lankenitpielraam ron < '^^ ^ 

Fig. ir,L Flg. 455. 





IL Verzahnung eines Hohlrades, Fig. 455. Das Hohl- 
rad iHt in den Zahnformen , abgesehen von der Rücksieht aaf die 
Spielräume, die gfinauc Ilohlform des gleichgrossen aussen verzahn- 
ten iCailes. — Mittelpunkt, li Theilkreishalbmesser, iTKopf- 
krei«, um 0,3 < von T nach innen abstehend, F Fusskreis, um 

t 
0,4 1 von T nach aussen abstehend, ro = 0,875 1 = 2,75 — , 

Zahndicke = ^^40 1. Na Aufradlinienbogen, erzeugt durch Rollen 
von TKauf y, >S'nnradlinienbogcn, erzeugt durch Rollen von Win T. 

iJci der Zahnstange ist i2 = 00. Sa und Si werden dann 
congruente Bögen der gemeinen Radlinie (vergl.Fig.452 in §.188). 

Die King riffli nie fällt bei der vorliegenden Verzahnung 
mit den lUdkreisen zusammen; der EingriflFbogen ist zudem hie» 

gleich der Eingriffstrecke, nämlich = ba + dem entsprechenden biüi 
am eingreifenden Rade, wenn beide aussenverzahnt, und + ^^^ 



\ 



Radlinienverzahnung. 



419 



Bogenstrecke et am Hohlrade, wenn ein solches in das Vollrad 
eingreift. Die Eingriffdauer s schwankt zwischen 1,22 und 1,60. 



§. 193. 

Radlinien-Ereisverzahnung. 

Als Ersatzbögen werden zwei Stücke von Krümmungskreisen 
passend gelegener Elemente der Radlinienbögen benutzt. 



Fig. 456. 



Fig. 456. Verzeichne 
aus den Theilkreis 
T und die Kopf- und 
Fusskreiso K und F 
in derbekanntenWeise, 
sowie aus den Mittel- 
punkten Jlf und J/j die 
Radkreise W und TTi, 
die einander und den 
Theilkreis in S berüh- 
ren. Ziehe nun die 
Durchmesser B M D 
und Bi Ml 2), so, dass 
Z.BMS=^BiMiS 
= 300; verbinde B 
mit Bi durch die ver- 
längerte Gerade 
Ci B S Bi, und ziehe 
durch die Gegenpunkte DundZ), dieGeraden^ODund OZ)iC,, 
so liefern deren Schnitte C und Ci mit der Geraden BiCSCi die 
gesuchten Krümmungsmittelpunkte zu den Ersatzbögen aBb und 
cBii, Durch C und Ci lege nun aus beschriebene Mittel- 
punktkreise, und rücke die Bögen aBb und cBii zum Zalm- 
profil zusammen. 

Durch Rechnung findet man die Krümmungshalbmesser q aus 
den folgenden Formeln : 




Q ... 23 ±11 1 



Q _ 



ir) 



= 1,42 



23 ±11 

3 ±11 



(179) 



Die Pluszeichen liefern die Krümmungshalbmesser CJB für 
die Aufradlinienbögen (Qa% die Minuszeichen die Krümmungs- 

27* 



420 Radlinienverzahnung. 

häMßmesser Ci B| for dielDradlinienbogen fp,t AmBadboden 
wird der Zahnfass in beluuiDter Weise mit einer Abmndiing an- 
gesetzt 

1. Beii^pitl. Gt^ltn 3 = 63, l = ^y«ot<l der KrmmmmmfAml^ 

wt^ttitr ^« für die Er*4tUböy/n dtr Aufradlimiem: p« = 30. 0^^. 

/37 
= 30,0J'j .-TT = 0,653. 30 = Uhr naht 2S^», und der KrümmMmmt- 

halbmtsiter ^für die inneren Bögen : ^=30. 0^ . ■— — = 30 . Oylo . -rx 

&5 — 11 dX 

= 30 . 0^j5 = iehr nahe 30^'^. 

t 33 

2. Beispiel. Gegeben ^ z=i lU — ^^ 10. Bier wird: qm= 10. 1^42 .^ 

= ^^ = 413 MilUmeter (nicht etwa Thetle des Peripheriemaastfiahes). 

Sodann hat man ^= 10.1,42.-^ = «, d. h. die Fus$ßanke wird ge- 
radlinig und radial. 

3. Bei$piel. GegeUn S = 7,t = 50. Hier wird ^m = 50. 0,45.^^^^ 

25 
= 50 . 0,45 . -TT = 31^ oder abgerundet 31»». Für den inneren Bogen 

erhält man: Qa=:50. 0,45 . ~ = — 50 . 0,45 . — =i — 50 . 03375 = 

nahe — 17»». Die Fusaflanke wird also unterkrümmt. Sie wird in der 
in §. 186, Fig. 452 angegebenen Weise in den Badboden übergeführt. 

Bemerkung. Bei den Zähnezahlen unter 15 thut man wohl, 
statt der Kreisverzahnung die genaue Methode (§. 192) anzuwen- 
den, indem sonst die Vernachlässigungen einen merkbaren Ein- 
fluss auf den Gang der ausgeführten Zahnräder üben. 



§. 194. 

Geradflankenverzatanung. 

Die Geradflanken Verzahnung ist eine einfache Radlinienver- 
zahnung; sie liefert Einzelräder fs. §. 185 und 189) und ist für 
Ilolzeisenräder namentlich bei Winkeltrieben deshalb passend, weil 
sie die Flanken der Holzzähne als ebene Flächen liefert 

I. Räder mit äusserem Eingriff, Fig. 457. 3 Zähne- 
zahl, II Halbmesser des Holzrades, 3i '^^^ ^i Zähnezahl und 
Halbmesser des Eisenrades, t die Theilung, h und / Kopf- und 
P usslänge beim Holzrad , ki und /i diese Längen beim Eisenrad. 




GcradHankenverzahnuiig. 421 

W Radkreis zur Erzeugung der Zahocurven des Rades ü|. Man 
mache R ^ ^ = -^ ( — ) , den Halbmesser von W ^ -:r, 

Ä, = |^ = |l^^yifc = 0,U,/ = 0,6(, A'i =0,5(,/i = 0,2*. 
und die Zahudickc bei beiden Rädern ^ — t. Si gerade und ra- 
dial, So Abrundimg vom Halbmesser j-r, aSi das Profil des ge- 

radtlankigen Zahnes. Bogen Sb, = i,ai, Sui Aufradlinieobogen, 
erzeugt durch Rollen von H'' auf Ti. Sii geradlinige Verlänge- 
rung der Curve Ui S, mit einer Ausrundung in den Radboden 
übergeführt; i, Sa^ Profil des krummtiankigen Zahnes. 



Fig. 457. 



Fig. 468. 




H, Räder mit innerem Eingriff, Fig. 408. Das Hohlrad 
erhält die eisernen krummflankigcn Zähne, den Halbmesser it,, die 
Zähnezahl 3ii '^^^ andere Ilad die Zähnezahl 3« den Halbmesser 
H 



R. W Radkreis vom Ilalhmesser ■; 



Kopf- und Fusslängen 



werden genotnmon wie oben, a Si gerades, oben abgerundetes 
Profil des Holzrades: t'iiSia, Profil des Eisenzahncs, zusammenge- 
setzt aus dem Inradlinicnbogen Süi und dem Ansatzstück SiV 
Srt| wird erzeugt durch Rollen von Win Tg. — Wollte man dem 
Hoblrad die geradlinigen Zahne geben, so würden die Zabnpro- 
filo des ausscnvei'zahnten Rades noch Umradlinienbögeu zu 



422 PonktverzahnungeiL 

formen sein, erzeugt durch Wälzen eines Radkreises von dem 
halben Halbmesser des Hohlrades um den Theilkreis des aussen- 
Terzahnten. Die entstehenden Zahnformen werden dabei für die 
Ausführung weniger bequem als bei der obigen Methode. Will 
man die Geradflankenverzahnung für Zahnstange und Trieb- 
ling benutzen, so kann man a) Bi = cx> annehmen, B endlich 
lassen, also den Triebling mit den Geradflanken versehen; die 
Zahnflanken der Zahnstange werden dann gemeine Radlinien ; oder 
man kann b) iZ = oo , Ifj aber endlich annehmen, wobei die Zahn- 
stange die geraden Flanken, der Triebling Evolventen zu Zahn- 
flanken erhält. 

Die Eingriff linie fällt bei der Geradflanken Verzahnung mit 

dem Radkreis ( ir ) zusammen ; der EngriflFbogen wird gleich der 

Eingriffstrecke , d. i. gleich dem 61 af, die Ein griff dauer « 
schwankt zwischen 1,7 und 3,7. Wenn die Profile des krumm- 
flankigen Zahnes einander vor Erreichung des normalen Kopf kreises 
schneiden, so schadet das nicht, wenn dabei £> 1 bleibt; andern- 
falls wähle man alsdann grössere Zähnezahlen. 

§. 195. 

Fanktverzahnungen. Gemischte Verzahnungen. 

Die Geradflankenverzahnung ist auch vielfach so benutzt wor- 
den, dass man deren zwei zusammenfügt, so dass an beiden Rädern 
die Fussflanken gerade, die Kopfflanken gekrümmt werden. 
Solche Räder sind aber keine Satzräder, und daher für die ge- 
wöhnlichen Ausführungen des Maschinenbaues als unpraktisch zu 
verwerfen. Nur bei den Uhrmachern mag sich diese Verzahnungs- 
methode vielleicht halten, weil sie ein bequemes Ausfeilen der 
Zahnlücken gestattet, und ausserdem kleine Zähnezahlen zulässt. 

Steigert man den Durchmesser des Radkreises um einen 
Bruchtheil über den Halbmesser des umgebenden Theilkreises 
hinaus, so ergeben sich auch ausführbare Verzahnungen, welche 
aber nur in ganz vereinzelten Fällen praktisch sind. 

Wird der Radkreis einer einfachen Verzahnung so gross ge- 
macht, wie der Theilkreis des einen der beiden Räder, so ergeben 
sich für den Theilkreis, auf welchem er rollt, als Zahnprofile 
cyklischo Curven , für den anderen, mit ihm gleich grossen Theil- 




Punkt verzahnungeu. 423 

kreis a1>er schrumpft das Zahnprofil in einen Punkt zusammen, 

weshalb man solche Verzahnungen Punktverzahnungen nennen 

kann. Unter diese fallen die sogenannten Triebstockverzah- 

nungen. 

Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Fig. 459. 

Um den Punkt, in welchem das Zahnprofil am Rade R übergegangen 

19 
ist, wird ein Kreis mit — ( beschrieben, welcher das Profil des den 

Punkt umgebenden und vertretenden Triebstockes ist; das Zahn- 
profil am Rade Ei ist eine Parallele (oder Aequidistante) zu einer 
Aulradlinie Sa, erzeugt durch Wälzen des Kreises T auf Ti, 
S b ^ a b\ Kreise vom Triebstockhalbmesser aus den Punkten von 
Sa beschrieben, hüllen das Zahnprofil cd ein; dt viertelkreisKr- 
migcs Fussprofil. Dio EingriÖlinie fallt mit T zusammen; die 
Ein gri&'s trecke SI wird durch den Kopfkreis Ki' in / begrenzt, 
und ist gleich dem Eingriffbogen, muss also > i, nicht kleiner 
als etwa 1,1 t sein. Hiemach richtet sich die Kopflänge ki' und 
die daraus folgende ki. 

Triebstockverzahnung für inneren Eingriff. Fig. 460. 
Fig. 469. Fig. 460. 




Ganz ähnliches Verfahren wie vorhin. Das Zahnprofil cd ist eine 
Parallele zu der Inradlinie St, erzeugt durch Wälzen von 2" in T|, 
SÄ = 1^; ,S/ Eingriffstrecke, gleich dem Eingriffbogen, also 
^ 1,1 ( zu machen. Das Fussprofil da ist hier radial gemacht, in- 



t:.t .-tiiic:'-e r: .L :M : i :£-a- 

1-5- t^^i Cij; i-iir -1* i: ^jit- t^- -ii^ i 5.- "t^- ^-^ aai»**-:»- 




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*'iti': f/i:r;i(|i! üh'-r;;i:;;angfiieii luraillirii« .Si; .Si = ti; S i Eiu- 
((ri(r»tr';':ki;, (.;Ii:ii:li fl«:fii EiiifmfflKjgfu. Wfsvr f;illt hier <; ( aus; 
)rt(|<;»>xrri vi;rhtHtt<:t i\\': (ieradHuiiki^keit der Züline von ^i. den 
f 'lull k(;iiHj*ji:lruu III Null zu iiiul-Ir-ii, sodasü die Gegentlauke elien- 
fiilU <:iii Killgriff i^t, d«T V.iu^ri&liotinn also als das Doppelte von 
iV / zu liotra'.-litoii ist. Wjrlit-guiultr liädereingriß' wird von Vielen 
Jiir idiii;» Utoiidcrt-ii MecliatiiKuiuH gehalten; ührigens tiiideu sich 
in dirii Au>>fiiiiruiigi;n di«; Trielistöcke als Rollen coustruirt, die auf 
IrtiitraKiiiidi-ti /a|it'ini ttttiokcii. 

IJiHHt iiitiii jti Fig. 4'iO den Itadius 7f, unendlich gross werden, 
Ml «iitbtitht iUt /aliriMtaiigenmcchaiiismus, bei welchem die 
/iihii|iriitil« an diT XuliiiKtaiige l'urallelcu zu gemeinen Kadlitiien 
wiüilitii. Wi'iiii diiKcgeti hei Fig. 4G1 E unendlich gross gemacht 
wiitl, ürlmit die enthtt^lieiuli; Zahnstange eine sehr heijucme Form 
(StockleiU'r^, sodass die Constructiou der ersteren meist vorzu- 



n 



Gemiscilte Verüahnuiig. 425 

zielten ist; an dem Kado werden die ZalinproGlo Paralleleu zu 
Kreisevolventen. 

Die Triebstock Verzahnungen haben für präcise Ausführungen, 
welche sich nicht oft wiederholen, den Vortheil, dass man die 
Triebstöcke so leicht genau herstellen kann (auf der Drehbank);" 
die erwähnten leiterförmigeo Zahnstangen, aus Schmiedeisen her- 
gestellt, sind äusserst praktisch, namentlich für Windwerke, welche 
dem Frost ausgesetzt sind, wie die an Schleusen, Drehbrücken u. a. w. 
Fig. 4C3. Fig. 464. 




Doppelte l'unktverzahnung. Fig.463. Verbindet man zwei 
Punktverzahnungen miteinander, so erhält man eine Verzahnung, 
welche ein sehr tiefes Ilcrabgeben der Zähnezahl des einen Rades, 
also eine starke Uebersotzung bei kleinen Abmessungen der Kader 
gestattet. Hier sind beide Theilkreise zugleich Itadkreise. Sa 
Aufradliuienbogeu, erzeugt durch Wälzen von Tj auf T, ein- 
greifend auf der Strecke 5/ mit dem Punkte S des Rades T; 
S«! Aufradliuienbogeu, erzeugt durch Wälzen von TimfTi, ein- 
greifend auf der Strecke Sil mit dem Theilkreispunkte Sdes Rades 
1\. St Fussprotil, angelehnt au das theoretische Lückenprofil 
Saiffi (siehe IV. g. 188J, St'i Fussprofil des anderen Rades, ebenso 
an das theoretische Lückenprofil Sag gelehnt. — Unter Voraus- 
setzung der Seiten Scheiben ist das kleine Rad gut zu brauchen; 
Ausführungen ähnlicher Art zeigen die Wagenwinden und ver- 
waodte Hehezeuge. 

Gemischte Verzahnung. Fig. 464. Für die Anfertigung 



426 ETolTenten- Verzahnung. 

der soeben genannten kleinen Trieblinge für Hebezeoge ist es sehr 
zweckmässig, wenn das Fussprotil nicht gar zu sehr unterschnitten 
erscheint. Für diesen Zweck eignet sich die Anwendung der 
Geradflanken beim Zahnfnsse des kleinen Rades. Zur Erzie* 
lung einer genügenden Eingriffdauer 'welche hier bei dem Dreier- 
Rad mit y^hnstange immer noch 1,15 beträgt! müssen dann frei- 
lich auch am eingreifenden Rade die Zahncurven am Zahnkopf 
bis zu ihrem Durchschnitt geführt werden. Sa Fadenlinienbogen, 
erzeugt durch Wälzen des (hier geradlinigen) Theilrisses Ti der 
Zahnstange auf J, Si geradlinige radiale Fussflanke, erzeugt durch 

Wälzen des Kreises TF vom Halbmesser — in T, Sfli^i theore- 

tisches Profil der Lücke des Rades T. Sa greift mit dem Punkte S 
der Zahnstange auf der Strecke S/7. Sai Radlinienbogen, erzeugt 
durch Wälzen von W auf Ti greifend auf der Strecke SI mit 
der Fussflanke Si des Rades T. 



§. 196. 

Evolventenverzahnnng für Satzräder. 

Das Zahnprofil wird durch einen Fadenlinien- oder Kreis- 
evolventenbogen gebildet, welcher durch Abwickelung eines Ver- 



liältnisskreises erzeugt wird. 

Fig. 465. 



Fig. 466. 





eo 

I 



i 



Acussere und innere Verzahnung. Fig. 465 und 466. 



nun 



Evolventen-Verzahnung. 427 

Gegeben die Zähnezahl 3 und die Theilung f, oder die Stichzahl 

— des zu verzahnenden Rades. Mache OS = R = ^ =^( — ) 
jt In 2 \7C/ 

und verzeichne die Kopf- und Fusskreise K und F in den Ab- 
ständen / = 0,4^, Ä; = 0,3 f vom Theilkreis, sowie die Zahndicke 
mit 10/40 1' Ziehe hierauf die Gerade NSNi unter 75'> gegen 
OS geneigt, so wird dieselbe den Grundkreis G vom Halbmesser 

r = 0,966 i2 = 0,1543 f = 0,483 3 (-\ berühren. Wickle 

die NS von S nach a vom Kreise G ab, und von S nach g auf den 
Kreis G auf, so ist die Bahn a Sg des Punktes S der gesuchte 
Zahnumriss, welcher bei äusserer Verzahnung für die Zähnezahlen 
unter 55 durch ein radiales Stück gi zu verlängern und mit dem 
Radboden zu verbinden ist. 

Eingrifflinie ist die Gerade NN; die Eingriffstrecke setzt 
sich aus deren den Zahnköpfen zukommenden Abschnitten Sb und 
Sil, beim Hohlrade Sc, zusammen. Zur Ermittelung der Eingriff- 
dauer e hat man nur die Theilung t durch Radienziehung auf 
den Grundkreis r zurückzuführen und mit der so erhaltenen Grund- 
kreistheilung oder Grund theilung die Eingriffstrecke auszu- 
messen. Bei zwei gleichgrossen Rädern von 14 Zähnen ist e nur 
wenig >> 1 ; es schwankt überhaupt zwischen 1 und 2,5. 

Fig. 467. Zahnstange, Fig. 467. 

aSi gerade, unter 75^ ge- 
gen den Theilkreis T ge- 
neigte Linie als Zahnpro- 
fil. Der Winkel von 75<> 
ist durch Zusammen- 
legen der gebräuch- 
lichenWinkelbrettchen 
von 450 und 30« leicht 
zu erhalten. 
Bei den wcuigzähnigen Rädern liegt der Grundkreis im Zahn- 
profil nahe dem Theilkreis. Dies führt leicht einen störenden 
Fehler im Eingriff herbei. Ist nämlich das Stück SB der Geraden 
NN, welches zwischen Theil- und Grundkreis liegt, kleiner als das 
vom Zahnkopf des eingreifenden Rades, siehe Fig. 468 (a. f. S.), so 
schneidet die die Profilspitze a auf ihrer durch die Curve afg 
angedeutciten Kopfbahn (vergl. Fig. 452) in den Zahnfuss des an- 
deren Rades ein. Sollte dieser Fehler nicht eintreten, so dürfte 




428 EvolrentenverzahoUDg. 

die Zabnkopfbegrcazung, zu veldier der Punkt a gehÜrt, nicht über 

die durch B geheude K K' hinausgehen*). Bei der vorliegendeu 

Fig. 468. 



Satzräderverzahiiung findet dies für Räder, welche in eine Zahn- 
stange eingreifen, nur statt, wenn 3 ä ^^' Ein .anderes Mittel, 
deu fabchen Eingritt' zu vermeiden, bestellt in einer Abrundung 
der ZaLubaiite bei a; dieselbe ist in der Pra^tis nielirfat.'h im Ge- 
brauch, muss indessen unter Umständen ziemlich weit gehen, um 
deu Fehler ganz auszugleichen. 

§. 197. 

Zahnreibong der Stirnräder. 

Die Reibung der Stirnradzähne hängt sehr wesentlich von 
den Verzahnungscurven ab, und lässt sich aus der Form, Grösse 
und Lage der Eingrilflinie beurtheilcn. Im allgemeinen wächst 
die Reibung mit der KiugrifTdauer e. Wogen der Lage der Ein- 
griälinie führt £ in der Formel einen Coefticienten bei sich, wel- 
cher t:^ ' , ist, wenn, wie durchschnittlich bei unserer Radlinien- 

•) Der Widerspruch, dass trotz der geomcirischen Ricbtigkeit der Ver- 
zuhiiung doch der Eingriff falicb werden kann, ist nur scheinbar. Denn 
unter den gemachten Voraussetzungen hinsichtlich der Zahnkopflangen 
müsste die Zabnfu»flankc an dem kleinen Rade statt von einfach bogen- 
förmiger Gestalt von einer vrörmigen sein, nämlich ans zwei auf dem 
UruDdhreia eine Spitze bildenden Evol vcntenbogen bestehen, 
von denen der eine in die Lücke fallen, also unausführbar sein würde. Ea 
bandelt sich also hier um einen der Fälle, welche in g. 188 bei I. ange- 
deutet wurden. Auch die Autfühtung der in obiger Figur gefundenen Fuss- 
«•urve geht nicht an, da dieselbe ein Stück der richtigen Curve weg- 
schneide). 



Zahnreibung. 429 

Verzahnung, die Eingriffbogen glcichmässig zu beiden Seiten der 
Centrale vertheilt ist; er ist = 1, wenn, wie bei derGeradüanken- 
verzahnung, die Eingrifflinie ganz auf einer Seite der Centrale 
liegt ; er kann = 8/4 gesetzt werden, wenn, wie bei der Evolventen- 
verzahnung , die Vertheilung der Eingrifflinie die Mitte zwischen 
den beiden genannten Anordnungen hält. Von den Zähnezahlen 
hängt die Zahnreibung in starkem Maasse ab , indem sie propor- 
tional deren harmonischem Mittel ist,mithin mit wachsenden Zähne- 
zahlen rasch abnimmt. 

Beim Reibungscoefficienten / und den Zähnezahlen 3 und 3i 
hat man für den Arbeitsverlust pr durch die Zahnreibung: 

a) bei der Radlinienverzahnung: 

^'="^{'k^i')i • • • • 

b) bei der Geradflankenverzahnung: 

Pr=^f(^±^)s . . . . ^ (180) 

c) bei der Evolventenverzahnung: 

P.=»/(|±^)V4a . . . 

Der Coefficient / selbst ist auch bei gut geschmierten Rädern 
nicht klein, da der Flächendruck in der Regel hoch ist ; meistens 
passend ist /= 0,15, bei neuen und trocken gehenden Rädern 
indessen steigt/ auf 0,20 bis 0,25 und höher. Das Minuszeichen 
in der Foimel wird gebraucht, wenn ein Hohlrad (3i) im Paare 
vorkommt. 

1. Beispiel, Bei einem Paare siehcnzähniger Räder mit Badlinien- 
verzahnung ist € = 1,225, Bei f = 0^15 hat man nach (180 a) für den 

Verlust durch Zahnreibung: pr= ^^^^ ' ^'^^^ / ' ^^^'^^ = 0,08243 •v^ 8% 

Procent. 

2. Beispiel. Badlinienverzahnung. 3 = 3,= 40. Hier ist c = 

1,44, und kommt: ^^ - iiüi^^^^jizff - 0,016995.^^1,7 Procent, 

3. Beispiel, Badlinienverzahnung, 3 = 7, 3i = — öö (TTohlrad). 
Hier ist e = 1,40 und demnach pr = 3,14 , 0,15 . 0,7 ^y — — j v^vy 4,2 

Procent, 

4. Beispiel, Badlinienverzahnung, 3 = 7, 3i = ® (Zahnstange), 



430 Zahnreibung. 

^ , 3,14 0,15.1,37 /l t rÄ ^ ^^ 
Hier ist e = 1,37, und somit pr = "^ '— (y + ^) «^^^ ^»^ 

Procent, 

5. Beispiel. Geradflanlenv er zahnung, 3 = 3i = 40. Man findet 

£ = i,S5, wonach aus (ISO b): pr = — ^^ -^^^^ ^»^ Procent, 

d. I. ;2V2 *"<*' «<>ri>/ a/« tm ;2. Beispiel, 

6, Beispiel, Etoltentenverzahnung. 3 = 3i = 40. Hier ist e 

^. .. , .^ ^ 3,14 . 0,15 , 2 . 0,75 . 1S2 ^^^«^ 
= i,Ö5. DiV« ^t6t fiacÄ (iöO c): pr = '- j^j— ^ — = 0,0339 

•v^ 5,4 Procent, d. i. zweimal soviel als im 2, Beispiel, 

Man sieht also, dass von den dreien die Geradflankenver- 
zahnung die grösste, die Radlinienverzahnung die kleinste Rei- 
bung hat. 

Die Abnützung der Zähne hängt ausser vom Reibungscoefti- 
cienten vom Drucke der Zahnflanken aufeinander und von dem 
Verhältniss der übereinander hingleitenden Profiltheile ab. Sie ist 
deshalb bei constantem Zahndrucke nicht ohne weiteres constant, 
und es ist ein grosser Irrthum, wenn man, wie häufig geschieht, 
annimmt, dass bei der Evolventen Verzahnung die Abnützung die 
Zahnform nicht ändere. Im Gegentheil findet gerade bei dieser 
Verzahnung verhält nissmässig die stärkste Formänderung durch 
die Abnützung statt, indem hier das geriebene Flankenstück in- 
nerhalb des Theilkreises gegen das daraufreibende des anderen 
Zahnkopfes besonders klein ist. Man kann die Riclitigkeit des 
Gesagten in der Praxis vielfach beobachten, wo das kleinere Rad 
in einem mit Evolventenverzahnung versehenen Paare oft tiefe 
Kerben dicht unter dem Theilkreis zeigt. Die Radlinienverzah- 
nung ist auch in diesem Punkte die günstigste von den dreien. 

Schliesslich sei noch bemerkt, dass man die oben berechneten 
Reibungsverluste auch geometrisch auffinden kann, und zwar wie 
folgt. Man bilde die Differenzen der zusammenarbeiten- 
den Profiltheile, dividire dieselben durch die zugehöri- 
gen Sehnen der Eingrifflinienbogen, und multiplicire die 
Summe der erhaltenen Quotienten mit dem Reibungs- 
coefficienten. Das Resultat ist der Verlust jj^- Die genannte 
Sehne ist bei der Evolventenverzahnung die Eingriffstrecke selbst. 
Die Regel liefert jv auch für die Punktverzahnungen; sie 
gibt dem Zeichner das Mittel an die Hand, beim Auftragen der 
Verzahnung deren Reibungsverlust gleichsam mit dem Zirkel ab- 
zustechen. 



Vergleichung der Verzahnungsmethoden. 431 



§. 198. 

Vor- und Nachtheile der behandelten Verzahnungs- 
methoden. 

Jede von den beiden Satzräderverzahnungen hat ihre Vorzüge 
und ihre Nachtheile. 

Radlinienverzahnung. Sie gewährt den grossen Vortheil, 
dass man bei ihr für gleichgrosse Räder mit der Zähnezahl bis 
auf 7 herabgehen kann, während bei der Evolventenverzahnung 
die kleinsten gleichgrossen Räder 14 Zähne haben müssen, man 
auch die Zähnezahl bei der Evolventenverzahnung nicht unter 11 
nehmen darf. Der Reibungsverlust ist bei dieser Verzahnung ver- 
hältnissmässig sehr klein, die Abnützung wenig nachtheilig für die 
Zahlform. Als ein kleiner Nachtheil ist zu betrachten, dass die 
Zahnprotile eine S-förmige Krümmung haben, was die Anfertigung 
erschwert; auch können zusammenarbeitende Räder nicht viel aus- 
einandergerückt werden, ohne den genügend richtigen Eingriff 
einzubüssen. 

Evolventenverzahnung. Vortheile sind: vor allem die 
einfache Form der Zähne und sodann die Eigenschaft, dass man 
die Räder auseinanderrücken darf, ohne die Richtigkeit des Ein- 
griffes zu beeinträchtigen. Diesen Vorzügen stellt sich aber der 
oben besprochene Nachtheil entgegen, vermöge dessen bei kleinen 
Zähnezahlen der Zahnkopf nach Beendigung des richtigen Ein- 
griffstückes eine solche Bahn gegen den ihn angreifenden Zahn 
oder genauer gegen dessen radialen Fuss beschreibt, dass er ihm 
eine unrichtige Geschwindigkeit ertheilt. Der üebelstand wird 
ausser durch die oben angegebenen Mittel bei fertigen Rädern ge- 
hoben, wenn man die betreffenden Räder auseinanderrückt, und 
zwar so weit, dass bei beiden Rädern die Zähne wenigstens gleich- 
zeitig aus der Eingrifflinie treten. Somit trägt die Verzahnung 
das Heilmittel lür ihren Fehler zwar in sich selbst; allein für 
starke Kraftübertragung sind doch, namentlich wo Stösse häufig 
sind, so gesperrt gehende Räder nicht geeignet, beziehlich die 
kleinen Zähnezahlen zu vermeiden. 

So wird also für die Satzräder die Evolventenverzahnung 
nur bei grösseren Zähnezahlen (wo etwa das kleinere Rad im Paare 



432 Verzahnung der Kegelrader. 

niflit unter 30 Zähne liatj zu empfehlen sein, wo ihre guten Eigen- 
schaften sich dann gut verwerthen lassen, während für Räder mit 
kleinen , unter Umständen möglichst kleinen Getriel)en die R a d - 
linienverzahnung den entschiedenen Vorzug verdient Da 
diese ausserdem auch für grosse Zähnezahlen vortreflTlich ist und 
in Bezug auf Reibung und Abnützung sehr günstig steht, so em- 
pfiehlt es sich, bei neuen Fabrikanlagen nur sie allein für die Satz- 
räder, insbesondere die Stirnräder, in Anwendung zu bringen. 
FürKegelräder, welclie in der Regel nicht Satzräder sind, eignet 
sich indessen der einfachen Form wegen die Evolventenverzahnung 
auch sehr gut. 

Bei der Geradflankenverzahnung, deren einfache Zahn- 
form namentlich für die Kegelräder von hohem Werth ist, wird 
das am Holzzahn angegriiFene Stück in radialer Richtung manch- 
mal ziemlich klein (und zwar um so kleiner, je grösser die Zähne- 
zahl des geradflankigen Rades ist), und leidet deshalb nicht unbe- 
deutend durch die Abnutzung, wenn man nicht sich durch das ein- 
fache Mittel vorsieht, den Zähnen eine recht grosse Breite zu 
geben. 

Die Punktverzahnungen und die, welche als gemischte 
bezeichnet wurden, leisten für besondere Fälle, namentlich bei 
Hebzeugen und anderen Windwerken, wo als Zahnmaterial 
Schmiedeisen gebrauclit wird, ausgezeichnete Dienste, weslialb die 
betreffenden Regeln namentlich bei solchen Maschinen ihre Ver- 
w^endung finden möchten. 

B. Verzahnung der Kegelräder. 

§. 199. 

Allgemeines über die Kegelradzähne. 

Bei den Kegel- oder Winkelrädem liegen die berührenden 
Verhältnisskreise zusammenarbeitender Räder in den Grund- 
kegcln, deren Spitzen im Schnittpunkt der geometrischen Achsen 
der Räder zusammentreffen. Unter den Theilkreisen verstehen 
wir die an den Grundflächen der Grundkegel liegenden be- 
rülirenden Verliültnisskreise SD und *S J5, Fig. 469. Die Zahnlänge 
wird auf dem Ergänzungskegel des Grundkegels gemessen; SB 
ist die Kante des Ergänzungskegels zu >S2), SC diejenige zu SE^ 
wobei B C±_ zu AS. Die Zahnlänge wird auf SB und SC, die 



Verzahnung der Kegelräder. 433 

Zahnbreite auf SÄ gemessen, die Zahndicke auf dem Theilkreis; 
die Zähne sind Pyramiden, deren Spitzen in A liegen. 
Fig. 469. 




Die zusammengehörigen Halbmesser xSD und SE der Grund- 
kegel werden gefunden, indem man durch die Itcrührungslinie SA 
den Achsenwinkcl a so theilt, dass sich die Lothe SD und SE, 
welche aus einem Punkte S derselben auf die Achsen gefallt wer- 
den, verhalten wie die Zähnezniilen oder verkehrt wie die Umlauf- 

zahlen der Bäder, sodass also; -5-= ;= ^ ^ — . Es sind jedesmal 

zwei Lösungen möglich, jenachdem man die Theilungslinie SA 
innerhalb a oder in den Nebenwinkel legt, oder mit anderen Wor- 
ten, jenachdem man a oder den Nebenwinkel als Achscuwinkel be- 
trachtet Die beiden I-ösungen uiiterscJieiden sich dadurch , dass 
bei unverändertem Drehungssinn der treibenden Welle die getrie- 
bene Welle bei der einen Lösung rechts, bei der anderen links 
umL^uft (Fig. 469). Eine der Lösungen kann ein Holilrad liefern; 



dies gescliieht, i 



- <; cos.a. 



Wenn Kegelräder Satzräder werden sollen (vergl. §. 185), 
so müssen sie ausser gleicher Theilung auch noch gleichlange 
BerUliruugslinien (A S, Kg. 4fi0) haben. Da diese Bedingung nur 
selten erfüllt werden kann, so sind Kegelrüder von gleicher Theilung 



434 Kegelräder. 

und Verzalinungsart doch meist Einzelräder. In der Praxis findet 
man übrigens Abweichungen bis zu 5 Procent in der Länge der 
Berührungslinie noch als statthaft betrachtet Man nennt solche 
mit einem kleinen Fehler behaftete zu einem vorhandenen Kegel- 
räderpaar für denselben Achsen winkel hinzu construirte Räder 
Bastardräder. Bei einem vorhandenen rechtwinkligen Kegel- 
räderpaar von 80 auf 45 Zähne gestattet also z. B. die Praxis 
noch , Bastardräder bis zu 80 ( 1 :^ 0,05) , d. i. bis zu 84 und 76 
Zähnen, mit dem 45zähnigen rechtwinklig arbeiten zu lassen. 



§. 200. 



Hilfrader der Kegelräder. 



Fig. 470. 



Die Kegelräder erhalten brauchbare Zahnformen, wenn man 
ihre als Stirnräder verzahnten Hilfräder auf die durch die Er- 
gänzungskegel gegebenen Endflächen der Zähne aufwickelt Hilf- 
räder zweier Kegelräder R und 
Jii (Fig. 470) heissen die Stirn- 
räder von derselben Theilung, 
welche zu Halbmesserii r und ri 
die Erzeugenden B S und CS ih- 
rer Ergänzungskegel haben. 

Bei gegebenem Achsenwinkel 
a bestimmen sich der Halbmesser 
r und die Zähnezahl j eines Hilf- 
rades aus den bekannten Halb- 
messern und Zähnezahlen B, Äi, 
3 und 3i der Kegelräder mittelst 
der Formeln: 




>--ßr 7> 



\ 



r__ Vü^-i- R'f + 2RR, COS. a 
R Rx -\" R COS. a 



3 3i + 3 COS. a 

Ist der Achsen winkel ein Rechter, so wird: 



(181) 






Kegelräder. 435 

Beispiel. Ein Kegelräderpaar habe die Zähnezahlen 30 und 50 
und einen Achsenwinkel (tz=60^, so ist cos. •«= Vi, und es findet sich für 

das Htlfrcul zu dem 30zähntgen Rade: % = -^-—. — —-r-r — 

_ 50 -|- 30 . O^o 

= ' = 32,3, wofür man 32 nehmen könnte. Für das öOzähnige 

o j 1.-7, /• 50.V49ÖÖ 50.70 , ^, xr-, ^. 

Äaa erhalt man ferner : j, = ^. , , ., ^^ , = — rz — = nahe 64, Mit dte- 

30 -\- 50.0,0 DO 

sen Zähnezahlen und der gegebenen Theilung sind die Hilfräder zu ver- 
zahnen. 

Kleine Zähnezahlen sind für Kegelräder nicht günstig, da bei 
solchen die Fehler, welche die Methode der Ililfräder immerhin 
enthält, merklich auftreten. Macht man aber nur von Zähnezahlen 
über 24 Gebrauch, so erhalten die Hilfräder nie unter 28 Zähnen, 
und man kann sich dann (siehe §. 196) der Evolventenverzah- 
nung bedienen. Diese ist hier wegen der leichten Abformbarkeit 
der Zähne vortheilhaft, sodass sie trotz ihren kleinen Mängeln an 
diesem Platze den Vorzug verdient. Auch wegen der Ausfüh- 
rungsfehler in der Verzahnung, welche hier leicht weit grösser 
ausfallen als bei den Stirnrädern, empfiehlt es sich, grosse Zähne- 
zahlen anzuwenden. 

Die Zahnreibungsverluste der Kegelräder sind sehr annähernd 
gleich denen ihrer Hilfräder. 

§. 201. 

Das Flanrad. 

Die innenverzahnten oder Hohlkegelräder sind nicht prak- 
tisch, da ihre Modellirung und Herstellung weit schwieriger ist, 
als die der gewöhnlichen oder Vollkegelräder. Ein Grenzfall 
zwischen beiden Artea ist indessen bemerkenswerth. Wenn näm- 
lich das Uebersetzungsverhältniss in einem Winkelräderpaar nu- 
merisch = cos, a ist, so geht bei einer der beiden Lösungen der 
Grundkegel des einen Rades (SE in Fig. 471 a. f. S.) in eine ebene 
Scheibe über. Ein Winkelrad mit einem solchen Grundkegel nen- 
nen wir ein Planrad. Der Ergänzungskegel desselben geht in 
einen Cylinder über; der Halbmesser des Hilfrades zum Planrad 
wird also unendlich gross, d. h. das Rad erhält die Zahnfor- 
men der Zahnstange. Diese sind bei der Evolventen Verzahnung 
besonders einfach (§. 196) und machen dadurch das Planrad zu 
einer unter Umständen empfehlenswerthen Construction. 

28* 



436 Planrad. 

Für das CebersetznngsverhältDiss hat man, wie gesagt: 

5? z=co8.a (183) 

woraus z. B. bei a = 60^ ^ = ^/f folgt Das Planrad erlaubt 

also bei festgesetztem Achsenwinkel nur ein bestimmtes Ueber- 
setzungsverhältniss. Dieses lässt sich auch ausdrücken durch den 
halben Spitzen winkel y^ des Kegelrades JB,, indem man auch hat: 



lii 



= sin. ya 



(184) 



Es verdient beachtet zu werden , dass beide Räder aus einem 
Winkelräderpaar einzeln mit demselben Planrad arbeiten können. 
Hat ein solches Paar J?2, üj (Fig. 472) die Spitzen winkel y^ und y, 

Fig. 471. Fig. 472. 



X^. 




<»*r, 



/ i /ö^ 




und ist ausserdem rechtwinklig, so ist zunächst dessen Ueber- 
setzungszalil : 



TL, 



und man hat bei: 



R 



8 



— ig 71 = Va 



Vs 



¥2 



% 



Vs 



8 



ya == UO 18Ö30 26^40 8605O 45» ÖS^IO ()3«20 Tl^SO 76<» 

^=sm.y2 = 0,242 0,317 0,449 0,60 0,707 0,800 0,894 0,948 0,970. 
Hl 

Je eines der Räder R^ und R^ kann strenggenommen mit 
dem Planrade Ri nur dann benutzt werden, wenn die Zähnezahlen 
die genügend angenäherte Verwirklichung des Verhältnisses sin. y« 
gestatten. Obgleich hiernach in seiner Anwendung beschränkt, ist 
doch das Planrad manchmal benutzbar, indem es schiefwinklige 
Uebertragungen sehr leicht ausfuhrbar macht. 



C. Die Schraubenrüder. 



Die Schraube ohne Ende. 

Die unter dem Namen Schraube ohneEnde,Schnecke, Scbiiecken- 
rad, Wurmrad verstaudene Vorrichtung besteht aus einem Stirn- 
rade und einer darin eingreifenden Schraube. Gewölinlich werden 
die Achsen beider rechtwinklig geschränkt, Fig. 472. Dann 
Fir. 473. müssen die Zähne des Hades 

um den Steigungswinkel y 
der Schraube scliief gegen 
die Cylinderkantc stehen, 
wobei 

wenn f die Schraubenstei- 
gung, JJ der Theilcylinder- 
halbmesser der Schraube 
(^ lässt sich beiiucm mit 
Hilfe des Peripheriemaass- 
stabes auftragen). Ist schief- 
winklige SchrUnkuug der 
Achsen gestattet, so kann 
man aucli ein gewöhnliches Stirnrad benutzen, indem man dann 
nur die Schraubenaclise um y aus der vorigen Lage herauszudre- 
hen hat. Diese Anordnung, siehe Fig.474 (a.f.S.), geht sehr gut an, 
wenn die Befestigungsebene der Lager für die Scliraube parallel 
zu beiden Achsen liegt. Zu beachten hat man übrigens, dass nun 
dieSteigungderSchraube nicht wie oben ^ der Theilung (des Rades, 

sondern = zu nehmen ist. 

COS.J" 

Das UebersetzuugsverliäUniss ist bei der Gangzabl 3 
uud der Umdrehungszahl ti der Schraube, der Zäbnezahl 3i und 
der Umdrehungszahl »i des Uades: 




438 



Schraube ohne Ende. 

• «1 3 



n 3i 
Gewöhnlich ist 3 = 1 (eingängige Schraube) und alsdann: 

«1 1 

Die Reibung der Schraube an den Radzähnen ist sehr 
gross, indem die Gänge an den Zahnflanken entlang gleiten müs- 

• Fig. 474. 




sen. Man hat beim Reibungscoefticienten / für das Verhältniss 
zwischen der wirklich aufzuwendenden Kraft P* zu der an demsel- 
ben Hebelarm der Schraube angreifenden Kraft P, welche bei 
reibungsfreiem Gange aufzuwenden wäre : 

Bei/= 0,16 erhält man hieraus nach kleiner Abrundung: 

P' B 

^=l+j (185) 

72 
Daraus folgt, dass man zur Verhütung grosser Kraftverluste -r- 

V 

möglichst klein zu machen hat. 

P' 
Morin gibt als Regel 1? = 3^, wobei -^ = 4 

P 

Redtenbacher „ „ li = l,6i „ "P ^^ '^»^ 

P' 

Wir nehmen, wo es angeht ü = t „ — = 2 



Schraubenräder. 439 

Kleiner lässt sich -j- nicht wohl ausführen. Man sieht, dass selbst 

dann der Nutzeifekt nur 50 Proc. beträgt. Es ist also nur Ueber- 
setzung von Schraube zu Rad möglich, da die Gleitungsreibung 
dem Rücktrieb gleich ist. Zu der gefundenen Reibung kommt 
übrigens noch die gewöhnliche Zahnreibung und die der Zapfen 
hinzu. 

Die Verzahnung zwischen Schnecke und Rad ist die von 
Zahnstange und Getriebe , aufgetragen in einem Längsschnitt der 
Schraube (vergl. übrigens §. 204). Die Evolventenverzahnung ist 
hier wegen der geraden Zahnprofile günstig; 3i uiuss aber >> 28 
sein (§. 19G). Berührung findet geometrisch nur in einem Punkte, 
physisch in einer kleinen Abplattungsfläche statt; will man eine 
weitergehende Berührung erzielen, so ist das Rad mit einer Wurm- 
fräse zu schneiden. Zahnräder, bei welchen die Zahnberührung 
geometrisch in nur eiiiem Punkte stattfindet, nennt man häufig 
Präcisionsräder gegenüber den Krafträder genannten, de- 
ren Zähne einander geometrisch in einer Linie berühren. Der Un- 
terschied, der in diesen Bezeichnungen ausgedrückt ist, wird übri- 
gens nicht scharf innegehalten, wie das vorstehende Beispiel zeigt, 
indem man die Schraube ohne Ende sowohl für kleine als für 
grosse Kräfte gebraucht. 



§. 203. 

Cylindrische Schraubenräder. 

Die cylindrischen Schraubenräder sind der allgemeine Fall 
des vorigen Getriebes, und haben eigenthümliche Eigenschaften. 
Die Räder Ä und B^ Fig. 475 (a.f.S.), sind hier beide Linksschrau- 
ben. Sie haben solche Steigungswinkel y und yi, dass an der Ein- 
griffstelle die Schraubenlinien der Theilcylinder eine gemeinschaft- 
liche Tangente haben, sodass beim Schränkungswinkel a der 
Achsen: 

y + yj 4. a = 1800 (186) *) 



♦) Beim Aufzeichnen der Schraubenräder achte man sorgfältig darauf, 
dass die Winkel y und y^ im gleichen Sinne gezählt werden, also z. B. 
wie oben von der Mittelebcne des Rades aus beidemal nach rechts. 



440 Schraubenräder. 

Zerlegt man die Umfangsgeschwindigkeiten v und f| in der 
Richtung jener Tangente und normal zu derselben, so erhält man: 
Fig. 475. 



v\\i 


h- 


"*■•» ^ -y^x. 


f.; ^ 



(187) 



V,. sin. y »I Ilsm.-y 

— = —. — — , woraus i — = t, — ■■ — — ■ ■ 
V sui.yi n Misin.yi 

Da ferüer die Normaltheilungen i = tsin.y und ti ^t,sin.ri 

einander gleich sein müssen, so hat mau: t:ti = sin.y:sin. yi, ■ 

und daraus für die Zühnezahlen wie bisher: 

3i «■ 
Hiernach verhalten sich hier nicht die Kadhalhmesser selbst, son- 
dern deren Projektionen auf die Normale zur Zahutan- 
gente wie die Zühnezahleu, was eine graphische Auffindung der 
Halbmesser nahe legt. 

Vermöge der üeschwindigkeitscomponenten v' und w/ glei- 
ten die Zahnflanken einander entlang und zwar mit der 
Geschwindigkeit : 

(/ = «' + u,' = c ieot(j.y -H cidg.yi) (188) 

Die Gleitung bewirkt Kraftverlust unif Abnutzung. Deshalb sind 
die Schraubenräder vorzugsweise für kleine Kräfte geeignet. 



Schraubenräder. 441 

d wird am kleinsten, wenn v' und v^ gleichgross ausfallen, d.i. 
wenn y = y^. Die Normale c zur Zahnflanke halbirt dann den 
Winkel zwischen den liadebenen. 

Wegen der statthaften Veränderlichkeit der Steigungswinkel 
herrscht eine grosse Mannigfaltigkeit in den Schraubenräderwer- 
ken, wie folgende Beispiele zeigen. 

n 1 

i. BeiapteL Gegeben — = — • und das Achsenloth a = R ■}- Bi 

nebst dein Achscnwinkd u = 40°, Wählt man y=:60^f so hat man nach 

(186) y, = 180 — 40 — CO = SO®, stehe Fuj, 476 ^ und findet nun nach 

L,*^^\ -K sin.yi w, sin. 80 1 0,9848 1 /» -/.o^ r 

H187): fj- = . ^^ -^ = . ..^ .-^ = jTE^F^ --T = 0yo686, worauf nun 
^ ' Kl sin. y n sin. 00 2 0,8660 2 ' ' 

B und Bi selbst bestimmbar sind. Ist z. B. a =. 100^"* gefordert , so 

a 100 



kommt: i?x = 



1 + ^ 



1,5686 



7 = 63,751^^, B = 36^49^'*, und bei 



3 = -20, 3i =40 die Normaltheilung x -= t sin.y = 
Fig. 476. Fig. 477. 



2nB 
3 
Fig. 478. 



stn. y = 






^ ' "" ' ^^'f n^ ' ^'^^^ = 0^72 . 36,249 = 9,862^-^. Ferner ist die Badthei- 

tungsgeschwindigkeit d wird nach (188) = c {cotg, 60 -\- cotg. 80) = 
c (0,5774 -\- 0,1763) = 0,7537 c. 

2. Beispiel. Um c' auf sein Minimum zu bringen, machen wir 

180 — « 180 ^40 ^^ft . I. r,. ^^«. T» 1. * 

y = y, =r = = 70^, Stehe Ftg. 477, Dann kommt: 

2 



2 

-^ = 4» -Ri = 66,667^^,. B = 55,355'"-, x = 
jci| 2 



2 . n . 33,333 . 0,9397 _. 
^0 



9,840^'^, t = ti =: 



9,840 



= 10,47 2"*'n, und 0^ = 2, cotg. 70. c =2. 0,3640 



0,9397 

.c = 0,728c. Man sieht, dass schon der vorige Werth dem Minimum 
nahe war. 



442 



Schraubenräder. 



3. Beispiel. Sachen wir eine andere Erleichterung für die Aus^ 
führungy indem wir y = 90'\ das eine Rad also zu einem gewöhnlichen 
Stirnrad machen^ siehe Fig. 478 (a. v. S.), so haben wir y^ = 180 — 40 

— 90 = 50^, und erhalten: ^ = 4" 0,7660 = 0,383; Äj = 72,307^^, R 

= 27,693'nm^ X = n,842m'% t = t, t^ = 15,459^^ , endlich c* = 0,8391 c. 

Ist statt a die Normaltheilung r gegeben, was bei Benutzung 
vorhandener Räderfräsen gewöhnlich ist, so wählt man y und yi 



und hat dann B sin y = 



Ii = 






woraus : 



jfi=ö 



3ir 



2nstn,y 2nstn.yi ^ 

Es können auch R und r gegeben sein; dann ist y nicht mehr 
willkürlich; man hat nämlich: 



stn.y 



2 7tli 



(190) 



Andere charakteristische Beispiele sind die folgenden. 



4. Beispiel, a =: 90^, 3 = Si- -^»ö Gleitung soll ein Minimum 

. ,. 180 — 90 
werden, weshalb wir y =z y^^ =z 



= 45^ machen. Die beiden 



Räder werden congruent, beide Linksschrauben, oder, wie in Fig. 479, 
Fig. 479. Fig. 480. Fig. 481. 






beide Rechtsschrauben. Die Gleitungsgcsch windigkeit wird: c' = 2.cotg. 
45. c = 2 c. 

5. Beispiel. Lässt man, Fig. 480^ in das Rad B aus dem recht- 
winkligen Schraubenräder paar AB ein drittes, ebenfalls zu B rechtwink' 
liges Rad C dem Rade A gegenüber eingreifen ,- so haben A und C ent- 
gegengesetzten Drehungssinn. Das Zwischenrad B ändert also hier 
wie bei Kegelrädern, den Drehungssinn. 

6. Beispiel. Wenn u = 0, also die Achsen parallel, so werden die 
Schraubenräder Stirnräder mit schraubenförmigen Zähnen, Fig. 481. 



Schraubenräder. 



443 



y und yi ergänzen einander zu 18(P\ es ist also immer das eine Rad im 
Paare eine Linksschraube, das andere eine Bechtsschraube. Die Glei- 
tungsgeschwindigkeit d wird = Null, — Wenn bei a ^= auch y =z 
wird, so gehen die Schraubenräder in Keilräder über. 

Geht man zu anderen Grenzfällen der Schraubenräder über, 
so erhält man nocli bemerkcnswerthe Formen. 

7. Beispiel. « = 90^, y = 10\ y^ also = 80^, B^ = oo, Zahnstange 
mit Schraube, siehe Fig. 482. Macht man y^ = 00, die Zahnsfange also 
normal, y r= 10^, so wird « =: 80^. Seilers legt bei seinen Hobelmaschi- 
nen die Zähne der Zahnsfange um soviel schief, Fig. 483, dass der da- 



Fig;. 482. 



Fig. iS'A. 





bei entstehende Seitendruck die nach der andern Seife wirkende Kraft, 
welche aus der gleitenden Beibung zwischen den Zahnflanken hervorgeht, 
.gerade aufhebt. 

8. Beispiel. B = iJ^ = oo , zwei Zahnstangen, welche einander 

verschieben. Fig. 484. Man hat, wie bisher, — = . ' ^ . Ist «= 9(P 

^ ' V stn.yi 

wie in Fig. 485, und (wegen Kleinhaltung der Gleitung) y = y^ =z 45^ 
Fig. 484. Fig. 485. 





444 Schraubenräder. 

»o ist V = Vi. Dieser Mechanismus ist vielfach bei den Ziehbänken 
für Kanonen- und Oeuehrläufe, auch bei eimeJtien Sehraubenachneid' 
masehinen angetoandt. 

9. Beispiel. « = 9€fi, yi = 1*0°, also f ^= 0, beide Halbmesser etin 
endlicher Grösse, siehe Fig. 486, sogenannte Sotations^ahnslanife, an Re- 
gulatoren und dergleichen angewandt. Die Uetersetsung von A auf IS 
ist = Null. 

10. Beispiel. Die Schraube ohne Ende ist, wie schon angedeutet, 
ein besonderer Füll der Schraubenräder, Sie kommt, tnenn auch selten, 
in noch iuiei besonderen Formen vor, welche die Schraubenräder über- 
haupt durchgängig anzunehmen vermö'jen , nämlich unter Verwendung 
eines Uuhlradea im Faare*). In Fig. 487 erscheint das gerad- oder 
achiefzähnige Stirnrad als Hohlrad**), bei der in Fiff. 488 dargestellten 

Fig. 48G. Fig. 487. Fig. 188. 



Einrichtung ist die Schraube als Hohlrad, das Stirnrad mit äusserer 
Verzahnung ausgeführt •*•). 



§. 204. 

Verzahnung der Schraubenräder und Reibui^ 
derselben. 

Die Schraubenräder werden meisteiia mit der Fräse gesclinit- 
ten. Dies kann auf einer Leitspindelbank geschehen, auf deren 

*) Ilohlräder werden erhalten , wenn man den Eiogriffpunkt auf a 
auBserhalb der Achsen, statt zwischen dieaelben legt. 

**) An der Prager aitronomisuhen Uhr angewajidt, siehe Verb, des 
Vereins f. üewerbfleigs 1868, S. 192. 

***) An Stebelin'a Bohrwerk angewandt, lieho Armeugaud, Fubl. 
indnetr. Bd. I. Tafel iO. 



Verzahnung der Schraubenräder. 445 

Stichelträger man die schräg gesetzte Fräse aufstellt. Es wird 
ähnlich verfahren wie beim Schraubenschneiden. Die Steigung s 
der einzuschneidenden Schraubenfurche ist: 

s = 2nBig,y (191) 

Die zur Verfügung stehenden Wechsekäder der Bank sind bei der 
Wahl der Steigungswinkel y und yj in Betracht zu ziehen *). 

Die Zahnform wähle man entsprechend der Krümmung der 
Ergänzungsschraube der zu schneidenden Schraube, d. i. 
der rechtwinklig auf derselben stellenden. Die zu benutzenden 
Krümmungshalbmesser r und ri sind: 

r = -A-, ri=-T^ (192) 

Diese werden als Halbmesser von Hilfrädern mit der Theilung r 
benutzt; nach gewählter Verzahnungsform erhält man in der Zahn- 
lücke das Profil der Fräse. 

i. Beispiel, Für die Räder aus dem 1. Beispiel des vorigen §. hat 
36,249 4 ^^„^^ ^oooo ^3,751 63,751 

^^**' ' = slirm = 3- ^'^^^' = ^^»^^^'"'"» "^ = 71^0 = oi^am = 

65,754»»»». 

Wie sich r aus Formel (192) arithmographisch auffinden lässt, ist 
aus §. 29 abzuleiten. 

Die Reibungswiderstände der Schraubenräder sind manchmal 
sehr bedeutend. Wären dieselben = Null, so hätte man für die 
Umfangskraft P am treibenden Rade bei der widerstehenden Um- 
fangskraft Q am getriebenen Rade: 

^-!^ (193) 

Die gewöhnliche Zahnreibung ist die der Hilfräder und lässt 
sich nach den Angaben in §. 197 berechnen, sie ist aber, so lange 
a nicht Null, oft viel kleiner, als die aus der Flankengleitung 
hervorgehende Reibung. Eine Vorstellung von der Grösse der 
letzteren gibt die oben ermittelte Gleitungsgeschwindigkeit c\ 
Zur Berechnung des entstehenden EfFektverlustes dient die Formel. 

r _ sin, yi sin, (y + y) .^ 

P sin, y sin, {yi — 9) 



*) Vortreffliche DienBte bei der ZusammenstelluTig der Wecheelräder 
leifiten die in Deutschland, wie es scheint, kaum bekannten Brocot'schen 
Tafeln. (Calcul des rouages par approximation, Paris 1862.) 



446 Reibung der Schraubenräder, 

wobei noch ip den Reibungswiiikel für den Coefficienten / bezeich- 
net, also tff.tp =/. Bei/= Ü,I6 ist qa.-'v^O''. 

ä. Beispiel. Für die obigen Räder tat hiernach -j 



in.C0.ain.71 

=. (.af-fifi' ifa.cK = ^>^^- {hierzu gesellt sieh die geKöhnltche Zahnrei- 
bung mit einigen Procenten.) 

Einen dritten Effektverlust rufen noch die in den Achsen- 
richtungen wirkenden Seitenkräfte K und Ki liervor. Man hat 
für dieselben: 

P = cotg (y -I- 9)1 -^ = f^otg. (j-i — Ip) . . (195) 

3. Beispiel. Für obiges Räderpaar wird K=P'cotg. 69 = 0,3839F', 
Kl = Qcotg.71 = 0,3443 Q, ans welchen Werthen bei bekannten Ab- 
messungen der Zapfen steh der betreffende Kraftverlust beslimmen läset. 

Wenn a = Null, d. h. die Achsen parallel, so nird die 
Flankengleitung Null, die Kraft F aus (194) = P; d. h. die 
Schraubenräder für parallele Achsen arbeiten ohne 
Flankengleitung; indessen bleibt die gewühnlicheZahnroibung, 
wenn auch in etwas vermindertem Maasse, bestehen, ebenso die 
Kräfte K und Ki. Die Zahnreibung üisst sich indessen bis auf 
einen verschwindend kleinen Rest wegschaffen, und zwar dadurch, 
dass man das Zahnprofil an dem einen Rade auf einen Punkt ein- 
schränkt, nämlich seine Zahnflanke als scharfe Kante ausführt. 
Diese berührt dann die andere, als Fläche ausgeführte Zabntianke 
geometrisch nur in einem Punkt des Theilcyliuders. Diese von 
Hooke angegebene Verzahnung kann nur für Präcisionsräder 
dienen, leistet aber für diese gute Dienste*). Die gewöhnlichen 
Schraubenräder mit parallelen Achsen 
nähern sich bei halbwegs gut gewählten 
Zahnproftlen den reibungsfreien Hooke'- 
schen Rädern an. Auch die Axialkräfte 
K und K, hat man bei denselben besei- 
tigt, indem man die Räder doppelt und 
symmetrisch ausführte, siehe Fig. 489. In 
Spinnereimascbinen Süden sich solche 
Doppelräder angewandt. Neuerdings sind 

*) U. a. für phyBikaliacbe Apparate von Bregnet, in welchen Umdre- 
hungsgeech windigkeiten bis über 2000 in der Secunde oder 120000 in der 
Minute hervorzubringen waren. 




Schraubenräder. Hyperbelräder. 447 

dieselben von Wethli zum Betrieb steiler Eisenbahnrampen vor- 
geschlagen worden. 

§. 205. 

Kegelsohraubenräder. 

Bei den Kegelrädern hat man ebenfalls den annähernd rei- 
bungsfreien Gang durch Anwendung schraubenförmig gestellter 
Zähne herbeizufuhren getrachtet. Solche Räder sind die Schrau- 
benräder, welche entstehen, wenn der Achsenabstand a = Null 
wird, der Winkel a aber angebbar bleibt. Für die Krümmung der 
Zahnachso ergibt sich am besten die Kegelschraubenlinie von con- 
stanter Steigung, deren Projection auf die Kegelbasis eine archi- 
medische Spirale ist. In Spinnereimaschinen finden sich Kegel- 
schraubenräder in Anwendung. Die Ausführungsschwierigkeiten 
sind auch selbst für blosse Gussmodelle immerhin gross *). 

D. DieHyperbelriider. 

§. 206. 

Orundkörper der Hyperbelräder. 

Die hyperboloidischen oder kurz Hyperbelräder die- 
nen bei geschränkten Achsen, und erhalten Zahnberührung längs 
einer Linie, weshalb sie zu den Krafträdern gerechnet werden 
(vergl. S. 439). Ihre Grundkörper sind Rotationsliyperboloide, 
welche einander in einer gemeinschaftlichen Erzeugenden berüh- 
ren. Die Auffindung derselben kann wie folgt geschehen. Fig. 490 
(a. f. S.) ist eine Projection normal zur kürzesten Achsenentfer- 
nung oder dem Achsenloth. 

Man theile den Schränkungswinkel a so in zwei Stücke ß 
und ßi , dass die aus irgend einem Punkte A der Theilungslinie 
SA auf die Achsen gefällten Lothe A B und A C sich verkehrt 
verhalten, wie die Umdrehungszahlen der Räder. SA ist dann 



*) Ueber eine Maschine zum f^^enauen Herstellen der Zähne von Kegel- 
Schraubenrädern siehe Genie industriel, Bd. XII. S. 255. 



448 Hyperbelräder. 

die Berührungskante der Hyperboloide; AB = It und AC = E,' 
sind Projectionen der Halbmesser zweier in A zusammentreffenden 
Normalechnitte der Hj-perlioloide. Man hat 

fi^ ^ shi.ß _«i _ 3. 

It,- siv.ßi « 3, ■ ■ 

Fig. 490. 



(19G) 




Die wivkhchen Halbmesser R und B, sind noch zu bestimmen, 
ebenso die Halbmesser SD = r und SE = f, der Kehlkreise. 
Für letztere hat man zunächst: 



" tg.ß. 



■ -\- cos.a 



(197) 



d. h, *■ lind Ti müssen sich verhalten, wie die durch die Achsen- 
projecttonen abgeschnittenen Stücke AF und A G einer Senkrech- 
ten zur Berührungslinie. Wenn der kürzeste Achsenabstand oder 
das Aclisenloth :^ o, so hat man auch: 



Hyperbelräder. 



449 



n 



r 
a 



1 H COS. a 



1 A cos.a 

n 



ni Vn,/ ^ w \nj 



,(198) 



Die Halbmesser K und Ri sind Hypotenusen zu den Katheten R' 
und r, -Bi' und ri (siehe linke Seite der Figur) oder: 

R = Vii'2 + ^2 , i?i = VlVM^' . • • 0^9) 
R' und i?i' sind nach dem Obigen bekannt, sobald der Abstand 
SA = l gewählt ist. 

Für die Winkel ß und /5, hat man endlich noch allgemein : 

tg,ß = , ig. ßi = :: . . . (200) 



h COS. a 



— + cos.cc 
n 



Es sind jedesmal zwei Lösungen möglich, je nachdem man die 
Eintheilungslinie SÄ innerhalb a oder ausserhalb desselben 

Fig. 491. 




(in den Nebenwinkel) legt*) siehe Fig. 491. Die Lösungen unter- 
scheiden sich durch den Drehungssinn des getriebenen Rades. 
Auch kann eine der Lösungen ein Hohlrad liefern, eine Con- 
struction, welche wie es scheint, noch nie ausgeführt worden ist, 
übrigens auch kaum einen praktischen Werth haben könnte. 



♦) Vergleiche die zweifache Lösung der Aufgabe bei den Kegel- 
rädern, S. 433. 

Beulcaux, der GooRtnicteur. 29 



450 Hyperbelräder. 

Wenn der Schränkungswinkel a = 90® ist, so wird: 

r = ,,.., = (5Y (20.) 



und 

a— n^ + n{^' a "" n^ + n,^ ' ' ' ^^^"^ 
Man sieht, dass bei den Hyperbelrädern die Lösungen mehr 
eingeschränkt sind, als bei den Schraubenrädern, mit denen sie 
sonst manche Analogie besitzen. Während nämlich dort bei ge- 
gebenem Achsenschränkungs- Winkel a der eine der Steigungs- 
winkel noch beliebig gewählt werden durfte, ist hier nur ein Paar 
von Steigungswinkeln richtig, ein Umstand, welcher manchmal 
übersehen worden ist. Von den Grundhyperboloiden werden zu- 
sammengehörige Zonen als Grundformen der Räder ausgewählt. 
Bei kleinem Achsenabstand sind die in den Kehlen liegenden Zo- 
nen meist nicht zu brauchen, wohl aber weiter abgelegene Ab- 
schnitte, die alsdann oft durch Kegelstumpfe genähert werden 
können. Vorerst einige Beispiele. 

n 1 

1. Beispiel. « = 40^, -i = -— (vergl. Beispiel 1 in §.203) az=100«^»*, 

7if I. / -ß' ^ *• Ö,5 4- cos, 40 1,266 ^ ^^^^ a 

Man Ärt^ 7T-7 = — ; — = -^—r^ —- = ;f— - = 0,4577. — = 

-K/ 2 ^ Ti 2 -\- COS. 40 2Jb6 ' r 

1-^2. COS. 40 2.532 ^ ..^^^ o* ono 

1 + 2 2.COS.40 + 4 = -8W = ^''''''' ' = ^''^'^7 '' = '^^ " 
31,398 = 68,601'nm, Femer tg.ß = ^ +\o^, 40 = ^S =0,232393 = 

ig. 13'' 5' und ß^ = 40 — ß^ = 26^ 55'. Im Abstände ~SÄ = l z= 200»^^ 
ist R' = l sin. 13^ ö' = 200 . 0,226368 = 45 ,27fnm^ JR^' = 200 . sin. 26^ 55' 
= 200.0,452634 = 90,04"^^\ endlich B = V45,27^ + 31,40^ = 55,10'nm 
und Bi = y 90,54'^ + 08,60'^ = 113,59mm, 

2. Beispiel. « = 90^, -^ = —, wofür die Zähnezahlen S = 36 und 

n 9 

und 3i = ^0 passen] a sei = ^O*»'» (Bedingungen, wie sie bei Bädern 

r / 9 \^ 81 
an Spindelbänken vorkommen). Man erhält nach (201) — = (-— j = ~ 

g2 20 81 

= 3,24, und aus (202): r = a . ^^ , ^^ = —j^ = 15,28"*m^ ri^4,72«*m. 

Für ß kommt: tg.ß=^ = 1,800, d. i. tg. 60^ 57', wonach ft = 29^ 3'. 

n 

Es sei nun gefordert B = 49"^"^, dann erhält man aus (199): B' = 

yiJ2 _ ^2 ^ y^gi _ i^^28'^ _- 40^557mm^ und demnach Ä/ aus (196) = 

5 5 46 577 

J ^' — -^ = 25,865^-^; sodann Bi=zy 25,865^+ 4,72^ = 26,292^^, 

Fig. 492 stellt das berechnete Bäderpaar in äusserer Ansicht in halber 



AuifOhrungsgrösiie 
grösseren Bade: t 



n3'pcrbel rüder. 
5ie Tbeiiung 



rd gemäss Tabelle §. 167 am 




\ll = I liefert; ß = Jy", r = r 
ingruenl (renß. Beiep. 4 §. 303). 



3. üeisjitel. ,< = m 
die Hyperboloide wenlcn 

4. Beispiel. In dem besonderen Falle, i 
man die Kintheilungslinie , welche fi bestimi 
a legt, sodass bei Benchtang des Vorzeichens 

Fig. 493. 




D nniiierisch ~=ciis.itnnd 
^, 111 den Nebenwinkel von 
- ^= — COS. II, geht der eine 
ürundkörper in einen 
Normiilkegel , der andere 
in ein I'lankgperlioloid 
Vig. 493 über. Dieses 
hi/pcrholoidische Plan- 
rad entspricht dem bei 
den Kegelrädern vorkom- 
menden Flanrad, siehe 
S. 301, und bietet die Be- 
quemlichkeit, mit einem 
getoöhnliehen Kegelrad 
zusammen zu arbeiten; 
viel praktischen Vorlheil 
gewiihrt es übrigens nicht, 
da das J'lanrad ein 



452 Verzalinung der Ilyperbelräder. 

Ilindernisi für das Durcliführen der Wette äes Kegelradn darbietet. — 

Bei ti = GO^, ^ = r = — coa. CO" erhalt man da» Flanraä. £s teird 



tg. S 



4 \S,p=3<fi, tg.ß,= -c, ß,=900. ^, == - 



n.30 _ 



Vü/ + a* = V4 B* + n». — Wäre -i nega- 
hyperholoidigehea Hohlrad ; solche 



tio und < COS. n, so erhielte : 
sind nicht gebräuchlich. 

Der (irenzfall der Zahnstange mit Getriebe ist bei den Hy* 
perbeliädem auch möglich. Die Zahnstauge erhält dabei schiefe 
Zähne; das Getriebe gehört der Kehle eines Hyperboloids an. Das- 
selbe ist aber jedenfalls viel weniger leicht auszuführen, als das 
gleicliwerthige Schraubenrad (vergl. Fig. 483), weshalb in einem 
Anwendungsfalle letzteres unbedingt den Vorzug verdient. 



Verzahnung der Hyperbelräder. 

Die Verzeichnung einer ganz genauen Zabnform würde bei 
bei den Hyperbelräderu sehr grosse Schwierigkeiten bereiten. Man 
begnügt sich deshalb, wie bei den Kegelrädern, mit Annäherun- 
gen. Um unter dieser Voraussetzung die Verzahnung eines Hyper- 
belrades aufzutragen, verzeichnet man zuerst den Ergünzungs- 
kegel der benutzten Hyperboloidzone. Man findet die Spitze H 
desselben, Fig. 494, durch Errichtung einer Senkrechten AHsmf 



Fig. 4i»4. 




der Erzeugenden SA, welche wie oben 
der Dildebene parallel gelegt ist, er- 
mittelt sodann das Zahnprofil für die 
Normaltheilung t im Kehlkreis, so als 
ob dasselbe fiir ein Schraubenrad vom 
Halbmesser r und dem Steigungswinkel 
y 1= 90 — ßz\i bestimmen wäre (s. §. 204) 
und überträgt das gefundene Zahnprofil 
vergrössert auf den Kegelmantel 
HJL und zwar: vergrössert im Ver- 
hältniss f:c hinsichtlich der Abmes- 
sungen parallel zum Theilkreis, und 
im Verhältniss K:r hinsichtlich der 



Verzahnung der Hyperbelräder. 453 

Längenabmessungen, wobei K die Länge der Kante des Er- 
gänzungskegels bezeichnet. An dem inneren Ergänzungskegel 
ist unter Berücksichtigung der Verkleinerung von t und K das 
Verfahren zu wiederholen. Man erhält auf diese Weise zwei ge- 
nügend genaue Profile für jeden Zahn, welcher durch die Verbin- 
dungsgeraden der gleichgelegenen Punkte seiner Profile einge- 
hüllt wird. 

Soll die benutzte Hyperboloidzone durch einen Kegel an- 
genähert werden, so ist dessen Spitze zu suchen. Man drehe 
zu dem Ende die Erzeugende SA so weit um die Achse HS, bis 
A in den Randpunkt «7 fällt, dann geht die neue Projektion der 
Erzeugenden durch die Kegelspitze M. 

Die Zahnflankengleitung ist bei Hyperbelrädern Ursache 
grosser Reibung. Letztere ist zu beürtheilen aus der Gleitungs- 
geschwindigkeit c', welche gleich ist derjenigen der Schrauben- 
räder, welche durch die Kehlräder tangirt werden (siehe §. 204). 



E. Berechnung der Theilung und Breite der 

Radzähne. 

§. 208. 

Eintheilung der Bäder. Zahnquersclmitt. 

Die Abmessungen der Zahnräder müssen bei gleichem Zahn- 
druck wegen derStösse umso grösser genommen werden, je grösser 
ihre Umfangsgeschwindigkeit ist; auch mussmit letzterer die Zahn- 
breite zunehmen, wenn die Abnutzung der Zahnflanken einge- 
schränkt werden soll. Bei langsam gehenden Rädern können in- 
dessen diese Einflüsse vernachlässigt werden. Wir theilen des- 
halb die Räder in zwei Classen ein, nämlich: 

1. Kranräder, 2. Triebwerkräder; 
und zwar sind Kranräder solche, die bis zu V2 Meter Theil- 
kreisgeschwindigkeit haben, Triebwerkräder die von grösse- 
rer Geschwindigkeit. 

Bei der Zahntheilung f, der Zahnbreite i, der Zahnlänge Z, der 
Zahnfussdicke 7e, dem Zahndruck P und der im Zahne eintreten- 
den Biegungsspannung © gilt allgemein die Beziehung 



454 Kraurädcr. 

bt = 



KDa/ <-) 



und für die oben angenommenen Verhältnisse zwischen Zahnlänge 
und -Dicke die Formel: 

bt = 16,8 £*) (204) 

Dies bedeutet, dass die Festigkeit des Zahnes seinem 
Querschnitt proportional ist, dass es also für dieselbe gleich- 
gültig ist, welches Verhältniss b und i zu einander haben, ein Um- 
stand, aus welchem sich beim Constniiren vielfach Nutzen zie- 
hen lässt. 

§. 209. 

Tbeilnng und Zahnbreite der Kranrader. 

Bezeichnet bei einem gusseisernen Kranrad: 
(PR) das statische Moment der angreifenden Kraft, 
3 die dem Kad bestimmte Zähnezahl, 
jR seinen vorläufig festgesetzten Theilkreishalbmesser, 
t seine Theilung, 
so nehme man je nach den gegebenen Grössen: 



, = ,,a2fÜ3ffi, 1=0.74 ft^l 



(205) 



und gleichzeitig die Zahnbreite b: 

b = 2t (206) 

Hierbei ist für die Spannung © der Werth 4,25 eingeführt. 
Die wirklich eintretende Spannung ist kleiner, da der Zahnfuss 

im allgemeinen dicker ist als — , wie oben in (204) eingeführt 

Da der Werth ^^^ gleich der Umfangskraft P ist, so gilt 

(205) auch für die Fälle, wo P unmittelbar gegeben ist, wie bei 
der Zahnstange. 



♦) Wenn die Zahnlänge statt zu 0,7^ zu 0,76t angenommen wird, wie 

es in der „Constructionslehre f. d. Masch.-Bau" geschah, so wird 6* = 

p 

18 ^. Trotz diesem Unterschiede dürfen die nachfolgenden Formeln doch 

unbesorgt auch auf % t lange Zähne angewandt werden. 



Kranräder. 



455 



Hat man mit Hilfe der gegebenen Formeln oder der Tabelle 
des folgenden Paragraphen die Abmessungen des guss eisernen 
Zahnes ermittelt, so findet man die des schn^edeisernen Zah- 
nes durch Multiplication der Ergebnisse mit folgenden Coeffi- 
cienten: 

Man multiplicire : 

die Ergebnisse von (205) mit: 0,79 

n (205) 



lit: 0,791 
» 0,71/ 



(207) 



wobei wie vorher — = 2 zu machen ist; Veränderungen der Zahn- 

V 

breite ändern die Festigkeit des Zahnes nach (206) nicht, wenn 
man zugleich t so verändert, dass das Product ht seinen Werth 
beibehält 



§. 210. 

Tabelle über die Theilung der Eranräder. 



t 


(TB) 
3 


(PB) 
B 


n 


(PB) 

3 


(PB) 
B 


10 


80 


51 


3 


67 


44 


12 


138 


73 


4 


158 


79 


15 


270 


115 


5 


308 


123 


18 


467 


165 


6 


533 


178 


22 


853 


247 


7 


846 


242 


26 


1408 


345 


8 


1263 


316 


30 


2162 


459 


9 


1799 


400 


35 


3433 


625 


10 


2468 


494 


40 


5125 


816 


11 


3285 


598 


45 


7297 


1033 


12 


4264 


711 


50 


10010 


1276 


14 


6772 


968 


60 


17298 


1837 


16 


10108 


1264 


70 


27468 


2500 


20 


19742 


1975 


80 


41002 


3265 


24 


34114 


2844 


90 


58380 


4133 


28 


54172 


3872 



454 Kranräder. 

^'=«i(r)(xy (203) 

und für die oben angenommenen Verhältnisse zwischen Zahnlänge 
und -Dicke die Formel: 

ie = 16,8|*) . . . . (204) 

Dies bedeutet, dass die Festigkeit des Zahnes seinem 
Querschnitt proportional ist, dass es also für dieselbe gleich- 
gültig ist, welches V^erhältniss b und t zu einander haben, ein Um- 
stand, aus welchem sich beim Construiren vielfach Nutzen zie- 
hen lässt. 

§. 209. 

Tbeilung und Zahnbreite der Kranräder. 

Bezeichnet bei einem gusseisernen Kranrad: 
(PR) das statische Moment der angreifenden Kraft, 
3 die dem Kad bestimmte Zähnezahl, 
jR seinen vorläufig festgesetzten Theilkreishalbmesser, 
t seine Theilung, 
so nehme man je nach den gegebenen Grössen: 



, = ,,32^t^>, 1 = 0,74 fy^l 



(205) 



und gleichzeitig die Zahnbreite b: 

b = 2t (206) 

Hierbei ist für die Spannung © der Werth 4,25 eingeführt 
Die wirklich eintretende Spannung ist kleiner, da der Zahnfuss 

im allgemeinen dicker ist als -r-, wie oben in (204) eingeführt 

Da der Werth ^ ^^ gleich der Umfangskraft P ist, so gilt 

(205) auch für die Fälle, wo P unmittelbar gegeben ist, wie bei 
der Zahnstange. 



♦) Wenn die Zabnlänge statt zu 0,7^ zu 0,75^ angenommen wird, wie 

es in der „Constructionslehre f. d. Masch.-Bau" geschah, so wird 6* = 

p 
18 ^. Trotz diesem Unterschiede dürfen die nachfolgenden Formeln doch 

unbesorgt auch auf % i lange Zähne angewandt werden. 



Kranräder. 



455 



Hat man mit Hilfe der gegebenen Formeln oder der Tabelle 
des folgenden Paragraphen die Abmessungen des gusseisernen 
Zahnes ermittelt, so findet man die des sehnte d eisernen Zah- 
nes durch Multiplication der Ergebnisse mit folgenden Coeffi- 
cienten: 

Man multiplicire : 

die Ergebnisse von (205) mit: 0,79 

„ (205) „ 0, 



>,79| 
>,7l/ 



(207) 



wobei wie vorher -7- == 2 zu machen ist ; Veränderungen der Zahn- 

V 

breite ändern die Festigkeit des Zahnes nach (206) nicht, wenn 
man zugleich i so verändert, dass das Product bt seinen Werth 
beibehält 



§. 210. 

Tabelle über die Theilung der Eranräder. 



t 


3 


E 


71 


(PR) 
3 


(PB) 
B 


10 


80 


51 


3 


67 


44 


12 


138 


73 


4 


158 


79 


15 


270 


115 


5 


308 


123 


18 


467 


165 


6 


533 


178 


22 


853 


247 


7 


846 


242 


26 


1408 


345 


8 


1263 


316 


30 


2162 


459 


9 


1799 


400 


35 


3433 


625 


10 


2468 


494 


40 


5125 


816 


11 


3285 


598 


45 


7297 


1033 


12 


4264 


711 


50 


10010 


1276 


14 


6772 


968 


60 


17298 


1837 


16 


10108 


1264 


70 


27468 


2500 


20 


19742 


1975 


80 


41002 


3265 


24 


34114 


2844 


90 


68380 


4133 


28 


54172 


3872 



456 Triebwerkräder. 

1, Beispiel. Auf eine Handkurbel von 400^'^ Länge finde ein Druck 
von 50* statt] welche Theilung und Zahnhreite ist dem die Kraft weiter 

leitenden lOzähnigen^Getriehe zu gehen? Bier ist -^ = — j^ — -= 2000j 

und daher nach Spalte 2 Zeile 5 bis 6 zu nehmen t nahe 30"*"* oder nach 

Spalte 5 Zeile 7 bis 8, ^ = 9- bis 10, Zahnbreite = 2 t. 

2. Beispiel. Eine Zahnstange soll 2500* Zug ausüben. Sie erhält 
dafür nach Spalte 3 Zeile 13 eine Theilung von 70mm^ oder nach Spalte 6 
Zeile 13 bis 14 eine T1\^ilung t ,^>^ 22 n , sowie eine doj^pelt so grosse 
Zahnbreite. — Soll diese Zahnstange aus Schmiedeisen gemacht werden^ 
so ist nach (207) zu nehmen : t = 0,71 , 70 •v/ 50»«"», die Zahnbreite 2 . 50 
oder 0,71 . 140 = 100mm, 



§. 211. 

Theilung und Zahnbreite der Triebwerkräder. 

Die Spannung ©, welche bei der statischen Beanspruchung 
durch P in den Zähnen eintreten würde, wählt man bei den Trieb- 
werkrädern um so kleiner, je grösser die Umfangsgeschwindigkeit 
V der Räder ist, damit die djniamischcn Einflüsse, Stösse und 
Erschütterungen, ausgeglichen werden. Es empfiehlt sich zu neh- 
men bei Gusseisen: 

© = ?# (208) 

und für Holz 0,8mal so viel, ohne S = 2 zu überschreiten. Man 
erhält hieraus für Gusseisen, bei: 

t; = 0,5 1 2 4 6 8 10 12 14 16™ 

© = 4,25 3,37 2,69 2,13 1,86 1,67 1,56 1,47 1,40 1,34»^ 

und für Holz: 
© = 2,00 2,00 2,00 1,70 1,49 1,34 1,25 1,17 1,12 1,07»^ 
Die Geschwindigkeit v in m berechnet sich bei gegebenem n und R 
(in mm) aus der Formel : 

^ = äOÖÖÖ = ^''^^'2 (lööö) ^ iöööö • (209) 

Femer findet man die Zahnbreite h mit P wachsend genommen. 

p 

Tredgold empfahl, den Druck aul* 1"™ Zahnbreite, d. i. -j- nicht 

über 7,15^ zu nehmen. Doch wurde dies nicht befolgt, da bei gu- 



Triebwerkräder. 457 

p 

ten Ausführungen ^ höher, sogar bis zu 25 vorkommt. Einleuch- 
tend ist aber, dass wegen Kleinhaltung der Abnützung das Produkt 

P . P . 

aus T uiid n nicht zu gross werden darf. Man findet -5- w bis zu 


1200 gehend, doch treten dann auch störende Abnützungen auf. 
In Räderpaaren, bei w^elchen Eisen auf Eisen arbeitet, ist es 
das kleinere Rad im Paare, welches die grösste Abnützung er- 
fährt. Hier ist zu empfehlen, 

Pn 

-7-— nicht über 500 


gehen zu lassen, wenn thunlich noch weniger zu nehmen; für 
geringe Kräfte kann man leicht bis zu 200 und sogar gegen 100 
herabgehen, ohne auf unbequeme Abmessungen zu kommen. Bei 
Holz-Eisenrädern kann die Abnützung der Eisenzähne unbe- 
rücksichtigt bleiben, da die Abnützung sich hier fast ganz auf die 
Holzzähne wirft. Es ist sehr empfehlenswerth , bei dem Rade 
mit Holzzähnen ebenfalls den Werth Pn : b nicht über 500 
gehen zu lassen, womöglich aber lieber bei 300 bis 400 zu blei- 
ben. Ganz feste Vorschriften lassen sich hier nicht geben, da Aus- 
führungsschwierigkeiten allerlei Art, lerner die Rücksicht auf vor- 
handene Modelle u. s. w. mit in Betracht kommen; es muss daher 
den Construirenden überlassen bleiben, wie weit er sich etwa von 
den erprobten und empfehlenswerthen Verhältnissen entfernen will. 
Für Gruppenräder, d. h. solche, bei denen mehrere Räder 
mit einem zusammenwirken, ist statt der Umlaufzahl beim Mittel- 
rade die Zahl von dessen Zahnberührungen, d. h. das Produkt aus 
der Umlaufzahl und der Zahl der Seitenräder einzuführen. 

P 

Nachdem auf solche Weise über -r-, d.i. über 6, Entscheidung 

getrofien (sei es auch versuchsweise) und © gewählt ist, rechne 
man nach Formel (204): 

. _ 16,8 P _ 16,8.716200 N .otm 

^ - "©6" - ~¥bR~ n ^ ^ 

die Theilung aus, wobei N wieder die Anzahl der zu übertragen- 
den Pferdestärken bezeichnet. 

Die Zähnezahl wähle man bei Triebwerkrädern nicht unter 
20, damit die unvermeidlichen Ausführungsfehler nicht zu sehr 
störend wirken können; man gehe aus demselben Grunde und 



458 Triebwerkräder. 

wegen der Abnützung mit 3 ^^^ii so höher hinauf, je grösser die 
Umlaufzahlen sind. So zählen die Räder rasch laufender Turbi- 
nen selten weniger als 40, oft bis 80 Zähne. 

Bei Holz-Eisenrädern ist es günstig für geringe Abnützung, 
dem treibenden Rade die Holzzähne zu geben, weil an diesen 
der Eingrifipunkt vom Zahnfuss nach dem Kopfe hinläuft, während 
er am getriebenen Rade den umgekehrten Weg nimmt 

Ist 3 ini voraus gewählt, so hat man bei probe weisem Ein- 
setzen von b und gewähltem S : 

' = ^'''Vw^. (211) 

und bei probeweisem Einsetzen von — und gewähltem S: 



1. Beispiel. Ein 60pf erdiges Wasserrad von 8« Durchmesser und 
l^m Umfangsgeschwindigkeit ist mit einem innenverzahnten eisernen Zahn- 
kranze versehen, dessen Theilkreis mit dem inneren Umfang des 400^^ 
breiten Radkranzes ungefähr zusammenfallen und ein eisernes Triebrad 
von 40 minutlichen Umdrehungen treiben soll. Man hat hier: n = 

30.1y3 o, 1 ^\ ^0 ^ ^ ^ 4000 — 400 ^ ^^ 
^ ^ = 5,1, also -^ = 37; ferner v = i,3. j^ = Jf,17«, somit 



P = 



75 .60 



j-j=- = SSlßK Wir haben nun nach dem Obigen 8 zwischen 3^37 

Pn 

und 2fi9 zu wählen, und nehmen © = 5,^*. Ferner wählen wir — r- beim 



kleineren Bade versuchsweise = 500, dann haben wir — = — = -rr 

b n^ 40 

= 12,5. Dies gibt zunächst 6 = ^ = ^^ = 307,7 ,y^^ 310*'*, und es 
folgt nunmehr nach (210): t =f ^^f ' t^f^ = 65,1 ..^n^ 05"". Dies gibt 

vorläufig 3 = ^4^ = 2. 3600. n ^ Machen wir S = 348, so 

t ho 

lässt sich der Zahnkranz in 12 Segmente zu 29 Zähnen zerlegen, was 

zweckmässige Abmessungen ergibt. Es bliebe demnach 3 = 348, dann 

ist B fast genau = 3600. Sodann hat man noch für das getriebene 

n 31 

Bad Si = — S=j7j 348 = 26,97 ./^n^ 27, was nach dem Obigen aus- 

reicht. Endlich ist hiernach B^ = —r^ — = 279,3'^m. 

^ 2n 

2. Beispiel. Eine lOOpf erdige Turbine mit stehender Welle von 
96 minutlichen Umdrehungen soll eine liegende Welle mit 144 Umgängen 
treiben-, das erforderliche Winkelräder x)aar ist zu bestimmen. Wir wäh- 
len HolZ'Eisen-Bäder, geben dem treibenden Bade die Holzzähne und 
nehmen ^ z= 72, 3i = ^- Dann wird nach ungefährer Schätzung v 



Triebwerkräder. 



459 



zwischen 6 und 7»» fallen, wonach wir für S etwa i,4* einsetzen können. 
Nehmen wir nun probeweise b = ^40"*^ an, so erhalten wiv aus (311): 



t = 8590 y — 



100 



Fig. 495. 




' - ^'^*""*- -^'^^ liefert nach Tabelle §. 187 

iJ = 57 . 11,46 = 053^, woraus sich v zu 6,57m berechnet ; die Annahme 

von S = 1,4 ist somit angemessen gewesen. Für P haben wir nun: P = 

75 . N 7500 ^^,^ , P 1140 ^_ -P n/. ^r^ 

— ^— = -^^ >^^ i^^O*, daraus J^ -^Jq = ^7^» «*»<^ y n = 96.4,57 

= 45Ö, was beides annehmbare Werthe sind. 

3. Beispiel. Wenn in einem zusammengesetzten Bäderwerke, Fig,495, 

die auf einander folgenden Bäderpaare 
gleiche Grösse haben, so verhalten sich 
die Umfangskräfte verkehrt wie die 

Umlauf zahlen-, um daher in einem soU 

p 
chen Falle -j- n, d. i. die Abnützung 

bei allen Paaren gleich zu halten^ 
braucht man nur die Bad' 
breiten alle gleich zu ma- 
chen. Die Bädervorgelege der Spin- 
delstöcke an Drehbänken zeigen die 
Gebräuchlichkeit dieser Einrichtung. 

Bei Rädern, welche starken Stössen ausgesetzt sind, müssen 
die Abmessungen grösser gegriffen werden, als die obigen Rech- 
nungen ergeben. So findet man namentlich bei den Mühlen 
Zahnräder, welche den statischen Pressungen gegenüber ungemein 
stark gebaut sind. Die Theilung findet sich dort 3 bis 6 mal 

grösser ausgeführt, als unsere Rechnung ergeben würde; auch 

p 

-j-n ist sehr klein (100 und weniger) dort zu finden. Aehnliches 

gilt von den Walzwerkrädern, wo t doppelt und dreimal so 
gross und grösser gefunden wird, als sich oben ergiebt. 

4. Beispiel. Eine Mühlspindel erfordere bei 120 minutlichen Um- 
drehungen 4 Pferdestärken; es sollen IIolz- Eisenräder gewählt, und B 
.^\x 250^^ gemacht werden. Dies gibt nach (209) v *^><y 5,15*», woraus 
P z= 05^^ kommt. Wir wollen nun, um kleine Abnutzungen zu erhalten, 

-r- recht klein, nämlich = 120 wählen. Dies gibt b = ' = 95»»»». 

Xt^U 

Wühlen wir mm nach (WS) © = 1,85, so kommt t = ^ ' ^ = ö««»//, 

j.,oo . *fiy 

während die Praxis, offenbar der dynamischen Einflüsse wegen, t = 
40 — 50"^^ und darüber nimmt. 

Statt weiterer Ausrechnungsbeispiele folgt hier eine Zusam- 
menstellung der Angaben werthvoller der Praxis entnommener 
Zahnräderpaare, welche viel Lehrreiches darbieten. 



Ausgeführte Zalinräderpaare. 









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§ 8 |- g a 


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Ausgeführte Zahnräderpaare. 



461 



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462 Ausgeführte ZahnräderpaÄre. 



§. 212. 

Erläuterungen zu den vorstehenden Beispielen, 

Es sind, wie man aus der ersten Spalte sieht, vorzugsweise 
sehr stark beanspruchte Räderpaare ausgewählt, zu denen die Zah- 
lenangaben so gut wie möglich geliefert sind. Das Material der 
Zähne ist in der letzten Spalte angegeben. E/E deutet £isen 
auf Eisen, HjE Holz auf Eisen, EjH Eisen auf Holz; das 
treibende Rad im Paare steht immer zuerst üeberall sind wirk- 
liche Pferdestärken (jRS), nicht nominelle gemeint. Zu den 
einzelnen Beispielen noch folgendes. 

Nro. 1, Treibendes Rad: verzahnter Ring eines Schwungrades y in 

zwei gleichgrosse Räder eingreifend, und auf jedes 300 PS, im ganzen 

Pn 
also 600 PS übertragend, -j- icar deshalb für das Schwungrad mit 2 

zu multipliciren, siehe vorletzte Spalte, 

Nro. 2. Der jetzt abgebrochenen Gebläsemaschine der atmosphäri' 

sehen Eisenbahn von St. Germain entnommen, —r- ist entschieden zu 

b 

hoch, was sich auch fühlbar gemacht haben müsste, wenn nicht der Betrieb 

ein häufig unterbrochener gewesen wäre. 

p 
Nro. 3. —r- ist sehr hoch; wegen der kleinen Umlauf zahlen geht aber 

Pn 
dennoch -r- nicht über statthafte Grenzen hinaus. 

Nro. 4 und 5. Dem mächtigen Wasserrad in Greenock (wohl das 

grösste heute bestehende) entnommen. Sehr grosser Breitendruck am Zahn» 

kränze; dennoch ist das Räderwerk erwiesenermaassen haltbar, was ohne 

Pn 
Zweifel der genügenden Kleinheit von —r- zuzuschreiben ist. Letzterer 

Werth ist bei Nro. 5 fast gleich dem bei Nro. 4; es müssen also die bei- 
den Paare sehr nahe gleiche Abnützungsstärke haben. 

Nro. 6. Die Zähne des kleinen Rades sind dünner als die des gros- 
sen (Schwungradring), was sich in der Spalte für © bemerkbar macht. 
Wahrscheinlich hatte das grosse Rad anfänglich Holzzähne. 

Pn 
Nro. 8. Trotz dem grossen Breitendruck ist -r- genügend klein. Die 

Spannung in den Zähnen ist, wie auch bei Nro. 4, nicht unbedeutend. 
Wir würden nach (208) geringere Werthe eingeführt haben. 

Nro. 9. Die Zähne wurden im Gebrauch als zu schmal befunden, 



Ausgeführte Zahnräderpaare. 463 

was wohl der hohen Spannung B^= 2,1 zuzuschreiben ist \ wir würden nach 
(208) nicht ganz 1,5t eingeführt haben. 

Nr. 10. Zwei Bäder mit Holzkämmen greifen in das kleine Bad auf 
der Schraubenwelle ein. Ihre Zähne bestehen der Breite nach aus zwei 
Stücken von 120"*"^ Einzelbreite. 

Nr. 11. Sehr grosser Breitendruck. Es wird geklagt über die Ab- 
nützung der Zähne; augenscheinlich lassen sich dieselben nur deshalb 

p 

schwer in guter Ordnung erhalten, weil -j- so gross ist. 

Nro. 13. Die Zähne werden als etwas schwach bezeichnet', wiederholt 

haben Zahnbrüche stattgefunden', die Abnützung soll sehr stark sein', 

Pn 
wir sehen auch, dass -p ungewöhnlich gross ist. 

Nro. 15. Das Bäderpaar (von Fair bairn herrührend) soll im Stande 
sein, das Doppelte der angegebenen Leistung zu übertragen, nämlich un- 
ter Umständen die Kraft von 4 statt von 2 Wasserrädern, jedes zu 120 
FS übertragen. Die Spannung in den Zähnen würde dabei auf 5* stei- 

Pn 

gen, was statthaft ist; —r- indessen würde dann für einen dauernden 

Betrieb etwas hoch ausfallen. 

Pn 
Nro. 18. Der Werth für -=— beim Holzrade scheint etwas hoch ; beim 



Eisenrade ist er aussergewöhnlich gross; doch ist zu bedenken, dass bei 
Holzeisenrädern die Abnützung fast allein das Holzrad trifft. 

Nro. 20. Dieses Bäderpaar ist dem neuen Triebwerke einer Maschi- 
nenfabrik entnommen, welche schon früher Hyperbelräder für Triebwerke 
mit bestem Erfolge benutzt hatte. Dass das getriebene Bad die Holz- 
zähne hat, ist ^ungünstig; da dadurch die ohnedies schon beträchtliche 
Abnützung verstärkt wird (vergl. §. 211 S. 458). 



F. Abmessungen des Radkörpers. 

§. 213. 
Der Badkranz. 

Der Ring,- an welchem die Zähne eines Zahnrades sitzen, 
heisst der Kranz .oder die Felge des Rades; unter letzterer Be- 
Zeichnung wird insbesondere auch jeder von den Bögen verstan- 
den, aus welchen man den Kranz eines Rades zusammensetzt. Bei 
den gusseisernen Stirnrädern nehme man die Kranzdicke: 



464 Radkranz. 

Ä = 3 + 0,4( -. . (213) 

(Fig. 496 bis 498). Nach der Mitte oder nach der einen Seite zu 



wird der Kk 



ä auf 7s S verstärkt und durch die Kranzrippe a 

Fig. 497. 




gesteift, bei kleineren Theilungen auch wohl bogenförmig profilirt, 
Fig. 498, wozu aber nur Arme von ovalem Querschnitt passen. 
Eiöe Theilung von 20™" erfordert nach (213) eine Kranzdicke 
a = 3 + 8 = 11"""; bei ( = 10»"" wird 8 = 7""". 

Bei den gusseisernen Kegelrädern, Fig. 499 bis 501, wird 
Fig. 499. Fig. 500. Fig. 501. 



die Felge aussen Vs S dick gemacht und erhält einen der hier 
skizzirten Armanschlüsse. 

Räder mit Holzzähnen oder Holzkammen bekommen eine 
höhere und seitlich verstärkte Felge, bei deren Abmessungen na- 
mentlich Rücksicht auf die Handarbeit beim Verschirren, d.i. 
Einsetzen der Kämmen, genommen wird; die Verhältnisse für 
Stirnräder sind aus Fig. 502 bis 504, die für Kegelräder aus 
Fig. 50-2. Fig. B03. Fig. 504. 




Radkranz, Blockräder. 465 

Fig. 505 und 50G ersichtlich. Sehr breite Holzkammen wenlen 
aus zwei Stücken gebildet, Fig. 50ß, deren Stiele durch einen Steg 
getrennt sind. 

Fig. 505. FiK 506 




Ganz kleine Stirnräder (Blockräder) erhalten, wenn bei ihnen 
die Kraftübertragung wesentlich ist, eine oder zwei verstärkende 
Seitenscheiben, Fig. 507 und 508, welche zweckmässig bis auf 
Fig. B07. Fig. 608. Fig. 500. 

.4 



I 





die TheilkreishalbmesBer abgedreht werden, wenn das Rädchen in 
eine Zahnstange greift, Fig. 509; diese bekommt dann bearbeitete 
Seitenleisten, auf welchen die Ränder des Getriebes rollen. Kleine 
Getriebe, z. B. 7 und Szahnige, welche in gusseiseme Räder grei- 
fen, werden manchmal auch aus Scbmiedeisen hergestellt, und 
bedürfen dann keiner Seitenscheiben. 

§. 215. 

Die Badspeichea Zahl derselbeD. 

Der Querschnitt der Arme oder Speichen wird, entsprechend 
den oben angegebenen Kranzfonnen, nach einer der folgenden Fi- 
guren gebildet. 

Banleiai, der CmittmcMnr. SO 



466 Radspeichen. 

Fig. 510 und 511. Rippenquerschnitte, bei denenUaupt- und 
Nebenrippe zu unterscheiden sind; die Punktirung in Fig. 511 
Fig. 510. Fig. 511. Fig. 512. 



f^. 





fi 




asd 



0,8(f 



zeigt den Armquerschnitt, welcher bei Anwendung der Räderform- 
maschine oder der Schablonen-Sandformerei am zweckmässigsten 
ist; Fig. 512 ovaler Querschnitt, welcher an allen Stellen die 
halbe Höhe zur Breite /3 hat Man erzielt gute Verhältnisse für 
die Räder, wenn man die Anzahl 91 der Speichen nimmt: 

oder —V/T [ (214) 

Hiemach ist folgende Zahlenreihe berechnet: 

« =345678 10 12 

3 vT =144 25G 400 576 784 1024 1600 2304 

3 V- = 81 144 225 324 441 576 900 1296 

Beispiel. Ein öOzähjiiges Rad von ÖOmm Theilung hat für 3 VT den 
Werth 50.7 := 350, was nahe an 400 liegt-, das Rad erhält also fünf 

Speichen, Hätte das Rad IG"^^ Theilung, so würde man haben: 3 V* = 
60.4 =z 200, was mitten zwischen 256 und 144 liegt, also die Wahl zwi- 
schen 3 und 4 Speichen lässt. 

Beim Rippenquerschnitt wählt man die Speichenhöhe Ä in 
der Iladmitte nach dem Gefühl, wobei zu bemerken ist, dass das 
Verhältniss ä = 2 bis 2,5 t meistens recht gut passt, und ermit- 
telt darauf die constantc Rippenstärke ß nach folgender Formel: 

f=».'"l(x)' (^>^> 

Ergibt sich dabei eine für das Aussehen oder die Rücksicht 
auf das Giessen zu grosse oder zu kleine Rippendicke, so ändere 

man — entsprechend ab, und rechne aufs neue. Die nachfolgende 
t 

Tabelle erleichtert dieses Verfahren. 



^ 



Radspeichen. 467 

Speichen Verjüngung wie vorhin. Höhe der Nebenrippe am 
Kranz etwas kleiner als 6, an der Nabe gleich oder etwas grösser 
als b. 

Die Speichenhöhe h in der Radmitte wird bei den Rädern mit 
ovalem Armquerschnitt = 2 f genommen, und die Höhe nach aus- 
sen bis auf 2/3 2 1 verjüngt. 

§. 216. 

Tabelle über die Abmessungen der Radspeichen. 



h 

t 






Werthe von ■^, 


wenn 










3 7 


9 


12 


16 


20 


25 


30 


35 


40 


1,50 


0,20 


0,28 


0,37 


0,50 


0,62 


0,78 


0,93 


1,08 


1,24 


1,76 


0,16 


0,21 


0,27 


0,37 


0,46 


0,57 


0,69 


0,80 


0,91 


2,00 


0,12 


0,16 


0,21 


0,28 


0,35 


0,44 


0,53 


0,61 


0,70 


2,25 


0,10 


0,12 


0,17 


0,22 


0,28 


0,35 


0,41 


0,48 


0,55 


2,50 


0,08 


0,10 


0,13 


0,18 


0,22 


0,28 


0,34 


0,39 


0,45 


2,75 


0,06 


0,08 


0,11 


0,15 


0,18 


0,23 


0,28 


0,32 


0,37 


3,00 


0,05 


0,07 


0,09 


0,12 


0,16 


0,19 


0,23 


0,27 


0,31 



1. Beispiel. Hat das obige oOzähnige Bad von öO^m Theilung eine 
Zahnbreite von 100^^, und wählt man die Speichenhöhe h in der Badmitte 

z= 2 t =:: lOOf^m^ olso -j- =: 2^ SO hat man nach Spalte ö, Zeile 3, zu neh- 

men: ß = 0,35.100 = 35^^. Fände man dies nicht bequem und zöge 
eine kleinere Bippendicke vor, so könnte man z. B.h = 2,25 t = 2,25 . 50 
= llSn^m wählen, und erhielte dann na<:h Spalte 6, Zeile 4: ß = 0,28, 100 
= 28mm, 

Die Speichenkreuze der Räder mit Holzzähnen und der in 
sie eingreifenden Eisenräder dürfen bei denselben Arm-Höhen- 
abmessungen , welche man den Rädern für Eisen auf Eisen gibt, 
die 0,8fache Armdicke erhalten. Will man genauer verfahren, so 
ermittle man die Maasse der den Holzzähnen gleichwerthigen 
Eisen zahne, und suche aus deren Theilung, Breite und' Zahl die 
zugehörigen Armdimensionen. 

30* 



468 Radnabe, Gewichte der Zahnräder. 



§. 217. 

Badnabe. 

Die Nabe des Zahnrades wird je nach dem gewählten Arm- 
querschnitt nach einer oder nach beiden Seiten schwach konisch 
geformt, bei grösseren Abmessungen überdies mit viertelellipti- 
schen Stäbchen abgerundet; sie erhält eine Länge L = ^/^ b^ hei 
sehr grossen Halbmessern etwas mehr, und eine Wanddicke w = 
10-|-0,4Ä, wobei h die Armhöhe bezeichnet 

Im Innern ist, sofern die Nabe nicht zum Warmaufziehen be- 
stimmt ist, das Material auszusparen, sodass an den Enden Arbeits- 
leisten von der Breite V4 «^ stehen bleiben. Die Keilbahn wird der 
ganzen Nabenlänge nach, und zwar unter Verlegung des Anzuges in 
die Nabe, bearbeitet. Aussen auf der Nabe ist bei starken Rädern 
ein sanft an- und absteigender Wulst über der Keilbahn aufzu- 
setzen, damit das Eintreiben des Keiles die Nabe nicht sprengen 
könne. Doch kann statt dessen auch die Umlegung von schmied- 
eisemen Schwindringen an den Nabenrändem, oder wenigstens 
an einem derselben, empfohlen werden. Diese Ringe, quadratisch 

von Querschnitt, und etwa — stark, verstärken die Nabe ganz 

wesentlich, und gestatten ein zuversichtliches Eintreiben des 
Keiles. 



§. 218. 

Gewichte der Zahnräder. 

Das Gewicht G eines nach den vorstehenden Regeln construir- 
ten Stirnrades wird annähernd aus folgendem Ausdruck erhalten: 

0=6^2(6,25 3 + 0,043») (216) 

wobei die obigen Bezeichnungen gelten, h und ^aber in Deoi- 
metem auszudrücken sind. Folgende Tabelle erleichtert die 

Benutzung der gegebenen Formel, indem sie die Werthe von rj^ 

für eine Reihe von Zähnezahlen enthält Die Tabellen werthe ent- 



Gewichte der Zahnräder. 



469 



sprechen derjenigen Zähnezahl, welche gleich der Summe von 
Spalten- und Zeileneingang ist. 



8 





2 


4 


6 


8 


20 


141,0 


156,9 


173,0 


189,5 


206,4 


30 


223,6 


241,0 


258,7 


276,8 


295,3 


40 


314,0 


333,0 


352,4 


372,1 


392,2 


50 


412,5 


433,2 


454,1 


475,4 


497,1 


60 


519,0 


541,3 


563,8 


586,7 


610,0 


70 


633,5 


657,4 


681,5 


706,0 


730,7 


80 


756,0 


781,5 


807,2 


833,3 


859,8 


90 


886,5 


913,6 


940,9 


968,6 


996,7 


100 


1025,0 


1053,7 


1082,6 


1111,9 


1141,6 


120 


1826,0 


1357,9 


1390,0 


1422,5 


1455,4 


140 


1659,0 


1694,1 


1729,4 


1765,1 


1801,2 


160 


2024,0 


2062,3 


2100,8 


2139,7 


2179,0 


180 


2421,0 


2462,5 


2504,2 


2546,3 


2588,8 


200 


2850,0 


2894,7 


2936,9 


2984,9 


3030,6 


320 


3311,0 


3358,9 


3407,0 


3455,5 


3504,4 



Beispiel. Ein gusseisernes j nach obigen Regeln construirtes Zahn- 
rad habe 50 Zähne, 0,5<icm Theilung und l^cm Zahnbreite ; bei ihm ist also 
bt^ = 0f35 und somit sein Getcicht nach Spalte 2, Zeile 4: G=^ 0,25.412,5 
= 103,1^. Hätte ein SOzähniges Bad 30mm Theilung und 60"^^ Breite, so 
würde sein Gewicht sein: G = 0,6.0,3^.412,5 = 0,054 . 412,5 := 22,28^. 

Kegelräder und Holzeisenräder mit leichtem Speichenkreuz 
(siehe Ende §. 216) werden etwas leichter, als es die Tabelle 
angibt. 



470 



Xni. EINFACHE HEBEL 

§. 219. 

HebelzapfeiL 

Ein einfacher Hebel wird im Maschinenbau die constnic- 
tive Ausführung eines Hebelarmes genannt, welcher an dem Dreh- 
punkt-Ende mit einer Achse in Verbindung steht, und an dem 
schwingenden Ende einen Zapfen trägt. Letzterer unterscheidet 
sich von dem früher (Kap. IV) behandelten Zapfen dadurch, dass 
die ihn beanspruchende Kraft in der Regel ihre Richtung nach 
Vollzug jeder ganzen Schwingung mit der entgegengesetzten ver- 
tauscht. Wo dieser Umstand eintritt, gestattet er, zwischen Za- 
pfen und Schale einen grösseren Flächendruck eintreten zu las- 
sen , als man bei den Zapfen von stetiger Kraftrichtung zulassen 
darf, weil das Wechseln der Bewegungsrichtung auf das Oel eine 
Wirkung ähnlich der einer Saugpumpe ausübt, die das Oel immer 
wieder zu den Reibungsflächen hinführt. Dagegen empfiehlt es 
sich aus derselben Ursache, die in die Berechnung einzuführende 
Materialspannung etwas kleiner zu nehmen als früher, um dem 
Einfluss der Stösse, welche die unvermeidlichen Schalenspielräume 
zur Folge haben, zu begegnen. 

Für die Zapfen mit stetiger Kraftrichtung ermittelten sich 

früher die Zapfendicke d und das Längenverhältniss -j- nach den 
Formeln: 







wenn der Zapfen ein Stirnzapfen, und 

wenn der Zapfen ein Gabel zapfen, und P die Belastung, © die 
Maximalspannung im Material, p der Flächendruck zwischen 
Schale und Zapfen bedeutet. Früher setzten wir für jp und S bei 



Hebelzapfen. 47 1 

Sclimiedeisen '/j and 6, bei Gussstahl '/g und 10. Hier erhalten 
wir bei den Dachstehenden Annahmen die folgenden Werthe: 



stirnzapfen 


Gabo 


zapfen 


Schmied- 


Gate- 


Schmied- 


UUBS- 


eiten 


stahl 


eisen 


stahl 


= 1 


1,25 


1 


1,25 


= 6 


8,25 


5 


8,25 


= yp 


0,84 yp 


0,7 yp 


0,59 yp 


= yp 


0,9C VP 


i,4yp 


1,34 yp 



= 1 



1,14 



2,28 



{211) 



l ist einmal unmittelbar durch F ausgedrückt, weil man bei den 
Hebelzapfen vielfach in die Lage kommt, ä grösser als die Formel 
gibt ausfuhren zu müssen, sei es weil der Zapfen ähnlich einem 
Halszapfen angebracht ist, sei es wegen constructiver Rücksichten. 
Immer wird dann, wie §. 82 hervorgehoben wurde, die Lange ge- 
nügend gross, wenn man sie der des gleicliwcrthigeQ Normal- 
zapfcne gleich macht. Ist dazu durchaus nicht genug Raum vor- 
handen, so lasse man p wenigstens nicht über die obigen Wcrtho 
hinausgehen, was durcli entsprechende Vergrösserung der Zapfen- 
dicke erreicht wird. Die Abnutzung wird dann zwar grösser als 
beim Normalzapfen, der Erhitzung ist aber wenigstens vorgebeugt, 
gute Oelung immer vorausgesetzt. (Vcrgl. §. 83.) 

Die Formen, in denen der Hebelzapfen gewöhnlich angewandt 
wird, sind die in den folgenden Figuren angegebenen des Stirn- 
zapfeoB, des Doppelzapfens und des Gabelzapfens. Sorg- 
Fig. 513. Fig. 514. Fig. 515. 




faltiges P^inpassen des Zapfenstieles oder -Schaftes in die Hülse 
ist uncrliisslichc Bedingung für die Haltbarkeit der Coustruktion. 



472 Hebelzapfen. 

Die Achsel über dem Conus Fig. 513 darf nicht anliegen, damit 

sie das Anziehen des Conus nicht behindert; die Figur zeigt den 

Spielraum der Deutlichkeit wegen in etwas übertriebener Weise. 

Bei sehr gewählter Formgebung kann der Spielraum auch durch 

Versenkung des hinteren Zapfenbundes verborgen werden. Beim 

Doppelzapfen ist bei sorgfaltiger Aufstellung der Druck auf 

p 
jeden einzelnen Zapfen = -^, der letztere also dieser Belastung 

gegenüber als Stirnzapfen anzusehen. Bei dem Gabelzapfen, 

Fig. 515, gehören die beiden eingepassten Schafttheile einem und 

demselben Kegel an. 

1, Beispiel. Für P = 2000^ erhält der schmiedeiserne Hebel- 

Stirnzapfen nach (217) die Dicke d = \2000 •N^y 45»"» , und dieselbe 
Abmessung als Länge \ aus Gussstahl hergestellt y hätte er die Dicke 

d = 0j84 V20OO ,^>sy 38'nm , die Länge l .^x^ 45"»'" zu erhalten. Der 
schmiedeiserne Gahelzapfen für dieselbe Belastung erhielte die Dicke 

d = 0;r \2OOO •^^ 32^ni^ die Länge l = 1,4 VJÖÖÖ •><• öl«""». Bei 
einer Erweiterung desselben Zapfens auf z. B, 40"*^ bliebe am besten 
l = ^^mai erhalten ; zum wenigsten müsste aber, um p ^ 1 zu erhalten^ 

l = = 50"»»»» gemacht werden. 

40 

Nicht alle Hebel haben übrigens wechselnde Kraftrich- 
tungen, so z.B. die Gegengewichtshebel, die Balanciers der ein- 
fachwirkenden Wasserhaltungsmaschinen u. s.w. nicht Bei diesen 
gelten für die Stirnzapfen nach wie vor die in §. 79 gege- 
benen Formeln (vergl. das dritte Beispiel §. 80). Für den Ga- 
belzapfen haben wir in diesem Falle bei Schmiedeisen oben wie- 
der © = 6 und p = 1/2, für Gussstahl 10 und Vs einzuführen, 
und erhalten für: 

Schmiedeisen Gussstahl 

d = OßVP d = 0,67 VF ] 

? = 2,4 VP l = 2,37 VP 



^ = 3 -^ = 3,54 

a a 



(218) 



2, Beispiel. Ein schmiedeiserner Gabelzapfen für einen Hebel mit 
der stets einseitigen Belastung von 2000^ erhielte hiernach die Dicke 

d = 0,8 V20OO •/"v^ 36»*^, die Länge l •n^ lOS'nm; bei Anwendung von 

Gussstahl käme d = SO^^m^ l = iOö""»; bei der Erweiterung auf 40"»« 

2000 8 
müsste l mindestens icerden = . , ■ = 80mw. Der Stirnzapfen aus 

4V . 

Schmiedeisen erhielte nach §. 79 die Dicke d == %V2000 •vy 50"»»», die 

Länge l = 75»»»»». 



Gusseiseme Hebel. 



§. 220. 
Zapfenverbindung der Hebel. 

Die Hebel worden vorzugsweise aus Schmiedeisen oder aus 
Gnsseisen hergestellt Für die schmiedeiserne Zapfenliülse sind 
in den obigen Figuren die Verhältnisse angegeben. Die guss- 
Fig. 616. Fig. 517. Fig. 518. 




eiserne Zapfenhiilse erhält für Stirn- und Achszapfen je nach dem 
.zu wählenden Querschnitt des Hebelarmes eine der beiden in den 



474 Hebelachse. 

vorstehenden Figuren angegebenen Formen und die beigeschriebe* 
nen Verhältnisse. Eine Hülse für den Gabelzapfen beim gusseiser- 
nen Hebel siehe beim Balancier (§. 238). Wird der Gabelzapfen 
zu einer vollständigen Achse ausgebildet, so gelten die bei den 
Achsen, Kap. Y, gegebenen Regeln. 



§. 221. 

Hebelachse und Nabe des Hebels. 

Die Achse, auf welche der einfache Hebel befestigt wird, ist 
in der Regel auf Biegung und Drehung gleichzeitig beansprucht 
Die Ermittlung der Abmessungen für alle wichtigen Fälle ist in 
Kap. V. und Kap. VI. (§. 111) gelehrt worden. 

Die Hebelnabe muss verschieden stark gemacht werden, je 
nachdem sie die Welle auf Verdrehung zu beanspruchen hat oder 
sie bloss biegend belastet. Im ersteren Falle nehme man beim 
schmiedeisernen Hebel mit schmiedeiserner Welle, und 
beim gusseisernen Hebel mit gusseiserner Welle, wenn 
w die Nabenwanddicke, A die Nabenlänge, 
D die nach (98) und (99) für das statische Moment P R 
des Hebels auf blosse Festigkeit berechnete Wellen- 
dicke bezeichnet, 

, . w; 1 _J_ 1 



w 



(219) 

-^ = 0,45 0,42 0,40 

Befindet sich der Hebel auf einer Welle, welche einen grös- 
seren Durchmesser als D hat, so bestimme man zuerst den ideel- 
len Wellendurchmesser D, und verfahre mit ihm nach Formel (219). 
Ebenso verfahre man, wenn die Nabe aus Gusseisen, die Welle 
aber aus Schmiedeisen besteht, und umgekehrt. Die Formen der 
gusseisemen Nabe zeigen die obigen Figuren 516 bis 518. Muss 
von denselben abgewichen werden , so geben ihre als ideell einge- 
führten Abmessungen einen oft erwünschten Anhalt für die neuen 
Formen und Abmessungen. 

Beispiel, Ist der in Paragraph 219 im 1, Beispiel berechnete He- 
bel aus Schmiedeisen zu construiren, und hat 600»»»» Armlänge, so ist sein 
Mtatisches Moment PE = 2000,600 = 1200 GOO^X^m, Hieraus hat man nach 



"^ 



Hebelarm. 475 

{98): D = 0,95 1^1 200 000 /v^ 101mm, und, wenn man -^ = -j tßählt, 

nach (219): w = 0,45 . 101 •'v^ 45«*», h = 2 , 45 =i 90>nm, Dieselben 
Querschnitt- Abmessungen würde die Nabe erhalten, wenn sie statt auf 
eine schmiedeiserne auf eine gusseiserne Welle zu setzen wäre. 

Die Trag nahe, d. h. die Nabe, welche die Achse nur auf 
Biegung belastet, kommt nur bei zusammengesetzten Hebeln vor, 
siehe daher §. 238. 



§. 222. 

Der Hebelarm mit rechteckigem Querschnitt. 

Es werde zunächst der gerade Hebelarm mit einfach recht- 
eckigem Querschnitt unter derVor- 
^^' ^ aussetzung berechnet, dass P in der 

Mittelebene des Hebelarmes angreife, 
Fig. 519, und normal zu demselben 
flH^^^^^^^^^^S^i,. gerichtet sei. Dann ist, wenn die Arm- 
V^^^^^^^^^^^UHp höhe in der Achsenebene = A, 
^^^^^^^^^^^^^^r^ die Armbreite daselbst = 6, 

K * >i die Maximalspannung = ©, 

Die Materialspannung © ist für Schmiedeisen = 6, für Gusseisen 
= 3* zu setzen. Dies gibt: 

Schmiedeisen Gusseisen 
i = ^, ft = 2^ (220) 

Diese Formel setzt die Annahme von h voraus, in der That die 
zweckmässigste Art der Berechnung, weil h die Seitenansicht, das 
Profil des Hebels bestimmt, für welches das Gefühl am ersten 
Anhalt gibt 

1, Beispiel. P = 2000^, B = 600^^, der Arm sei aus Schmied- 
eisen herzustellen, h = 180mm gewählt. Dann ist nach (220) zu nehmen: 
2000 . 600 

^ = — 18d^~ -"^ ^^"*'^- 

Bei constanter Armbreite b wird die Armhöhe nach dem 



476 



HebelarnL 



Zapfen hin bis auf -^ verjüngt; bei constantem Verhältniss -^ ^^ 

V3 h (siehe die Fälle HI. und VU. §. 10). 

In sehr vielen Fällen greift die Kraft P aber nicht in der 
Mittelebene des Armes, sondern ausserhalb dieser Ebene an, und 
bewirkt dann Biegung und Verdrehung des Armes. Wir ersetzen 
dann die zusammengesetzte Beanspruchung durch eine ideelle 
blosse Biegungs-Beanspruchung, deren Moment das Produkt 
aus P und einem ideellen Arme B! ist, siehe Fig. 520. 

Fig. 520. 




Man hat für B! wenn die Ebene von P um c von der Mittel- 
ebene des Armansatzes absteht (vergl. §. 111) mit genügender An- 
näherung: 



oder 



wenn 



E = 3, E + «8 VR' + c« . . . . ) 
R = 0,975 R + 0,25 c ..... . 





R>c, 


und 


R — 0,625 R + 0,6 c, 


wenn 


JB<c 



(221) 



In Fig. 520 ist angegeben, wie R graphisch gefunden wer- 
den kann, was sehr leicht ist. Bei schief gerichtetem Arm bedarf 
es nur einer passenden Anordnung der Construktion, um auch 
hier, wie die dritte Lösung zeigt, rasch zum Ziele zu gelangen. 

2. Beispiel, Gesetzt y bei einem Hebel von der Belastung und dem 
Arme wie in Beispiel 1. betrage c 400^fn, Dann ist 5 > c, und nach 
221) zu setzen : R = 0^75 . 600 + 0,25 . 400 = 685 + 100 = 085""". 



Hebelarm. 



477 



b toird nun hei den früheren Voraussetzungen = — z^ — » tooraus h 

•vy 4;^*»«»» statt 36^»*, wie wir oben fanden, folgt. 

Der gusseiserne Hebel erhält häufig Ereuzquerschnitt, wie 
Fig. 516 andeatet. Die Nebenrippe kann in diesem Falle vernach- 
lässigt werden. 



§. 223. 

Zusammengesetzte Hebelarm-Querschnitte. 



Die nachstehenden Hebelarmqaerschnitte eignen sich für 
grosse Kräfte sehr gut, indem sie eine günstige Materialverthei- 
lung haben. Ihre Abmessungen lassen sich bequem finden, wenn 
Fig. 521. Fig. 622. Fig. 523. Fig. 524. 




ly 




man zuerst den einfach rechteckigen Querschnitt bestimmt, und 
diesen darauf in den doppel T-formigen verwandelt. 

Bei den in den Figuren angegebenen Bezeichnungen, und 
wenn man noch nennt: Äq die Höhe, 6o die Breite des Hebelarmes 
mit rechteckigem Querschnitt, von dem Material des zu construi- 
renden, welcher den gegebenen Kräften (Zapfen) entspricht, kann 
die Verwandlung wie folgt geschehen. 

Man bestimmt unter Annahme des Hebelprofils, d.i. der Arm- 
höhe Aoi welcher h gleich werden soll, die Äq zukommende Ann- 
breite 6o des Rcchteckquerschnittes für das betreffende Material; 
sodann mache man: 

b 1 



wobei 



iü ~ 1 + « 



«=(I-')K-Kt)']-- ) 



. (222) 



47f Iferl^larm mit iH/ppel^T -(/oersdaaSL 

Vie^VfßimfA »etzt die Wahl tob -^ imd too -^ ronuB. welche 

immer kricht luaucrh d^m Gescbmadt des Conätnnrendeii geschehen 
luokrj. In (222} sind die Winkeleisen der Qoersehmtte Fig. 523 
nnd 524 Terna/rblä«ngt, wodurch aber zugleich die Schwächung 
dorch di^ NietUVrher ann^eglicben wird. Folgende Tabelle gibt eine 
K^be rr/n Werthen fdr (222 f. mit Hilfe deren die Torliegende 
R^icfannng W|uem rollzogen werden kann. Das Verfahren lasst 
sich aocb tM&br gat für die Berechnung anderer Stöcke gebrau- 
chen, z. B. für Träger aller Art, gusseiseme Krahnschflde, Blech- 
krabn-AoAbuler n. 8. w. 



§. 224. 

Tabelle zur Umformmig der rechteckigen 

Annqaersctanitte. 



r 
1 

1 




. 




W<»HliA «"--«• 


I 


t 


1 
h^ 








w» CZTU 


V WKfU 


1 +« 




c 


TT = 2/> 


3 


3,5 


4 


4,5 


5 


6 


7 


8 


1 
10 


H 


O^V) 


0,43 


0,38 


0,33 


0,30 


0,27 


0,23 


0,20 


0,18 


0,14 


7 


0,52 


0,45 


0,40 


0,35 


0,32 


0,29 


0,25 


0.21 


0,19 


0,15 


H 


0,54 


0,47 


0,42 


0,37 


0,34 


0^1 


0,26 


0,23 


0,20 


0,16, 


9 


0,56 


0,49 


0,44 


0,39 


0,36 


0,33 


0,28 


0,24 


0,22 


0,18 


10 


0,6-^ 


0,51 


0,46 


0,41 


0.37 


0,34 


0,29 


0,26 


0,23 


0,19! 


11 


0,60 


0,58 


0,48 


0,43 


0,39 


0,36 


0,31 


0,27 


0,24 


0,20' 


V2 


0,62 


0,55 


0,50 


0,44 


0,41 


0,37 


0,32 


0,29 


0,26 


0,21 


14 


0,64 


0/j8 


0,52 


0,17 


0,44 


0,40 


0,35 


0,31 


0,28 


0,23; 


]({ 


0,67 


0,60 


0,55 


0,50 


0,47 


0,43 


0,38 


0,34 


0,30 


0,25 


18 


0,69 


0,68 


0,57 


0,52 


0,49 


0,46 


0,40 


0,36 


0,33 


0,27 


20 


0,71 


0,65 


0,60 


0,55 


0,52 


0,48 


0,42 


0,38 


0,34 


0,29 


22 


0,73 


0,f;7 


0,62 


0,57 


0,53 


0,50 


0,45 


0,40 


0,37 


0,31 


24 


0,75 


0,68 


0,64 


0,59 


0,56 


0,52 


0,47 


0,42 


0,38 


0,33 


27 


0,76 


0,71 


0,66 


0,62 


0,58 


0,55 


0,50 


0,45 


0,41 


0,35 


80 


0,78 


0,73 


0,68 


0,64 


0,61 


0,57 


0,52 


0,47 


0,43 


0,37 


83 


0,79 


0,75 


0,70 


0,66 


0,63 


0,60 


0,54 


0,60 


0,45 


0,39 


80 


0,81 


0,76 


0,72 


0,68 


0,65 


0,61 


0,56 


0,52 


0,48 


0,41 


40 


0,83 


0,78 


0,74 


0,70 


0,67 


0,64 


0,58 


0,54 


0,50 


0,44 


45 


0,84 


0,80 


0,76 


0,72 


0,69 


0,66 


0,61 


0,57 


0,53 


0,47 


r>o 


0,85 


0,81 


0,78 


0,74 


0,71 


0,68 


0,63 


0,59 


0,56 


0,49 



Kurbeln. 479 

Beispiel, Es sei die Länge R eines zu construirendcn einfachen 
Hebels =z2000rnm^ die Zapfenbelastung P=z2500^\ der Arm soll ausGuss- 
eisen mit doppel-T-förmigem Querschnitt construirt werden^ und eine Höhe 
ho = S^Omtn erhalten. Nach (220) würde dafür der einfach rechteckige 

Querschnitt die Breite b^ = — ^ — r^^rj •v^' 98^^ erhalten. Dies ist 

so viely dass wir unbedingt nicht dabei stehen bleiben können , also die 
Anwendung eines Doppel- T- Querschnittes gerechtfertigt sehen. Es werde 

nun gemacht T" = 70» "T" = ^» ^^ *^**'^ ^^<^^ Spalte 5, Zeile 7: . 
= 0,44 ; mithin die Rippenbreite b = 0,44 . bo = 0,44 . 98 = 43mm ^ die 
Saumnervenbreite B = 4 .44 = 176^^, die Nervendicke c = t^ = -75- 

= 27^*^, was alles ganz brauchbare Abmessungen sind. Man könnte das 
Verlangen stellen, c = b herauszubringen; hierfür Hesse sich eine For- 
mel entwickeln; jedoch kann man auch leicht durch versuchweises Ein- 

B c 

setzen verschiedener Werthe von -r- und -r- das Gewünschte erzielen, 

h 

B c 1 

Setzt man — = 5, -r- = — , so ergibt sich nach Spalte 7, Zeile 5: 

T-T— = 0,34, also b = 0,34,98 = 55"", während c = ^ =z 32^^ 
1 -\- a ^ ^ ' 10 

wird, also schon genügend genau mit b übereinstimmt. 



XIV. KURBELN. 

§. 225. 

Verschiedene Arten von Kurbeln. 

Die Kurbeln sind einfache Hebel, welche so eingerichtet sind, 
dass sie im Zusammenhang mit ihren Pleuelstangen ganze Kreise 
und Vielfache derselben durchlaufen können. Sie lassen sich in 
folgende vier Klassen theilen : 

1) Stirnkurbeln, 

2) Gegenkurbeln, 

3) Wellenkröpfungen oder Kurbelachsen, 

4) Excentrische Scheiben. 

Dieselben sollen hier in Kürze nacheinander behandelt werden. 



§. 226. 

Die sohmiedeiseme Stimknrbeir 

Dieselbe wird ganz nach den Regeln für einfache Hebel mit 
Stimzapfen (§. 219 ff.) construiri Fig. 525 und 526 gebräuchliche 
Form; der Arm, welcher hier in beiden Abmessungen auf Vi 'w- 
jnngt angenommen ist, hat auf der Rückseite eine Wölbung. Der 
Zapfenstiel ist eingescbliffen und mittelst einer Kopfschraube ge- 
sichert. Fig. 527 zeigt eine aus einem Stück hergestellte (oder 
Fig. 525. Fig. 526. Fig. 627. 




eintrumige) Kurbel. Hier schreibt die gewählte Bundhöhe an der 
Welle die Armhölie h vor. Wegen der Einpassung des Zapfen- 
stieles beachte man das in §. 419 S. 472 Gesagte. 



. 227. 



Graphostatische Berechnung der StimkurbeL 

Die Kurbel ist ein so wichtiger Maschinentheil , dass sie eine 
sorgfaltige Behandlung in hohem Grade verdient, weshalb hier die 
Anwendung der graphostatischen Methode auf ihre Berechnung 



Graphostatische Berechnung der KurbeL 481 

gezeigt werden soll, welche his zu den verwickelten Beanspruchun- 
gen der mehrfachen Achsenkröpfungen ihre Brauchbarkeit bewährt. 
Für den sich Einübenden ist zu rathen, die nachfolgenden Con- 
structionen nach einander an vollständigen Beispielen durchzu- 
machen, damit er die nicht ganz unerheblichea Schwierigkeiten, 
welche vor allem Aufmerksamkeit heim Arbeiten erfordern, Btafen- 
weise kennen nnd überwinden lerne. AVir behandeln ausser der 
Kurbel- (d. i, Hebel-) Achse auch den Arm derselben. 

DieAcbse dcrStirnkurbel. Man berechne zuerst aus dem 
Drucke P auf den Kurbelzapfcn dessen Durchmesser d und Länge 
1, und trage dann das Schema, d.i. dieFolge der neutralen Linien 
ABCDE der Kurbel auf, wobei die Ärmachse BG, welche hier 
zunächst normal zur Achse gewählt ist, schätzungsweise in die 
Fig. 628. 




tq 




k J. i 


B 




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Ü^ 1 


""'-5 





richtige Entfernung von A gebracht, ebenso die Lage des Zapfen- 
mittels D vorläufig angenommen wird. Hierauf trage man die 
Kraft B von a aus normal zu Ea auf, wähle den Pol des Kräfte- 
polygons , am besten auf einer aus dem Endpunkte von P gezoge- 
nen Parallelen zur Achse Ea^ ziehe Strahl und Seil adO, Seil dE, 
nnd Strahl 0B\ || äE, so ist adE Seilpoljgon für die Biegung, 
welche P an der Achse a CE hervorruft, das Stück PPi die in E 
anzubringende Zapfeukraft Pi, und Pj a = Q die in D nach oben 



482 Graphostatische Bereclmung des Kurbelarms. 

wirkende Zapfenkraft. Mache ferner aF = dem Kurbelarme B, 
ziehe FG\\aQ, so ist FG (vergl. §. 109) das Moment, mit welchem 
P die Achse auf Drehung beansprucht. Dieses Moment Mj ist 
mit dem biegenden Momente Mb an jeder Stelle zu einem ideellen 

biegenden Momente Mi = ^,U ^h + ^!% VM^^^^MJ (siehe §. 45), 
wie schon in §. 109 gezeigt wurde, zusammenzusetzen, wodurch 
die Polygoncurve d iV e' und die Momentenfläche Cc'd' e* E erhal- 
ten werden. Aus der letzteren können alsdann mit Zugrunde- 
legung der Zapfendicke d und der Zapfenwurzelordinate U die 
einzelnen Durchmesser der Achse nach Formel (85) berechnet 
werden. 

Der Arm der Stirnkurbel. Verlängere Ea nach a^ hin, 
verlege das Seilpolygon Dad an die Schlusslinie JBC, d. h. mache 
Z. (hJ^G -= Z- Dad^ ^0 \si Büq C mit horizontalen Ordinaten die 
Momentenfläche für die Biegung des Kurbelarmes BC durch P. 
Mache ferner Cco = Bh^^ = Cc, so stellen die Horizontalordina- 
ten des Torsionsrechteckes Bh^c^C die Momente dar, mit wel- 
chen P den Kurbelarm um die als neutrale Achse angenommene 
B C verdreht. Dieses Moment wird wieder mit dem biegenden 
Momente nach der bekannten Formel zu einem ideellen biegenden 

Momente zusammengesetzt [«,)«' = Vs^o ^? ziehe Ba\ mache an 

irgend einem Punkte // das Stück Hi = Vs -öio? ^^^ mache Hh 

= höh' 4" f^' ^]^ wodurch sichdieMomentenfläche JBt'ÄFC für den 
Kurbelarm ergibt. Aus dieser wird nun, von d und der Wurzel- 
ordinate ti ausgehend, der Arm zunächst in der conoidischen 
Form IKLM nach Formel (85) construirt. Darauf wähle man 
das Profil ST UV des Armes von rechteckigem Querschnitt, wo- 
mit dessen Höhen h an jeder Stelle bestimmt sind, und berechne 
nun die Breite b für jede Stelle aus dem dort gültigen Durchmes- 
ser y des Conoids nach der P'ormel: 

7=''Kxy ••• • (223) 

wozu die zweite kleine Zahlentafel am Schlüsse des Buches gute 
Dienste leistet. Ergibt sich schliesslich die Lage der Achse BC 
als nicht gut gewählt, so wiederhole man, wenn nöthig, das Ver- 
fahren mit einer besseren Annahme. Die Entfernung des Punktes 
E von D ist ohne Einfluss auf die Dimensionen des Armes der 
Kurbel. 



Oraphostatische Berechnung des Kurbelarms. 483 

Dieses V erfahr en liefert, abgesehen von einigen durchaus 
statthaften Vernachlässigungen, solche Abmessungen für Korbel- 
arm und Achse, dass deren Tragsicherheit mit derjenigen des 
Zapfens vollständig übereinstimmt. Will man mehr oder -weniger 
Sicherheit anwenden, so lege man nur einen ideellen Zapfen von 
grösserer oder geringerer Sicherheit zu Grunde. 

Die Arraachse B C wurde oben normal zur Kurbelachse CE 
angenommen. Ein geringes Schiefstellen, wie es z. B. Fig. 525 
voraussetzt, kann vernachlässigt werden; beträgt dasselbe aber 
mehr, etwa .wie es Fig. 527 andeutet, so muss darauf Riicksicht 
genommen werden. Man verfahre alsdann wie folgt, Fig. 529. 

Das Biegungsdiagramm für die Welle der Kurbel wird wie 
oben entworfen, das unter ab fallende Stück desselben für den 
Fig. 5211. I 

i 




Zapfenschenkel AB benutzt, das unter OE fallende mit dem wie 
vorhin gesuchten Torsionsmoment FG zusammengesetzt, wodurch 
eich die Momentenfläche C&d'e'E wie oben ergibt. 

Der Kurbelarm wird wieder auf Biegung und Drehung be- 
ansprucht; der Hebelarm ist aber nun B'C, wobei AB" normal 
zur Armachse B C, das Biegungspoljgon ein Abschnitt des Drei- 
eckes GB'O, welches bei B" den Winkel daD hat. Die Verdre- 
hung geschieht mit dem Hebelarm AB", ihr Moment ist durch 
die za BC normale Ordinate des Dreieckes bei a' dargestellt, wo- 
bei B'a' = B' A. Die Zusammensetzung der Momente liefert die 
Momentenfläcbe Bb"c"C, welche wie oben benutzt wird. 

31* 



Gusaeiseme Kurbel. 



. 228. 



Die gtiBseiseme Stinikurbel. 



Stjitt der cylindriachen Zapfen gibt man oft den Kurbeln 
kugeliormige; ein solcher ist bei der gusgeisernen Kurbel Fig. 630 
Fig. 530. 




gewählt. Die ^ugel erhält eine passende Dicke, wenn man sie 
l,5mal so dick i 's den gleichbelasteten Dormalen Stirnzapfen macht. 
Als Zapfenbefcs gung ist hier die (kalte) Vernietung des einge- 
schlißcncn Zapfe Stieles angenoninieQ, eine sehr haltbare, neuer- 
dings oft gebrauc tc Verbindung. Der I-förmige Ärmquorschnitt 
kann mit Hilfe v( i Tabelle §. '224 bestimmt werden ; wählt man 
indessen wie hier I r h den äusseren Nabeudurchmesser , so fallen 
in der Regel die Qu rschnittahmessungen des Kurbelarmes bei der 
Rechnung so klein a is, dass sie für die Ausführung im Gusse nicht 
passen, und man siea 'ch des guten Aussehens halber durch grössere, 
nach dem Gefühl gen 'hltc ersetzen muss. 

Häufig wird der ^usseiseme Kurbelarm auch geradezu als 
massives die Nabe mii der Zapfenhülse verbindendes Stück toh 
rechteckigem Querschni t ausgeführt 

Wenn man die graj lostatische Methode zur Bestimmung der 
Momente zu Grunde logi ao sucht man zuerst den vierkaotigeD 



Gegenkurbel, 485 

Buhmiedeisernen Arm, vorwandelt ihn durch Verdoppelung der 
Breite (siehe §. 222) in den für Gusseisen, und diesen in den von 
I-fonnigen Querschnitten nach §. 224. 



§. 229. 
Die Gegenkurbel. 



Eine üegenkurhel Iieisst ein von dem Zapfen einer Stirn- 
kurbel ausgehender Krummzapfen, welcher mit jener, der Haupt- 
kurbel, die Drehachse gemeinBchaftlich hat. Fig. 531 zeigt eine 
Fi([. 631. 



i*M*i 




schmiedeiäcrne (icgcnkurbel , welche ähnlich der Coiistruction in 
Fig. 527 eintheilig (eintrumig) ausgeführt ist. Gewöhnlich ist wie 
hier der Gegenurin dem Hauptarm entgegengericlitet , manchmal 
aber auch anders gestellt. Zapfen nnd Arm der Gegenkurbel wer- 
den wie bei einer gewöhnlichen Stirnkurbel construirt. Dasselbe 
gilt vom Hanptannc, wenn wie gewöhnlich das Moment des Gegen- 
zapfendruckes unbedeutend ist Der Hauptzapfen dagegen muss 
besonders berechnet werden. Er wird gleichzeitig auf Drehung und 
Biegung beansprucht Man verfahre nach Formel (221), und hat 
zu bedenken, dass, wenn die Gegenkurbel von der Hauptkurbel 



aas getrieben wird, 
der Gegenkurbel sein M: 



Gegenkur beL 
der Mitte des Hanptzapfens das Moment 



Oraphostatisohe Berechnung der OegenknrbeL 

Das grapbostatische Diagramm (ur ei De Gegen kurbel mit 
schiefem Haupt- und Gegenarm ist in Fig. 53'2 dargestellt Zuerst 
Fig. ö32. 




wird das Schema ABCDEFGHI angenommen, wolrei man sich 
mit den Längen AS, CE und FG so gut es im voraus geht, nach 
den Längen der betreffenden Zapfen richtet. Der Druck 1 auf den 
Gegenzapfen ist hier dem Drucke 2 auf den Hauptzapfen entgegen- 
gesetzt angenommen. 



Ge^cnkurbel. 487 

Kräftepolygon. Nach Annahme eines Kräftemaasstahes 
wird zuerst das Kräftepolygon (rechts) construirt. Strecke bis 
1 Druck 1 auf den Gegenzapfen, nach oben gerichtet, Pol, auf 
einer durch den 0-Punkt gehenden Horizontalen gewählt, Strecke 1 
bis 2 Druck 2 auf den Hauptzapfen , nach unten gerichtet. Ziehe 
die Strahlen 0, 1 0, 2 0, darauf Seil ad'\\lO bis zum Schnitte 
d' mit der durch D gehenden Kraftrichtung von 2 , d^g || 2 bis 
zum Schnitte g mit der durch G gehenden Kichtungslinie der 
Kraft 3, welche in G nach oben presst, aber noch nicht bekannt 
ist. Um diese, wie die in H wirkende vierte Kraft zu finden, ver- 
binde g mit i/, worauf IIa die Schlusslinie ist, nämlich horizontal 
ausfällt, weil wir die Schlusslinie im Kräftepolygon von Anfang 
an horizontal wählten. Ziehe alsdann im Kräftepolygon 03 [| //r/, 
80 ist die Strecke 2 bis 3 die dritte Kraft, in G angreifend , nach 
oben gerichtet, und 3 bis die vierte, in II angreifende Kraft, 
welche, wie das Kräftepolygon zeigt, nach unten gerichtet ist. 
Dabei gibt die Figur ad' lg II das Seilpolygon für das zu con- 
struirende. System an. Bei Je entsteht ein Nullpunkt (vergl. §. 90); 
in unserer Figur ist der Bequemlichkeit halber das Dreieck kgH 
nach unten in die Lage leg' H geklappt. Das gefundene Seilpolygon 
benutzen wir für einen Theil der Construction als Momentenfläche 
wie folgt. 

Schenkel AB. Zur Bestimmung seiner Dimensionen dient 
nach Berechnung des Zapfens in A aus dem Drucke 1 das Dreieck 
o6'6, beziehlich dessen (vertikale) Ordinaten. 

Zapfenstück CDE, Dasselbe wird gemäss der Momenten- 
fläche cd'e gebogen, und ausserdem durch die Kraft 1 am Hebel- 
arm r = Cc — BZ verdreht. Um das verdrehende Moment zu 
bestimmen, mache man al = r, und ziehe die Ordinate U\ so ist 
diese das gesuchte Moment, dessen Fläche ein Rechteck über ce 
wird. Dieses mit dem Trapez cd'e in der bekannten Weise ver- 
einigt, liefert die Momentenfläche c(!d"f!e. Da es aber vorkommen 
kann, dass der Gegenzapfendruck allein wirkt,. in welchem Falle 
das Seil ad! nach ivl hin fortgesetzt gültig bleibt, legen wir letz- 
teres Biegungspolygon zu Grunde und erhalten als Begrenzungs- 
curve der rcsultirenden Momentenfläche die Curve c'd"c^ aus 
welcher der Zapfen ODE bestimmt werden kann. Als Minimal- 
länge l desselben wird, wie im vorigen Paragraphen besprochen, 
die Länge des dem Drucke 2 zukommenden Stirnzapfens gewählt. 



488 Gegenkurbel. 

Achse FGHI. Diese wird gebogen nach dem Polygon 
FfifH, und dabei verdreht durch das Moment der Kraft 3 weniger 
dem der Kraft 1. Um ersteres zu finden, wählen wir im Kräfte- 
polygon einen zweiten Pol 0* auf einer Horizontalen durch den 
Anfangspunkt der Kraft 2 unter Beibehaltung des Polabstandes, 
ziehen 2 0* und parallel dazu dg", machen dn = Cc = R, und 
Fijr. 533. 




haben dann in der Ordinate « »' das gesuchte verdrehende Mo- 
ment. Hierauf machen wir die Abscisse der Ordinate bei a' = Ää 
= ü — r, so ist diese Ordinate das Moment, mit welchem der 
Druck 1 die Arme rückwärts dreht. Dieselbe von nn' abgezogen, 
liefert die Höhe Ff des Torsionsrechteckes Fli'f , welches wir 
in der bekannten Weise mit der BiegungsHäche zusammensetzen 
und dadurch die resultirende Momentenfläche Ff^'h"i"I erhal- 
ten, — Kann der Fall eintreten, dass die Kraft 1 Null wird, was 
7.. B. bei Gegenkurbeln für Dampfmaschinen, wo der Gegenzapfen 
den Dampfschieher treibt, vorgesehen werden muss, so ist als Bie- 



Gegenkurbel. 489 

gungsfläche Ff^f/'H^ als Torsionsfläche FFo*^^ einzuführen, um zu 
sehen, ob dabei die resultirende Fläche grössere Ordinalen be- 
kommt, welche alsdann zu benutzen sind. Dies würde z. B. bei 
den Annahmen in unserer Figur der Fall sein, wie das üb^ FI 
ohne Buchstabenbeifügung punktirte resultirende Polygon zeigt. 
Das Stück /// wird, unter der Voraussetzung, dass bei /ein 
Kräftepaar der Torsion widersteht, nur auf Verdrehung bean- 
sprucht, weshalb das resultirende Polygon in ein Rechteck über- 
geht 

Gegenarm BC. Dieser wird durch die Kraft 1 mit dem 
Arme AA^^ welcher ein Loth auf die Verlängerte CB ist, verdreht 
(Moment = der Ordinate bei a^) und mit dem Arme A^ Cgebogen 
(Seilpolygon ein Dreieck über CA^ mit dem Spitzenwinkel baa^ 
bei A(i). Die reducirende Zusammensetzung liefert die Momenten- 
fläche CBc^c" (vergl. Fig. 535). 

Hauptarm EF. Dieser wird durch die Kraft 2 vorwärts 
gebogen mit den Momenten in Fläche Do FF'' (Winkel bei Do = 
Z. ed(f*) vorwärts verdreht mit dem Arme 2) Do, welcher ein Loth 
auf die Verlängerte FE ist; ferner wird er rückwärts gebogen 
durch die Kraft 1, Momentenfläche EqFF\ rückwärts verdreht 
mit dem Arme AEq^ welcher normal auf FE steht. Die Biegungs- 
momente von einander abgezogen liefern die Fläche Ed^e^P^F^ 
die Drehungsmomente von einander abgezogen das über EF an- 
gegebene Rechteck; die Zusammensetzung der beiden Figuren für 
Drehbiegemomentc die Momentenfläche Ee'"f"F. Für den Fall, 
dass die Kraft 1 Null werden kann, fallen die Abzüge weg, es ent- 
steht dann das in unserer Figur ohne Buchstabeubeifügung punk- 
tirte Seilpolygon, welches hier grössere Ordinaten liefert, als das 
erste, also zu benutzen sein würde. 

Nach einiger Einübung macht man die vorbeschriebenen Ope- 
rationen leicht und schnell, namentlich, wenn man die Unter- 
suchung auf die wichtigen Stellen beschränkt, über diese gibt das 
Beispiel schon im allgemeinen den nöthigen Aufschluss. Die Be- 
nutzung des, wie man sieht, sehr lehrreichen Diagrammes, und 
die Verwandlung der Querschnitte geschieht wie oben besprochen. 
Sind Haupt- und Gegenarm normal zur Achse gerichtet, so wird 
die Aufgabe um ein gutes Stück leichter; man sehe hierüber den 
folgenden^ Paragraphen. 



490 



Die Krummachse. 



§. 231. 

Die einfache Krummachse oder Wellenkröpfimg. 



Man unterscheidet einfache und mehrfache Wellenkröpfun- 
gen. Eine einfache Kurbel- oder Krummachse zeigt Fig. 534. 

Fig. 534. 




Die Construction solcher Krummachsen ist für rein analytische 
Behandlung, wenn man nur einigermaassen genau verfahren will, 
sehr weitläufig, und namentlicli im Verhältniss zu dem Ilechnungs. 
resultat zu umständlich, während die graphostatische Behandlung 
der Aufgabe sowohl sehr genau, als auch einfach und übersichtlich 
ist, weshalb wir diese letztere Behandlung allein liier vornehmen. 
In Fig. 535 zeigt ÄBCDEFGII dsis Schema einer mit schiefen 
Armen zu construirenden einfachen Krummachse. 

Die Kraft P, mit welcher der Kurbelzapfen gepresst wird, ist, 
wenn der Kolbendruck in der Richtung KM die Grösse Q hat, 

gleich ^ , wenn a den Winkel der Pleuelstangenrichtung KL 

mit der Schubrichtung KM bezeichnet. Dieser Druck ist bei con- 
stanter Kraft Q ungefähr in seinem Maximum, wenn KL normal 
zu LM steht, wobei er übrigens sehr wenig verschieden ist von 

seinem Werthe — ^— für die Vertikalstellung MLi der Kurbel, so 

COStti ^ 

dass man die letztere Stellung zur (graphischen) Aufsuchung von 



Die Krummaclise. • ' 491 

P ohne weiteres benutzen darf. Die Kraft bei M ist parallel und 
gleicb P; bei K entstellt noch ein Normaldruck N = Qtgtt, wel- 
cher in der Stellung KiL,M in seinem Maximum ist. Aus diesen 
Betrachtungen, welche auch für die früher behandelten Kurbeln ' 
gelten, geht hervor, dass das Moment, mit welchem der Kurbelarm, 
und dasjenige, mit welchem die Achse gebogen wird, als gleich- 
zeitig ihr Maximum erreichend, und als durch denselben Druck P 
Fig. 535. 



r?»^'" 




hervorgebracht, anzusehen ist. In unserer Aufgabe ist bei E der 
Kurbelzapfen, bei B und i/je ein Lager angenommen, bei A ein 
Kräftepaar vorausgesetzt, welches der durch die Kraft P mit dem 
Hebelarme li hervorgebrachten Torsion widersteht. Die hier vor- 
liegende Aufgabe hat hiemach mit der des vorigen Paragraphen 
grosse Aehnlichkeit ; das Stück HG tritt gewissermaassen an die 
Stelle des dortigen Schenkels des Gegenzapfens, mit dem Unter- 
schiede, dass die Kraft hei H nicht unabhängig variabel ist, boq- 
dem von dem Drucke P bei E abhängt 



492 



Die Krummachse. 



Kräftepolygon. Um die Scblusslmie des Seilpolygones hori- 
zontal zu erhalten, zielie man das Seil B^ nach einem beliebigen 
Punkte c' der verlängerten Normale Ee, verbindo e" mit H, trage 
nach gewähltem Kräftemaaastab die Kraft P von aus abwärts 
auf, ziehe || W, 1 || Se', und 02 normal auf P, so ist die 
Strecke 1 bis 2 die in B nach oben wirkende Kraft P,, 2 bis die 
in if nach oben wirkende Kraft Pj, 02 die Poldistanz. 
Fig. 536. 



fo^g"' 




Q K, K 



Achsenschenkel HQ. Derselbe wird nur auf Biegung be- 
ansprucht durch die Kraft P, in H. Das Dreieck HGg ist die 
Momentenfläche, deren Ordinalen nach Berechnung des Stimzapfens 
bei // und Pj zur Dimensionenbestimmung dienen. 

Achsenschenkel B C. Momentenfläche für die Biegung ist 
das Dreieck B Cc. Ausser der Biegung wirkt auf Verdrehung das 
Moment FR; um es zu ünden, mache (7 1 normal zu P und = 02, 
ferner ü^et || 02 und = Ee = R, so ist OE^ das gesuchte Mo- 
ment, welches nach Cc* und Aa' getragen, und mit BCc in der 



Die Krummachse. 493 

bekannten Weise zu einem Drehbiegemoment zusammengesetzt, die 
Momentenfläche ABCd'V'a!' liefert. 

Zapfen DEF, Momentenfläche für die Biegung ist die Figur 
dffe'd!. Auf Verdrehung wirkt die Kraft P« in //'mit dem Hebel- 
arme Ee = JB. Mache Hg = Ee = R^ so ist die Ordinate gg^ 
das gesuchte Moment, welches, nach/'"d'" getragen, und mit dem 
vorhandenen Biegemoment zu einem Drehbiegemoment vereinigt, 
die Momentenfläche rf//"e"d" ergibt. Die grösste Ordinate eef' 
wird zu benutzen sein, wenn der Zapfen cylindrisch gemacht wer- 
den soll. 

Kurbelarm GF. Er ist auf Biegung beansprucht durch die 
Kraft P3, in IIq angreifend, wofern HHo normal zu. FG\ es ergibt 
sich die Momentenfläche FGgafa^ indem ^ goHoG = z. ^Hg 
gemacht wird. Ferner bewirkt P3 eine Verdrehung mit dem Hebel- 
arme //Äo; mache Ilh = HU,, so ist hV = Gh" = Fh'" das 
verdrehende Moment, welches mit dem bekannten Biegemoment 
zu einem Drehbiegemomeut zusammengesetzt, die Momentenfläche 
FGg^g"' liefert. 

Kurbelarm CD. Ziehe EDo \\ HU normal zu CD, Es 
findet (bei der Position KLM der Pleuelstange zur Kurbel) Vor- 
wärtsbiegung durch die Kraft P, in Do angreifend, Rückwärts- 
biegung durch die Kraft P3, in Z/ angreifend, statt; Seilpolygone 
hierfür sind die Dreiecke D^Ci (mit Ci ■= OH^^ im Kräftepolygon, 
woselbst J/a Äo = CDü) und nCi'\ von einander abgezogen, er- 
geben sie die Fläche Ci'^i"* für die Biegung des Armes DC. Fer- 
ner geschieht eine Vorwärtsverdrehung durch die Kraft P mit dem 
Arme ED^ = Äfco im Kräftepolygon, also Moment OA:, Rückwärts- 
verdrehung durch die Kraft P3 mit dem Hebelarme HD^ = Hl 
im Seilpolygon, also Moment IV. Die Differenz dieser Momente 
nach Ddo = Ccq auftragend, und das Torsionsrechteck mit dem 
Biegungsdreieck zusammensetzend, erhält man für die Drehbiege- 
momente die Fläche CDU', womit nun für alle fünf Stücke des 
Schemas die Momentenflächen bestimmt sind. Ihre Benutzung zur 
Dimensionenbestimmung geschieht wie früher. 

Die Figur zeigt mit Deutlichkeit die Beanspruchungen, welche 
die Krummachse an jedem einzelnen Punkte erfahrt, und erklärt 
für viele Fälle praktischer Beobachtung die eigenthümliche Lage 
der etwaigen Bruchstellen. 

Stehen beide Achsen der Krummachse rechtwinklig zur 
Achse, so wird die Aufsuchung der Momente weit einfacher als 



494 



üio Krummachse. 



oben. Fig. 537. ABCDEFGH ist wieder das Schema, bei A 
wieder ein Kräftepaar zur Aufnalime des Drebmomentes 'PJt an- 
genommen. 

Fig. 537. 




Kräftopolygon. Hier ist die Höhe ee* des wie torhin ge- 
zogenen Dreieckes S^H als Maass der Kraft P angenommen. 
Bb" = ce* gemacht, b" || i^H, Ob normal Bb" gezogen, worauf 
b"b die Kraft JP^ bei H, IB die bei B, und Ob die Poldistanz dar- 
stellt. 

Achsenschenkel JIG. Derselbe ist nur auf Biegung be- 
ansprucht. IlGg Momenten fläche, 

Acbsenschenkel ABC. Beanspruchung auf Biegung nach 
der Momentenfläche BCc, solche auf Verdrebung durch das Mo- 
mentPA Mache ^0'\\CB und gleich der Poldistanz bO, e"'p|I«'0' 
und gleich Ee = Jf, so ist ee"' das gesuchte verdrehende Moment, 
welches für ^ C das Torsionsrechteck von der Höhe Aa' ■= Bb'" 
= ce"' liefert. Die Zusammensetzung der biegenden und ver- 
drehenden Momente zu Drehbiegemomenten ergibt die Momenten- 
fläcbe ABC<i"b'a. 

Zapfen BEF. Beanspruchung auf Biegung nach der Mo- 
mentenfläche CGgc, auf Drehung durch die Krall P, bei H, mit 
dem Arme K = CD = Hf, Moment// = Gf ~ Cf". Durch 
Bildung der Drehbiegemomente erhält man die Momentenflache 
CGy'e"(/, welcher bei cylindrischen Zapfen das Rechteck von der 
Höhe Gg" = Cef' = ce" zu substituiren ist. 



Die Krummachse. 495 

Kurbelarm FG, Derselbe wird gebogen durch die Kraft 
Pa, bei G angreifend, Momentenfiäche GF/o, mit dem Spitzen- 
winkel ////"' bei Cr; er wird verdreht durch dieselbe Kraft mit dem 
Hebelarme //G, also dem Momente Gg = Gh =^ Fi. Die Zu- 
sammensetzung der biegenden und verdrehenden Momente zu 
Drehbiegemomenten führt zu der Momentenfiäche FGh*i\ 

Kurbelarm CD, Biegung durch P mit dem schon bekann- 
ten Momente ec"* •= Ck bei C. Verdrehung mit dem Momente 
Cc = Cl = DV, Für die Drehbiegemomente liefert die Zu- 
sammensetzung der drehenden und biegenden Momente die Fläche 
CDdk\ 

Bei derselben Lage von E gegen B und H wird bei der recht- 
winkligen Kröpfung die Beanspruchung der Anne auf Torsion 
stärker als bei den schiefstehenden Armen, wodurch, wie der mes- 
sende Vergleich der Diagramme nachweist, grössere Dimensionen 
für die Arme erforderlich werden. Die Torsion der Arme nähert 
sich um so mehr der Null, je näher man die Punkte C und G den 
Zapfen B und H bringt, was also in Hinsicht auf Material- 
ersparniss empfehlenswerth ist. Letztere wird bei Anwendung 
der schiefen Arme auch dadurch begünstigt, dass die Gesammt- 
länge FGH oder DCB bei der schiefarmigen Kröpfung kleiner 
wird, als bei der rechtarmigen. 

Manchmal muss eine einfache Krummachse so gebaut werden, 
dass bald am einen, bald am anderen Ende die Torsion ausgeleitet 
werden darl*. Dann construire man die Momentendiagramme liir 
beide Fälle, lege dieselben auf einander und behalte für jeden 
Punkt die grösseren der beiden Werthe bei. Gleichheit des Kräfte- 
maasstabes und Polabstandes im Kräftepolygon ist hierbei selbst- 
verständlich. Beispiele für solche Fälle liefern die Mittelstücke 
der Kurbelachsen iur RäderschiflFmaschinen mit oscillirenden Dampf- 
cylindern nach Penn's Anordnung, wo die Kurbel des Mittel- 
stückes die Luftpumpe zu treiben hat. Doch ist dabei die Bean- 
spruchung eine andere, als oben vorausgesetzt ist, und zwar kann 
dieselbe mit Hilfe des folgenden gefunden werden. 

Ist, Fig. 538 (a. f. S.), durch die Krummachse von dem Schema 
ABCDEFG II, abgesehen von den bei E angreifenden Kräften, 
ein Kräftepaar hindurchzuleiten, welches, am Kräfte- und Seil- 
polygon gemessen, die Momentengrösse Bh = Cc = Gg = Hh 
besitzt, so entstehen dadurch folgende Beanspruchungen. 



496 



Die Krummacbse. 



Schenkel ABC. BIossp Torsion, welche, in ein Biegemoment 
Ter»andelt (s. IV, §. 16 , bei JU, = 0), nä\ BV = Ct! = "• »Bb 
aufzutragen ist 

Fig. 53& 




Schenkel GH. liier gilt dasselbe, wie bei ABC, and wird 
Hh! =GiJ = C<f. 

Zapfen DER Auch hier bewirkt das Kräftepaar dasselbe 
Drehmoment Dil ^ F/^= Bb, wie in den beiden Achsenscheukeln, 
und ist D(l„ = F/, = Bb'. 

Kurbelarm CD. Hier bewirkt das Kräftepaar an jeder 
Stelle des Armes eine Biegung von der Mementengrösse Cef' ^ 
7) (f = Cc, wobei die Biegungsebene normal zur Bildfläche fällt 
Es entsteht daher als Momcntenfläcbe ein Rechteck von der Hohe 
Bb = Cc. 

Kurbelarm FG. Hier bewirkt das Paar eine Drehung und 
eine Biegung. Man zerlege das Paar nämlicb, wie bei G ange- 
geben, in zwei Paare, eines normal zur Annachse, das andere in 
die Richtung der Armacbse fallend. Ersterem entspricht das Tor- 
sionsrechteck GFf"tf\ letzterem das ßiegungsrechteck FGii", 
welches mit dem Drehungsrechteck zu der Momenten fläche für 
Drehbiegung TGtf'f" zusammengesetzt wird, indem man wieder 
j)5 = *'3 Gv, jJf ^= Vg Gi/\pt ^ G»/' ^= 1s-\-qr macht. 

Hierbei sind wir so verfahren, als ob eine Kraft in E nicht 
wirke. Wenn aber eine solche vorhanden ist, suche man zuerst 
alle Biegungs- und Drehungsmomente, die an Fig. 538 gesuchten 
mit eingeschlossen, einzeln auf, addire oder aubtrahire je nach 
ihrer Richtung die Drehmomente für jedes Achsenstück, füge ebenso 



Mehrfaclie Krummachsen. 497 

für jedes derselben die biegenden Momente zusammen, unter 
Beachtung aber der Lage der Biegungsebenen (s. §. 44) , und ver- 
einige endlich die so gefundenen Drehungs- und Biegungsmomente 
zu Drehbiegemomenten in der schon so oft erwähnten Weise, 
welche der Satz IV, §.16 vorschreibt. — Die damit verbundene 
Mühe für den Entwerfenden auf dem Zeichenbureau einer Fabrik 
ist klein gegenüber ihrem Nutzen und gegenüber der Wichtigkeit, 
so schwierige Schmiedestücke, wie die Krummachsen sind, in Bezug 
auf ihre Beanspruchung vorher genau beurtheilen zu können. 



§. 232. 

Mehrfache Kurbelachsen. Lokomotivachsen« 

Unter den mehrfach gekröpften oder überhaupt mit Kurbeln 
versehenen Achsen aus Schmiedeisen oder Stahl nehmen die 
Kurbelachsen der Lokomotiven eine besonders wichtige Stelle ein. 
Ihre Beanspruchung ist so sehr zusammengesetzt, dass die ana- 
lytische Behandlung derselben für den praktischen Techniker 
geradezu unbrauchbar, weil im Verhältniss zum Resultat zu schwer- 
fällig ist. Die nachfolgende graphostatische Behandlung der Aufr 
gäbe wird denjenigen, welcher sich an den vorstehenden einfacheren 
Constructionen geübt hat, mit Sicherheit und Klarheit zum Ziele 
führen. Als Beispiel ist hier die Achse einer Lokomotive mit innen- 
liegenden Cy lindern gewählt und in Fig. 539 (a. f. S.) im Grund- 
riss dargestellt. 

Beim Entwürfe des Momentenplanes geht die Grösse der Trieb- 
räder mit ein, weshalb diese in die Figur mit aufgenommen sind. 
Ci , Ca sind die Cylindermittel , bei Ai und A^ die Zapfenlager, 
BiDi und JB2D2 die Ränder der Radnaben; die bei d und C2 
liegenden Kurbeln sind rechtwinklig zu einander gestellt. Es fin- 
den nun bei der Stellung, welche die Achse in Fig. 539 einnimmt, 
drei Belastungen der Achse statt: 1. diejenige durch die Pressungen 
in der Vertikalebene, welche das Lokomotivgewicht und die seit- 
liche Wirkung der Schienen auf die Radflantschen hervorrufen; 
2. diejenige durch horizontal wirkende Pressungen seitens des 
Kolbendruckes auf die Kurbel C2 und auf die Räder durch den 
Schienenwiderstand (Adhäsion); 3. diejenige durch die schräge ge- 
richtete Pressung der Pleuelstange auf die Kurbel C|. Andere 

Benleaux, dor Constructenr. 32 



493 



Lokomotiv-Kruinmachse. 



nebensäcliliclie Pressungen, wie die der Steuerungsexcenterstangen 
u. 8. w,, vernachlüssigen wir, und betrachten zuvörderst die drei 
Beanspruchungen gesondert 

Fig. 539. 



I 



"^"if": 



Kräfte und Momente in der Vertikalebene. Fig. 540, 
Auf der Höhe des Schwerpunktes der Lokomotive greift in So der 
auf die Kurbelachse kommende Antheil Q des Gewichtes der Lo- 
komotive an. Durcli das Schlingern und die Centrifugatkraft beim 
Curvenbefalireii tritt hierzu eine Ilorizontnlkraft H, welclie bis auf 
0,4 Q gehend veranschlugt werden kann. Die Resuttirendc R der 
Kräfte Q und Jl bildet also die Belastung der Achse. Wir zer- 
legen dieselbe in die Pressungen P, und P.j auf die Zapfen bei 
Ai und At, und in die Pressungen ^| und Qj auf die Schienen- 
köjjfe El und /,j, welche mit ihrem (iegendrucke die Achse be- 
lasten. Die Kräfte Qi und Q^ werden darauf wieder nach den 
Nabenriinilcrn BiDi und B-iß^ in je zwei Heiastungen zerlegt. 
^Hierdurch erhalten wir, von den gefundenen Kräften nur die nor- 



Lolcomotiv-Knimmachse. 



499 



mal zur Achse gerichteten Componenten betrachtend, sechs Vertikal- 
pressungen auf dieAchse, nUmlich 1, 2, 3 und 4 in ßi, Ai, At und 
D-i nach unten wirkend, und 5 und 6 in B^ und Bi nach oben 

Fig. wa , 




wirkend/ welche die Achse auf Biegung beanspruchen. Aus 
diesen Kräften ist unter Annahme einer beliebig, aber nun fiir die 
folgenden Untersuchungen ebenfalls beizubehaltenden Poldistanz 
TOn Faus das Kniftepolygon F . 4 . gebildet, und daraus in 
der bekannten Weise das Seilpolygon oder die Momentenfläche 
diOia^dibthi gebildet, welche für jeden Punkt der Achse das in der 
Vertikalebene, also hier der lÜldcbene biegende Moment in 
ihrer Ordinate liefert ; die ganze Fläche ist mit V bezeichnet 

Kräfte und Momente in der Horizontalebene, Fig. 541 
(a. f. S.). Die Kurhelzapfenpressnng P wird, wie im vorigen Para- 
graphen besprochen, bei derStellung LM der Kurbel etwas grosser 
als der Kolbendruck Poi ihr Moment auf Drehung der Achse aber 



Pfl 



Hcosa, (1. i. = Pȟ, so dass unter der Annahme, dass das 



500 LokomotiT-Krummacbse. 

Rad zur Linken auf der Schiene gleite , das andere mit einer dem 

Moment P(,R entsprechenden Kraft an der Schiene (am Schienen- 

stoss) hafte, der GleitungBwiderstand 3 in £, = — Pj ist. Diese 

Kraft 3 in E, angebracht, und ausserdem die durch den Druck 
4 = Pfl hervorgerufenen Widerstände 1 und 2 an den Zapfen 
aufgesucht und aufgetragen, kann das Kräftepolygon Äi2 0, und 
daraus das (hell schraffirte) Seilpolygon H für die Horizontal- 
momente construirt werden. (Die Kräfte 1 und 2 werden gefunden, 
indem man zunächst die Lage der Mittelkraft der gleichgerichteten 
Kräfte 3 und 4 sucht, wie die Figur zeigt , dann die Summe 3 -f 4 
aufträgt, und sie durch Zerlegung nach ^i und A3 in ihre Sum- 
manden 1 und 2 theilt) 

Fig. HI. 




Kräfte und Momente in der schiefen Ebene der Pleuel- 
stange. In Ci greift die Kraft Q = 5 unter der durch zl MEL 
= « angegebenen Neigung gegen die Horizontale an. Wir zer- 
legen sie, wie in der Figur zu sehen, in zwei ihr entgegenwirkende 
Kräfte 6 und 7 in Ai und^j, bilden mit der bisherigen Poldistanz 
das Kräftepolygon, und daraus das (dunkler schraffirte) Seilpolygon 



LokomotiT-KrummacbBe. 501 

S, welches nun als Momentenfläche für die Biegungen in der 
Bchiefen Ebene der Pleuelstange dient. 

Vereinigung der drei gefundenen Seilpolygone für 
Biegung der Achse. Fig. 542. Da die drei oben gefundenen 
Fig. 642. 




Beanspruchungen auf Biegung gleichzeitig die Achse angreifen, 
müssen wir dieselben vereinigen. Hierbei kann mit den die Mo- 
mente vorstellenden Ordinalen gemäss §. 44 gerade so ver- 
fahren werden, wie mit Kräften, die zu vereinigen sind. Wir bilden 
daher, unter sorgfältiger Beachtung der Richtungen für eine enge 
Aufeinanderfolge von Punkten der Achse die zugehörigen Ordi- 
natenpolygone, deren Schlusslinien das resultirende Moment 
nach Richtung und Grösse angehen. Eines dieser Ordinatenpoly- 
gone ist in Fig. 540 oben links angegeben; es geliört zur Stelle. Ci. 
Die Vertikal Ordinate V ist vertikal nach oben, die Horizontalordi- 
nate H daran anschliessend nach links , die schiefe Ordinate S, 
wieder anschliessend ebenfalls nach links getragen, worauf die Re- 
sultirende T, deren Ordiuatenzug entgegengerichtet, in der Ver- 
bindungslinie des Anfanges von V mit dem Ende von S gefunden 
ist Man erhält, so bei der ganzen Achse verfahrend, dieMomenten- 
ääche DiDibiaiCiCiOibj, welche die Biegungsbeansprucbungen 
der Achse (abgesehen von denen der Kurbclarme) angibt 

Die Drehungsmomente, für die Achse. Bei derjenigen 
Stellung der Kurbeln, welche wir zu Grunde gelegt haben, kommt 



.502 Lokomotiv- Krumm ach se. 

nur von der Kurbel zur Linken ein Drehmoment, und zwsir von der 
Grösse PR in die Achse, v,'elcbes his nach D^ biu geleitet wird. 
Fig. 543. 




Stehen indessen beide Kurbeln um 45" geg^n den Horizont geneigt, 
so kann in den Endschenkeln Ci -ßi und d D3 das Moment etwa 
V^PS,-^^^ 1,4P.B werden. Es ist deshalb, obgleich bei einer 
solchen Kurbelstellung die Bicgemomente etwas anders ausfallen, 
als das letzte Diagramm angibt, dieses Moment in der Grösse 
D|(/i' ^ Dtl/ aufgetragen, während im Sdiafte Ci Cj das Moment 
Cic,' = Ci(^ = PR aufgetragen ist, beide in dem durch den 
Kräftemaasstab und die Poldistanz der früheren Polygone bestimm* 
ten Maasse. 

Zusammensetzung der biegenden und drehenden Mo- 
mente. Die drehenden und biegenden Momente werden nun 
nach Formel §. 45 zu Drehhiegemomentcn zusammengesetzt, und 

daraus die Momentenfläche DjD,di"bi" d^" erhalten, mitHilfe 

deren nun die beiden Achsen Schenkel Ci D, und C, R, , sowie der 
Schaft d d construirt werden können , nachdem man für irgend 
eines der vorkommenden Jlomente, z.B. fiir dieOnlinate Bib" den 
Durchmesser der Achse gesucht hat. Diejenige Hälfte des Dia- 
gramms, welche die grösseren Ordinaten besitzt, wird fiir beide 
Aclisenhälften benutzt, 

Kurbelzapfen bei Ci- Die. beiden Kurl>eln sind in den 
Figuren &44 und 546 gesondert aufgetragen, um die daran wirken- 



LokomotiT-Kmmmaclise. 503 

den Klomeute bequemer darstellen zu können. Auf den Zapfen 
FG bei C| wirken zunächst die BieguDgen, welche die aus Fig. !>4it 
Fig. B44. 




Übertragene Momenteiifläcbe IGc^ angibt; ausserdem aber suchen 
sämmtliche KiäJte zur Linken, bei E angreifend, den Zapfen zu 
verdrehen. Wir suchen dalior die Resultante dieser genannten 
Kräfte. Vertikal wirken die Kräfte 1 , 2 und 6 aus Fig. 540; ihre 
algcbraisclie Summe ist die nach oben gerichtete Vertikalkraft I. 
Horizontal, rückwärts gerichtet, wirkt die Kraft 1 aus Fig. 541, als 
Nr. II in unsere Figur eingetragen. Schräge nach unten rückwärts 
presst die Kraft 6 aus Fig. 541, als Nro. III hier eingetragen ; die 
(nicht eingetragene) Schlusslinie vonC7, ausbisansEndevonlll gibt 
die Mittelkraft, ilire Horizontalcomponente IV bewirkt Verdrehung 
des Zapfens FG mit dem Hebelarme EF = Jl. Wir machen nun, 
oben links, aO= der Poldistanz, tragen IV von aus nach unten, 
ziehen alVe, machen (i/= ß, so ist der Abschnitt /e des Perpen- 
dikels aus / das drehende Moment Ff. Das Torsionsrecliteck 
mit der Biegungsfläche FGc\ yereinigt liefert die Momentenfläche 
FGc,\ 

Kurhelarm EF. Für die Stelle E ist links das Ordinaten- 
polygon V, H( Si Tt verzeichnet. Die Horizontalcomponente &i des 
resultirenden Momentes Ti verdreht den Arm EF, FD ^hi; 
die \'ertikalcomponente Vi ruft eine Biegung des Armes in der 
Bildebene hervor, Fb =: Vi; ausserdem biegt die Kraft IV, bei E 
angreifend, den Arm normal zur Bildebene, mit dem -Momente 
bbi := Fdi in F. Die Zusammensetzung der biegenden Momente 
liefert die Flache EFh'b", welche, mit dem Torsionsrechteck EFd 



504 Lokomotiv-Krummachse. 

zusammengesetzt, die resultirende (DreLbiegemomente angebende) 

Fläche EFb'" ergibt. 

Fig. 645. 




Kurbelarm GH. Das Ordiiiatenpolygon riifjS^Tj giltfiir 
die Stelle H. Die Horizontalcomponeute Äj ruft Verdreliung des 
Armes ff/f hervor, i/rfj = hj, die Vertikalcomponcnte i'j Biegung 
in der Bildebene, Gbi ^ Uj; ausserdem biegt die in GF angrei- 
fende Kraft P den Arm normal zur Bildebene mit dem Momente 
PB =fh des Seilpolygones links oben, wo Og = P, af = R 
ist. Wir machen also fta'Jg ^/h. Die Vereinigung der beiden 
biegenden Momente gibt die Fläche (iHbi'h}", und die Bildung der 
Drehbiegemomente die tläche Gllbj". 

Kurbelzapfen KL. Fig. 54C. DieserZapfen wird zunächst' 
von den biegenden Momenten, welche zwischen M und J fallen, be- 
ansprucht, weshalb die diese Beanspruchung ausdrückende Mo- 
mentenääche KLc-i aus Fig. 543 hierhergetragen ist Sämmtliche 
Kräfte, welche zur Rechten von Cj angreifen , suchen den Zapfen 
zu verdrehen. Vertikal nach unten wirkt die Resultante aus 3, 4 
und 5, Fig. 540, als V hier eingetragen, horizontal rückwärts die 
Resultante (Differenz) von 2 und 3, Fig. 541, als VI hier eingetragen, 
schief rückwärts die Kraft 7 aus Fig. 541, hier Nro. Vli. Von der 
Schlusslinje des erhaltenen Kräftepolygons V, VI, VII, wirkt die 
Vertikalcomponente , bei M angreifend, auf Verdrehung, indem 
nicht zu vergessen ist, dass die Kurbel JK horizontal liegt. Das 
Moment dieser Vertikalcomponente hat die Grösse kk. Auf Ver- 
drehung des Zapfens wirkt aber noch ferner das durch die Achse 
von links her eingeleitete Kräftepaar (vergl. das bei Fig. 538 be- 



Lokombtiv-Krummachse. 505 

sproclLene) mit dem schon aus Fig. 543 bekannten Momente, durch 
CiCi aus Fig. 543, hier Kk, wovon nun, da das vorhin gefundene 
Fig. 646. 



-e^^. 



h 


^ 




^^ ''". b» b" d K 


■ s 


■■■ ^.Wb'» 




w 


^.... 


m 




t. -■ l»— 




s 





Drehmoment kk' in entgegengesetzter Richtung wirkt, hTd abzu- 
ziehen ist, sich also schliesslich für den Zapfen KL das Dreh- 
moment Kl^ herausstellt, welches, mit dem Biegemomente vereinigt, 
die Momenteuääche KLc,' ergibt 

Kurbelarm JK. Auf Drehung beansprucht durch das Mo- 
ment Kd = der Vertikalcomponente n, des Ordinatenpolygones 
Vs H3 Sj Tj. Auf Biegung beansprucht in der Vertikalebene laut 
dem bei Fig. 538 besprochenen mit dem Momente Kb = Kk; fer- 
ner in derselben Weise und Richtung durch die Vertikalcomponente 
der Kräfte V, Vi und VII mit dem Momente bbi bei Ä" (siehe die 
Messung dieses Momentes in Fig. 545 links oben), auf Biegung in 
der Horizontalebene beansprucht durch die Horizontalcomponente 
kg des Ordinalen polygons, Moment bbf Die Zusammensetzung der 
biegenden Momente liefert die Momentenfläche JKbi'bj, und die Ver- 
einigung der darin angegebenen Biegemomente mit den Dreh- 
momenten Kd die Fläche der Drehbiegemomente JKbi". 

Kurbelarm LM. Drehendes Moment Ldt = der Vertikal- 
componente f4 des Ordinatenpolygons fiir die Stelle M. Biegendes 
Moment Lbx ■= Kk, desgleichen Ägi, bei L wegen der Vertikal- 
krafl in M, biegendes Moment 6j 6j = der Horizontalcomponente 
A4 des Ordinatenpolygones. Die Vereinigung der biegenden Mo- 
mente liefert die Fläche MLb», die Zusammensetzung dieser mit 
dem Drehmoment die resultirende Fläche MLbi". 

Von den vier Kurbelarmen erfahrt .7£'amZapfeD, QH u.a. der 
Achse die stärkste Beanspruchung. Man lege daher die Flächen 



506 LokomotiT-Krammaehse. 

JKhj" und GHbi" aufeinander, und benutze jeweilen die grösste 
Ordinate. Die resultirenden Dimensionen werden darauf nach ver- 
einfachenden Abrundungen für alle vier Arme benutzt — Wie man 
sieht, bereitet der Momentenplan für eine solche Achse einige Mühe, 
und erfordert namentlich grosse Aufmerksamkeit in der Behand- 
lung der einzelnen Fragen; das Resultat ist aber auch insofern 
äusserst lohnend . als man schliesslich die ganze Achse mit einer 
Spannung =t »^ des Tragmoduls, also 10^ bei Schmiedeisen, 15 
bis 16^ bei Gussstahl unliesorgt construiren kann, wie denn solche 
auch bei Untersuchung guter Ausführungen mittelst unseres Dia- 
grammes sich thatsächlich vorfinden. 

Was die Ausführung solcher Momentenpläne auf dem Zeichen- 
brett angeht, so ist zunächst ein nicht zu kleiner Maasstab empfehlens- 
werth; doch darf derselbe auch nicht sehr gross gewählt werden, 
damit das Ziehen von Parallelen nicht zu unbequem wird. Ein 
Maasstab, bei welchem eine solche Lokomotivachse 300 bis 400"" 
Länge auf dem Blatte einnimmt, ist ganz zweckmässig. Femer 
wähle man die Poldistanz in den Kräftepolygonen etwa in dem 
Verhältniss, welches in obigen Figuren benutzt wurde; eine kleinere 
Poldistanz macht die Diagramme höher, eine grössere niedriger; 
die obigen Verhältnisse liefern sehr übersichtliche Figuren. Die 
Ausführung kann in scharfen Bleistiftlinien bleiben, wenn man die 
Diagrammflächen mit blassen und mittelstarken Farbentönen an- 
legt. Werden diese in erdigen Tönen und nicht grell ausgeführt, 
so wird das Bild ausserordentlich deutlich. Das letzte resultirende 
Diagramm wird am besten mit einem kräftigen Tone, z. B. dunkel- 
roth, nur berändert (vergl. Fig. 543 bei rf/'J/' u. s. w.) und 
seine äusserste Grenze mit einem ziemlich starken Tuschstrich her- 
vorgehoben. Einige beigefiigte Bezeichnungen über die Bedeutung 
der Farben sind für spätere Wiederbenutzung der Zeichnung zweck- 
mässig. Die constructive Ausführung der Achse wird am besten 
auf demselben Blatte mit dem Kräfteplan unter Benutzung der 
vertikalen Mittellinien aufgetragen, so dass über jeden Quer- 
schnitt der Achse dessen Momentenordinate zu stehen kommt 
Nach einiger Uebung lernt man die unwesentlichen Beanspruchungen 
von den wesentlichen im voraus unterscheiden, muss sich indessen 
hüten, wie u. a. die obige Untersuchung der Kurbelarme beweist, 
voreilig Weglassungen einzelner Kräfte oder Momente zu be- 
schliessen, da man sich sonst folgenschweren Irrthümern hingeben 
kann. 




Excentriache Scheiben. 507 

Die Lokomotivachse mit aussenliegenden Kurbeln erheischt 
eine andere Behandlung als die oben behandelte, duch lassen sich 
ohne grosse Schwierigkeit die angegebenen Verfahrungsweisen 
entsprechend umformen, um auch für diese das Diagramm zu er- 
balten. 



§. 233. 

Die excentriBche Scheibe. 



Wird bei einer Kurlwl von der Armlänge R und der Wellen- 
dicke B die Zapfendicke d' soviel erweitert, dass sie > i) + 2 B 
Fig. 547. Fig. 543. Fig. 549. Fig. 550. 



.j 




■wird , 80 kann die Welle durch den Zapfen gesteckt werden und 
dieser heisst dann eine excentrische Scheibe. Die einfacheren 
Ckmstructionen derselben zeigen die folgenden Figuren. Am prak- 
tischsten für die gewöhnlichen Verhältnisse ist in Hinsicht auf 
das Einpassen des Gurtes die Form in Fig. 549, indem bei der- 
selben die beiden Zargen des Ringes eine Art von Oelbehälter bil- 
den, welcher die Scheibe vortrefflich in der Oelung erhält und so- 
mit vor Abnutzung schützt 



508 



Excentrische Scheiben. Handkurbeln. 



Die Scheibenbreite oder Zapfenlänge nehme man gleich 
der Länge l des (beigezeichneten) gleichwerthigen Stimzapfens, 
desjenigen also, welcher dem Zapfendruck entspricht; aus der An- 
laufhöhe e desselben leitet sich diejenige für die Scheibe ab aus: 

a= l,5c = 5 + ViooZ (224) 

auf welche Zahl die noch übrigen Abmessungen grösstentheils be- 
zogen sind. 

Bei Wellen mit Kurbelkröpfungen oder anderen vorspringen- 
den festen Theilen können die excentrischen Scheiben oft nicht 
aufgestreift werden, wenn sie wie oben angegeben construirt sind; 
man fertigt sie dann aus zwei Theilen , die man durch Schrauben 
verbindet (Näheres findet man in der „Constructionslehre für den 
Maschinenbau".) Soll ein Excentrik besonders wenig über die 
Welle vorspringen, so legt man seine ßefestigungsnabe neben die 
eigentliche Kurbelscheibe, wobei man ihr die nöthige Wanddicke 
3,5 a ungehindert geben kann. 



§. 234. 

Handkurbeln. 



Bei den Handkurbeln ist der Stirnzapfen als Handgriff geformt. 
Die folgenden Figuren zeigen zwei gebräuchliche Handkurbel- 
constructionen , Fig. 551 zweimännische , Fig. 552 einmännische 

Fig. 551. Fig. 552. 




^•60 i 



'•i>*|ab» 




■vi>*!^ov 



-60' 



WinkelhebeL 509 

Kurbel. Man nehme für die in Buchstaben beigeschriebenen Ab- 
messungen : 

für 2 Mann: für 1 Mann: 

R = 360 bis 450™"» 300 bis 400™"» 

V = 400 , 480™™ 300 „ 330™™ 

D = 40 „ 45™™ 30 „ 35™™. 

Handkurbeln, die an entgegengesetzten Enden einer Welle 
stehen sollen, werden am besten unter einem Winkel von 120<^ 
gegeneinander versetzt. 



XV. ZUSAMMENGESEZTE HEBEL. 

§. 235. 

Verschiedene Arten zusammengesetzter Hebel. 

Aohsendruck. 



Zwei einfache Hebel mit gemeinschaftlicher Nabe bilden einen 
zusammengesetzten Hebel. Derselbe heisst (namentlich bei 
grossen Abmessungen) ein Balancier, wenn die beiden Hebelarme 
zwei Rechte einschliessen ; er heisst ein Winkelhebel undbeigros- 



Fig. 553. 



P,-OB 




sen Abmessungen Kunstkreuz, 
wenn ein anderer Winkel von den 
Armen eingeschlossen wird, und 
eine Schwinge oder ein Lenker, 
wenn die beiden Hebelarme zusam- 
menfallen und gleich lang sind. 

Der Achsendruck Q eines 
Winkelhebels Ä OB, Fig. 553, be- 
stimmt sich aus der Formel: 

^=VP«+P|— 2P, P, cosa (225) 

wenn bei A die Kraft Pi , bei B 
die Kraft Qi rechtwinklig zum 



Exct^triscLe ichcSben, H^odkcHKln. 



Dk Scheibenbreite od«E:r Zapfenlänge üefame man gleich 
der Länge I de« fbeigezektmeten» glekfawenikigen StzmzaLpfens, 
desjenigen alsc». velciier dem Zapfendmck entspndit : aas der An- 
laofhohe e desselben lehet sich diejenige for die Scheibe ab ans : 

a = L-jf = 5-^* ;„7 •22-l> 

auf welche Zähl die t.'X:L übrigen Abmessongeii gn:«stenlheils be- 
zogen -ind- 

ßei Wellen mit Korbelkröpfongen oder anderen Torspringen- 
den festen Heilen können die excentrischen Scheiben oft nicht 
aufgestreift werden, wenn sie wie oben angegeben constmirt sind: 
man fertig sie dann ans zwei Theilen . die man durch Schrauben 
Terbindet. (Näheres ändet man in der .Constractionslehre für den 
Maschinenbaa*.) Soll ein Elxcentrik besonders wenig ober die 
Welle Torspringen, so legt man seine Befestigun^nabe neben die 
eigentliche Eorbelscheibe. wobei man ihr die nöthige Wanddicke 
3,5 a angehindert geben kann. 






Handkurbelii. 



Bei den Handkurbeln istderStimzapfen als Handgriff geformt. 
Die folgenden Figuren zeigen zwei gebräuchliche Handkurbel- 
con.rtructionen , Fig. 551 zweimannische , Fig. 552 einmännische 

Fig. 551. Fig. 552. 




•Dfii* 



^«!-ao« 



Winkelhebel. 509 

Kurbel. Man nehme für die in Buchstaben beigeschriebenen Ab- 
messungen : 

für 2 Mann: für 1 Mann: 

R = 360 bis 450«^ 300 bis 400"™ 

V = 400 , 480»^ 300 „ 330°^ 
D = 40 „ 45"™ 30 „ 35»™. 

Handkurbeln, die an entgegengesetzten Enden einer Welle 
stehen sollen, werden am besten unter einem Winkel von 120<^ 
gegeneinander versetzt. 



XV. ZUSAMMENGESEZTE HEBEL. 

§. 235. 

Verschiedene Arten zusammengesetzter Hebel. 

Aohsendruck. 



Zwei einfache Hebel mit gemeinschaftlicher Nabe bilden einen 
zusammengesetzten Hebel. Derselbe heisst (namentlich bei 
grossen Abmessungen) ein Balancier, wenn die beiden Hebelarme 
zwei Rechte einschliessen; er heisst ein Winkelhebel undbeigros- 



Fig. 563. 



R-OB 




sen Abmessungen Kunstkreuz, 
wenn ein anderer Winkel von den 
Armen eingeschlossen wird, und 
eine Schwinge oder ein Lenker, 
wenn die beiden Hebelarme zusam- 
menfallen und gleich lang sind. 

Der Achsendruck Q eines 
Winkelhebels Ä OB, Fig. 553, be- 
stimmt sich aus der Formel: 

^=VP »+ P|— 2P, P, cos a (225) 

wenn bei A die Kraft jPi , bei B 
die Kraft Qi rechtwinklig zum 



jIO Euliinr-ierk"pfe. 

Ann aD:rT«ifl. nml der Annwinkel ^ a Ux. Man kann aber gra- 
phisch Fl darch Ott nnd 1'. durch OA darsteUen. Dod hat dann 
^ = der dritten ^eite AB de» Dreiei-kes AOB. Sind die Eräfte 
/', nnd P. nicht rechtwinkUz za den Annen OA und OB gerich- 
tet. &o werden dieselben durch Nonnaleo ans aof die Kraft- 
richturiL'^n vertreten. 



Balancierköpfe. 



Die wichtigste Stelle unter den zusammengesetzten Hebeln 
iiininit namentlich wegen seiner wichtigen Verwendung bei den 
Dampfmaschinen der Balancier ein. Derselbe wird gewöhnlich 
aus Ou^ieisen conntruirt und seine Endzapfen dann häufig nach 
der in Fig. 516 aniregebeiien Weise ausgefilhrL wovon weiter unten, 
$. 2y>'^. ein Iteispiel: andere hier benutzte Endzapfenverbindtingen 
zeigen folgende Figuren. 

Fig. 'i'ti. Verzierter und abgedrehter Doppelzapfenkopf 
mit fest eingekeiltem Zapfen. Fig. '>5J, Balancierkopl mit dreh- 
Itarem Zapfeiikrenz aus ScLmiedeisen. auf einen al^edreh- 




Balancierköpfe. 611 

ten Kopfzapfen fest aufgepasst und durch den vorgesteckten Ring 
gehalten. Das Kreuz muss sehr fest eingepasst werden, damit das 
fortwährende Hin- und Herbewegen die Verbindung nicht lockert; 
die Construktion ist als eine kostspielige zu bezeichnen. 

P'ig. 55C. tiabelzapfen; derselbe ist auf den Anlaufvor- 
sprungen ganz schwach konisch gedreht and eingescbUflfen , nnd 
lig 05fl Fig 557. 




wird durch die Kopfschraube mit eingelassener Unterlegscheibe 
festgehalten (vergl, bei den Querhäuptern Kap. XVU). Der Kopf 
an der anderen Seite erhält einen vorspringenden Zahn zur Ver- 
hinderung der Drehung. Leicht kann man dem Zapfen zur Er- 
höhung der Beweglichkeit auch Kugclform geben. 

Fig, 557, Kugelförmiger Kopfzapfen, in das Balancierende 
mit seinem Stiel eingeschlift'en und festgekeilt; er gibt der Fleuel- 
stange eine grosse Beweglichkeit und eine einfache Form, ähnlich 
wie Fig. 556, wenn dort ein Kugclzapfen angewandt wird. 

Die Berechnung der Zapfendicken geschieht wie es in §, 2iy 
angegeben wurde. Man hat daher wohl darauf zu achten , ob der 
Balancier einfach- oder doppeltwirkend ist (vergl. §. 219). Im er- 
steren Falle ist von den Formeln (58), (60) und (218) Gebrauch 
zu machen, im letzteren können die zu geringeren Dicken fiiliren- 
den Formeln (217) zur Anwendung kommen. 

Bei ganz grossen Balanciers keilt man die Zapfen auch wohl 
nach der in Fig. 251 angedeuteten Methode mit fi oder 8 Keilen in 
die mit entsprechenden Keilbahnen versehenen Augen ; diese Befesti- 
gung wird Iiei sorgfältiger Herstellung sehr solide. 



Anz. jt^JT^^. 7ZT^-i d^T -imiiii^I = e is*!. Min t&na aber ewa.- 

^ = 'LrT -i^iK!; s*:ic JB drn DPrie.-k'ei J'j£- 5ii.j die Kiäfte 
i*; i:.-i P. niot: revLi»i::kliz Z3 (!■::; Ar^ea ÖJ viA OB g^ricb- 



Balanderköpfe. 

!»:■? witLtf^t* S:tll* s;::^r den nsiiE2;-rz.z«etzt«i Hebdn 
L-riT-t ta^E-i^iIi.jh. wr-^-ri. s*irer wicLt;2*n Vrr»erdu::a bei dm 
D»iL[,-::Lis:hi::r-:. drr Eäla:.o:rr ti;;. iVr&elt-e^ wird sewöhnUcli 
aa= iJTisseJjr:; CvL-nnin. zi.i s^b-e Er.JüNea da::a häobz nach 
drf it FIj.?l9 i- -r jr-'r:.-::! Wrii* iOs^riuLr:. w-r-r «eher onien. 
J. 3->~, eiü Ifei^jirl: ii.icr* Lier l-cT^aU"!* Et-izüj :eL.Terb(!idimgea 
ZrrizeiL fjl^I.d-: F:j^r^-. 

FLz. ''4- V-rrc^rrer ^iri iVz^ir^Lt^r I'-j prliipfenkopf 
mit irrit eizr-riTÜ^ü ZafirL. Fig. "j-T-. Bilitcieriivpi mii dreb- 
biT^E Zapi'-iLkr-^Tiz i:is ScLmiedeiser:, aaf eiz-en aWedreb- 




Balancierkopfe. 511 

ten Kopfzapfen fest aufgepasst und durch deu vorgesteckten Ring 
gehalten. Das Kreuz muss selir fest eingepasst werden, damit das 
fortwährende Hin- und Herbewegen die Verbindung nicht lockert; 
die Construktion ist als eine kostspielige zu bezeichnen. 

Fig. 55G. Gabelzapfen; derselbe ist auf den Anlaufvor- 
spriingen ganz scliwach konisch gedreht und eingeschliffen, und 
Fig. SOG. Kig Ü57. 




wird durch die Kopfscbraube mit eingelassener Unterlegscheibe 
festgehalten (vergl. bei den Querhäuptem Kap, XVII). Der Kopf 
an der anderen Seite erhält einen vorspringenden Zahn zur Ver- 
hinderung der Drehung. Leicht kann man dem Zapfen zur Er- 
höhung der Beweglichkeit auch Kugelform geben. 

P'ig, 557, Kugelförmiger Kopfzapfen, in das Balancierende 
mit seinem Stiel eingeschliffen und festgekeilt; er gibt der Pleuel- 
stange eine grosse Beweglichkeit und eine einfache Form, ähnlich 
wie Fig. 556, wenn dort ein Kugelzapfen angewandt wird. 

Die Berechnung der Zapfendicken geschieht wie es in §. 219 
angegeben wurde. Man hat daher wohl darauf zu achten , ob der 
Balancier einfach- oder doppeltwirkend ist (vergl. §. 21D). Im er- 
steren Falle ist von den Formeln (58), (60) und (218) Gebrauch 
?.u machen, im letzteren können die zu geringeren Dicken führen- 
den Formeln (217) zur Anwendung kommen. 

Bei ganz grossen Balancie"rs keilt man die Zapfen auch wohl 
nach der in Fig. 251 angedeuteten Methode mit 6 oder 8 Keilen in 
die mit entsprechendenKeilbahnen versehenen Augen; diese Befesti- 
gung wird bei sorgfältiger Herstellung sehr solide. 



512 Der Balancier. 



§. 237. 

Achse Tind Nabe des Balanciers. 



Die Balancierachse ist als einfache gleichschenklige Achse zu 
behandeln, siehe Kap. V. Sie wird gewöhnlich aus Schmiedeisen 
gemacht. Ist der Balancier gleicharmig und überträgt die an 
einem Ende eingeleitete Kraft ganz auf eine Kurbel, so nehme man 
die Zapfen seiner Achse = dem Stirnzapfen der Kurbel. Beim 
ungleicharmigen Balancier, der nur an den Enden Kraft aufnimmt 
und abgibt, verfahre man nach §.81, von den Doppelzapfen an 
den Enden ausgehend. Sind endlich die Kräfte noch anders ver- 
theilt, so benutze man das allgemeine Verfahren, indem man die 
algebraische Summe der auf den Balancier wirkenden Kräfte be- 
stimmt und deren Maximum als Achsendruck einführt Sehr be- 
quem ist hier das graphische Verfahren, bei welchem ganz so vor- 
gegangen wird, wie z. B. in den Aufgaben §. 39 ff. 

Die Länge der Balancierachse darf behufs Verhinderung von 
Querschwankungen nicht zu klein im Verhältniss zur Armlänge A 
sein; sie wird mit guten Ausführungen übereinstimmend, wenn man 

den Abstand der Zapfenmittel = G rf -|- tt^ nimmt. 

Die Nabe erhält die Länge 3,5 rf und die Wanddicke 0,7 J, 
siehe Fig. 558. — Soll die Balancierachse aus Gusseisen gemacht 
werden, so gebe man ihr die Länge der schniiedeisernen, und ver- 
fahre im übrigen nach Kap. V. Die Nabenabmessungen werden 
aber nach wie vor auf den ideellen schmiedeisernen Zapfen be- 
zogen; allgemein sind deren Abmessungen in §. 221 finden gelehrt 
worden. 



§. 238. 

Der Balanöierarm. 

Einen Balancierarm in gebräuchlicher Form zeigt Fig. 558. 
Nach festgestellter Endzapfen- und Achsenhülse wird die Höhe h 



Der Halancierarm. BIS 

des Armes an der Nabe angenommen, und darauf nach den §§.223 
und 224 verfahren. Den Zapfenmittelabstand 4,Grfs findet man bis 
zu 5,5 rfj gemacht, je nach<lem das gegenüberliegende Zapfenpaar 
ea erfordert. 

Fig. 55ö. 




Die Armhühc h nehme man: 



h = 4d-^~ (226) 

wobei ddie Zapfendicke der sclimiedeiserncn Italancieraclise, A die 
Armlänge bezeichnet. Ist der Balancier ungleicliarmig, so wird für 
Ä der mittlere Wcrth aus den beiden Armliingen genommen. 

I>ie Regrennungsciirvc des Armes wird nach einer der in §. 101 
angegebenen Methoden von dem Scheit<'l des ßalanciers bis zur 
Ansatzstellc des Zapfenkopfes gezogen. Die Versteiftingsrippc in 
der Mitte dc3 Armes erhält die Dicke c des Sauninerven; ihrePro- 
filirung zeigt Fig. 558. 

Eine andere Formgebung d('S Kalancierarms zeigt Fig. 559 
(n.f,S.). DerDalancier ist hier zwcischildig genommen. Hei der 
Berechnung eines solchen behandele man jeden der Schilde bei 



514 Her Balaiiciemmi. 

der Dinicnsioiieiibestinimung wie einen einzelnen Italanvier. Ist yde 
liier der Gabelziipfcn angewandt, su ist die ideelle Duppelzapfon- 
dicke <li fiir den einzelnen Schild ^^ dem Durclimesser 1/3 des 
Gabel ü.ipfeDS. 

Fiff. hm. 

t • 




Den Querschnitt zu Fig. 5fi!l zeigt Fig. 5fi0, den eines grossen 
zweischildigen üalancierB mit ganz getrennten tiichilden Fig. 561- 
Die Soliilde sind durch Stellbolzen gegen einander versteift; sie ge- 
Fiff. 560. Fig. Ml. 




statttMi, die l'unillelugramintlicile an den inneren Seiten der Schilde 
aufzuhiingen. Die Aclisen der letzteren sind ebenso wie die Hanpt- 
acbse solche mit zwei Trag punkten, siehe §. 02. 



Der Balaiicierarm. 



Sohmiedelsemer Balancier. 

Bei niclit sehr grossen Kräften unil Armlilngen passt fiir den 
schmiedeisernen Balancier aelir gut die zweiscliildif^c Construction 
in Fig. 5G2. Dio Amihöhe h des einzelnen Schildes nehme man, 
Fig. 5G2. 




indem man wiccier jeden Schild für sich licrcchnet, Ü,8mal so gross, 
als es Foniicl (22fi) angibt. Fiir sehr grosse Abmessungen wählt 
man statt der obigen Construction eine solche, bei welcher der 
Querschnitt' Fig. 523 oder der in Fig. 024 benutzt wird. 



514 Der ß:ilaiicicnimi. 

der DimensioiiGiibestiinmung wie einen einzelnen Balancier. Ist wie 

hier der Gabelznitfen angewandt, ao ist die ideelle Doppelzajjfeii- 

dickc tJi für den einzelnen Schild = dem Uurchmesser da des 

Galiclznpfens. 

Vig. SM. 

.1 




Den Querschnitt zu Fig. 559 zeigt Fig. 5G0, den eines grossen 
zweischildif^en Italanciers mit ganz getrennten Schilden Fig. 561. 
Die Schilde sind durch Stehbolzen gegen einander versteift; sie ge- 
Fig. öGO. KiR. &G1. 



MI 




stattini, die rarallelogrammtlieilc an den inneren Seiten der Schilde 
aufzuhängen. Die Achsen der letzteren sind ebenso wie die Haupt- 
achse Hük-he mit zwei Tragpunkten, siehe g. 112. 



Der Balancierami. 



Schnüedeisemer Balancier. 

Uei niclit sehr grossen Kräften un<l Armlilngen iiusst fiir den 
sclimiedeisemen Italancier sehr gut die zweiscliildige Construction 
in Fig. 562. Dio Armliöhe h des einzelnen Schildes nehme inan, 




indem man wieder jeden Schild für sich berechnet, CSinivl so gross, 
als es l-'onnel ('22ß) angibt. Für sehr grosse Abmessungen wählt 
man statt der obigen Construction eine solche, bei welcher der 
Querschnitt' Fig. üiS oder der in Fig. 524 benutzt wird. 



516 Pleuelköpfe für Stirnzapfen. 



XVI. PLEUELSTANGEN. 

§. 240. 

I 

Theile der Pleuelstangen. 

Die Pleuelstangen, auch Treib- oder Schubstangen, 
oder kurzweg Pleuel genannt, vermitteln die Einwirkung der 
Hebelzapfen auf die von denselben zu verschiebenden Theile, wel- 
che entweder selbst wieder Hebel sind (Balancier und Kurbel), 
oder andere meist geradlinig hin- und hergehende Theile (Kolben- 
stangen, Schlitten, Stempel u. s. w.). Letztere werden dann mit 
Zapfen für den Anschluss der Pleuelstange versehen. — An der 
Pleuelstange unterscheiden sich vermöge ihres Zweckes deutlich 
die Lager oder Köpfe, welche die zu verknüpfenden Zapfen um- 
schliessen, von dem die Köpfe verbindenden und tragenden Pleuel- 
körper oder -Schaft, weshalb wir diese Theile getrennt behan- 
deln. Es werden ferner die Abmessungen der Köpfe in einer Be- 
ziehung zu der Dicke des umschlossenen Zapfens stehen , aber in 
verschiedener Weise, je nachdem der Zapfen Stirnzapfen, Ga- 
bel- oder Halszapfen ist, da in jedem dieser Fälle die Zapfen- 
dicke einen andern Bezug zum Zapfendruck hat. Die Schubstan- 
gen- oder Pleuelköpfe für diese drei Zapfenarten müssen deshalb 
getrennt behandelt werden. 

§. 241. 

Fleuelköpfe für Stirnzapfen. 

Sehr gebräuchlich ist der in Fig. 508 dargestellte schmied- 
eiserne Pleuelkopf mit Bügel oder Kappe. Die Schalen werden 
durch den übergeschobenen Bügel zusammengehalten und vermit- 
telst des Treibkeiles nachgestellt, wenn sie sich abgenutzt haben. 
In der Dimensionengebung sind die Schale und die umgebenden 
Theile von einander zu trennen, wie bei den Lagern. Die Einheit, 



Pleuellcöpfe fiir Stiruzapfen. 517 

auf welche die Wandilickon, Randbreiteu und Voraprünge der 
Schale bezogen werden, ist wie dort: 

c = 3 4- Yiofl d (227) 

Fiff. 663. 




wobei wieder d den Zapfendurclunesser bezeichnet. Fig. 564 zeigt 
Fiir- 564. 





die Schale in zwei Hauptansictiten mit ihren Arbeitleisten und 
anderen Nebenformen. 

Die übrigen Abmessungen der Köpfe sind bezogen auf den 
Modul: _ 

dl = VP + 5 (228) 

Die Breite h kann zu 0,8 d,, oder, wenn die Länge des zu la- 



518 Sharp'scher Pleuelkopf. 

gemden Stimzapfcns gleich der Zapfendicke gemacht wird, zu 

d — '2e angenommen werden. 

Beispiel. Für P = 3600» kommt nach (äl7) d = l c= 60— , und 
nach (äia) der Modul d, = 60 -|- 5 = fiS-*-. Ferner e = 3 + J^ .•^v./ 
?•-. Wir nehmen b = l — 2e = e0~!4 = 46—, und erhalUn z. B. 
die Wandstärke des Bügels = 0,2 . HS ^-^ 13—, die im Seheitel = O^.GÜ 
^ — ' m-', die Keildicke = 0,23 . 63 .."^ li'~ u. s. w. 

Der Keil erhalt einen schwäclioren Anzug, wemi er wie hier 
frei zwischen den Treihflachen liegt, als wenn er durch Klemm- 
schrauben oder ähnliche Vomchtungen festgehalten wird. Im er- 
stercn Falle gebe man ihm an beiden Seiten zusammengenommen 
'/ij, im zweiten t'alle bis ^U Anzug. Die Lange des freistehenden 
Stückes muss so gross gewählt werden, als es die gewünschte Zu- 
Bommensclüebung der Schalen erfordert. Mehr und mehr fuhrt 
es sich jetzt ein, die Schalenfuge selbst nicht klaffen zu lassen, 
vielmehr bei nöthig werdender Nachstellung durch Abfeilen der 
Stossflächen dio Annäherung der Sclialenltalften zu ermöglichen 
(vergl. z. B. Fig. 5C7 und 568). 

Dur obige Pleuelkopf liat die Eigenthümlichkeit, dass bei ein- 
getretener Abnutzung und Nachstellung der Schalen das Zapfen- 

¥\g. 5(i6. 




IlQry'sclier I'leuelkopf. f»!!) 

mittel der Stange genähert wird. Daa Umgekelirte Rndet statt 
bei dem SIi.irp'Bcbeii Pleuclkopf, Fig. 565, wo der Keil mittelst 
einer Druckplatte die Uuterscliale nach oben treibt 

Hei dem Bury'schen Pleuelkopf, Fig. 566, kann man nach 
I-'ig. 506. 




Belieben das Zapfenmittel weiter ablegen oder der Stange nähern, 
je nachdem man den oberen oder den unteren Keil anzieht. Er 
vereinigt also die Eigenschaften der beiden vorigen Einrichtungen 
und ist für solche Fälle sehr zu empfehlen, wo es von Wic4itigkeit 
ist, die Stangenlange trotz der Abnutzung unverändert zu er- 
halten. 

Fig. 567 (a.f.S.). Lagerartiger Pleuelkopf, aus Bronze ge- 
fertigt, von Ponu vielfach angewandt. Die Lagerbälften schliessen 
fest aufeinander; sie müssen an derFuge nachgefeilt werden, wenn 
man sie zusammendrücken will ; doch wendet man auch statt des- 
sen das vorherige Einlegen von Kupferplatten in die Fugen an, 
welche von Zeit zu Zeit gegen dünnere ausgewechselt werden. 
Die Seh rauben dicke 8 ist su zu nehmen , dass die Kcmdicke nicht 



Lageraitiger I'leuelkopf. 



Uies wird bei Anweii- 



(229) 



S20 

Heiner auafiillt, als Formel (43) angibt. 

(luiig scluirfeu Gewindes erreicht bei 

8 = 0,»3V| . . 

und wenn flaclies Gewinde benutzt wird, bei etwas grösserer Dicke, 
Die Spannung im Querselinitt des Gewindekerns beträgt dann 
zwischen 5 und G*, was stattliaft ist, da die Genauigkeit der Her- 
stellung oluiedie« bei den Pleuelkopfen gewährleistet ist. Vergl. 
auch noch unten das 2. Beispiel in §. 244. 
Fig. 5fi7 




I>ic Muttern der Deekdschrauben sind mit der Penn'schen 
Sicherunj^ (l'ig- 1G8) versehen, deren nruckscbräubchcu hier we- 
gen der Kleinheit der Zeichnung weggelassen sind. Dieser Pleuel- 
kopf wird Air Dampfmaschinen mit scbwlHgendem Cylinder liäufig 
benutzt Bei ganz grossen Dimensionen, wie sie z. B. die Krumm- 
acbsen mächtiger Seedami)fer mit sich bringen, wird noch Material 
zu erspai'en gesucht, indem man die Schalen als Gehäuse mit ver- 
hältnissmässig geringer Wanddicke bildet. 

P'ig. 'ißö geschlossener I'leuelkopf. In vielen Fällen 
sind die geschlossenen Pleuelköpfe den ofl'cncn vorzuziehen, indem 
sie sowohl solider, als auch bei Voraussetxung guter Hilfsmaschi- 
nen sogar billiger herstellbar sind. Der vorliegende ist von sehr 



GeschloBsener Pleuelkopf. 521 

eleganter Form und für die Herstellung durch Maschinen (Dreh- 
bank, Hobelmascliinc, StuBsmascliine) cunstruirt Die mit Weiss- 
metall gefutterten, Ubiigens aus Bronze hergeutellten Schalen sind 
aussen cylindriscb abgedreht. Die stellbare Schale ist in einen 
schmiedeisemcD Druckblock, eine Ausbildung der üben besprocbe- 
Fig. 668. 




nen Drutkpl.itte , emgcpihst, welchti durch den Keil an Querver- 
scliiebuiigui gebmdcit wird, Dnnb bi'snuders eingesetzte Scbild- 
zaplen, welche in durchgehende Qucriitze eingreifen, wird die 
Diehbarkcit der Schalen aufgehoben. 

Das Kdlloch hat an beulen Endflachen eni halbcylindnscbes 
I'iohl Dicbc jetzt sein gcbrauchbche Formung rührt theils von 
dei Herstellung der Keillocher durch die Langlocbbohrni.ischiRe 
her, theils ist sie auch an sich empfehlenswerth , da sie die Quer- 
sclinittc des l'lcuelkopfes allmählicli ineinander überführt Der 
Keil selbst ist hier im Druckblocke ebentlltchig begrenzt, was die 
etwaige Naeblcguug von Dlecbplättchen erleichtert. Die Siche- 
rung des Keiles ist die bei Fig. 195 besprochene. Man bemerkt, 



522 Geschlossene Pleuelköpfe. 

dass die Sictieruiigsmutter so tief sitzt, dass sie kaum anders als 
mittelst eines Kopfschlüssels angezogen werden kann. Man ist 
aber zu dieser Anordnung genöthigt, um das Anstossen der 
Schraube an Tbeile, welche jenseits der punktirten Linie liegen, 
zu verhüten. 

Fig. 569. Anderer geechlossener Pleuelkopf, bei Lo- 
komotivmaschinen sehr vielfach benutzt. Die Schalen haben auf 




der Rückseite und an der Keilseitc keine Seitenränder, so dass 
man sie nach Wegnahme des Keiles aus dem sie unischliessenden 
Itahmen nach vorn lierausnehmen kann. Der Stellkeil greift in 
die Oberschale ein und hindert sie, nach vorn zu treten. Wie man 
sieht, fehlt hier die Druckplatte; dafür ist aber die Wanddicke 
der Schale an der Keilscite zu 3 e statt zu 2 e, wie es auf der ge- 
genüberstehenden Seit« ist, angegeben. Kcilsicberung ähnlich wie 
vorhin. Es ist liier auch die bei den Lokomotivpleueln gebräuch- 
liche Oclbüohse mit angegeben, welche bei langsamer gebenden 
und bei vertikal arbeitenden Stangen wegbleibt, liier ist sie mit 
einem bronzenen Deckel zugeschraubt; in die im Grundriss ange- 
gebene Bohrung in ihrer Mitte wird ein Dochtrohr eingeschraubt. 
Wegen der anzuwendenden Bezugeinheit für die Verhältoisszahleu 



üeschlossenc I'leuelküpl'e. 523 

ist hier iiisbcsoiidero das im folgeuden I'uragrupheii Ucsugtc zu 
beachte». 

Bei der hier angcuummenen Lage des Keilgehäuseü wird die 
Schaleiimitte iu Folge der Abnützung dem PleuelBclitifte geiiäbert,. 
die Stange also an diesem Ende verkürzt ; soll das Umgekelirtc 
eintreten, so wird das Kcilgobäuse an das andere Ende der Schale 
verlegt. Die äussere Fonii der Schmalseiten des vorliegenden 
t'leuclkupfes ist wie im vorigen Falle auf der Drehbank herge- 
stellt Absichtlich werden tliessende Coiiturlinien angewandt, um 
rasche Wechsel in den durch den Zapfendruck hervorgebraebteo 
Spannungen iu den Materialtheilchen zu verhüten. 

Ein dritter geschlossener Pleuelkopf (von Krauss in 
München) ist in Fig. 570 dargestellt. Er ist aus Stahl hergestellt 
zu denken und namentlich bemerkenawerth wegen seiner compen- 
Fig. 570. 




diüsen Nach stell Vorrichtung. Der Keil ist zweitheilig gebildet 
und mit seiner Sicherung in eine und dieselbe Construction ge- 
zogen. Die Muttern der Sicherung erfordern einen grosseren 
Spielraum, als die bei den vorigen Beispielen. Die Schalen sind 
bicr aus Sclmiiedcisen gemacht und mit Weissmetall gefüttert; 
zui- Linken oben liat die eine Schale einen Oclkaual. 

Fig.571(a.f.S.). GusseiserncrPleuelkopf. Derselbe ist eben- 
falls geschlossen und treibt bei seiner Abnutzung und Nachstellung 



b'2i Uusseiseroer l'leueUcopf. 

das Zapfen mittel »atli ausseii, wie bei der Constniction von 
Sliarp, Fig. 505. Anwendung finden die gusseisernen Pleuelköpfe 
Fig. 571. 




und -Stangen vorzugsweise nur bei grossen, langsam gehenden 
Balancier-Mascliinen, elgiieu sich dort aber sehr gut. 



Fleuelköpfe für Gabelsapfen. 

Ein üabclzapfen {vergl. g. 219) erhält, wenn man seine Ab- 
messungen möglichst herabziehen will . die Dicke tl' = 0,7 d, 
wenn d den Durchmesser des gleichwertlngen Stimzapfeus bezeich- 
net ; daliei wird seine Länge =^ 2 (/'. Will man aber d" grösser las- 
sen, so darf man gleichzeitig die Länge unter Beibehaltung der 
eintretenden Alaterialspannung vergrüssern , wobei der Flächeu- 
druck günstig lierabgezogon werden kann. Dieser VeräMderlicldieit 
gemäss steht hier die Breite h' des Pleuelkopfes nicht wie bei 
den Köpfen für Stiriizapfen in einem bestimmten Verhältniss za 
rfi , sondern dieses wird unter verschiedenen Umständen verscliie- 



Pleuelk()pfe für Gabelzapfen. 525 

den gewählt werden müssen. Um dieser Willkürlichkeit Rechnung 
zu tragen , nehmen wir für die Gabelzapfenköpfe die Bezugeinheit 
statt nach (228) nach der Formel: 

dl' ^fb^fd/ 




ä.-y V yd (2^^) 

wobei b die bei dem normalen Pleuelkopfe anzuwendende Bügel- 
breite und dl dessen Bezugeinheit nach (2*28) bezeichnet. Es 
können dann alle (flben für Stirnzapfenköpfe gegebenen 
Verhältnisse sofort für die Gabelzapfenköpfe benutzt 
werden. Die Schalenwanddicke e wird dabei aber nach wie vor 
auf den wirklichen Zapfendurchmesscr d' bezogen. Formel (230) 
liefert, gleiches Material bei den beiden Constructionen vorausge- 
setzt, eine Verhältnisseinheit, welche dem abnormalen Pleuelkopf 
annähernd dieselbe Festigkeit gibt, wie sie dem normalen, d. h. 
für den normalen Zapfen construirten zukommt. Doch ist bei dem 
grossen Einfluss der empirischen Rücksichten ein vollkommenes 
Zutreffen derselben bei vorhandenen Ausführungen nicht zu er- 
warten; manche derselben stimmen sehr gut, andere aber haben 
wieder stärkere Abmessungen, z. B. solche, welche sich durch die 

Einheit d/ = d, fp -y- j * bemessen lassen würden, unsere obi- 
gen Verhältnisse als beibehalten vorausgesetzt. Eine Abmessung, 
welche keine Verkleinerung zu erfahren hat, ist der Querschnitt 
der Keile, weil diese auf Abscheeren beansprucht sind, und weil 
ihre Grundfläche keinen zu starken Flächendruck erfahren darf. 
Wir nehmen sie in diesem Falle wie beim Pleuelkopf für den 
Stirnzapfen. 

Beispiel. Gegeben der Zapfendruck 3000^ für einen Oabelzapfen^ 
dessen Schubstangenkopf nach Fig. 563 construirt werden soll. Nach 
Formel (217) kommt für den Stirnzapfen ^ wie in Beispiel 1. §. 241, die 
Zapfendicke d = (?0"»»», für den GabeUapfen die Dicke d' = 0,7 .60 = 
42mm^ die Länge V = 2 .d' := 84mm, Wir geben nmi dem Bügel dieselbe 
Breite, welche der Stirnzapfenkopf erhielt, d.i. b' z= 60 — 2 .7 = 46mm^ 
indem wir die Schale mit entsprechenden Wülsten versehen, und haben 
nun für die Model folgendes. Für den Stirnzapfen kommt aus Formel 
(228) dl = 60 -\- 5 = 65'nm^ für unseren Gabelzapfen aus (230) d^* = 

65 V-^ ^ = ö5 . VÖJ = 0,84 . 65 ./-vy 55"»*». Hiermit findet man z. B. : 
Y b' d 

die Wandstärke des Bügels zu 0,2.55 = Ipnm^ die im Scheitel = 0,3. 
55 u^v^ i7«"». Die Keile werden wie für den Stirnzapfenkopf genom- 
men, da sie auf Abscheeren beansprucht sind. Es kommt also die Keil- 



52C Pleuelköple für Gabelzapfeii. 

Ireife = 0^2,65 .^>.y 14'«'", die Höhe des Keils ant dünnen Ende ^ 

Oy3 . CS = M'-". 

Fig. 572 zeigt einen geschlossenen schmieileiscmen Pleuelkopf, 
welcher sich gut für üabelzapfen eignet. Derselbe dient häufig 
als Kopf für das schwingende Ende der Dampfmaschinenpleuet- 
stangen, unter anderen bei vielen Maschinen yon Seraing. 

Der Pleuelkopf Fig. 573 enthält statt des Lagers für (önen 
Gabelzapfen diesen letzteren selbst fest ^ingcnietet Das zuge- 
Kip. G72. ; Fig. G73. 




hörige Querhaupt muss demniich mit der Lagerung versehen sein, 
wozu beispielsweise das in Fig. C07, §. 251 taugt. Aehnliche For- 
men <les schwingenden Endes der Pleuelstange haben bei Loko- 
motiven sowohl (Polonceau) als hei Schiffmaschinen (Ilum- 
phry) Eingang gefunden. Bei dem obigen Pleuelkopf ist h' 
dem verfügbaren Ilaume nach zu wälilen; die Höhe h der Gabel 
muss sich nach den Dimensionen der dort raumversperrenden 
Theile in jedem besonderen Falle richten, 

Fig. 574. Pleuelkopf lur einen Gabelzapfen, ebenfalls für 
das schwingende Ende einer Pleuelstange, zu dem Kopfe Fig. 5(i8 
gehörig. Die Schalen sind wieder eylindriscb eingcpasst, die eine 
in einem schmiedeisemen Druckblock. Der Druck des Stellkeiles 
(welcher ziemlich viel Kaum beansprucht) wird durch ein bron- 
zenes Zwischenstück auf den Druckblock übertragen. Keilsiche- 
rung nach Fig. 194. Die ganze Form ist sehr gefallig. 

Fig. 575, Anderer Plcuelkopf für das schwingende Ende 
einer Pleuelstange, namentlich für Lokoinotivmaschinen gebraucht, 
u, a, passend für eine Pleuelstange, deren rotirender Kopf nach 



I'leuelköi>fe für GalK'lzajtfen. 527 

Fig. ri{i9 gebaut ist Auch liier haben die Schalen an der Rück- 



seite keine Seitenrändcr. 



ird durch Ürelien der 




Schraube verschollen; letztere kann nach jeder Scchsteldrehung 
durch den Querstift festgestellt werden, indem für diesen in die 
f'estge zapfte Unterlegscheibe llinncn cingefeilt sind. Neuere Con- 
striiktioneti zeigen den Kunstgriff, dass in der Schraube drei 
Bohrungen, in der Scheibe airer nur zwei (rechtwinkbge) Kerben 
angebracht sind; die Sicherung erlaubt dann Zwölftel- statt 
Sechsteldrehungen. 



528 Pleuelköpfe für Halszapfen. 

§. 243. 

Pleuelköpfe für erweiterte oder Halszapfen. 

Bei den Halszapfen ist, wie aus §. 82 bekannt, die Zapfea- 
dicke (V in keinem theoretischen Zusammenhang mit der Dicke d 
des gleichwerthigen Stirnzapfens; dagegen soll man mit dessen 
Länge womöglich nicht unter die Länge / jenes Stirnzapfens ge- 
hen, welche Regel wir bei den Gegenkurbeln, Krummachsen und 
excentrischen Scheiben benutzt haben. Für diese so häufig vor- 
kommenden Constructionen aber müssen nun auch die Pleuel- 
köpfe construirt werden. Hierzu benutzen wir aber wieder die- 
selben Verhältnisse wie für die Stirnzapfenküpfe, mit 
Zugrundelegung der Einheit, welche aus Formel (230) 
hervorgeht. Dabei wird wieder wie dort die Bezugeinheit e der 
Schalennbmessungen nach wie vor auf den wirklichen Zapfen- 
durchraesser iV bezogen^ Demnach können alle oben für Stirn- 
zapfenköpfe angegebenen Verhältnisszahlen auch wieder für die 
Köpfe von erweiterten Zapfen benutzt werden. 

Beispiel. Soll statt des Gabel Zapfens in dem Beispiel des vo- 
rigen Paragraphen ein Halszapfen von der Dicke d* = 120"^ und der 
Länge V = 80"^^ mit dem Pleuelkopf nach Fig. 563 versehen uferden, so 

hat man, da trieder \ P = 60"^"*, d, = CS«"», b = 4ö«"», diese Werthe 
in (230) einzusetzen, um d^' zu bestimmen. Die Bügelbreite b' können 
wir noch annehmen. Sie möge, was bei vielen Pleuelköpfen für 
Halszapfen gut angeht, = der Breite b des Bügels für den gleich- 
werthigen Stirn zapfen gemacht werden, und wir haben also b' =z b und 
somit 

zu nehmen. Für die Schale wird e = 3 + Vioo • ^^^ = ■^^'*"*- 

sichrere Beispiele für Halszapfenköpfe geben die folgenden 
Constructionen, bei welchen absichtlich andere Formen ausgewählt 
sind, als bei den Stirnzapfenköpfen gegeben wurden, indem wir 
damit gleichzeitig wieder ebenso viele Muster von Pleuelköpfen 
für Stirnzapfen erhalten. 

Fig. 576. Geschlossener Pleuelkopf (vergl. Fig. 557) auf 
einen Kugelzapfen angewandt. Der kugelförmige Stirnzapfen 
erhält nach §. 228 die l,5fache Dicke des gleichwerthigen cylindri- 
schen Stirnzapft»ns ; ein solcher Kugelzapfen, z. B. einem Balau- 



Pieuelköpfe für Halszapfen. 529 

cierkopf nach Fig. 557 angeliörig, ist hier angewandt gedacht, und 
wir hahen für denselben -^ = l.bd, indem wir wieder wie in obi- 




gern Beispiel h' ^^ b setzen, wird (/,' = <;, VT^= 1,225 (f,. Wäre 
also d = GO""", so würde iP = 90""", rf, = 65™", rf,' = 1,225 
. 05 ^ 80""". Die Schalen haben nur an der VurderHäche Seiten- 
ränder, so dasa sie nach Wegnahme des Keiles durch den Rahmen 
hindurch nach vorn gezogen werden können. Der Keil kann auch, 
wie in Fig. 569, über statt unter dicSchale gelegt werden, in wel- 
chem Falle Jas Nachtreiben die Schubstange verkürzt, statt sie wie 
hier zu verlängern. Bei den Kuppelstangen der Lokomotiven 
ist diese Constniction des Kopfes, häufig mit der rechts punktir- 
ten Verstärkung, in Gebrauch. 

Fig. 577 (a, f. S.). Anderer geschlossener Pleuelkopf, beim 
Watt'scheu Parallelogramm und anderen Leukermechanismen 
sehr häutig gebraucht. 

Für die Halszapfen der Krummachsen, Gegenkurbeln und 



530 Pleuelköpfe für Halszapfen. 

iihnliclieii Cunstructionen bedarf man eines Pleuelkopfes, welcher 

bicli öffnen litsst. Sehr gut eignen sich hierzu Fomien. bei wel- 

Fig. 577. 




eben die Schliessung durch ein est eingepasstes FUllstück ge- 
Bcliieht, welches gleichsam den geschlossenen Kahnien um die 
Pfanne herum wieder herstellt. Solche künstlich geschlossene 
Pleuelköpfe stellen die beiden folgenden Figuren dar. Fig. 078 
entspriclit der }>ei Fig. 568 besprochenen Bauart. Das Füllstuck 
wird durch zwei Falze gehalten und durch zwei quer durchge- 
hende gesicherte Schrauben festgeklemmt. Fig 579 (Krauss) 
ist aus der Construction in Fig. 570 entwickelt, und mit jener zu- 
sammen an Kuppel stau gen von Lokomotiven benutzt. Das Füll- 
stück besteht bier aus Bronze, indem es nämlich mit der äusseren 
Schale in eine Construction zusammengezogen ist Es wird durch 
eine einzige scharf eingepasste Querscliraube (welche in der Fi- 
gur herausgenommen gedacht ist) gehalten; die eingefalzten Fort- 



Künstlicli gesc]iIo8sene rieuelköpfe. 531 

Sätze der nalimensclienkel Terhiiidcrn seine Drelibarkeit. UeLer 
der Hauptfigur ist ein Schnitt durcli die äussere Schale, deren 

FiR. 679. Fljt, 579. 




WeissguBsfutter siebtbar ist, dargestellt Die Sclialenfuge ist durch 
eingelegte Kupferplätteben geschlossen. Material an Kopf und 
Schraube ist Stahl. 

Fig.580und581(a.f,S.) sind Excentrikbügel, liier aus Bronze 
construirt gedacht, Sie erhalten die Breite 6' = ? = der Länge 
des gusseisemen Stirnzapfens, welcher dem Zapfeudruck des Ex- 
centriks entspricht, siehe § 82. Ist ]/P = 40, also d, = 45"™, 
1= b = 60""", 80 wird bei d' = 400"", h' = l = CO™; d/ = 



45 



y 40 



= 45 . 3,16 = 142™. Macht man (f = 



1 liefern 



die hier gegebenen Verhültnisszahlen wieder zwei lagerartige 
Pleuelköpfe für Stirnzapfen. Eine einzige Abweichung von der 
Begelmässigkeit in der Uebertragung der Verhältnisszahlen nach 



532 Excentriltbügel. 

Formel 0230) machen <1ie beiden Deckelschrauben bei den lager- 

firtigcn Köpfen. Man nelime ihre Dicke c nach folgender Formel: 

f =0,33 rfi +0,05 (?,' (231> 

Fig. 5bO. Fig. 561. 




wibei (!,' die DciugeinheÜ für den HaUzupfen , (7, fiir den gleichtverthi- 
gen Stinizapfen hezekhnet. l-'iir das Beispiel mit d' = iOO"" halten 
tcir dj' = IJX'"'"', dl = 45"'"'. Wir nehmen also: i = 0,33 . 45 + 0,05 
. J42 = 10 + 7,1 ./-^ ^i-m. Wird d' = d, also rf,' = d,, so gibt (ä31) 
die hei den Stirnzapfenküpfen eingeschriebene Abmessung. 

Fig. 582. Gusseiseriier Excentrikbügel, mit Bronze- 
futter versehen, welcli letzteres manche auch ganz weglassen. 
Der l'leuelschaft ist mittelst eines Querkeiles festgezogen, der pa- 
rallel der Achse des Exceutriks steht. Werden zwei excentrische 
S<'hcib('n dicht nebeneinander gestellt, so richtet man die Quer- 
keile unter 45'^ gegen die jetzige Stellung, damit sie zugänglich 
bleiben. 

Fig. 58;t. Schmied eiserner Excentrikbügel, ebenfalls 
mit Itronze gefüttert. Hier wie im vorigen Falle ist wieder die 
V'uge der Bronzeschale fest sclilicsscnd gemacht; die Ränder sind 
ah:tufetlcn, sobald man nachstellen will. Statt die Pleuelstange 



Excentrikbügel. 533 

aus eioem Stück mit dem unteren Bügel zu machen, wird sie auc)i 
Läufig mittelst eines T-förmigen Kopfes angesetzt, den die Punkti- 
rung andeutet 

Fig. 662. - Fi^. 683. 




Der runde Pleuelschaft. 



Der Schaft der Pleuelstange wird aus Schniiedeiseu, Guss- 
eiscn, Stuhl (Gussstahl) oder auch hier und da aus Holz (Eicheu- 
holz) gefertigt. Seine Beanspruchung ist manchmal bloss eine 
solche auf Zug. Bezeichnet in diesem Falle, unter Voraussetzung 
eines kreisförmigen Schaftquerschnittes, D den Schaft- 
durchmesser, P die Zugkraft, so gehe man mit D nicht unter die 
folgenden Werthe lierab: 

n D \ 

Gusaatahl ,-7^ = 0,44 

Vj" . (232) 

Eichenholz w^ = 2,18 J 



Sclimiedeisen 



Ol 



= 0,5G, 



: 0,80, 



532 Excentrikbügel. 

Formel (230) maclien die beiden Deckelsclirauben bei des lager- 
artigen Köpfen. &Ian nehme ilire Dicke d nach folgender Formel : 

? =0,33 rfi + 0,05 rf,' (231) 

Fig. 580. Fig. 581. 

i 1 I 





leobei il^' die Bezugcinlieit für den HaU^apfen , rf, fiir den gUichwerthi- 
gen Stirn^apfen heieichnet. Für das Beispiel mit d' = 400'"' hatten 
Kir ili' = U^--", rf, = ^5""". Wir nehme» also: i = 0,33 . 45 + 0,05 
. 142 = 13 + 7,1 ./-N^ 32'«'«. Wird d' = d, also d,' = di, so gibt {231} 
die bei den Stirmapfenköpfen eingeschriebene Abmessung. 

Fig. 582. GuBseiserner Excentrikbügel, mit Bronze- 
futter versehen, welcli letzteres manche aucli ganz weglassen. 
Der Pleuelschaft ist mittelst eines Querkeiles festgezogen, der pa- 
rallel der Achse des E-xcentriks steht. Werden zwei excentrische 
Scheiben dicht nebeneinander gestellt, so richtet man die Quer- 
keile unter 45" gegen die jetzige Stellung, damit sie zugänglich 
bleiben. 

Fig. 583. Schmiedeiserner Excentrikbügel, ebenfalls 
mit Bronze gefüttert. Hier wie im vorigen Falle ist wieder die 
Fuge der Bronzeschalc fest schliessend gemacht; die Ränder sind 
abzufeilen, sobald man nachstellen will. Statt die Pleuelstange 



Excentrikbügel. 533 

aus einem Stück mit dem unteren Bügel zu machen, wird sie auch 
hiiutig mittelst eines T-fdrmigen Kopfes angesetzt, den die Punkti- 
rung andeutet. 

Fip. Ö&2. - ¥\g. 633. 




g- 244. 

Der runde Fleuelschaft. 

Der Schuft der Pleuelstange wird aus Schraiedeiseii, üuss- 
eiscn, Stuhl (Gussstahl) oder auch hier und du aus Holz (Eicheii' 
hulz) gefertigt. Seine Beanspruchung ist manchmal bloss eine 
solche auf Zug. Rezeichnet in diesem Falle, unter Voraussetzung 
eines kreisförmigen Schaftquerschnittes, D den Schaft-' 
durchmesser, P die Zugkraft, so gehe man mit D nicht unter die 
folgenden Wertlie herab: 

B 

= 0,44 I 

(232) 



Schmiedeisen w^ = Ü,5G , 


Gussstahl y^ = 0,44 


D 

Gussoisen r7= = 0,80, 


D 
Eichenholz w= = 2,18 



v/J/^i 3iM y^'XjA dk Ziuz^pcaLUTCxzen 4. ± t» 4 umI <i:27* ^ntstebeii. 
W*:-^ Wi>rlL*: «iii^l ^ t der ger^Siiilich T<^n nn* aneeirikiMlten Sfac- 
unu'^fzii f': '/ß. ]0 uud M.4. indem Rückiäcfat geiiommen ist uf ei- 
trai;r^^ Si*y/**»eir4r* \nh^\ßf:Ji. welcLes durch die ScluJeiULbcutziiiig 

l/ifT^Ußhu Vhnuh.ii k'iiiteii gelten, ireiin die Stangen sehr 
kurz hiu*\. und auf bruckfe«tigkeit beaitsprocht werden: ist dage- 
gen die «Stangenlange L Mi gross, dass BeaDsprachuiig auf räck- 
wirkende f^ler Strebfestigkeit entsteht, so moss die Sdiaft- 
di'ke rnei.*t/rns grö<»«ier genomineu werdeD. Bei Zogmndelegiuig 
dei$ Falles IL ^. IG hat man ^vergL auch §. 15'Z) P kleiner za 

nehmen ah x^ -j-j- wobei J wieder das Trägheitsmoment des 

SchafUiuers^rhnitte«» und £ den Elasticitatsmodul des Materials 

liezeichnet. I'rn wieviel aber P kleiner bleiben soll, oder wie 

gross man den rficherheitscoefticienten m nehmen soll, wenn wir 

1 JE 
P = — x* -r— setzen, darüber schwanken die Ansichten, wie die 
m L* 

AuHfülirungen zeigen, ebensosehr \iie bei den Säulen. Man erhält, 

wenn man vorläufig m noch unlxfstimmt lässt, wegen J = — - D* 

64 

und J'J=:2()()(H) bei .Schmiedeisen undGnssstahl. 10000 beiGuss- 
einen und IHK) liei Holz, folgende Formeln für die Schaftdicke: 



Schmiedeisf*n und Gussstalil D == 0,10 V m V L\'P 

Gusseisen D = 0,12 \ m Vl\'P 

Eichenholz 1) = 0,21 ^m ]/l]/P 



(233) 



und hat bei 

in^ = 1,5 2 3 4 8 10 15 20 25 30 40 50 GO 
^in = 1,101,191,321,411,561,68 1,78 1,97 2,11 2,24 2,34 2,51 2,66 2,78 

Bezeicrhnet mfjn den Coefficienten vor y L,}/P ^^ ^1 so kann 
man die ol)igen Formeln auch so schreiben : 






und hat nun (! je nach der gewünschten Sicherheit m verschieden 
zu wählen. Die Praxis zeigt, wie gesagt, grosse Schwankungen 
von m. \\q\ Landdampfmaschinen, namentlich kleineren Maass- 
stahes, findet man m sehr hoch, oft 50 bis 60. Doch sind die ge- 
wöhnlichen kleinen Dampfmaschinen nicht maassgebend, weil 



Das Peitschen des Pleuelschaftes. 535 

bei diesen ein wenig ab oder zu unwesentlich sowohl für den Ma- 
terialverbrauch, als für die Wirkung ist. Bei mittelgrossen und 
grossen Landdampfmaschinen findet sich m zwischen 5 und 25, 
häufig = 20. Zum Theil kann man dies der Anwendung eines 
Doppelzapfens an dem einen Pleuelstangenende zuschreiben , wel- 
cher die Stange für die Biegungen in der Zapfenebene in dem 
Fall I. §. 16 versetzen könnte, wonach dann m nicht unter 4 be- 
tragen dürfte. 

Bei m^= 20 kommt für Schmiedeisen und Gussstahl (7=0,21. 

1. Beispiel, Eine schmiedeiserne Pleuelstange von 3000fnm Länge, 
welche einen Druck von 14400* erhält, einen Doppelzapfen an dem einen 

Ende vorausgesetzt, hiernach eine Schaftdicke D = 0,21 V300O V 14 400 
= 0,2iy3000 . 120 = 21 V36 = 126^^- 

Der Schaft kann nach den beiden Enden hin verjüngt werden, 
und zwar gemäss Fig. 1 etwa so, dass man an den £nden die 
Dicke 0,7 D anwendet und das Profil nach einer beliebigen, schwach 
gekrümmten Linie bildet. Dieselbe hüllt die durch Formel (23) 
dargestellte cykloidische Sinoide ein. 

An den Enden ist der Schaft recht allmählich in die Köpfe 
überzuführen, damit keine zu plötzlichen Spannungswechsel in den 
Querschnitten entstehen. Diese zeigen sich um so nachtheiliger, 
je grösser die Geschwindigkeit der Stange ist. Wird letztere sehr 
gross, wie z. B. bei den Lokomotiven, so tritt auch noch eine 
merkbare Biegungsbeanspruchung im Schafte ein; es ist die 
durch das sogenannte Peitschen der Stange bei jeder Kurbel- 
drehung zweimal erfolgende Hin- und Herbiegung in der Kurbel- 
ebene, welche mit den lebendigen Kräften und dem Gewicht der 
Stange zunimmt. Diese Biegung äussert sich bei einer gewöhn- 
lichen Pleuelstange, welche Kolben und Kurbel einer Dampf- 
maschine verbindet, am stärksten an einer Stelle, welche zwischen 
der Schaftmitte und der Kurbelwarze liegt. Ihretwegen verlegen 
manche die grösste Schaftdicke ausserhalb der Stangenmitte etwas 
nach der Kurbel hin, wie es an der auf folgender Seite dargestell- 
ten, der Praxis entnommenen, gefällig geformten Stange geschehen 
ist (Fig. 584). 

Es muss indessen bemerkt werden , dass bei den gebräuch- 
lichen Kolbengesch windigkeiten von 1,2 bis 1,5 Meter der Einfluss 
des Peitscheus verschwindend ist, und durch den oben angewandten 
Sicherheitscoefficient^n meistens reichlich gedeckt wird. Somit 



63(i Der runde Pleuelscliaft 

ist diese feiiili^'it in der Formgebung melir auf Itechnung eines 
elefrauteii Ausdruckes der in den Theilen irirkenden Kraft*, als 
auf den einer NothweDdigkeit zu setzen; überdies aber erleichtert 
Fijf. 581. 



sie autli den Uel»ergaiig von dem dünneren zum dickeren I'leuel- 
ko)ife, und ist deshalb liUutig durchaus enipl'ehlenswertli. 

Itei den I>uinplinascltinen mit holier Kolbcngescbviudigkeit, 
oder .Sciinell-Läufem , tritt die Frage wegen des I'eitschens mehr 
i» <Ien Vordergrund, Man tindet bei Ällen's sclinelllaufendeu 
I)am]>fniasehinen mitunter die Pleuelstange selir dick ausgeführt 
und die stürkste Stelle ganz nahe an <lie Kurbel gerückt. Doch 
kann dies nicht als niaassgebeud angesehen werden, da bei den 
Lokomotiven, wie im folgenden Paragraphen zu finden, derSicIier- 
lieitsgrad tu trotz der hohen Gescliwindigkeit klein genommen 
wird, 

Itei den Scliiffmaschinen tindet sich »i meistens ungemein 
hoch, nitwlich zu ;t(l, 40, 60 ja 8(1. Dabei achwiinkt das Verhält- 
Fiß. 58.'!, 



m 


L 




^ 


r 





Der vierkantige Pleuelschaft. 537 

niss von D zu j/P nur wenig, etwa zwischen 0,70 und 0,78. Bei- 
des mag davon herrühren, dass gewohnheitsgemäss die Pleuel- 
schaftdicke dem Cylinderdurchmesser proportional gemacht wird 
(zwischen 0,85 und 0,95). Ausserdem hat man bei der SchiflF- 
maschine darauf zu achten, dass der Unterbau sehr beweglich 
und nachgiebig ist, eine hohe Sicherheit sich also sehr empfiehlt. 
Fig. 585 stellt die Pleuelstange einer Schraubenschiffinaschine 
dar. Der Schaft ist ganz cylindrisch, die Köpfe sind ähnlich dem 
in Fig. 507 gegebenen Beispiele gebildet. 

2, Beispiel, Gegeben P = 43000k, L = 1515mm für eine Sehr au* 
henschiffmaschine. Es ist Vp'= V43 000 = 207. Bei m =z 20 erhieh 

ten wir also nach dem Obigen D = 207 . 0,21 V^ = 0,21 . 207 . 2,7 

= 117ff*'i'. Maudslay hat aber in einem Beispiel von denselben Uran- 
gaben genommen D = 152'»»», was dem Sicherheitscoefficienten m = 54,7 
entspricht. Die Dicke a der Schrauben hat man dabei genommen = 76"*"*; 

wir würden nach Fig. 567 gemacht haben ^=zO,53y — -. — = 0,53 . 146,4 
= 77,7 •'v^ 7S^Ttim, Jn anderen Fällen bei Schraubenschiffen findet man 
den Quotienten y = 0,67 bis 0,75, was theilweise der Anwendung 

des tiefer einschneidenden flachen Gewindes zuzuschreiben ist, theilweise 
auch wohl dem Wunsche nach erhöhter Sicherheit Rechnung tragen mag. 



§. 245. 

Der vierkantige Pleuelschaft. 

Soll der Schaftquerschnitt rechteckig gemacht werden, so 
kann man zuerst nach den Regeln des vorigen Paragraphen das 
Conoid, welches dem Krei^querschnitt entsprechen würde, bestim- 
men und dessen Querschnitte in Rechtecke verwandeln. Bezeichnet 
h die grössere, 

h die kleinere Seite irgend eines der zu suchenden Rechtecke, 
c den Durchmesser des Kreisquerschnittes für dieselbe Schaft- 
steile, 
80 nehme man, bei gegebener Höhe h: 

'i-wi-o^m <-) 

bei gegebener Breite h: 



538 Der vierkantige Pleuelschaft. 

I = H (IT = »■- (t)" (-') 

und bei gegebenem Verhältniss -r- .* 

I = v'ffi = 0.- ff (-) 

Eine Reihe von Werthen, welche diese Formeln liefern, gibt 
folgende kleine Tabelle. 



h 




b_ 


h 

d 


h 
h 


d 


1,0 


0,84 


0,50 


4,72 


1,0 


1 

0,88 


1,1 


0,81 


0,53 


3,98 


1,25 


0,83 ; 


1,2 


-0,79 


0,56 


3,38 


1,50 


0,79 


1,3 


0,77 


0,60 


2,75 


1,75 


0,76 


! 1,4 


0,75 


0,63 


2,37 


2,00 


0,74 


1 1,5 


0,73 


0,66 


2,07 


2,5 


0,70 


1,6 


0,72 


0,70 


1,73 


3,0 


0,67 


1,7 


0,70 


0,75 


1,39 


3,5 


0,64 : 


1,8 


0,69 


0,80 


1,15 


4,0 


0,62 i 


: 2,0 

1 


0,67 


0,84 


1,00 


4,5 


0,60 . 



1. Beispiel. Am bequemsten ist es, das Höhenprofil EF GH der Stange 
anzunehmen, Fig, 586, und das Breitenprofil nach Spalte 1 und 2 zu- 

Fi>. 586. 

8 p 




suchen. Nach Verzeichnung des ideellen runden Schaftes AB CD wird 
EFGH nach dem Geschm^ack gewählt, doch stets so, dass die Höhen ST, 
P Q u. s. w. grösser sind als die Durchmesser s t und p q des ideellen 

Schaftes an denselben Stellen. Ist dann z, B. ST =z 1,6 7t, so ist dort 

nach Zeile 7 Spalte 2 die Breite b = 0,72 st zu nehmen ; ist FQ =^ 



Der vierkantige Pleuelschaft. 539 

J,5 pqy 80 hat man dort die Breite = 0,73 pq zu setzen, — Soll b = 

07 D sein, so wird die Höhe AT nach Spalte 3 und 4, Zeile 7 = 2,07 D. 
Will man durchgängig die Höhe gleich der doppelten Breite erhalten, so 
ist gemäss Spalte 5 und 6 , Zeile 5 die Breite b an jeder Stelle = 0,74 
der dort gültigen Schaftdicke ö zu machen. 

Manchmal ist es auch erwünscht, den Rechteckquerschnitt 
des Schaftes unmittelbar berechnen zu können; man hat das 
kleinste der Trägheitsmomente des Schaftquerschnitts einzufüh- 
ren, also J = j^ hb^ zu setzen, und erhält für Schmiedeisen 

und Gussstahl: 

bei gewähltem Werthe b: 

h = 0,00006 m ^^ (237) 

bei gewähltem Werthe h: 



b = 0,039 ^my^- (238) 

und bei gegebenem Verhältniss von ä zu h: 

h = 0,088 f m]/'(4)'l/ZVP • • • • (239) 
Für letztere Formel hat man, wenn 

4- = 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 





yC^y = 1,36 1,42 1,49 1,55 1,62 1,68 1,74 1,80 1,87 1,93 1,99 

Die wichtigste Anwendung der flachgeschäfteten Pleuelstan- 
gen ist die bei den Lokomotiven. Hier wird der rechteckige 
Schaftquerschnitt fast allein angewandt, theils wegen der be- 
quemen Bearbeitung, theils um dem Einfluss des Peitschens zu be- 
gegnen , weshalb die grössere Abmessung auch parallel der Kur- 
belebene gestellt wird. Die Sicherheit wird dabei sehr klein ge- 
nommen, d. h. die Stange so leicht als thunlich hergestellt, um die 
„störenden Bewegungen" klein zu halten, gleichzeitig wird da- 
mit die Wirkung des Peitschens auf die Stange herabge- 
zogen, indem diese, wie oben schon erwähnt, zu dem Gewichte 
des Schaftes in ziemlich directem Verhältniss steht. • 

Was zunächst die Kolbenpleuelstange oder Treibstange 
betrifft, so findet sich bei derselben m zu 2 bis 1,5 herab angenom- 
men. Dies gilt vom mittleren Querschnitt Nach den Enden zu, 



rj*'irrj*'-fc.i;ri-i :**c — iiic.aii'.c: 






« .»T 



- Till 



-•^ 




-L 



:..>:: :,> H',:.^ /* :. > :. z*. "irii ii^ Air'r rirrmz ^:i.i -Irr. Fonaen- 

*4r M///>-^A A sr 0//-.^ . M . ///> . l i7 iv • TF^ = Ö.'>>? - LI . 1^ . i56^ 
•-V^ '^ * % <»'♦'/ h •=, 0^ . hH y^j 35'^': Eine A\L*f^hrHnj für ditM^il^m 
l'tanffoK^n ' U*ffkiQf zt^Qi h = ^5"*'*. h = 3<J»'»- Ajid^.rt nM'JWH^n- 
ff^h^/ruft W*:r9M, v.ttch^, yuten Ankführnnotn entnomMHi icurdem. fi«^: 

P — // yx/.. L = icrA^", h = Ä,>'., ;^ = 5.^»m 

//^»//« tnt>j,r*^f,htn *:tftm Strh^rheit'co^fficienten m = L5 hii IJS. 

\W\ At'M Kijf;ij<;!-tÄrigeii i\ftr Lokomotiven ist die Wirkung 
'l'-H Vi-jU^:h(:uu, nocfj wrrit »stärker aU bei den Treibstangen. Die 
>XiirU'*.U: Kinliiei/un^ droht hier in der Mitte der Stange, weshalb 
d<rr H';li;ift/jij':rhrhiiitt dort am grössten zu nehmen ist. Fig. 5S3 
Hl^rllt t'/tut: solche Htanf/^' dar. Die Keilungen der Schalen liegen 




Kui^pelstangen der Lokomotiven. 541 

je auf derselben Seite des Zapfens, damit die Nachstellung nicht 
die Stangenlänge verändert ; aus demselben Grunde, nämlich wegen 
Gleichheit der Abnützungen, sind die Längen der beiden Zapfen 
gleichgross zu machen (siehe §. 82). Bei Berechnung des Schaft- 
querschnittes wird vorausgesetzt, dass jedes der zu kuppelnden 
Räder gleichen Antheil an der Widerstandskraft am Umfang habe. 
Demnach kommt bei zwei gekuppelten Räderpaaren auf die Kup- 
pelstange die Hälfte der Triebstangenkraft, bei drei gekuppelten 
Paaren auf die erste Kuppelstange %? ^^^ die zweite Vs jener 
Kraft. Hierbei muss aber Rücksicht auf den Umstand genom- 
men werden, dass unter Umständen eines der Räder gleiten 
kann. Dies führt dahin, dass man für die Kuppelstange den Coefti- 
cienten m nicht so klein wählen sollte, als für die Treib- 
stange. Es empfiehlt sich, mit m nicht unter 2 zu gehen oder 
lieber noch etwas höher damit zu bleiben, wenigstens bei zwei 
gekuppelten Rädern. Dann kann nämlich das Gleiten eines 
Rades nie die Kuppelstange in unmittelbare Gefahr des Zerknickt- 
werdens bringen. 

3, Beispiel, Die ohen als Beispiel benutzte Lokomotive habe zwei 
gekuppelte Bäderpaare. Dann ist die auf die Kuppelstange kommende 

Kraft P = H^ = 6500*. Die Stangenlänge L sei 2563'^^^, -^ wieder 

z=z 2,5. Setzen wir tiun einmal m = 2, so kommt nach {239) h = 0fi88 . 

1,19 . 1,99 V2563y6500 = 0,088 . 1,19 . 1,99.454,42 y-Ky 99'^»^, b also = 
0,4.99 •x^ 59'»m, Man hat bei jener Ausführung (Borsig) für diesel- 
ben Urangaben genomtnen h = 98»»'», b = 39"*^. Andere Beispiele zei- 
gen die Sicherheitscoefficienten 1,9, 2,11, 2,8 u. s. w. 



§. 246. 

Der geflügelte und der gerippte Pleuelschaft. 

Der schon bei den Achsen angewandte kreuzförmige Quer- 
schnitt ist für den gussoisernen Schubstangenschaft besonders 
gut geeignet. Auch hier wird zuerst der ideelle runde Schaft (für 
Gusseisen berechnet) in der oben angegebenen Form verzeichnet, 
das Höhenprofil angenommen und darauf das Breitenprofil aufge- 
sucht. Ist an irgend einer Stelle wieder: 



.*• 






'>r- .j rj*; -. . :j:^ 



■ •• 'i. 



1 r»«». 



» ''..p' 











,2 i i j r^iK-, : . /r< r .* t*-r 


i*r*rj*- 


M«^«M» ^^^C«^ 


/.;<:. i '«^^«r*. tic-* 








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« 


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1 


1 






1 -rx-L mir-iL 



I 
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i -.ff*. 



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» , * 



7 f 









'..} 



J£i 



Li-ui 



L.-HL 



"^ IJi: 



:.,H» 



1 i-i 



»Je* 



T Sil 






/ titikf,^^' Zm / ;, >:> '^UruT^r AhClß w»-?«* »K 

/ T irr- 



ste aü ^H- 




/fr/«//// fUf tlif r.u t,tmntruirt:nd€ gu$$ei$ern^ Pleuelstange: EFGH ist das 
iitit'i dfm (hntUwatk gtvAhlU Ifohenprofil, und es verhalte sich nun 

ß II, HT mI wir /,r, : ;, »o int hier ^ = Ofi67, und daher nach Spalte 

I Un>l '4, /f/lr ;t die Hippendicke h = 0,12 h = 0,12 SY zu wachen. 

hi /'V 1^4 pf/, nUo hri der Stelle P das Verhältniss 4-= 4i =0,7, 

n 1,4 

tn hilf miin dort dir l'UgrIdirke h nach Spalte 3 und 4, Zeile 1: = 0,14 

. r (Jl rU firhtnrn. 




Der gerippte Pleuelschaft 543 

Das Bestreben, die Pleuelstangen der Locomotiven leicht 
zu bauen, hat dahin geführt, den gerippten oder Doppel-T-Quer- 
ßchuitt daselbst zu vei*wenden (Krauss u. Comp, in München). 
Eine Kuppelstange mit solchem Schaft zeigt Fig. 590. Die Her- 

Fig. 690. 




Stellung des Schaftes aus einem massiven Stahlstab (durch Bohren 

auf der Langbohrmaschine) er- 



Fi^. 591. 





laubt nur eine leichte äussere 
Schwellung anzubringen, die 
bei der Kleinheit unserer Fi- 
gur nicht andeutbar ist. Der 
Querschnitt ist sowohl mit ge- 
radlinigem als mit gerundetem 
Profil, Fig. 591, ausgeführt 
worden. Unter Vernachlässi- 
gung der Rundung hat man 
bei den eingeschriebenen Be- 
zeichnungen das (kleinste) Trägheitsmoment des Querschnittes 

J=^(2cB^ + (h ~ 2 c) 63) 

Behufs Berechnung setzen wir dasselbe gleich dem eines 
für die Kräfte berechneten Rechteckquerschnittes von der Höhe 
h und der Breite bo (vergl. §. 223) und erhalten dann 

^ = l^'+^T([f]'-0 • ■ • <-> 

c B 

Hieraus kann man, nachdem die Verhältnisse j- und -r- gewählt 

sind, die numerischen Werthe leicht ermitteln. 

2' BeispieL Eine letoährte gerippte Kuppelstange einer Lokomo- 
tive {Krauss u. Comp.) hat im Mittelschnitt die Abmessungen h =80»% 
b = lO^nm^ B = 47*»«, c = ^5'»»»»»; ferner ist L = 2450^^ und P = 4950t, 
Wir wollen hieraus den angewandten Sicherheitsgrad m ermitteln , und 



M \ 



Pleuelstangen. 



^ ^'■ 



.i>j. 



a.-- 



4.«M4mP 



i» 



Fig. 593. 




n 



Pleuelstangen. 



haben nach (341) tunächH h = b yi + 2 ~ {4,7« — 1] = 10 . 4^8 .'-^ 

X. i- . , 1. ,-,,.« 100 000 h V 100 000.80.42» 

4Ä»«. Es folgt nun n«ch {237) m = —^ yf , = 6.49m.24m^ = 

nahe 3%, wonach die Sicherheit keineswegs ungewöhnlich klein ist. Da- 
hei verhält sich der gerippte Querschnitt dem Flächeninhalt nach £Un> 
vollen wie 2.15.47 + 50.10:80.43 oder wie 191:344. Die gante Stange 
wiegt gam montirt nur 135 Pfund. 



Sotuniedeiseme und gusseiBeme Pleuelstange. 

Die nebenstehenden Figuren fuhren eine sclimiedeiserne Pleuel- 
etange mit rundem Schaft und eine gusseiserne Flügelstange vor 
Augen. Die crstere hat an dem gabelförmig gestalteten, also für 
einen Achszapfen bestimmten oberen Kopfende eingefalzte Kappen- 
Bchenkel, während diese am anderen Ende wie gewohnlich geformt 
sind. Bei der gusseisemen Stange liebt man es mit Recht, den 
geäugelten Theil des Schaftes durch Bundringe von den Kopf- 
euden zu trennen. Der untere , der Kurbel zugewandte Kopf er- 
hält einen vierkantigen Hals, welcher mit seiner flachen Seite der 
Kurbel zugewendet und etwas länger ist als der Kurbelarm ver- 
mehrt um die halbe Nabendicke. Er verstattet, die Pleuelstange 
recht nahe an die Kurbel zu bringen. 

Fig. 694. Fi(r. 595. Fig. 596. 




Einige besondere Formen für die gabelförmige Endung der 
Pleuelstangen zeigen die folgenden drei Figuren. Fig. 594 liefert 



546 Querhäupter oder Kreuzköpfe. 

eine weit kürzere Gabel, als die in Fig. 592 ist; Fig. 595 passt 
für den rechteckigen, an den schmalen Seiten abgerundeten 
Schaftquerschnitt; Fig. 596 ist für sehr lange gusseiseme Pleuel- 
stangen geeignet Die Kappen der Lagerschalen sind hier an bei- 
den Enden geschlossen, und es findet das Nachtreiben der Scha- 
len wie beim Sharp'schen Pleuelkopf mit Hilfe einer Druckplatte 
statt. Manchmal ist eine Pleuelstange in Form eines Rah- 
mens auszuführen , welcher rechteckig oder trapezförmig zu ma- 
chen ist. Die Schenkel dieses Bahmens sind ähnlich wie einzelne 
Pleuelstangen, Kopf- und Fusstheil vde Querhäupter zu behandeln, 
über welche das nächste Kapitel den nöthigen Aufschluss gibt 



XVII. QUERHAUPTER. 

§. 248. 

Verschiedene Arten von Querhäuptem. 

Querhäupter oder Kreuzköpfe sind die Zapfenverbindun- 
gen, welche den Gelenkzusammenhang zwischen den Pleuelstan- 
gen und den durch sie zu schiebenden Kolbenstangen, Schlitten, 
Pumpenkolben u. s. w. zu vermitteln haben. Sie werden mit Stirn-, 
Doppel- und Gabelzapfen, vorwiegend aber mit den beiden 
letzten Zapfenarten ausgeführt, und können als die losgetrennten 
Köpfe von Hebeln angesehen werden, welchen man in Ersetzung 
der führenden Hebelarme durch andere Führungstheile eine 
bestimmte Bahn vorschreibt. Die Führung geschieht in der Regel 
entweder mittelst Gelenk führungen (Parallelogramm u. s. w.), 
oder mittelst Lineal- oder Schienenführungen, oder auch 
endlich man überlässt die Führung des Querhauptes den Stangen 
(Kolbenstangen, Schieberstangen), an welche sie angreifen, und 
gibt ihm deshalb keine besonderen führenden Theile. Hier- 
nach unterscheiden wir: 



Eintheilung der Querhaupter. 547 

1. Freigehende Querhäupter, 

2. Querhäupter mit Lenkzapfen, 

3. Querhäupter mit Linealfuhnmg, 

bei welcher Eintheilung wir aul' die Art des angewandten Zapfens 
keine besondere Rücksicht nehmen. Einige wichtige Beispiele von 
Querbäuptern sind in dem Folgenden zusammengestellt. 



§. 249. 

Freigehende Querhäupter. 

Zwei kleine freigehende Querhäupter aus Schmiedeisen zeigen 
Fig. 597 und 598. Sie haben (schmiedeiseme) Doppelzapfen. Die 
Kolbenstange nehme man im Querbaupt nicht dünner als d,. 

Fig. 597. Fig. 598. 




Eine Ausdehnung der vorigen Constructionen zeigt Fig. 599. 
Dieses Querhaupt erlijilt gute Verhältnisse, wenn man seine Höbe 
h in der Mitte nimmt: 



548 



Freigehende Querhäupter. 



.... (242) 

wobei Ä noch die Armlänge bezeichnet; ferner nehme man sodann 
für die constante Armbreite b, da der Zapfendruck den Arm gerade 
wie bei einem Stiruzapfenhebel beansprucht, nach Formel (220) : 

» = TF <"ä) 

woraus, vorausgesetz t, das s d^ nach Formel(217) für Scbmiedeisen 
berechnet, also = V0,5P gesetzt ist, folgt: 
b (l, Ä 



>h ' 



h h 



Die Profilcurve verzeichne man nach einer der VerfahrungsweieeD 
in §. 101. 

Fig. 600. 




1. Beiipiel- Gegeben die Belastung P = 4000* und die Armlänge 

A ^ iOO""" eines Querhauptei nach Fig. 600. Nehmen wir getoBhntiche 
Stirntapfen, so ist dj ^ YäOOO .^'vy 45'»"'; wir wählen nun nach 



113,5 + 28,6 oder lil,!-^"^, wofür wir 140mm 
machen hohen: h = 45 .^^■^ = 40m~. Wand- 



(242) h = 2,5 . 45 -\- j^ 

nehmen, und nach {243) eu machen hohen: ^ ^ ^^ • jT^ 777: 

dicke der Nabe = 0,5. rf, = ^^-v^ A3»», Ketlhöhe = 0,67.45 = SO»», 
Keildicke = 0,2.45 — 9mm, 

3. Beispiel. Der 3000pf erdige Raddampfer „La Plata' halDampf- 
eylinder von 103" engl, oder 2616'»"i Durchmesser bei einem auf höchstens 
27Pfund auf den Quadral^oll oder 1% Atm. amunehmenden Ueberdrucke, 
was einer Belastung P des Kolbens von rund 102000' entspricht. Die 
mächtigen Querhäupter der Dampfkolben haben die obige Construction 
und zwar sind sie mit einer Armlänge A ^^ 68" oder 1727™™ ausgeführt. 
Der Erbauer, Nnpier, hat genommen: k = 28" oder Tllmn^ 1 = 7" oder 
178mm ^ die Zapfendicke rfj = 10" oder 254mm, die Zapfenlänge = 15" 
oder 381mm, tcas fast genau einem unserer geuröHnlichen SUrmapfen nach 
§. 80 entspricht; ferner die Hülsenhöhe = 30" oder 762'<m^ die Hülsen- 



Geführte Querhäupter. 549 

uianddicke =: 5", die Bohrung 10". Wir würden nach den obigen Formeln 
erhallen: d^ .'-^ USS»»^, h = S85""", b = ies-"", wobei der Arm etmaa 
Ktniger, der Zapfen etwas mehr Sicherheit erhielte als bei Napier. 



Querhäupter mit GelenkführmiK. 

Die Querhäupter, welche durch Gelenkfiihrungen geleitet wer- 
den sollen, erhalten aus den Tragzapfen noch zwei Lenkzapfen, 
welche als Fortsätze der Tragzapten ausgeführt werden. Ein 
Bchmiedeiserncs Querhaupt mit l^enkzapfen zeigt Fig. 601, sehr 

Fig. 601, 




geeignet für die Kolbenstange von Balancierdampfmaschinen , und 
schon von Watt angewandt. Als Bezugeinheit für die beigeschrie- 
benen reinen Verhältniaszahlen dient wie bei den Pleuelköpfen die 
Einheit: 

d, = 1/p -f 5™-" (244) 

wobei P die ganze Belastung des Querhauptes ist Dasselbe gilt 
von den reinen Verhältnisszahlen der übrigen nun noch folgenden 
Querhäupter. Die Belastung P^ der Lenkzapfen kfinn aus der- 
jenigen P2 der Querhauptzapfen durch folgende Formel bestimmt 
werden : 

S = £»lf ; . . (245) 

Pi cosß ^ •' 

wenn a den grössteii Winkel bezeichnet, um welchen die an rfj an- 
greifende Pleuelstange von der Schubrichtung des Querhauptes ab- 
weicht, und ß den Winkel, welchen der am Lenkzapfen angreifende 



550 Gerührte Querliäuptei 

Gegenlenker mit der Normalen zu jener Schubricbtung einscbtiesst. 



wenn a e 
zu finden. 



1 Maximum ist; letzteres ist auf der Zeichnung leicht 



fUpiel. 



Der Winkel it «ei int Majchaum 20", und gleichieitig 
gjn H _ 0,S420 _ 



r 0,55 ; 



tat also »ach (245) 



ß = 150, so ;,„( ,„„„ 
P, = 0,35 Pt- 

Der Winkel « steigt gewöhnlich nur dann bis auf 20* oder 
mehr, wenn die Pleuelstange auf eine Kurbel wirkt, wie esbeidirect 
wirkenden Dampfmaschinen der Fall ist; steht sie dagegen mit 
eiuem Balancier im Zusammenhang, so übersteigt « selten 10*. 

Ein zweites schmiedeisemes Lenkzapfen-Querhaupt zeigt 
Fig. 602. Dasselbe bietet die Betiuemlicbkeit, dass mau die Kolben- 




stange leicht von der Querhauptachse nblüsen kann und eignet 
eich sehr gut für direct i^irkende Dampfmaschinen. 



Q'uerhäupter mit ScbiecenfubruiiK. 



Die Querhäupter mit Schienenführung kommen vorzugsweise 
bei den Dampfmaschinen und Pumpen zur Anwendung und wer- 
den in zahlreichen Abänderungen ausgeführt. Diese unterscheiden 



Qnerhäupter mit Schienenführung, 551 

BJch wesentlich in der Zahl und Anbringungsweise der Füh- 
rungsschienen oder Gleise. 

Fig. 903 zeigt ein viel gebräuchliches Querhaupt mit vier 
Schienen. Geht die Maschine stets in demselben Sinne herum und 
Fig. 603, 



presst der Kolbendruck den Kolben immer in der Kichtung seiner 
Bewegung oder immer gerade entgegengesetzt, so werden bloss 
die auf einer Seite des Querhauptes liegenden Schienen gepresst, 
die beiden anderen dienen dann nur dazu, den zufällig auf Ab- 
heben der Gleitpfannen von den Schienen wirkenden Kräften zu 
begegnen; findet dagegen zeitweise ein Pressen in der Bewegungs- 
richtung des Kolbens, zeitweise ein solches gegen die Bewegungs- 
ricbtung statt, so wird das Querhaupt abwechselnd nach beiden 
Seiten gedrückt. Auch bei gewöhnlichen üampfmaschinen tritt 
nicht nur beim Gegendampfgeben, sondern auch schon in Folge 
des Voreilens des Dampfschiebers dieser Richtungswechsel der 
Querhauptpressung, allerdings aber nur gerade am Ende des 
Schubes, ein. Die Pfannen sollen womöglich aus einem weicheren 
Material bestehen, als die Schienen, damit letztere raöghchst wenig 
abgenutzt werden. Aus demselben Grunde ist es gut, beim Kolben- 
druck P die Gleitflächen der einzelnen Pfannen nicht unter 2,5 P 
zu nehmen; manche gehen bis zum doppelten Werthe, also 5 P. Der 
auf die Gleitpfanne kommende Flächendruck p beträgt hierbei unter 
Voraussetzung der gebräuchlichen Verhältnisse zwischen Kurbel- 
arm und Pleuelstangenlänge etwa '/n^ im ersteren, Vs*^ i™ letzteren 
Falte. Hier sind die Gleitpfannen auf Zapfen der Querhauptachse 
gesteckt. Diesen Zapfen darf man das Längenverhältniss 3 geben, 

wenn man, wie hier beigeschrieben ist, ihre Dicke r= ^ nimmt. Die 



552 Querhäupter mit Schienenfüluimg. 

Dicke d" der Zapfen kann bei grosser Armlänge dieses Querhauptes 
grösser erfordert werden, als die eines Stimzapfens; man beliandte, 
um bierin sicher zu gehen , den Querhanptaim wie einen Achsen- 
scbenkel von der Länge a (siebe §. 68 und §. 96). 

Bei dem Querhaupt in Fig. 604 ist der Kraftzapfen ein Gabel- 
zapfen; welcher liier ausserdem kugelförmig gestaltet i^t; das auf 
Fie. 604. 




der Kolbenstange befestigte Gabelstück ist aus Schmiedeisen ange- 
nommen; soll es aus Gusseiseii gemacht werden, so ist die Wand- 
dicke seiner Hülse auf l>.-2>^(>,. deren Länge auf l.Törf, zu erhöhen. 
Die Schienen sind hier der Kolbenstange bedeutend naher gerückt, 
als im vorigen Falle. 

Auf den Schraubenscbiffe» hat sich nach uud nach eine Bauart 
der Uampfmaschine oiugeführt. welche ein eigenthümliches Quer- 
baupt erfordert Es ist die Bauart mit sogenannter rückkehren- 
der Pleuelstange, wobei die Kurbelachse zwischen Cylinderdeckel 
und Querhaupt zu Hegen kommt, und deshalb die Kolbenstange 
in zwei gegen die Kurbelachse geschränkt liegende Stangen aufge- 
löst wird. Es sind mehrere Querhauptfomicn für diesen Fall ty- 
pisch geworden. Fig. 005 stellt eine derselben dar (Maudslay). 
Von dem ach seniiirm ig gestalteten Querbaupt ragen zwei Dillen zur 
Aufnahme der Kolbenstange hervor. Der Abstand E wird durch 
die Dicke der Kurbelacbse bedingt, A durch die Breite der Arme 
der Kurbel (\VellenkröpfunK). Die Querhauptpfannen liegen hier 
ausserhalb der Kolbenstangen; andere (z. B. Ravenhill) verlegen 



Querbäupter mit SchienenfübniDg. 553 

sie zwischeu den Zapfeu d' und die Kolbenstangen, wo, wie man 

siebt, der nötbige Raum aucb zu finden ist. Die UnterstUclie der 

Pfannen besteben aus Bronze und sind mittelst der Keile stellbar. 

Fi(t. 60:). 




Die Dimensionen des Querbauptes bestimmt man wie die einer 
Achse, wobei nicht zu vergessen, dass die an dem Arme E a^jp^i- 

p 
fenden Kräfte — ausser der Itiegung mit dem Arme A noch jede 

eine Verdrebung des Schaftes berbeifübren. Nach gefundenem 
Wertbe d' ist l' so zu wählen, dass der Fläcbendruck des Zapfens 
nickt zu klein ausfallt (vcrgl. |;. 21U). Englische Dampfer zeigen 
an diesem Zapfen den Flächetidruck 0,6, 0,8, 1 bis ^'a''. Die 
Scbraubendicke d ist wieder nach (22!)) zu nehmen. 

Fig UOti. Stephenson'Bcbes Querhaupt. Die Schienen sind 
Fig. 6J6. 




551 Zweigleisige Querhäupter, 

so nahe zusammengerückt, dass je zwei in einander übergegangen 
sind, so dass das Querliaupt, statt vie'rgleisig wie die beiden vori- 
gen, ein zweigleisiges wird. Die beiden Zapfen des schmied- 
eisernen Mittelstückes werden von dem Gabelkopfe einer langge- 
schlitzten Pleuelstange ei^jriffen. Als Material der Pfannen kann 
sehr gut Bronze genommen werden, die GleitÜäche derselben ist, 
um bei den obigen Annahmen zu bleiben, = ö P zu machen ; jedoch 
findet man in der Praxis der Lokomotiven , wohl wegen des be- 
schränkten It^iumes, kleinere Gleitfläclien, z. B. solche, die bis 2,r) P 
herabgehen. 

Ein ebenfalls für zwei Schienen eingerichtetes Querhaupt 
Borsig'sclier L'onstruction zeigt Fig. 607, Dasselbe ist für einen 
Fie. fiOT. 




Gabelzapfen eingerichtet, dessen Projection I' .d' man ja nicht zu 
klein nehmen sollte. Die Raumbeschränkung ist freilich meistens 
sehr stark an diesem Punkte, so dass man den Flächendruck p dort 
oft über 2, ja -3'' und darüber findet; die Erwärmung und Abnutzung 
des Zapfens und der Pleuelstangenpfanne sind dabei aber auch ent- 
sprechend bemerkbar. Beachtenswerth ist die Befestigungsart des 
Zapfens. — Die aus Gusseisen bestehenden Gleitplännen Bind mit 
einer sorgfaltig eingepassten Bronzeplatte belegt, die durch zwischen 
sie und die Pfanne geschobene Kupfer- oder Zinkplatteu nachge- 
stellt werden kann. 

Fig. 608 zeigt ein Querbaupt, bei welchem eine einseitige 
Schienenleitung angewandt ist, weshalb es ein eingleisiges Quer- 



Eingleisige Querhäupter. 505 

haupt genannt werden kann. Dasselbe dient für solche Fälle, wo 
die UnidrehuagBrichtung immer in einem und demselben Sinne 
stattfitidet, der Schienendnick also auch stets einseitig wirkt. Für 
die zufälligen Hebekräfte und gegen die Wirkung des Voreilungs- 
Fig. 608. 




druckes bei Dampfmaschinen (s. ü. 551) sind die schrägen (besser 
rechteckig ausgeschnittenen) Schutzschienen angebracht. Die Gleit- 
Häche des (gusseisernen) Querhauptkörpers ist nicht unter 5 P, wo- 
möglich grösser zu nehmen. 

Eine zweite Form eines eingleisigen Querhauptes zeigt Fig. 609. 
Dasselbe ist einer Schiffmaschine von Humphry Tennant ent- 
Fig. G09. 




nommen, und ist geeignet. Schienendruck nach beiden Richtungen 
aufzunehmen, zu welchem Ende die Deckschienen der vorigen Con- 
struction sehr ausgedehnt sind. Statt des Zapfens ist hier das 
Lager in das Querhaupt aufgenommen, was der Pleuelkopfcon- 



556 EiDgleisige Querbäupter. 

struction in Fig. 573 entspriclit. Die Ausgleichung der Abnatzung 
findet in der ^'e^tikalfuge durch Einwechseln von dünnen Knpfer- 
platten statt, welche nach jedem Wechsel dünner gewählt werden; 
in der Horizontalfuge (an den Gleitschiepen) dagegen wird das 
herausnehmbare L'nterstück durch in die Fuge geschobene, 
jedesmal dicker gewählte Kupferplatten zum Anschliessen ge- 
bracht. Die ganze Construction erscheint für viele Fälle empfehlens- 
werth. Das hier von Bronze vorausgesetzte Mittelstück kann unter 
passenden Abänderungen aus Gusseisen hergestellt werden, wobei 
die Zapfenhöblung mit einem Weissgussfutter auszukleiden sein 
würde. Als Bezugeinheit für die Verhältnisszahlen ist hier die 
Einheit in Formel (230) zu benutzen, und dabei für ä die Dicke 
des normalen gleich werthigeo schmiedeisernen Stimzapfens ein- 
zuführen. Die Schraubendicke £ ist nach Formel (229) zu 
jiehmen. 

Ein ebenfalls sehr schönes eingleisiges Querliaupt (Xapter) 
bestimmt für die oben besprochene Dampfmaschine mit rück- 
kehrender Pleuelstange zeigt Fig. 610. Hier ist ebenfalls eine 

Fip. 010. 



gabelförmige Endigung der Pleuelstange vorausgesetzt Das Mittel- 
stück ist aus Gusseisen hergestellt; der .\bstand B der Schrauben 
von der Mittellinie nach Möglichkeit beschränkt, um das Quer- 
liaujit niedrig zu halten. Die Höhe A lierechnet sich nach An- 
nahme der Armbreite in bekannter Weise {"Fall I. oder II, §. 6). 
Die Schrauben, deren Dicke d nach (229) zu berechnen, sind 
durch Gegenmuttern gesichert. Festos Aufeinanderliegen der 
iSchalen an der Fuge ist Grutulbediiigung für die Haltbarkeit der 
Verbindung. 



Eingleisige Qaerhäupter. 557 

Fig. 611 zeigt ein letztes, nicht minder beachtenewerthes Quer- 
haupt (Maudslay) mit einem Gleis fiir dieselbe Aufgabe. Die 
Fig. 611. 




Pleuelstange hat hier wieder die gewöhnliche Endigung, z. B. wie 
bei Fig. 585. Das den Z-förmigen Balken umfassende Stück ist 
nichts anderes als die Gleitpfanne. Sie ist aus Schmiedeisen her- 
gestellt. Die Breite h' des Hauptbalkens berechnet sich aus dem 
gegebenen Momente nach Annahme von Ä, welches hier = d' ge- 
macht wird, d' selbst wird so berechnet, wie es bei den Achsen 
gezeigt wurde. Die Schraubendicke 8' ist wieder nach (229) zu be- 
stimmen, darf wenigstens nicht kleiner sein, als S aus jener Formel, 
Zur Rechten bemerkt man noch eine besonders aufgeschraubte Dille 
zum Anhängen einer Pumpenstange oder dergl. Aehnliche Neben- 
theile finden sich häufig an den Querhäuptern der Schiffmaschinen 
angebracht, weshalb hier beispielsweise ein solcher angegeben ist. 
Die Figur zur Linken zeigt die Gleitpfanne im Durchschnitt. Man 
erkennt die Futterstücke aus Weissmetall, welche in die übrigens 
bronzene Pfanne eingegossen sind. Letztere kann nach Wegnahme 
des rechts sichtbaren (festgeschraubten) Riegelstückes herausgezogen 
und wenn nöthig mit einer Kupferplatte bedeckt werden, welche 
die entstandene Abnutzung auszugleichen hat. — .Die beiden letzt- 
beschriebenen Querhaupt -Bauarten, ungewöhnlich wie sie sind, 
haben eine schwierige constructive Aufgabe mit vollständigem Er- 
folge gelöst und sind bereit« typisch geworden. 



558 



Berechnung der Führungsschienen. 



§. 252. 

Die Führungsgleise oder Schienen. 

Man macht die Führungsschienen aus Schmiedeisen, Stahl oder 
Gusseisen. Liegt der ganze Druck auf einer Schiene, wie bei den 
letzten Constructionen, und ist dieselbe nur an ihren, um die Länge 
Si -f- ^s auseinanderstehenden Enden gestützt, so berechnet man sie 
auf Biegung. Ist der bei der ungünstigsten Kurbelstellung — Kurbel 
senkrecht zur Schiene — auf die Geradführung kommende Druck 
Q, und sind Si und $2 die Abstände des Querhauptmittels von den 
Befestigungspunkten des Lineals Fig. 612, so ist das Moment für 

Fig. 612. 




die Biegung der Schiene = Q 



S1S2 



Si +S2 

b und der gesuchten Höhe h des Lineals: 



, und demnach bei der Breite 



=Vi 



Q S1S2 



T Si+Si 



(246) 



Die Spannung © setze man, gleichviel ob Gussstahl oder Schmied- 
eisen als Material benutzt ist, etwa = 5^, d. i. ziemlich klein , da- 
mit die Biegung der Schiene nicht gross ausfalle. Diese ist schäd- 
licher, als man gewöhnlich annimmt, indem sie die Berührung 
zwischen Gleitpfanne und Schiene zum Theil aufhebt und 
dadurch den Flächeudruck an den in Berührung bleibenden Punkten 
bedeutend steigert. Bei den gebräuchlichen Abmessungen an 
Lokomotiven-Geradführungen finden dort oft Biegungen von 1*"™ 
und darüber (bis 2,5"^™) statt, welche genügen, um ein merkbares 
Hohlliegen der Gleitpfanue zu bewirken. Ist grössere Genauigkeit 
der Berechnung gefordert, so verfahre man graphosta tisch, wie 



Führungsschienen. 559 

es in der Figur 613 angedeatet ist Im Kräftepolygon ist AD 
die Kraft Q für die Position C des Druckpunktes, während Q 
und d deo Stellungen 1 und 2 der Gleitpfanneuränder iu Fig. 612 
entsprechen; es ergibt sich die Momentenfläche ABc^Ci. Mao 

Fig. 613. 




sucht diese Fläche dann für eine neue Position C des Querhauptes 
auf, wobei man eine neue Momentenfläche ABc/ci' erhält u. s. t, 
und liüUt die erhaltenen Polygone durch eine Curve ein , welche 
dann als Profil der zu Grunde zu legenden Momentenftäche dient. 
Fig. 614 stellt einen gusseiserneii Leitschienenrahmen dar, der 
vorwiegend für einseitigen (nach unten gerichteten) Druck be- 
Fig. 6U. 




stimmt ist Die untere Schiene ist hier durchweg unterstützt 
angenommen, so dass ihre Biegungen verschwindend klein werden. 
Der Querschnitt zur Linken zeigt die sehr zweckmässige Einrich- 
tung der vorliegenden Construction, dass aufrechte Randleisten an 
der unteren Schiene und an der oberen Querhauptpfanne ange- 
bracht sind, welche das Oel zusammenhalten. Die Verbindung 
zwischen der oberen und unteren Schiene ist hier durch einige 
Schrauben bewirkt; diese müssen, wenn die Maschine wechselnde 
Drehrichtungen hat (Fördermaschine), recht stark genommen wer- 



560 



FühruHgääihienen, 



den; häufig findet man auch in diesem Falle die Lineale zn einem 
aus einem Stück bestehenden Rahmen Tereinigt. 

Fig. 615 zeigt eine Leitscliiene tür ein eingleisiges Qnerhanpt, 
etwa das in Fig. 6)0, bei welchem die Rücksicht auf die Oelong 
Fitr. 615. 




Tollständig durcligeführt ist. Die Randleisten bilden hier einen 
ordentlichen Trog für das reicliUch vorhanden zu deukende Scbnüer- 
öl, in welchem die Pfannengrundtläche hei den I'ositioQen 1 — 1' 
and 2 — '2' zur ganzen Hälfte badet, und somit für jeden einzelnen 
Schuh vollständig eingefettet wird. Es fragt sich, ob man nicht 
versuchen sollte, ühnliches bei den tieradfiihrungen der Lokomo- 
tiven durchzuführen, obgleich allerdings «lort die Raumbedrängnies 
hindernd in den Weg tritt. 



561 



XVra. RÖHREN UND ROHRENVERBINDUNGEN. 

§. 253. 

Empirische Formeln für die Wanddicke der 

Röhren. 

* Man bedient sich im Maschinenbau vorwiegend der Röhren 
aus Gusseisen und Schmiedeisen; in geringerem Maasse kom- 
men Röhren aus Gussstahl, Bronze, Kupfer, Blei, Holz, 
Thpn, Asphaltpapier zur Verwendung; für die Erdleitungen 
der Wasser- und Gasanlagen hat von diesen das gusseiserne 
Rohr den jetzt unbestrittenen Vorzug. Bei allen diesen Röh- 
ren spielt die Anfertigung eine so wichtige Rolle, dass bei nicht 
sehr grossen inneren Pressungen auf diese bei Bestinmiung der 
Wanddicke keine Rücksicht genonmien zu werden braucht, und 
rein empirische Formeln am besten geeignet sind. Solche Formeln 
sind zunächst liier zusammengestellt. 

Ist, in Millimeter gemessen, die lichte Weite eines zu con- 
struirenden Rohres = 2), die Wanddicke = i, so nehme man: 

für gusseiserne Wasser- und Gasleitungsröhren: 

« = 8 + ^*) ^247) 

für gusseiserne Dampfröhren; auchLuftpumpencylinder: 

« = 12 + g (248) 

für gusseiserneDampfcylinder und ausgebohrte Pumpen- 
stiefel: 

* = 20 + i^ ....... (249) 

welche Dicke nach vollzogener Bohrung bleiben soll. 

Beispiel, Ein Pumpenrohr von 300^^ Weite erhält nach (247) eine 

Wanddicke if = 8 -|- — — = 11^75 oder !>»■•; ein eben so weites Dampf- 

300 
röhr soll nach* (248) eine Wanddicke if = Jf^ -|- — = iSf^m erJuUten, — 

*) ^Vegen dv^r Festigkeit dieser Röhren siehe §. 255 zu Ende. 

Reuleanx, der Conttructeur. 3Q 



562 Leitungsröhren. 

Die 200^^ weiten Lufüeituwgtrohren des Bohr- und LmftumgBappa" 

rate$ am Mont-Cenis-Tummely icelcheeine innere Sjßamnumgvom öAtm, 

rtherdruck erleiden, und 600 bis 600 Meter weit den stärksten natürlichem 

Temperatursehtcaniungen ausgesetzt sind, wurde nach {^47^ eine Wand- 

200 
dicke (f = 8 + -^-r- = 10^«* bekommen; man hat ihnen lO^m dicke 

Wände gegeben. — Ein Dampf cgiinder von 400^^ Weite erhält nach (249) 

400 
eine Wandstärke d z= 20 -\- -r—^ = 24^». 

' lOO 

In Bezng auf die Wanddicke der DampfcTlinder Terfahren 
verschiedene Fabriken je nach Uebung, Gewohnheit oder nach der 
Qualität des zu verwendenden Eisens, auch je nach dem Zwecke 
der Maschinen verschieden, was sich auch auf die Wanddicken der 
Dampf- und Wasserröhren ausdehnt Bei den Dampfmaschinen für 
Schiffe, welche wenig Tiefgang haben sollen, findet man häufig äusserst 
dünnwandige Dampfe jlinder. so zwar, dass unsere obige Formel 
(249j mehr als das Doppelte des praktisch ausgeführten Werthes 
liefert, während bei grossen Dampfschiffen, wo die Rücksicht auf 
die durch die Maschine herbeigeführte Belastung geringer sein 
darf, die obige Formel mit der .\usführuug treflüch stimmt Für 
die Cjlinder von Landdampfmaschinen passt unsere obige Formel 
durchweg recht gut 

Schmiedeiserne gezogene Wasser- und Gasröhren kom- 
men bis zu 150"" lichter Weite zur Anwendung: sie erhalten eine 
mit der praktischen Uebung stimmende Wandstärke, wenn man 
nimmt: 

« = 2+^ (250) 

Der Gussstahl findet für Röhren einstweilen nur eine be- 
schränkte Anwendung, doch kommt seine Benutzung für Dampf- 
kessel mehr und mehr auf; hydraulische Pressen von sehr hohem 
Druck dürflen bei der steigenden Verbreitung der Gussstahl- 
fabrikation auch bald in diesem treflüchen Material ausgefulirt 
werden. 

Wegen der genieteten schmiedeisemen Röhren siehe §. 257. 
Kupfer- und Messingröhren findet man mit etwa der halben 
aus (2'jO) hervorgehenden Wanddicke ausgeführt 

Die Bleiröhren werden fabrikmässig angefertigt und in den 
Handel gebracht, so dass dem Maschinenbauer die Bestinmiung der 
Wandstärke nicht zufallt; sie zeigen Wanddicken von 3 bis 6"". — 






Berechnung der Röhren. 563 

Die Herzog' sehen fassartig zusammengesetzten Röhren aus Fich- 
tenholz haben Wände von 80 bis 120°»"^ Dicke, welche sich ganz 
und gar nach der Anfertigung richtet. 

§. 254. 

Berechnung der Röhren mit hohem inneren Druck. 

Die Lame'sche Formel für die Wanddicke von Röhren mit 
starker innerer Pressung lautete nach §.19: 

:^=KVi5-o <-) 

vobei p den inneren Flächendruck, @ die grösste Materialspannung 
in der Rohrwand bezeichnet. Bei gegebenen Abmessungen beträgt 
die Materialspannung: 

Sie ist, wie man sieht, der inneren Pressung direkt pro- 
portional. Ist die Spannung im Gefass n Atmosphären über den 

äusseren Druck auf die Rohrwand, so hat man für p zu setzen j^rz» 

Hiernach lassen sich die Wandstärken für die cylindrischen 
Gefässe der hydraulischen Pressen leicht berechnen, und zwar 
nehme man für © bei : 

Gusseisen 3 bis 1^ p. D 



mm 



Schmiedeisen 6 „ 14 „ 

Gussstahl 13 „ 20 „ 

Bronze 2„ 5 „ 

Kupfer . . . • 2 „ 2,5 „ 

Die umstehende Tabelle gibt eine Reihe von Werthen, welche 
der Formel (251) für diese Spannungen entsprechen. 

Wenn 8 gegen D nicht gross ist, so kann man für (251) mit 
genügender Genauigkeit setzen: 

n=YB ^^^^^ 

welche Formel für kleine Werthe von p ganz brauchbare Resultate 
liefert. 

86* 






hr:^ Li^zz^ 'irr b-.^rvjkz^ÜidE'e^ 



5 ^-"•-•. 



Tabelle ober die Wanddicke cylmdnKlier GefSaw 

mit hohem inneren Drock. 



J;iT*r*T hrv:£. 









1.0 

l-> 
20 

.S,0 
'^0 



fiTlT) 


»; 


7^)^!, 


7 


h^jo, 


8 


fKJo : 





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10 



Mit^erifti. KL p. H"". 



= Jf 3 



10 15 2) 



0.14 «•♦<« Oj*7 0«6 o.rti ö/ö Mji)3 0l02 OjOI 

o.Ji7 «»j>l 11.14 n,ll OiO i>.i>7 0,1.6 iVÖ «XOS 

0-2 OJ>i 034 0.1* u.lo 0.11 O.ii^ 1X05 OlOI 

— ti.fr> 0.37 n.26 »»J>1 0,15 0,11 iX«>7 0,05 

— 1.0»> 0.54 «».37 11,2- «».10 OJ.5 IMJ9 0,07 



— — 0.-2 

— — 1.43 



o.yi 11.37 M,24 «M^ 0.11 0/» 

0*» 0,47 0,30 0*2 013 0,10 

1.00 0.61 0,37*0,26 0.15 0,11 

1,71 0^2 «».44 \ 0.31 ai8 ■■ 0,12 

— , KIO 0,54 0.37 0,20 : 0,14 



I 



I 



l,t>4 ^ 1,00 . 0,16 , 0,16 
\ 1,43 j 0,69 0,32 \ 0*2 
' 1,00 I 0,40 ' 0,26 

1,68 ; 1,00 * 0,31 



t 



0,61 0,37 



Im wo Geilaiikenstriclie statt der Zahlen stehen, liefert Formel 
(25 Ij imaginäre Werthe, d. h. sie deutet an, dassbei den betreffen- 
den Wasseriiressungen die Cylinderwand auf alle Fälle Risse be- 
kommt, wie dick man die Wand auch machen möge. Die stärkste 
lieanspruchung findet dabei in den Längsschnitten des Cylinders 
Htatt, HO dasH lieim Platzen Längsrisse entstehen würden , wie die 
Praxis auch häufig bestätigt hat. Dort kommen auch starke Be- 




Hydraulische Presseu. 565 

anspruchungen in den quer zur Achse gerichteten Schnitten vor, 
namentlich da, wo der Boden sich ansetzt, und zwar in um so 
höherem Grade, je plötzlicher der Richtungswechsel der Cylinder- 
wand ist. Man soll demnach den Uebergang der Wand in den 
Boden recht allmählich machen. 

Hydraulische Pressen von gewaltigem Druck erhalten meist 
gusseiseme Cylinder, welche um so schwieriger herzustellen sind, 
je grösser die Wanddicke sein soll. Deshalb sucht man durch An- 
nahme einer grossen Materialspannung die Wanddicke herabzu- 
ziehen, und verfährt ausserdem so sorgfältig wie möglich, um dem 
Gusseisen möglichst gute Qualität hinsichtlich seiner Dichtigkeit 
wie seiner Festigkeit zu verleihen. Es hat sich bewährt, dass 
wiederholtes Umschmelzen der Masseln und Ausgiessen derselben 
in Platten ein für Presscylinder sehr geeignetes Material liefert. 
Auch hat man mit gutem Erfolge die Zusetzung von Schmiedeisen 
im Kupolofen („Stirling" -Metall) versucht. Je besser nun das 
Material gewählt, und je vorsichtiger der Guss ausgeführt wird, 
um so höher darf man die Spannung © wählen. Deshalb wurde 
oben bei Gusseisen © = 3 bis 7^ empfohlen. Die Praxis geht 
über letztere Zahl mitunter noch hinaus; es kann dies aber 
nur da gebilligt werden, wo man eines treflFlichen Gusses sicher 
ist. Mit der Bronze steht es ähnlich. Der gewöhnliche gute Roth- 
guss verträgt ohne bleibende Formänderung nicht Spannungen 
über 3 bis 3,5^. Verlangt man mehr, so muss eine besonders harte 
Legirung benutzt werden. Einige praktische Beispiele werden als 
Anhalt dienen können. 

1. Beispiel, Zur Hebung der Conway -Brücke*) benutzte man eine 
hydraulische Presse von folgenden Abmessungen. Kolbendurchmesser K 
= 1&' (engl.) oder 457«*»*; Cylinderweite D = 20" oder 508mm ^ Wand- 
dicke & = 8^/^'* oder 222^«*. Die Belastung betrug 650 Tonnen •v^ 
660000^. Hieraus berechnet sich die Wasserspannung zu 402 Atmosphären 
oder 4,02^ auf den mm^ , und nach {252) die Spannung 8 ru ® = 

S + 875)'-S • ^'^^ -^^ ^'^*- ^^"^ Cylinder ist in Fig. 616 (a. /. 8.) 
dargestellt, 

2. Beispiel. Bei der Aufstellung der Britannia- Brücke kamen 
Hehepressefi von verschiedener Bauart zur Verwendung. Die eine war 
eine Doppelpresse, deren Cylinder dieselben Abmessungen hatten y wie der 
im vorigen Beispiel ; die Belastung jedes einzelnen Kolbens betrug indessen 



*) Siehe Clark, The Britannia and Conway Tubulär bridges. London, 
1850. 



.-•--. iraiii:ä-::t Pressen. 






fi-t':-t Ut Cyiim-lfr. tiifi ttr Triftr 
ttf dl'. *»-fj^^4vtn Steherktits- 
tttttt» Ji-!'. i»4 ■•-.fi ■.'hJii'ik-}'. rtrU. Lir Br^k trfA^u JÄ«t- mieht, 
W. zu trvarUn i'.*:***. 4«r Ldag^. f/»deni d<tr liften aitth, tmJem itr 
■■ Fif. *il7 4nj-jftll-f B-'ieik dt4 C'^mätrt 4i'.fj,r.imf. Die Widärttmmd»- 
/4A(9>«i'/, KfUhf. /fr f^l\»def fr-jU d*r iUfTtimt'jtm Ptripifrit*f*'»>tmg 

ttrirtttdr.itn Ou^'tutn* . ttn4 d«m ^»rziglif.ft H^r<tl€ktem GiUM rMN- 
»f.f-reiUn' ha-- ■f'.fi4t. 4tr B'/dtn -if.K ali-ji-f. ritkrt ron dtr srharf- 
knntigt.n Anul-:uni •*»» B'M'n» htr. JJtr nfK Cvlin-ifr trhitU die*elb*m 
/fim*it'fr^'.n irif. 4'r .^r'f.rungtHt . d'.r B'idtHoiU'iU abtr murde mit 






l.*j «':l-;h«n dfir B-yien 13 eher« aegotfea wnrdp, 
l^'^i'^n j-'iTfi^ na'Rfl: der zvHt« Go» iB>Jen aatco) 
'ipn Tyliniler, welirher b^im Getraache zer![r«Dg; er 
'•riii[;':n ßnich : 'l«r ']ri*t« Cyliader, in welchem du 

liiii'.li'^n wurdi^. tthi: et zum eigentlichen Gusm pe- 
:i:i'; «-in vierter, al* P>>a(z!>Iück gegofsen-r, blieb na- 



HydrauUecbe PresBen. 5ß7 

sanfter Ueberführung der Linien her gestellt, wie in Fig. 617 durch Punk- 
tirung angedeutet ist. 

4- Beispiel. Die UmutTäglichkeite», teetehe die Bodenansettung mit 



Ff(t. 613. 




Btck bringt, sind bei einer gros- 
sen Presse von Sutnmel in 
Berlin gämlich vermieden, und 
zuiar dadurch, dass der Boden 
durch eine gesonderte ebene 
Platte ersetzt ist, Fig. 618, an 
welche sich der Cylindermiteiner 
Stulpdichtung anKchliesst. Die 
Presse — teohl eine der mäch- 
tigsten bestehenden -~ hat tteei 
nebeneinanderstehende Cgiinder. 
KolbcndurchmeseerK^ 33"' oder 
eOf", Cylinderweite D = M" 
oder 628m- j Wanddicke i = 
e'/j" oder 323«'". Der Kolben- 
druck P hann auf 1 Million 
Kilo, der Oesammtdruck also auf 2 Millionen Kilo gesteigert werden. 
Dies ergibt eine Wasserspannung von 352 Atmosphären, wobei sich die 
Spannung 6 im Material nach (252) tu 7,18* berechnet. 

Es empfiehlt sicli im allgememen, für Fressen von gewaltigem 
Drucke lieber den Kolbendurchmesser grosser zu nehmen, als die 
Wasserspannung übermassig zu steigern, da der Material verbranch 
bei wachsendem Durchmesser, d i abnehmender Wasserspannung 
nicht zunimmt Im Gegentheil, derselbe vermindert sich. Man 
hat nämlich für den Querschnitt F der Cylinderwand : i^ = 
« (D + Ä) d. Hierin S aus (251) eingesetzt, kommt: F = 

4 @— j) 

tem © mit abnehmendem Flächendruck p nur kleiner wird. 

5. Beispiel. Die bromene Presspumpe der Conwagpresse hatte 
•ffnn Kolhendicke und ebensoviel Cgiinderweite und Wanddicke. Die 
Wasserspannung betrug, wie in Beispiel 1. angegeben, 402 Atmosithären- 
Hiernach berechnet sich au$ {353) die Materialspannung am inneren Cy- 

linderumfang eu: 3 = 4,02 . ^T^^a_^a = V5 - ifiJi .^-^ 5*. 

G. Beispiel. Berechnet man für die n<Kh(äi7} bestimmten Leitungs- 
röhren die Materialspannungen nach der Lami' sehen FormeH352), so er- 
hält man bei: 

D = 80 400 800 1200 






welcher Werth hei gewähl- 



13 

0,159 
0,59 



18 

0,227 
3,27 



23 



568 Berechnung kugelförmiger Gefasse. 

woraus hervorgeht^ das$ $olche Rohren einer Druckprobe ton 10 Atmo- 
sphären, iciesi'e vielfach gebräuchlich ist, sehr wohl auss^alten im Stande 
sind, vorausgesetzt dass der Kern nicht excentrisch gesetzt ist. 



§. 256. 

Kugelförmige Gefässe mit hohem imieren Dmck. 

Für das kugelförmige Gefäss von der Lichtweite Di geht die 
Lame 'sehe Formel über in: 



was eine weit geringere Wanddicke ergibt, als ein cylindrisches 
Rohr von derselben Weite erfordern würde. Für gleiche Wand- 
dicke von Kugel- und Cylindergefass hat man bei gleicher Sicher- 
heit in beiden: 



A _ K ©-J> (255) 



D y/ 2(@+j)) _ 
Y 2^—p 



1 



Beispiel. Bei @ := 6 und p ^ 3 liefert die letzte Formel 

\ß--l 
Dys 2 

-j^ = -37= = g^ •x^ S, Eine Kugelkalotte als Abschluss eines Cy- 

Vt "" ^ 

linders ist deshalb leicht viel fester zu machen, als der Cylinder selbst. 
Doch muss der Uebergang der einen in die andere Form immerhin ein 
sanfter sein, 

§. 257. 

Wandstärken der Dampfkessel mit innerem Druck. 

Gegen die bei starken hydraulischen Pressen vorkommenden 
Spannungen sind die der Dampfkessel sehr klein. Die preussische 
Dampfkesselverordnung schrieb früher für Dampfkessel mit in- 
nerem Druck folgende Formel vor: 

Ö = ^ (e«'«>3» — 1) + 0,1 (256) 



Dampfkessel. 569 

worin 5 uiid D in preuss. Zoll ausgedriickt sind. Diese Formel 
wird sehr genau angenähert durch die einfachere: 

« = 1,54 n2) + 2,6°^ (257) 

wobei d in Millimeter, D aber in Meter zu verstehen ist, n den in- 
neren Ueberdruck in Atmosphären bezeichnet. Die französische 
Formel verlangte etwas grössere Wanddicken nach der Formel: 

« = 1,8 n2) + 3™°» (258) 

von welchem Werthe für Lokomotivkessel nur Vs gefordert wurde. 

Alle drei Formeln sind wegen der grossen Additionalconstante 
als grossentheils empirisch zu bezeichnen, weshalb Formel (257) 
ihrer Einfachheit halber der vorhergehenden vorzuziehen ist. 

Sie entsteht aus (253) durch Zufügung einer für Abnutzung 
angewandten Constante 2,6"^. Wenn diese unberücksichtigt blei- 
ben würde, so würde die Spannung im Material, welcher (259) ent- 
spricht, © = 3,25'' sein. Die Constante bewirkt aber eine Vermin- 
derung von © auf die in folgender Zahlenreihe als Beispiele ange- 
gebenen Werke. 



D 


Ueberdruck in Atmosphären. 


n — 4 


7 


10 


cT 


@ 


d 


8 


& 


@ 


600 

800 

1000 


6,3 
7.5 

8,8 


1,90 
2,13 
2,27 


9,1 
11,2 
13,4 


2,31 
2,50 
2,61 


11,8 
14,9 
18,0 


1 
2,54 

2,70 

2,78 



Die hier gegebenen Materialspannungen gelten für das volle 
Blech; in den Nietuäthen tritt eine Steigerung auf das etwa 
IVsfache ein (siehe §. 72 bis 74). Gussstahlkessel dürfen mit 
V5 der aus (257) hervorgehenden Wanddicke ausgeführt werden, 
da das Material Vsii^al stärker ist als Schmiedeisen. 

Dem sphärischen Abschluss eines cylindrischen Kessels gebe 
man, wenn er nach einem Krümmungshalbmesser von ri Meter ge- 
bogen ist, die Wandstärke : 



*, = 1-S4i»ri J-2J5— ''259 • 

*riL*r yorjfif:L welche 4e%luJb brauchbar erstrbeint. weil g^vohnHch 
rj hl d^M K^r'vielhLhTikfm durch rorhamdene Schablon-Holden Tor- 

Beitpiel Soll dtr obige Damp/ke$$€l dmnh Kw^dcnMim um t^ 
Krümmumg$h4tUfm^tAMr ahgttMov^en Karden ^ $o erhmliem diesMeu u^eh 
iUr/jß tiikt Womd4ick€ ^. = l/^ . 4 . 2 -i^ 2j5»* = »tkr nahe 15*« 



% 258. 



Dampfkesselröliren mit äuaserem Druck. 



I>]r; von an«isen gf;pressten cylindrischen Röhren erleiden eine 
Ik'anHpnichnng. welche derjenigen auf Strebfestigkeit ähnlich ist, 
mihzm HU', \h'A einer gewissen Grenze des Druckes, wenn eine kleine 
Abweichung von der cylindrischen Form eintritt oder vorhanden 
ist, zerquetscht werden. Bei den Heizröhren der Lokomotiv- und 
HchiffskeHS^;! genügen bereits die der Abnutzung wegen anzuwen- 
denden Wanddicken, um der Zerquetschung vorzubeugen; die Feuer- 
rohren der korniw.'hen Kessel dagegen haben meist solche Abmes- 
sungen, (hiHH auf die Gefahr der Zerquetschung Rücksicht genom- 
men werden muss. Durch Versuche von Fairbairn ist festgestellt 
worden, was theoretische Untersuchungen auch zeigen, dass die 
Ilohrlänge einen wesentlichen Einfluss auf die Grösse der Zer- 
quetschungskraft hat, und zwar dass letztere imi so geringer aus- 
fallt, je grösser die Jjänge oder genauer genommen der Abstand 
der geg(;n Zusammcndrückung gesicherten Rohrquerschnitte ist 
Aus seinen Versuchen hat Fairbairn für den die Zerquetschung 
herbeiführenden äusseren Ueberdruck j) die Formel: 

J2,19 

29 = 806 300 y-^ (260) 

abgel(iit<.'t, wobei }) in engl. Pfunden auf den Quadratzoll engl., D 
und d in engl. Zoll, l in engl. Fuss ausgedrückt ist. Alle diese 
MuHHiMuif mm und p auf Kil. pro D""* bringend, erhält man daraus: 



Kornische Kessel. 571 

wobei w wieder den Druck in Atmosphären bezeichnet. Diese 
Formel hat eine sehr unbequeme Gestalt. Ihre Umformung auf 
eine solche zweiten Grades hat Love vorgeschlagen*). Die An- 
näherung wird sehr genau, wenn man folgende Formel benutzt**): 

100i) = w= 376721^ +116 ^ —93^ . . (262) 

Sie dient zur Berechnung des Druckes, bei welchem ein von 
aussen gepresstes Rohr von bekannten oder angenommenen Di- 
mensionen zusammengeklappt wird. 

Beispiel. Bei einem ausgeführten, für ny^ Atmosphären Ueherdruch 
bestimmten kornischen Kessel hatte das Feuerrohr die Länge l z= 25' z=z 
7845*nmy die Weite D = 23'' = 601^^^ und die Wanddicke d = 0,26" = 
6,5*»"». Hieraus berechnet sich nach (252) der Dampfdruck, bei welchem 
das Zusammenklappen wahrscheinlich ist, zu: 

woraus folgt n = 3,375 + 8,154 — 1,005 = 10,524 Ätm. Das Rohr ist 
thatsächlich zerquetscht worden. Bedenkt man, dass die Abnutzung die 
Wanddicke leicht um einige Millimeter verringern kann, so wird man das 
Eintreten der Explosion durchaus nicht wunderbar finden. Bei einem 



*) Siehe CivilJngenieur Bd. VIT, S. 238. 

**) Die von Love selbst umgerechnete Formel hat andere Consianten, 
als die obige. Sie lautet auf Centimeter für l, D und d, und Kil. pro QCenti- 
meter für p zurückgeführt; 

p = 512820^ + 641 J -224 J 

während (262) bei Umrechnung auf dieselben Maasseinheiten lautet: 

p = 376721 ~ + 1160^ —93 ^. 

Die vorliegenden Constanten waren nur auf umständlichem Wege aus 
den Fairbairn'schen Versuchen abzuleiten. Dieser Arbeit hat sich auf 
meine Veranlassung die „Hütte" unterzogen. Den Bericht siehe Verhand- 
lungen des Vereins f. Gewerbfleiss 1870, S. Il6. Die daselbst durch- 
geführte Vergleichung der Lo versehen Formel mit der Fairbairn'schen 
und der obigen zeigt zwar keine grossen, aber doch immerhin merkbare 
Unterschiede zwischen den verschiedenen Resultaten, soweit esFairbairn's 
Versuche selbst betrifft, welche nur an ziemlich dünnwandigen Röhren vor- 
genommen wurden. Die obige Formel (262) schliesst sich am genauesten an. 
Sehr auffallend werden aber die Unterschiede in den Fällen der Praxis, 
wo cf meistens gross ist. In diesen Fällen liefern die Love 'sehen Con- 
stanten ein um 30 bis 40 Procent abweichendes Resultat. Für unser obiges 
Beispiel erhält man nach Love's Formel n = 4,59 + 4,51 — 2,42 = 6,68 
Atmosphären statt 10,52, wie sich oben ergibt. 



572 Komische Kessel. 

von innen gepressUn Rohre von derselben Weite und Dampfspannung 

würde man nach der Tabelle im vorigen Paragraphen eine Material- 

Spannung von etwa 2^^ in deii Nietnäthen angewandt haben , was einer 

42 

-^fachen oder rund löfachen Sicherheit gegen das Zerreissen, also einer 

Maximaldampf Spannung von gegen 55 Atmosphären entspräche; eine 
Ungleichheit, welche durch nichts motivirt ist. 

Das Mittel, die Sicherheit zu erhöhen, ohne die Wanddicke 
vergrösseni zu müssen, liegt in der Verringerung von 7, wozu 
Fairbairn die Anbringung von Versteifungsringen an den Stoss- 
fugen der llohrschüsse empfahl. Es ist sehr auifallend, "wie wenig 
man immer noch in Deutschland von dieser vorzüglichen Einrich- 
tung Gebrauch macht, zumal die Kessel-Explosions-Statistik nach- 
weist, dass die so häufig vorkommenden Zusammenklappungen der 
Feuerröhren da nicht eintreten, wo die Versteifungsringe ange- 
wandt sind. Im Gebrauche sind in England die Adamson'sche 
Methode, Fig. 619, und die Hick'sche, Fig. 620, von denen die 

Fig. 619. Fig. 620. 





zweite die leichter ausfuhrbare Construction liefert, erstere aber den 
Vorzug hat, keine Nietköpfe dem Feuer auszusetzen. Es empfiehlt 
sich bei komischen Kesseln, wie einzelne Kesselfabrikanten es wirk- 
lich machen, an jeder Schussfuge des Feuerrohrs die Versteifung 
anzubringen. 



§. 259. 

Verbindungen gusseisemer Röhren. 

Die am meisten gebräuchliche Verbindung gusseisemer Röhren 
ist die Flantschenverbindung, Fig. 621. Die anzuwendenden 
Verhältnisszahlen sind in der Figur angegeben. Früher Hess man 



Flantschenverbindung. 573 

zwischen den Schraubenlöchern und dem inneren Rande gewöhnlich 
eine ArbeitsleiBte stehen; jetzt wird dieselbe meistens weggelassen 
Fig. 621. 





da das Geradestechen der ganzen Plantsche die Verbindung schöner 
und genauer macht, ohne wesentlich mehr zu kosten. Viele wen- 
den als Dichtungsmittel neuerdings wieder einen Itingaus Kupfer- 
draht an, welcher in eingedrehte Kerben eingepresst wird und 
jeden Kitt überflüssig macht. Bei gewöhnlichen Röhren von nicht 
zu hoher Spannung kann man die Anzahl 91 der Flantscben- 
schrauben nehmen: 

D 



% -- 



:2 + 



50 



(-263) 



wobei D in Millimeter angegeben ist. 

Hiemach erhält ein Rohr von 100"" Weite vier Schrauben, 
eines von 200™" Weite deren sechs. Ein Luftpumpencylinder von 

1500"" Weite erhält nach (263) 2 + ^^ = 32 Schrauben. 

Bei einigermaassen starkem inneren Druck ist es aber besser, 
^ nach folgender Formel zu nehmen: 

'' = II-o(#)' <^«^' 

wobei d die Schraubendicke, D die Rohrweite, n die Anzahl der 
Atmosphären der im Rohr herrschenden Spannung bezeichnet. 

Beispiel. Ein Dampf cylinder von 1000»«* Weite und 4 Atmotphärtn inne- 
rem Ueberdruck erhält nach {249) eine Wanddiete (f=Ä) + ^^ =30««, 
also nach obiger Figur eine Deekeltchraubendicke d = % . 30 =: 40^'», 
wobei die Schraubenamahl nach {364) tu nehmen ist: K = — (—jf-i 



574 IlaotacbenTerbindaDgeD. 

Die Ohrflantsche, Fig. 622. ist eine oft gebraachte Ab- 
ändenm^ derKreisfiantsche: ihre Dicke wird wegen der geringeren 
AnsatzHäche ^ 2 bis '2Ji8 statt * ,8 gemacht 
Fig- 622. 




Ein mit der HantschenTerbindung constroirtes Robrkni« 
oder einen Krümmer zeigt Fig. 623. Die Krümmung da3-f nicht 
ZQ Bcharf gemacht werden, damit die Winkelleitnng des etwa durch 
das Kohr zu leitenden Wassers nicht zu viel StossTerlnst mit sich 
bringt Für jeden anderen Winkel, den die Rohrachsen einschliessen 
Fig. 623. Fig. 624. 




sollen, muss ein solcher Krümmer besonders modellirt werden. Be- 
quemer ist in dieser Hinsicht das Universal-Rohrknie von 
Brown, Fig. G24. Vor der Aufstellung wird nur das eine der 
KnicHtüükc mit Scliraubenlöchem versehen, das andere wird erst 
hei der Aufstellung selbst nach geschehener Anzeichming gebohrt. 
Je nachdem man die Flantschen stellt, kann man den Kniewinkel 
zwischen dem Werthe 2o und 180" nach Belieben wählen. Hier 
ist « = 40° genommen, was fiir die meisten praktischen Fälle passt. 



Die Rohrmuffe. 575 

Die Muffenverbindung oder Kohrmuffe, Fig. 325 bis 327, 
wird bei Gas- und WosBerleitungBröhren vorwiegend angewandt Als 
Fig. 625. Fig. 626. Fig. 627. 




Dichtungsmaterial dient Blei, welches man neuerdings sehr zweck- 
mässig in der l'orm von fertigen Halbringeu, Fig. 626, einsetzt und 
feststemmt, nachdem eine Wergunterlage in die Muffe geschoben 
worden. 

Die Abmessungen der Rohrmuffen können nach folgenden sorg- 
faltig gewilhlten Verhältoisszahlen genommen werden. Die Rohr- 
Fig. 628. 




wanddicke d wird nach (247) bestimmt, also Ä := 8 + j^r genommen ; 

sodann nehme man : 

Wandstärke der Muffe «, = 10-1-0,0135 -D 

Stärke des Muffenkranzes it = 18 + 0,00252) 

Innere Länge der Muffe fi = 67+0,llD 

Länge des Muffenhalses ?, = 49 -|- 0,09 i> 

Gesammtlänge der Muffe l =116-|-0,20D 

Lichtweite der Dichtung 6 ;= 5 + 0,007 D 

Höhe des Bleiringes A = 28 + 0,07 D 

Höhe des Wulstes = 1,2 5 

Wandstärke des Wulstes c = S-\-b — 2. 



576 Petit'ache Röhren verbin Jung. 

Manclie geben dem Mufifenkranze eine ringsumlaufende Kerbe 
im Innern, welclte die Bieidichtung festhalten soll; andere erklären 
diese Kerbe wegen der Weichheit des Dichtungsmetalles für voll- 
ständig nutzlos. Häufig findet man auch neuerdings den Wulst am 
umschlossenen Rohrende ganz weggelassen (was namentlich bei der 
jüngst aufgekommenen englischen Methode des Röhrengusses be- 
quem ist); die Muffe erhält dafür am inneren Rande einen Vor- 
sprung nach innen. Für ganz festgelagerte Muffenröhren zur 
Wasserleitung eignet sich nach Scholl statt der Bleiverdichtung 
die weit billigere Verkittung mit einer erwärmten Mischung von 
Pech und Ziegelmebl, mit welcher Hanfzöpfe, die in die Muffe zu 
treiben sind, getränkt werden. 

Fig. 029 stellt die Petit'sche Röhrenvei-bindung dar. Ein 
in die kurze MufTe gelegter Kautschuckring wird, indem man die 




Röhren selbst als Hebel benutzt, stark zusammengepresst, zwei 
Klauen mit schmiedeisernen Stiften halten das Rohrschloss zu- 
sammen. Vorstehende Röhrenverhindung , welche u. a. bei der 
grossen Wasserleitung im Lager von Chälons angewandt wurde, 
stellt sich namentlich bei Wasserröhren erstlich sehr billig, ge- 
stattet sodann eine grosse Schnelligkeit im Legen langer Rohr- 
Btränge, und bietet endlich eine gewisse Beweglichkeit dar, welche 
in unregelmässigem Boden von ganz besonderem Werthe ist. Es 
scheint empfehlenswerth, das Oehr stärker zu machen als Petit 
angibt. 

Eine Schraubmuffe für gusseiserne Wasserleitungsröhren*) 
stellt Fig. 630 dar. Das Schraubengewinde ist gleich angegossen, 

*) Das Hüttenwerk Lauchhammer benutzt und liefert die folgende Ver- 
bindung für Köhren bis »u 50 bis 60""™ Lichtweite. 



RölirenTerbindungen. 577. 

als Dichtungsmaterial Blei in eiDem über das äussere Gewinde ge- 

. streiften Ringe angewandt. Diese Verbindung kann man sich als 

eine Flantschenverbindang mit einer einzigen Schraube vorstellen, 

welche letztere mit dem Rohre concentrisch gemacht, und soviel 

Fig. 630. 




erweitert ist (siehe §. 66), dass sie die Rohrhöhlung in sich auf- 
nehmen kann. Da die Schraube mit dem Rohre eintrumig ist (ans 
einem Stücke mit ihm besteht), muss beim Anschrauben das zuletzt 
gelegte Rohr selbst um seine Achse gedreht werden , zu welchem 
Ende der Röhrenleger zwei grosse, die Muffen fassende Schrauben- 
schlüssel führL 

Fig. 631. Rohrmuile von Normandy. Die Dichtung geschiebt 
mit zwei Kautschukringen. Diese höchst einfach construirte Ver- 
Fig. 631. 




bindung ist, haltbares Dichtungsmaterial vorausgesetzt, unter Um- 
ständen sehr brauchbar. Sie hat die Beweglichkeit des Petit'- 
schen Rohrschlusses (Fig. 629), und ist leicht aufzustellen und 
auseinanderzunehmen. Eine ähnliche Stossverbindung unter Be- 

Raaleani, d« Conilroctviir, 37 



576 Petit'sche RÖhrenverbinilung. 

Maiiclie geben dem Muffeukranze eine ringBUmlaufende Kerbo 
im Innern, welche die Bleidicbtung festhalten soll; andere erklären 
diese Kerbe wegen der Weichheit des Dichtungsmetalles für voll- 
ständig nutzlos. Häufig findet man auch neuerdings den Wulst am 
umschlossenen Rohrende ganz weggelassen (was namentlich bei der 
jüngst aufgekommenen englisclien Methode des Röbrengusses be- 
quem ist); die Muffe erhält dafür am inneren Rande einen Vor- 
sprung nach innen. Für ganz fest^elageii« Muffenröhren zur 
Wasserleitung eignet sich nach Scholl statt der Bleiverdiehtung 
die weit billigere Verkittung mit einer erwärmten Miscliung von 
Pech und Ziegelmehl, mit welcher Hanfzöpfe, die in die Muffe zu 
treiben sind, getränkt werden. 

Fig. 029 stellt die Petit'sche RÖbrenverbindung dar. Ein 
in die kurze Muife gelegter Kautschuckiing wird, indem man die 
Fig. 620. 




Rühren selbst als Hebel benutzt, stark zusamniengepresst, zwei 
Klauen mit scbmiedeiBCrncn Stiften halten das Robrschloss zu- 
sammen. Vorstehende Röhrenverbindung, welche u. a, bei der 
grossen Wasserleitung im Lager von Chälons angewandt wurde, 
stellt sich namentlich bei Wasserröhren erstlich sehr billig, ge- 
stattet sodann eine grosse Schnelligkeit im Legen langer Rohr- 
stränge, und bietet endlich eine gewisse Beweglichkeit dar, welche 
in unregelmässigem Boden von ganz besonderem Werthe ist. Es 
scheint empfehlenswertb, das Oehr stärker zu machen als Petit 
angibt. 

Eine Schrauhmuffe für gusseiseme Wasserleitungaröhren*) 
stellt Fig. 630 dar. Das Schraubengewinde ist gleich angegossen, 

') Dae Hüttenwerk Lauchhammer benutzt und liefert die folgende Ver- 
bindting für Rübren bis ;ni 50 \>a &fam Liebt weite. 



RöhrenTerbindungen. 577. 

als Dichtungsmaterial Blei in einem über das äussere Gewinde ge- 

. streiften Ringe angewandt. Diese Verbindung kann man sich als 

eine Flantschenverbindung mit einer einzigen Schraube vorstelleri, 

welche letztere mit dem Rohre conceatrisch gemacht, und soviel 

Fig. 630, 

1 ,iio4i«'Äso+Ä>, 




erweitert ist (siebe §. 66), dass sie die Rohrhöhlung in sich auf- 
nehmen kann. Da die Schraube mit dem Rohre eintrumig ist (aus 
einem Stücke mit ihm besteht), muss beim Anschrauben das zuletzt 
gelegte Rohr selbst um seine Achse gedreht werden , zu welchem 
Ende der Röhrenleger zwei grosse, die Muffen fassende Schrauben- 
schlüssel führt 

Fig. 631. Rohrmuffe von Normandy, Die Dichtung geschieht 
mit zwei Kautschukringen. Diese höchst einfach construirte Ver- 
Fi(f. 631. 




bindung ist, haltbares Dichtungsmaterial vorausgesetzt, unter Um- 
ständen sehr brauchbar. Sie hat die BewegUchkeit des Petit'- 
schen Bobrschlusses (Fig. 629), und ist leicht aufzustellen und 
auseinanderzunehmen. Eine ähnliche Stossverbindung unter Be- 

Kanlekni. der Conitruclenr. 37 



573 Röhrenverbindongen. 

BQtzung der Bleiverdichtung findet man auch bei Wasserleitongs- 
röhren benutzt Der Ring bildet dann eine doppelte Muffe; die 
Röhren sind ganz glatt, ohne Verdickung oder Wulst an den En- 
den hergestellt. 

Der Abstand der Mittelebenen der beiden Stossverbindungen 
eines Rohres heisst dessen Nutz- oder Baulänge. Diese kann 
bei geraden gusseisemen Röhren immer wenigstens zwischen 1 und 
2 Meter betragen, und wird bei langen Leitungen soviel als thun- 
lich grösser genommen. Bei Muffenröhren für Gas- und Wasser- 
leitungen findet man bei D = 100°*" die Baulänge 2 bis 3" 

300mm ^ ^ 3^4» 

600°^ und darüber 4™ 
ausgeführt 

§. 260. 

Verbindung sctamiedeisemer Bohren. 

Genietete Wasserleitungsröhren aus Schmiedeisen werden mit 
schmiedeisemen oder mit gusseisemen Plantschen, Fig. 632 und 
633, verbunden. Behufs Auffindung der anzuwendenden Dimen- 

Fig. 632. Fig. 633. 



*d 



*■» 



• Vif*»» v^l^td ♦i 

sionen suche man zuerst, unter Benutzung von (263) und (264), die 
Schraubendicke c?, und bestimme daraus nach den hier angegebe- 
nen Verhältnisszahlen die übrigen Maasse. 

Beispiel, Es seien die schmiedeisemen Finnischen ncich Fig, 632 
für ein schmiedeisernes Turbinenrohr von 1000^^ Lichtweite ^ welches 
2 Atmosphären Spannung auszuhalten hat, zu construiren. Dieses Bohr 
erhielte zunächst, wenn man es wit ein Dampfkesselrohr behandeln woUte, 
nach (257) eine Wanddicke & = 1,54 . 2 -\- 2^6 = 5,ö8»»"», was indessen 
gut auf 5»»*» erniedrigt werden könnte. Wählt man nun die Schrauben- 
dicke d rr 20^^, 80 würde werden nach (263) die Schraubenzahl 91 = 

^ +-^ = 2^, nach (264) « = ^ (-^) = -^ •Ny ^7, welche 



SchraubmufTen. 579 

Zahl all die gröuere beibehalten werde. Nun kontmt nach Fig. 631i 
die Flantichendieke = W^ . go ./"^^ 13"", die radiale Länge =: 1% . SO 
"> u. t. w. 




Gezogene sduniedeiserne Röhren werden vielfacli mit 
einer Schraobmuffe, Fig. 634 und 63&, verbunden. Bei dem 
ScblosEe in Fig. 634 wird der scharfe Rand des einen Rohres bis 
zum Dichtwerden gegen die Gegenwand gepresst, bei Fig. 635 
aussen ein Dichtungsmaterial eingelegt. Beim Festdrehen der 
Muffe werden die Röhren mit passend construirten Klemmzangen 
gefasst. Die Baulänge der schmiedeisemen Röhren gebt bis 3 
und 4 Meter. 



Bleiröhren -Verbindongen. Gemischte Terbin- 
dungen. 

Bleiröhren werden häutig mittelst aufgestreifter loser Flant- 
schen aus Scluniedeisen verbunden, welche die umgeschlagenen 
Ränder der Röhren gegeneinanderpressen. Eine Schraubmuffe 
für Blciröhren (nach Louch) zeigt Fig. 636 (a. f. S.). Die drei 
Ausaentheile derselben sind von Gusseisen. Fig. 637 zeigt die Ver- 
bindung eines Bleirohres mit einem Schmiedeisenrohr (ebenfalls 
nach Louch). Dem Schmiedeisenrohr ist eine bronzene kleine 
Flantsche angeschraubt, gegen welche die Flantsche des Bleiroh- 
res Termittelst der guaseiaemen Scbraubmuffen angepresst wird. 
Die vorragenden Enden der MufTen werden aussen sechs- oder 
achtkantig geformt, ebenso die Schraubenmutter, in welche diesel- 
ben hineingreifen. Hier wie bei den beiden folgenden Verbindun- 
gen ist wieder die erweiterte Schraube das Verbindungsmittel der 



580 Röhrenverbindungen. 

VerscUüBse. Bleiröhren erhalten eine sehr grosse, leicht 
10 Meter zu iiihreade Baulänge. ~ 
Fig. 636. 





Fig. 638 und 639. Verbindung von guBseisemen Röhren mit 
bleiernen. Hier ist ein Dichtungsmittel , Kautschuk oder derglei- 
chen, als zwischengelegt angenommen. 

Fig. 6S9 





Zwei Verbindungen mit loser Flantsche zeigen Fig. 640 
und Fig. 641 , die erstere für ein Kupferrohr mit schmiedeisemer 
nantsche, die zweite für ein bronzenes Rohr bestimmt. 

Solche und ähnliche Verbindungen kommen bei den Leitunge- 
röhren der hydraulischen Pressen, überhaupt bei dünnen Metall- 
röhren, und sodann bekanntlich bei den Feuerspritzen als Schlauch- 
schlösscr zur Verwendung ; diese werden dabei für die besonderen 
Zwecke mit Sorgfalt in reclit praktischen Formen und Verhältnis- . 



Gewichte der Bohren. 581 

een ausgeführt, deren Einzelheiten hier aufzuzählen zu weit führen 
Würde. Sehr beachteuBwerth sind in dieser Hinsicht die Einrich- 
tungen von Metz. 

Fig. ÜIO. Fig. 641, 




Qewichte der gusseisemen Bohren. 

Die naclistehende Tabelle gibt die Gewichte der Itöhren pro 
laufenden Meter ohne Muffe oder Flantschon. Um das Ge- 
wicht der letzteren za bestimmen , verwandele man sie in Hohl- 
cylinder von der Weite D, der Wanddicke S und der Länge /, 
worauf man das Gewicht nach der Tabelle bestimmen kann. Für 
die Länge l, welche für eine Flantsclie nach Fig. 621 einzufüh- 
ren ist, kann im Mittel 10 8 gesetzt werden. Für die Muffe nach 
Fig. 628 ist fiir l etwa die Länge 125 -f- 0,3 i) zu nehmen. 

1. Beispiel. Eine Röhrenfahrt von 130^ Länge au3 giuaeiiernen im 
Bau 3" langen Röhren von 300'""' Weite und IS'»'^ Wandrlicke erhält 40 
Bohren. Jede derselben iciegt ohne Flantichen nach Spalte 4 Zeile 17 der 
folgenden Tabelle: 3 . 85,19 = 355.57*. Für die Bestimmung des Flantschen- 
geieichtee ist 2mal 10 & der Rohrlänge tuntfügen, wonach sich die Rohr- 
länge einschliesslich der Flantschen zu (3000 ^ S . 12 . 10) = 3,240^ 
ergibt. Mit den Flantschen also wiegt das einzelne Rohr 3,240 . 85,19 
= 276,02", und die game Röhrenfahrt: 40 . 276,03 ./-^ 11041*. 

2. Beispiel. Für die Muffe eines Rohres von derselben Weite ist, 
teenn die Verhältnisse von Fig. 638 tu Grunde gelegt aerden, das Qt- 
Kieht eines Rohrstückes von der Länge 125 + 0^3-300 = 125 ■^- 90 = 



562 Gewichte der Rötiren. 

ÄiS"", das Kare 0,1115.85^9 = 18,3* tuiuree^tien. Das 3" lange Bohr 
uiegt aUo 3 . 65,19 + 18,3 = 374^*, die game Söhreiifahrt mithin 40 . 
S74^ •%• 10995^. 

Tabelle über die Gewichte der gasseisemen BAhren. 



Rohrweile 


Laurt^nde Gewichte der Bohren bei der Wuddicke i-- 


















8 


10 


la 


14 


16 


18 


20 


60 


13,40 


16,93 


19,66 


23,57 


27,67 


31,94 


36,41 


70 


14,19 


18,20 


22,39 


26,76 


81,31 


36,01 


10,96 


60 


15,99 


20,48 


25,12 


29,04 


34,95 


40,11 


45,51 


90 


17,65 


22,75 


27,65 


53,13 


38,59 


11,23 


50.06 


100 


19,61 


85,79 


30,59 


36,32 


42,23 


18,33 


61,61 


110 


21,41 


27,90 


33,33 


89,50 


45,87 


62,42 


59,16 


120 


23,06 


29,58 


36,05 


42,69 


49,52 


66,51 


63,71 


130 


25,15 


31,85 


33,78 


45,87 


53,16 


60,62 


63,26 


HO 


26,94 


31,13 


41,00 


49,06 


66,79 


61,72 


72,81 


160 


28,74 


36,41 


44,34 


62,24 


60,44 


67,99 


77,37 


160 


30,59 


38,68 


46,97 


56,43 


64,08 


72,90 


81,92 


ISO 


34,18 


43,24 


52,-43 


61,80 


71,37 


81,10 


91,02 


200 


37,83 


47,78 


57,89 


68,17 


78,61 


89.15 


100,12 


220 


41,49 


52,34 


63,35 


74,54 


85,92 


97,48 


103,22 


240 


45,U 


56,86 


68,81 


80,92 


93,20 


105,66 


118,32 


j 260 


48,79 


61,44 


74,27 


87,29 


100,48 


113,86 


127,42 


300 


56,09 


70,55 


85,19 


100,03 


115,04 


130,24 


145,63 


350 


65,12 


81,92 


98,85 


115,95 


133,25 


150,72 


168,39 


400 


74,17 


93,29 


112,47 


131,88 


151,46 


171,20 


191,14 


600 


92,41 


116,05 


139,51 


163,74 


187,86 


211,33 


236,64 


GOO 


110,67 


138,78 


167,11 


194.00 


221,27 


253,11 


382,16 


700 


126,86 


161,56 


191,41 


225,82 


260,68 


294.08 


327,66 


600 


147,05 


181,31 


221,73 


257,72 


297,03 


335,02 


373.16 


000 


105,30 


207,06 


249,02 


239,57 


333,50 


375,86 


418,69 


1 1000 


180,19 


220,82 


276,31 


323,03 


369,90 


416,93 


464,19 



583 



XIX. VENTILE. 

§. 263. 

der Ventile. 



Ventile heissen solche Vorrichtungen in Rohrleitungen und 
Gefassen, welche dieselben abzuschliessen und wieder zu öfi&ien 
gestatten, so dass zeitweise der Durchfluss gehemmt, zeitweise 
wieder zugelassen werden kann. Die in ausserordentlicher Menge 
von Formen angewandten Ventile lassen sich in zwei Hauptklassen 
eintheilen; diese sind: 

1. Gleitungsventile, 

2. Hebungsventile. 

Zu den Gleitungsventilen gehören u. a. die Hähne und Schie- 
ber, überhaupt aber alle diejenigen Ventile, bei welchen der ab- 
schliessende Körper über seine Gegenform hinzugleiten hat, 
um die darin angebrachten Oefihungen freizulassen oder abzu- 
sperren; zu den Hebungsventilen zählen alle diejenigen Ventil- 
constructionen, bei welchen das Schlussstück von der Durchlass- 
öf&ung abgehoben, gelüftet werden muss, wie es bei den 
Klappen, den Kegelventilen, Kugelventilen u. s. w. geschieht 

Jede der beiden genannten Hauptklassen zerfallt wieder in 
zwei Unterabtheilungen, wenn man die Bewegung des abschlies- 
senden Theiles als eine Achsendrehung auffasst. Dieselbe 
findet entweder statt um eine in endlicher Feme gelegene, oder 
um eine unendlich entfernte Achse; hiemach zerfallen die Glei- 
tungsventile in: 

a. Hähne und Drehschieber, 

b. geradlinig bewegte Schieber; 

und die Hebungsventile in: 

a. Klappen oder Gelenkventile, 

b. geradlinig gehobene Ventile. 

Nach dieser Eintheilung werden im Folgenden die wichtig- 
sten und gebräuchlichsten Ventilarten behandelt. 



A. Gleitunesventile. 



§. 264. 

Der konische Hahn. 

Beim konischen Hahn ist derVentiUpiegel ein Kegelstumpf. 
Die Figuren 642 und 643 zeigen in zwei Fonnen den gebräuch- 
lichen konischen Hahn. Die Durchlassöfiiiung wird länglich ge- 
macht, um die Schlüsseldicke klein zu erbalten; den Anzug des 
Fig. flJ2. Fig. 643. 




Schlüssels nehme man auf jeder Seite zu V9 an, so c 

HahnschlüBsel von 60""" Länge oben 2 . — = 13,33 ^"^ 13""" 

mehr Durchmesser erhält, als unten. Für die Wanddicke S benutzt 
man, wenn das Gehäuse vonGusseisen ist, Formel (235), wonach 



8 = 12 



wird. Bronzene Hahngehäuse erhalten Plantschen 

wie gusseisernc, dagegen nur »/a von deren Wanddicke. In Was- 
serleitungen müssen die Hähne, damit sie nicht festrosten , an den 
Gleitflächen immer aus Bronze oder einem ähnlichen, der Ver- 
rosttmg nicht ausgesetzten Material bestehen. 

Fig. C44 1)18 647 zeigen vier Abänderungen des konisclien 
Halmes. Fig. C44 Winkelhahn, Fig ()4B und 640 zwei Drei- 



Hähne. &85 

weghähne, Fig. 647 einen Vierweghahn. Bei gegebener Kanal- 
breite und angenommener Ueberdeckung findet man den mittleren 
Fig. 64*. Pig. 64B. Fig. 646. Fig. 647. 




Schlüsseldurclimesser wie folgt. Beschreibe aus der Schlüssel- 
mitte in vorstehenden Figuren einen Kreis mit der halben Kanal- 
breite und einen solchen mit der halben gewünschten Stegbreite cd\ 
ziehe Bodann berührend an den ersteren Kreis die Kana]grenzeD ; 
halhire durch ab den kleinsten Winkel zwischen zwei benachbarten 
Kanälen, und mache die cc und dd parallel ah, so schneiden 
diese die Kanalgrenzen in den Punkten pp, durch welche der 
mittlere Durchschnittkreis des Schlüssels zu legen ist. 

Fig. 648 und 649 zeigen zwei Hähne mit Hohlschlüssel, 
sehr anwendbar als Einspritzhäjine für Condcnsatoren. 
Fig. G49. 

Fig. G18. 





Macht man den Spitzenwinkol des Halinkegels = 180", so geht 
der Hahn in den ebenen Drehschieber über; wird dagegen der 
Spitzenwinkel = 0, also der Schlüssel cyliudrisch und ausserdem 
Ton unendlich gro8semHalbmessergemacht,so geht der Hahn 



586 Hebungsventile. 

den ebenen, geradlinig bewegten Scbieber über; eine seht 
praktische und werthvolle Form des konischen Hahnes ist der 
Wilson'sche Drehschieber*). Alle diese Schieberconstruc- 
tionen gehören vorzugsweise der Dampfinaschine an, weshalb hier 
auf dieselben nicht näher eingegangen wir^. 



B. Hebungsventile. 



§. 265. 

Klappen. 

Während bei den Gleitungsventilen der Flüssigkeitsdruck 
das Ventil selbst nicht verschieben kann, werden die Hebungs- 
ventile durch ihn vom Spiegel gehoben, wenn derselbe von der 
Seite der Sitz- oder Spiegelfläche kommt. Demzufolge kön- 
nen die Hebungsventile selbstthätig wirkend gemacht werden, 
wie es bei den Pumpen meistens der Fall ist Selbstthätige Ge- 
lenkventile sind die gewöhnlichen Klappen. 

Eine Doppelklappe in ihrem Gehäuse stellen die Figuren 650 
und 651 dar. Als Dichtungsmaterial dient Leder oder Kautschuk 
(mit Leinwandeinlage). Die Sitzbreite s nehme man bei gegebener 
Lichtweite D des Ventiles: 

s = 4 + V5" (265) 

also z. B. bei 100™° Ventildurchmesser: s = 4 -|- VlOO =4t + 10 
= 14™°*. Die reinen Verhältnisszahlen in den beistehenden Fi- 
guren beziehen sich auf die Einheit s. Der Ventilkasten ist durch 
eine Thür verschlossen, welche sich um seitlich angebrachte Ge- 
lenke dreht. Fig. 652 zeigt eine vierfache Klappe. Bei dieser 
wie bei der vorigen Construction dienen schmiedeiseme zusam- 
mengenietete Deckplatten zur Versteifung der Leder- oder Kaut- 
schukplatte. Die Deckplatten sind, abweichend von den Zeich- 
nungen, in der Gegend des Gelenkes so breit zu machen, dass sie 



*) Siehe Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1858. 



Klappen. 687 

die untere Stützfläche der Klappe überdecken oder wenigstens 

beriihien, damit das Leder nicht vom Wasserdruck eingebogen 

werden kann. Fig. 653 runde Kautschukklappe; dieselbe darf 

Fig. 660. Fig. 662. 




keine Versteifungsplatten haben, damit sie sich nach oben biegen 
und an den Fangtrichter anlegen kann; daTür aber muss sie nach 
unten durch ein tiittcr gestützt werden. 

Eine Klappe aus Uronze, bei den Luftpumpen der Dampf- 
maschinen und Zuckerkuchen oft gebraucht, zeigt Figur 654 
(a. f. S.). Der Ventilsitz wird durch zwei schmiedeiseme Keile 
festgehalten, und das Gehäuse durch einen hier weggelassenen 
Deckel verschloBsen. Zur Bestimmung der Sitzbreite dient auch 



588 Klappen. 

hierFormel (265), wobei für D die kleinere der Rechteckseiten des 

Kanalquerschnittes benutzt wird. Bei allen hier dargestellten 

Fig. 664. 




Klappen sind Hubbegrenzungen angegeben; man mache den Er- 
öffnungsw-inkel = 30 bis 40**), 



Einfache Biindventile. 

Unter den geradlinig gehobenen Ventilen sind am allermeisten 
dieKegelventile angewandt, welche ebenfalls selbsttbätig wirken 
können. Zwei solche zeigt Fig. 655 in einer für Speisepiuupea 
zweckmässigen Zusammenstellung. Als Material dieser Ventile 
dient , um der Anrostung vorzubeugen, Bronze. An dem unteren 
Ventil ist hier ein gusscisemer Ventilsitz angegeben; besser ist es 
auf alle Fälle, auch hier einen besonderen bronzenen Sitz einzu- 
setzen. Die Anschlüsse ach en beider Sitze sind dann als einem 
und demselben Konus angekÖrig auszubohren. Die Sitzbreite s 
wird nach (265) gewählt; auch beziehen sich auf diese Zahl wieder 
die reinen Verhältnisszahlen in den Figuren. Die Projection des 
Spiegelringes erhält eine Breite ^ s — 4"""; in Folge dessen wer- 
den die kleinen Ventile schärfer konisch als die grösseren. Bei der 
Construction des Ventilkastens ist sorgfältig darauf zu achten, 
dass der Abfluss oberhalb jedes Ventiles genügend hoch über 
den Ventilscheitcl gelegt werde, damit nicht der Rückstrom 



•) Sehr beachtenswerilio Bemerhungen über Klappen, wie auch über 
Rund Ventile liehe in der Abhandlang von Prof. Fink „lieber Pumpen- 
ventile und KUppeD''.ZeitBchr. d. V. deutscher Ingenieure 1^0, S. 497. 



RuiidventJle. 589 

das Ventil offen hält, welcher Fehler sehr häufig vorkoramt Der 
hier gezeichnete Verschluss des Ventilkastens wird ohne Dich- 
tungsmittel angewandt Andere machen ihn eben, wobei ein Dich- 
tungsmittel unentbehrlich ist. 

Fig. 656. Kugelventil Die Sitzbreite s und ihre Projec- 
tionen werden wie vorhin gemacht Behufs Auffindung des passen- 
den Kngeldurchmessers eiTichte man auf der Mitte der gegenüber- 
liegenden Spiegelschnitte Senkrechten; ihr Schnittpunkt tn ist 
der Kugelmittelpunkt. Der AbtluBskanal muss wegen der grossen 
Fig. 656. Figr. 656. 




Höhe des Ventiles hier besonders hoch über dem Ventilspiege! 
angebracht werden. Viele tüchtige Constructeure stellen die 
Kugelventile nicht über die Kegelventile; die richtige Function 
beider hängt vor allem von der soeben erwähnten richtigen An- 
bringung des Abflusskanales ab. Bei unrichtiger Lage desselben 
verlieren auch Kugelventile nach kurzer Zeit ihren guten Gang *). 
Die Hubhöhe h der Kegel- und Kugelventile nehme man 

gleich oder ein wenig grosser als — ■ 

•) Eine vorzügüphe Einrichtung zum Drehen von Ventilkujteln ist die 
Weidtmann'sche, siehe Uhland, prakt, M. C. 1870. S. 83 Tafel 24. 



590 Hebungsventile. 



§. 267. 

Doppelsitzventile. 

Wenn ein gewöhnliches Kegelventil den Flüssigkeitdruck von 
oben statt von unten erfährt, so erfordert seine Hebung eine äus- 
sere und zwar nicht unbedeutende Kraft, welche proportional der 
ganzen Ventilprojection ist. Die doppelsitzigen Kegelventile 
nach den folgenden drei Formen bedürfen dagegen im gleichen 
Falle einer weit geringeren Hebekraft, indem diese nur propor- 
tional ihrer Spiegelprojection wird. Aus diesem Grunde werden 
die Doppelsitzventile bei Dampfmaschinensteuerungen vielfach 
benutzt. 

Fig. 657. Hornblower-Ventil, auch Puppen- oder 
Dockenventil genannt. Dasselbe ist hier so angeordnet, als 
solle die Flüssigkeit von unten in den Ventilkasten eingeleitet 
und nach beiden Seiten je zur Hälfte weggefiihr,t werden. Will 
man die Ableitung ganz nach einer Seite hin haben, so hat man 
den Kanal etwa doppelt so gross von Querschnitt zu machen, 
als er hier angegeben ist Der mittlere Durchmesser If 
des Ventiles ist ^ 0,82) zu nehmen, wenn D den Durchmesser 
des Zuleitungsrohres bezeichnet. Wird jy grösser als 0,8 D ge- 
macht, so darf der Ventilhub ä kleiner sein, als im ersteren Falle, 
und zwar nehme man für ä als Minimum: 



D 
oder 



' 8 \iy) 
D ~ 8 \iy) 



(266) 



Beispiel. WiXl man da$ Ventil möglichit klein erhalten, macht aUo 
ly = 0,8 D, so ist zu nehmen: 5> = 4 • 1,25^ = 0,195 oder ^ =^ = 

0,156. Bei D'=D wird -^ = ^ = j = 0,125; bei D'= % D: -^ = 
l (0,8)* = 0,08 oder -g = 0,10. 

Die Breite des einzelnen Ventilsitzes wird ^ der Hälfte des 



aas (S!65) herrorgeheaden Werthes genommen , indem nämlich zu 
machen ist: 

Fig. 657 




s = 4 + V'^ (267) 

wobei die Gesammtprojection des Spiegebinges auch wie früher 



s: s — 4"^ gemacht wird. Einzelne nehmen neuerdings bei den 
Doppelsitzventilen s noch kleiner, nämlich bis zur Hälfte des^ 
Werthes aus (267). 

Beispiel. Für eine Rohrieeite von 300'«'« sei der Ventildurchmesser 
D' = 0,8 . D = 0,8 . 300 = ^SJO™» gewählt worden. Dann erhält jeder 



einzelne Spiegelring die Breite -x = 
gerundet 10^", und die Projection - 






Das Gros'sche oder ülockenventil, Fig. 658, dient sehr 
gut, wenn die Flüssigkeit seitlich in den Ventilkasten eingeführt 
Fffr. 658. 




und nach unten abgeleitet werden soll. Der mittlere Ventil- 
durchmesser D' ist ^ der Bohrweite 2> zu nehmen. Für h und s 
gelten die Formeln (266) und (267). Es ist, wie die Punktirung 
andeutet, leicht, auch hier die Leitung der Flüssigkeit an beiden 
Seiten des Kastens anzubringen. 

Das ebenfalls von llornblower herrührende Rohrventil 
zeigt Fig. 659. Einleitung der Flüssigkeit von unten, Ableitung 
zur Seite. Der mittlere Ventildurchmesser IX ist gleich i) + s, 
also der untere Durchmesser D, ^ der Rohrweite D zu nehmen. 



Doppetsitzrentile. 693 

' Für Hubhöhe und Sitzbreite gelten die obigen Formeln. In un- 

fierer Figur ist noch ein Entlastungskolben an der Veotil- 
Fig. 659. 




Stange angegeben. Derselbe ist bei den vorigen zwei Conatructionen 
ebenso leicht wie hier zu gebrauchen und für Ventile von grosBem 
Durchmesser sehr empl'ehlenswerth , indem bei diesen die Hebe- 
kraft trotz der Kleinheit der Druckfläche oft noch sehr bedeutend 
ausfällt Durch passende Annahme des Durchmessers des Kol- 
bens tässt sieb die Hebekraft auf jede wünschbare Kleinheit herab- 
ziehen. Das punktirte zweite Ableitungsrohr ist leicht anzubrin- 
gen, wenn es erforderlich ist. Gibt man dem Abflussrohr statt 
des kreisförmigen einen rechteckigen Querschnitt wie bei Fig. 659, 
so lässt sich der Abstand der Spiegel, also die Höhe des Ventiles 



594 Doppelsitzventile. 

noch bedeutend herabziehen. Bei den amerikanischen Construc- 
tionen findet man das Rohrventil wie das Dockenventil meistens 
normal zur Achse in der Mitte getheilt ausgeführt und dort zu- 
sammengeschraubt; dadurch wird ermöglicht, den unteren Ventil- 
sitz noch grösser als jetzt zu machen, und zwar wird er sehr nahe 
so gross wie der obere Sitz ausgeführt, und dadurch also die 
Hebekraft noch ganz bedeutend herabgezogen, so weit, dass 
nur gerade genug Druck übrig bleibt, um den dichten Verschluss 
zu ermöglichen. 

Bei allen Doppelsitzventilen ist grosse Sorgfalt auf die An- 
fertigung zu legen, damit die Schlussflächen stets gleichzeitig 
aufliegen. Auch die Führung in der Richtung der Achse ist für 
die Erhaltung des Ventiles wichtig. Einzelne neuere Construc- 
tionen zeigen deshalb statt der hier angegebenen Führung mit- 
telst der dünnen Stege eine solche mittelst eines kräftigen Cylin- 
ders oberhalb des oberen Sitzringes. Das Docken -Ventil, Fi- 
gur 657, erfordert die kleinsten Abmessungen unter den drei Con- 
structionen. 



XX. KOLBEN. 



§. 268. 

Verschiedene Arten von Kolben und Kolben- 
Verschlüssen. . 

Stempel oder Kolben sind Organe zur Aufnahme der Bewe- 
gung von Flüssigkeiten und zum Uebertragen von Bewegung auf 
Flüssigkeiten tropfbarer oder gasförmiger Natur. Sie wirken 
durch ihre relative Bewegung gegen Gefässe, in welchen sie durch 
Aenderung ihrer Lage Veränderungen der von denselben um- 
schlossenen Räume verursachen. 

Ein Kolben muss behufs der räumlichen Theilung des ihn 
umgebenden Gefässes oder Stiefels mit einem die Bewegung ge- 
stattenden mehr oder weniger dichten Verschluss an den Gefäss- 
wändeii anliegen, welcher Verschluss demnach in seiner Ein- 



Kolben. 



595 



richtung von der Form des Kolbens und des Stiefels abhängig ist. 
Die gebräuchlichste Kolbenbewegung ist die geradlinige und des- 
halb die gewöhnliche Kolbenform eine prismatische, welche zudem 
für die Mehrzahl der Fälle in die des Kreiscylinders gebracht 
wird. Hier sollen nur die cylindrischen Kolben behandelt 
werden; aus den für dieSQ gültigen Grundsätzen lässt sich die 
Construction anders geformter Kolben dann leicht ableiten. 

Der dichte Verschluss wird auf mancherlei verschiedene Wei- 
sen bewirkt. Eine der gebräuchlichsten Dichtungsarten ist die 
der Stopfdichtung oder Stopfung, bei welcher elastiscL nach- 
giebige Körper den Kolben in Form eines Einges umgeben , der 
gegen die eine der CylinderÜächen während deren Bewegung an- 
gepresst wird, in die Gegenwand aber versenkt ist. Das Lide- 
rungsmaterial oder die Packung wird durch passende stellbare 
Vorrichtungen so fest angepresst, dass sie die abzusperrende Flüs- 
sigkeit nicht durchlässt. 

Je nach der Lage des Packringes in der Wand des Hohl- 
cylinders, oder in derjenigen des Vollcylinders kann man äussere 
und innere oder Hohlpackung unterscheiden, Fig. 660 und 
661, auch eine zweifache Dichtung, welche eine äussere und eine 
innere an einem Kolben vereinigt, bilden, Fig. 662. Die erstere 
wird mit Vorzug eine Stopfbüchsendichtung, die zweite eine 
Kolbendichtung genannt. Läset man den Stiefel an der einen 
Seite offen, wie in Fig. 660 bis 6G2 angedeutet, so heisst der Kol- 
ben einfachwirkend; die Formen Fig. 661 und 662 werden ins- 
Fig. 6Ö0. Fig. 6ei. Fig. 662. 




besondere Tauchkolbea oder Taucher genannt; der Kolben 
Fig. 662 führt auch den Namen Perspectivkolben. 



696 Kolben. 

Wird der Stiefel aach anf der anderen Seite des Kolbens ver- 
scbliessbar gemacht, Fig. 663, 664, 665, so kann der Kolben dop- 
peltwirkend gebrancht werden und wird danach benannt Der 
Kolben Fig. 663 heisst hänfig ein Scbeibenkolben. um eineii 
Fifr. 663. Fig. 664. Fig. 666. 



wm 



■ 



i 



doppeltwirkenden Kolben von dem Räume auaserhalb des Stiefels 
ans bewegen zu können, versieht man denselben in der Regel mit 
einer nach aussen gehenden Kolbenstange, Fig. 666 und 667, 
welche seihst einen Kolbenverschluss bekommt und dann nichts 
anderes ist, als ein mit dem ersten Kolben verbundener Tauch- 
kolben, der gewöhnlich mit Hohlpackung o versehen wird 
(Fig. 661), doch auch äussere Dichtung erhalten kann, wie bei a', 
Fig. 666. Fig. 667. Fig. 663. 






Fig. 606, punktirt ist. Dieser zweite Kolben wirkt als Taucher auf 
die Flüssigkeit, sodass letztere über und unter den Kolben eine ver- 



Kolben. , 597 

schiedene Einwirkuog erfährt. Soll diese Verschiedenheit vermie- 
den werden, so wird auf der Gegenseite des Hauptkolbens eine der 
ersten gleiche Kolbenstange angebracht, wie in Fig. 666 punktirt 
angegeben. Die Kolbenstange kann auf verschiedene Arten ver- 
mieden werden, u. a. nach Fig. 668 , wo ein Kurbelgetriebe in das 
Innere des Stiefels gelegt ist; eine andere Methode besteht darin, 
dass man den Kolben durch Flüssigkeitsdruck in Bewegung setzt 
(die hydraulische Presse, Joy's Dampfhammersteuerung u. s. w.). 

Einfach- und doppeltwirkende Kolben erhalten oft Durchlass- 
öflfnungen, welche mit Ventilen versehen werden, und heissen dann 
Ventilkolben, auch durchbrochene, gegenüber den bisher 
besprochenen massiven Kolben. 

Bei der bis hierher vorausgesetzten Dichtungsart muss der 
dichte Verschluss durch fremden Druck auf die Packung herbei- 
geführt werden. Denkt man sich zwischen Packung und Gleit- 
iiäche eine dünne Schicht der abzusperrenden Flüssigkeit, Was- 
ser, Luft, Dampf u. s. w. gelagert, so wird offenbar die gepresste 
Flüssigkeit von der stärker gedrückten Seite des Kolbens nach der 
schwächer gedrückten nicht wandern können, wenn der Druck auf 
die Packung so gross ist, dass die vermittelnde Flüssigkeitsschicht 
dieselbe Spannung hat, welche auf der stärker gepressten Kolben- 
seite herrscht. Diese Spannung wird aber zwischen Packung und 
Gleitfläche hervorgerufen bei den sogenannten selbstthätigen, 
selbstschliessenden oder autoclaven Dichtungen. 

Fig. 669 und 670 selbstschliessende sogenannte Stulpdich- 
tungen für Scheibenkolben und Tauchkolben; die stärker ge- 

Fijyr. 669. Fig. 670. Fig. 671. 






presste Flüssigkeit drückt auf die Rückseite des verschliessenden 
(Leder-) Stulpes, so dass dieser mit der vorhin erwähnten Kraft 
an die Gleitfläche gepresst wird. Fig. 671, Metall-Liderung, 
meistens für Scheibenkolben, doch auch für Tauchkolben ange- 
wandt; die stärker gespannte Flüssigkeit hat Zutritt zur Rückseite 



5d8 



Kolben. 



des abdichten den Metallringes, und presst denselben sowohl an die 
GlettSäche, als an die eine der Randäächen der Ringbettung. 

Dem Blasebalg entnommen ist die Membrandichtung, 
welche bei den Kolben der sogenannten Priesterpumpe, Fig. 
672, angewandt ist. Sie ist bei wirklich undurchdringlichem 
Stoffe der Membran ganz frei von ündichtheiten. Diese Membran 
wurde u. a. von Metall (Stahl) ausgeführt von Martini (1852) in 
Fig. 672. Fig. 673. FiR. 674. 



m 




einer Dampfmaschine; um sie recht elastisch zu machen, wird sie 
gewellt und wiederholt angewandt (Manometer), Fig. 673. EUne 
Abänderung der Membrandichtung ist die Schlauch- oder Sack- 
dichtung, in Fig. 674 für einen Tauchkolben angegeben*). 

Unter die selbstschliessenden Kolbendichtungen gehören auch 
die hydrostatischen oder Wasserschluss-Diclitungen, Fig. 
675 und 676, hier beide für Tauchkolben gezeichnet. Die erstere 
Form wird u. a. zur Wasserfördcmng bei Setzmaschinen (Auf- 
bereitungsmaschinen), letztere bei Gasbehältern, Luftpumpen, bei 
dem Seiler'schen Luftdruck-Hebezeug, bei der Taucherglocke, 
bei den Luftkasten der Unterwasserbauten (Pfeilergründungen) etc. 
Fig. 675. Fig. 676. Fig. 677. 




•r-rn, 
H |i| ! 




•) Von Dr. Tachau 
verdichtungspumpe mit 



in kleinem MaSBMtabe (wohl zuerst) für e 
u« gezeichnetem Erfolge benutzt. 



Kolben. 



599 



aufs mannichfachste benutzt Stulpdichtungen und gewöbnliche 
ätopfdichtungen werden nicht selten durch Bedeckung des Kolbens 
mit einer Wasser- oder Oelschicht gegen Luftdurchlass sicher ge- 
stellt (Fig. 677). 

Eine letzte Klasse der Kolbendichtungen bilden die offenen 
Dichtungen, Fig. 678 , welche der abzufliesaenden Flüssigkeit 
freien Zugang zu einer labyrinthartig gebildeten Umgebung des 
Kolbens gestatten, und deshalbLabyrinthdichtungen heissen 
können. Diese Kolbenverschlüsse werden vorzugsweise für Luft- 
abschluss gebraucht. Die abzusperrende Luft ergiesst sieb ver- 
möge des Wechsels der dargebotenen Kanalquerschnitte mit fort- 
während verzögerter Geschwindigkeit durch das Labyrinth, so dass 
ihre Spannung an dem Auszug auf der Gegenseite des Kolbens 
wesentlich kleiner ist, als auf der Druckseite, um so kleiner, je 
grösser die Kolhengeschwindigkeit in der Richtung des Luftdurch- 
ganges ist (s. Weisbach, Mech. IIL 2. Abth. §. 410). An der un- 
tersten Grenze der Labyrinthdiebtungen stehen die Dichtungen, hei 
welchen der Kolben als einfache Platte mit seinen Rändern in klei- 
ner Entfernung an den Gefässwänden entlang geht (Fig. 679), wie 
es z. B. hei der sogenannten Scheibenkunst zur Waaserhebung, bei 
den Kropfrädern (mittelschlächtigen Wasserrädern), bei den Ven- 
Fig. 678. Fig. 679. Fig. 680. 



ril 




tilatoren oder Flügelradgebläsen, bei dem Fabry'schen, dem Le- 
mielle'schen Ventilator u. s. w, der Fall ist An der oberen 
Grenze der Labyrinthdichtungen stehen die Luftkolbendich- 
tungen mitBürstenbesatz, Fig. £80, welche u.a, bei einer Luft- 
druckeisenbaho beim Sydenhampalast in Anwendung gekommen 
sind. 

Cylindrische Kolben, welche ohne alle Packung dicht 
eingeschliffen werden, sind nicht häufig. Kleine Anwendungen 
finden sich bei den Indicatoren, grössere, and wie es scheint 



600 Kolben und Stopfbüchsen, 

sehr befriedigende u. a. bei den Metz'schen Feuerspritzen, wo 
dieselben sowohl für Wasser- als für Luftförderung dienen. Unter 
Umständen geht im Gebrauch ein Metallringkolben in Zustände 
über, bei welchen er sich so verhält, als ob er als fester Cylinder 
dicht eingeschliffen wäre*). 



§. 269. 

Stopfbüchsen. 

Der Unterschied zwischen den Stopfbüchsen und Kolbendich- 
tungen ist, wie oben erörtert, nur ein constructiver; bei der 
Stopfbüchsen-Dichtung wird das Liderungsmaterial oder die 
Packung (Hanf, Leder, Baumwolle mit Talkerde, Gummi, Filz, 
Sägespähne, Metall-Segmente) auf der concaven Wandfläche des 
umschliessenden Körpers angebracht, während es bei der speziell 
so bezeichneten Kolben-Dichtung auf der convexen Seite des 
umschlossenen Körpers gelagert wird. 

Die folgenden Figuren zeigen zwei vollständige cylindrische 
Stopfbüchsen für Hanfliderung bestimmt. Fig. 981 stehende 
Stopfbüchse, Fig. 682 hängende Stopfbüchse. 

Die Einlagen in Brille und Topf werden aus Bronze ge- 
fertigt, damit sie die umfasste Kolbenstange nicht abnützend an- 
greifen. Die ringkeilförmige Profilirung derselben hat Farcot ein- 
geführt; sie bewährt sich besser, als die früher gebräuchliche 
einseitige Zuschärfung der Einlagen, welche sehr leicht aussen um 
die Packung herum die abzudichtende Flüssigkeit durchlässt. 
Neuerdings ist man übrigens auf den Mittelweg gekommen, die 
Druckflächen entweder ganz eben, wie in Fig. 683, oder doch nur 
leicht gewölbt wie in Fig. 683 herzustellen. Eine recht zweck- 
mässige hängende Stopfbüchse zeigt Fig. 684. Ihre Entstehung aus 
der stehenden Stopfbüchse ist sofort verständlich. Im Cylinderboden 
ist um die Stopfbüchsöffnung herum ein Rändchen angebracht. 
Dieses verhindert das Condensationswasser, in die Büchse zu flies- 
sen. Die beiden Schrauben haben hier am freien Ende einen cy- 
lindrischen Fortsatz ihres Kerncylinders; diese neuerdings sehr 



♦) Siehe Constructionslehre für den Maschinenbau, Seite 902. 



Stopfbüchsen. 601 

gebräuchlich werdende Einrichtung erleichtert ungemein das Auf- 
bringen der Mutter auf die Schraube. 

Fig. 681. Fig. 682. 





604 Kolbenreibung. 

ren Rand der Einbettung des Stulpringes vorspringen, damit der 
Kolben nicht die Gusseisenwand streift. 

Die Reibung, welche ein Tauchkolben oder eine Kolben- 
stange in einer gewöhnlichen, durch Schrauben angepressten 
Packung erfährt, ist nicht voraus berechenbar, da sie von dem 
Drucke auf die Packung abhängt. Bei den selbstthätigen Stulp- 
dichtungen dagegen, wo die abgesperrte Flüssigkeit selbst den 
Dichtungsdruck bewirkt, kann man die Reibung berechnen. Nach 
sehr lehrreichen Versuchen von Hick*) ist bei einer gut geölten 
Lederstulpdichtung die Reibung (wie man nicht erwarten durfte) 
unabhängig von der Stulpbreite und steht in einfachem Verhält- 
niss zu Wasserspannüng und Kolbendurchmesser. Man hat nämlich 
bei der Belastung P des (Press-) Kolbens vom Durchmesser D die 
Reibung F: 

F 1 

P = n (269) 

Bei neuem Leder ist die Reibung inind V/^ mal so gross. Ist statt 
P die Flüssigkeitsspannung p auf die mm^ gegeben, so hat man 

— = T^ (270) 

Beispiel, Für einen Preaskolben von 10'»^ Dicke ergibt sieh aus 
(269) ein Reihung sverlust = — oder 10 Procent ^ hei 600^'^ Kolhen- 

durchmesser hingegen nur zu 0,00167 oder — Procent. Ist zugleich 
beispielsweise die Wasserspannung 300 Atmosphären, oder 3^ auf den 
mm^, so ist der Reihungs wider st and F selbst nach (270) = -r- 600 .3 ^ 

U14Jt; der Kolbendruck P beträgt dabei: 3.^ . 600^ = 3 . 282743 = 

4 

164 829*. 



§. 270. 

Dampfkolben. 

Unter den Kolben sind am wichtigsten diejenigen der Dampf- 
maschinen. Sie werden bei niederem Dampfdruck oft noch mit 



♦) Siehe Verhandl. d. Vereins f. Gewerbfleiss 1866, S. 159. 



Dampfkolben. 605 

HanflJderung versehen; bei höheren Spannungen wendet man 
aber durchgeheads Metall-Liderung, bei welcher Metallringe 
durch Federn gegen die Cylinderwand angelegt und darauf durch 
den Dampf fest angepresst werden, an; in manchen Fällen zeigt 
sich übrigens die gemischte Liderung sehr zweckmäsBig, eine 
Liderung, bei welcher die Metallringe durch eine hintergelegte 
Hanfpackung statt durch Federn angepresst werden. 

Als Bezugeiuheit für die EolbeuabmesBungen benutzen wir 
wieder wie oben die Zahl: 



s = 4 fD-\-l- 3 (271) 

wobei D den EolbendurchmesBer bezeichnet 

Fig. 687. Hanfkolben, nach der Penn'schen Constructions- 
art als hohle Dose gegossen; durch einen Kingdeckel wird die 
Hanfpackung nachgepresst; die Schrauben, welche hierzu dienen, 

Fig. 687. 



haben eingelassene bronzene Muttern. Bei den grosseren Durch- 
messern erliält der Kolbenkörper eine Wölbung in der Mitte; man 
gebe, um diese in angemessener Weise zu erhalten, dem Kolben 

in der Mitte die Höhe 6s + ^t-t, behalte dagegen die Randhöhe 
7,8 8 bei, wenn letztere grösser ausfallt als erstere. 

Beigpitl. Es eei für einen tu conetrmrenden Hanf kolben D ^ 
600«"", M ist » = 17. Danach toird: die Dicke der Paekung 1,8 . 17 = 
31'"", die Höhe derselben 6 ■ 17 r= lOä'»", die Höhe des Kolbenrattdet 

7,8 . 17 = «a-"", die Höh« des Kolbens an der Nabe 6 . 17 -|- — = 
leS""", ioas bedeutend mehr ist, als die Bandhöhe. 



60'i ^letallkolben. 

Kineii sehr guten Metallkolben (Kranss) zeigt Fig. 688. 
Zwei schräff auf«eschnittene Kinge ans Stahl mit AVeissmetaU 
Fig. 6*?. 




umgOKBeii, bilden die Liderung. Will man jeden einzelnen Kot- 

Ijeiiring :iii d<:r ^(-linittfu^'e dicht machen, so kann man einen der 

in folgender t'ig. GH9 angedeuteten Kingschlüsse anwenden. Die 

Fit. G89. 



eingear-tztcn Stücke bind dicht einzuschleifen; dasselbe gilt von der 
Ueberliliittuiig bei der ersten Absclilussart. Es zeigt sich höchst 
zweckmässig, die reibenden Hiichen der Scblussringe aus einem 
weicheren Metall als die Cjlinderwand herzustellen, damit die Ab- 
nützung vorifugHweiHc die leichter zu ersetzenden Ringe angreift. 
Deshalb sind auch ganz bronzene Kolbenringe sehr brauchbar, 
eiserne und gar stählerne aber nicht zu empfehlen, mit der Aus- 
nahme für üusseisen, dasa dasselbe von besonderer Weichheit, die 
Cyl inderwand aber recht hart sei. 

Fig. (i!)0. Ramsbotton'scher Kolben. Drei Stahl- oder bes- 
ser Mesaingringe von 6""" Breite und Höhe im Querschmtt bilden 
die Liderung dieses vielfach bewährt gefundenen Kolbens. Fig. 
6'Jl zeigt den sogenannten schwedischen Kolben. Seine Ringe, 
aus recht homogenem Gusseisen, aus einer elastischen Bronze ode 
fwas weniger gut istj aus Schmiedeisen bestehend und nach Fi- 
gur Güi) I, gestossen, werden so weit auseinandergebogen, dass sie 
über die Ränder des Kolbenkörpers gehen. Letzterer findet sich 



Schwedischer Kolben. 607 

auf den schwedisdien (Karlssunder) Scliiffsmaschinen und da- 
nach auf französischen Bahnen in ^hmiedeisen ausgeführt, 



Fig, G90. 





608 Gemischte Lidening. 

wodurch er sehr leicht ausfallt Aoch für Loftpompen hat maa 

nenerdings mit Erfolg deii>BchTedischeo Kolben benutzt. 

Einen schwedischen Kolben für LanddampfiDascbinen , einer 
grossen Gebläsemaschine tod rortrefOicher ConstructioD (Ege- 
storff j entnommen, zeigt Fig. 692 (a, t. S.). Der Kolbenkörper ist 
dosenformig hergestellt, wie der in Fig. 687 ; der Ornndriss zeigt 
die runden Löcher, welche zum Herausarbeiten des Kerns nach 
dem Gusse dienen. Die Dichtungsringe bestehen aus Gusseisen 
und sind nach Fig. 689 L gefugt Kleine Stifte ächem ihre peii- 
pberiale Lage. Beacbteoswerth ist die Befestigung der Kolben- 
nabe; der Querkeil ist durch einen zweiten Keil, und dieser durch 
eine Verschraubung gesichert 

Einen Kolben mit gemischter Liderung, hier für eine 
einfach «"irkende Maschine bestimmt gedacht, zeigt Fig. 603. Die 
hinter die MetallrÄge getriebene Hanfpackung bringt einen guten 
Fig. 693. 




SchluBS her\or, wobei sie bei genügender Elasticität doch eine 
grosse Festigkeit hat. Daher ist diese bei Grobenmaschinen TOr- 
trelflich bewährte Kolbenhdening auch bei Schiffmaschinen mit 
bestem Erfolg statt der reinen ^letall-LideniDg angewandt wor- 
den, indem letztere durch das Hin- und Herschlendem des Kol- 
bens bei heftigen Schwankungen der Schiffe leicht beschädigt wird. 



g. 271. 

PmnpenkolbeiL 

Als Liilerungsmaterial fiir die Pumpenkolhen eignet sich das 
Leder selir gut, so lange die zu pumpende Flüssigkeit nicht über 
30* Temperatur hat; bei höheren Temperaturen wählt man ge- 
wühntich Hanlliderung, so z. B. für die Speisepumpen der Dampf- 



FumpcnkolbeD. C09 

kessel und die Luftpumpen der Dampfmaschinen und Zucker- 
kuchen. Ein Schcibenkolbcii mit Stulpdiehtung ist in Fig. 694 
FiR. 691. Fi?, ens. 




dargestellt; einen mit Ventilen versehenen Lederkolben, wie er für 
Schaclitpumpen gebräuchlich ist und sehr zweckmässig befunden 
wurde, zeigt Fig. 695. Die Packung besteht aus konischeu Leder- 
und L einwand ringe n , von denen je drei aufeinnndcrgeniiht sind. 
Hei beiden Kolben erfolgt die Anpressung der Packung durch den 
Wasserdruck. Saure Grubenwasser greifen oft die Lederpackung 
der Schach tpumpenkolben an; man wendet in solchen Fällen häu- 
fig vollständige Metallpackungen (mit Hingen aus weichem Guss- 
eisen) an; in Fahlun in Schweden hat man in demselben Falle 
nach vielfachen Versuchen Birkenrinde als das passendste Lide- 
rungsmaterial erkannt und eingeführt. Dczugeinheit für die Ver- 
hältnisszahlen ist die Einheit s aus Formel (271). Die Tauch- 
kolben der Schachtpunipen erhalten Stopfbüchsen-Dichtung mit 
Hanfliderung. 



. 272. 



Berechnung der Kolbenstange. 



Die Kolbenstange wird in der Regel aus Schmiedeisen oder 
aus Guasstahl gefertigt; sie ist entweder bloss oder ganz vorwie- 
gend auf Zug beansprucht und dann auf Zugfestigkeit zu be- 



610 Berechnung der Kolbenstange. 

rechnen, oder sie wird auch zusanunengepresst, und muss dann auf 
Strebfestigkeit berechnet werden, wenn ihre Länge einiger- 
maassen bedeutend ist. Bei geringer Länge tritt die Berechnung 
auf Druckfestigkeit ein, welche dieselben Abmessungen erfordert 
wie die Zugfestigkeit. Einer auf Strebfestigkeit zu berechnenden 
Stange darf also keine kleinere Dicke gegeben werden, als sie die 
Beanspruchung auf Zugfestigkeit erfordert 

a. Berechnung der Stange auf Zugfestigkeit. 

Bezeichnet D den Kolbendurchmesser, 

n den in Atmosphären angegebenen Ueberdruck 
auf den Kolben, 

80 ist der Dampfdruck P auf die Kolben = r-— — - D». Soll nun 

lüü 4 

an der dünnsten ungeschwächten Stelle die Spannung im Quer- 
schnitt 6* nicht übersteigen, so nehme man dort für die Dicke d 
der Stange, wenn dieselbe aus Schmiedeisen hergestellt, und nur 
auf Zug beansprucht wird : 

^ = 0,0408 V^T" (272) 

oder mit genügender Annäherung : 

8 57 + 7 w 



B 1000 



(273) 



Beispiel Ist n = 4, so erhält man aus (272): jr = 0fi816, also 

bei einem Kolbendurchmesser von ÖOOmm^ ^ = 50O . 0,0816 = 40,8 ./^v^ 

-k ^7 -4- 2R 

41mm, Die Annäherungsformel (273) liefert: -^= T^ = 0fi85, oder 

bei D = 500mm^ ^ = 42,5 •^^ 43'nm, 

Die gussstählerne, bloss auf Zug gebrauchte Kolbenstange 
darf 0,8mal so dick genommen werden, als die schmiedeiseme. 

Ist die Kolbenstange durch einen Querkeil oder durch Ge- 
winde u. s. w. geschwächt, so muss der Ausfall an Querschnitt 
durch Vergrösserung der Dicke ausgeglichen werden. Dies hat 
unter Umständen dazu geführt , der Kolbenstange am Querhaupt- 
ende eine Verdickung zu geben; u. a. ist dies bei Lokomotiven in 
Anwendung. Man ist dann gezwungen, die Stopfbüchsbrille zwei- 
theilig zu machen. 

b. Berechnung der Stange auf Strebfestigkeit. 
Unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen, wenn noch 
L die Schublänge bedeutet, nehme man : 



Berechnung der Kolbenstange. 611 

-^ = 0,0573 y^l^iT (274) 

nach welcher Formel folgende kleine Tabelle berechnet ist: 



L 
U 


n — 1 


n = 2 


n = 3 


n = 4 


n-5 


n — 6 


n = 7 


n — 8 


1,5 
2,0 
2,5 


0,070 
0,081 
0,091 


0,083 
0,096 
0,108 


0,093 
0,107 
0,120 


0,099 
0,115 
0,128 


0,150 
0,121 
0,1 3G 


0,110 
0,127 
0,142 


0,114 
0,132 
0,148 


0,118 
0,136 
0,153 



Diese Wertjie gelten für die schraiedeiserne sowohl, als für 
die gussstählerne Stange (vergl. die Berechnung des Pleuelstan- 
genschaftes, §. 244, und das Verhältniss der Elasticitätsmodel bei- 
der Materialien, Tabelle §. 2). 

Beispiel. Ein Dampfcylinder von 400mm Weite und 1000mm Schuh- 
länge habe 4 Atmosphären nützlichen Druck auf den Kolben; dann ist 

nach Spalte 5 Zeile 3 (wegen jr = == 3,5) su nehmen: jr = 0,128, 

oder ^ = 0,128 . 400 = öi»»»», was für Schmiedeisen und Gussstahl gilt. 

Die Abmessungen des immer aus Stahl zu fertigenden Kol- 
benkeiles findet man so gewählt, dass die Beanspruchung auf 
Abscheeren 4 bis 6^ Spannung |im Keil hervorruft ; dabei wähle 
man die Keilbreite nicht zu gering, damit der Flächendruck auf 
die schmale Seite des Keiles nicht zu gross ausfalle. Flächen- 
pressungen von 5 bis 6^ «bei Landdampfmaschinen und 8 bis 10^ 
bei Lokomotiven finden sich an bewährten Ausführungen vor. 



39* 



^12 



XXL SEILE UND KETTEN. 

§. 273. 

Verschiedene Arten von Seilen und Ketten. 

Im allgemeinen werden die Seile und Ketten zur Ausübnng 
Ton Zagkräften T^enatzt und können als Zagkraftorgane, 
d. 1l aU Organe, welche wesentlich nar als Mittel zar Uebertra- 
gang von Zagkräften geeignet sind, bezeichnet werden: man un- 
t^^rscheidet l>ei ihnen zwei Haaptarten, nämlich: 

L die stehenden Seile und Ketten, 
2. die laufenden Seile und Ketten. 

Erstere dienen zum blossen Tragen von Lasten, zum Verspan- 
nen von Bauwerken und kommen z. R bei den Hangebrucken, 
Schiffbrücken, beim Takelwerk der Schiffe, beim Spannwerk eiser- 
ner Kamine u. s. w. vor. Die laufenden Seile finden ihre Anwen- 
dung bei den Has<:henzügen , den Haspeln, Seilwinden, Kranen, 
ül>erhaupt den Auf Zugmaschinen, ausserdem auch bei den 
Schnur-, Seil- und Kettentriebwerken oder indirekt wirkenden 
Hadern (h. §. 154;. Hiemach kann man die Zugkraftorgane unter 
2. noch in: 

a. Lastseile und -Ketten, 

b. Triebseile und -Ketten 

trennen, welche eine verschiedene Ausbildung in der Praxis er- 
fahren haben. Diese besteht namentlich darin, dass bei den Triebe 
seilen und -Ketten ganz besondere Rücksicht auf den Schutz vor 
Abnutzung genommen werden muss, und ausserdem auf das End- 
losinacben, d. i. die in sich selbst zurücklaufende Form des Orga- 
nen, HcHlacht zu nehmen ist. Vergl. Kap. XL 

Die Materialien der Seile sind Pflanzenfaser, namentlich 
Hanf, und Metall, namentlich Eisendraht; die Ketten werden 
kaum anders als aus Eisen gefertigt. Es sollen nun die Hanfseile, 
Drahtseile und Ketten getrennt besprochen werden. 



= 2,85^1 (^^^> 



Berechnung der Lastseile. 613 

A. Hanfseile. 
§. 274. 

Runde Seile. 

Am meisten gebräuchlich sind die runden dreilitzigen 
Seile. Sie werden fest oder lose geschlagen, je nachdem sie 
mehr als stehende oder als laufende Seile dienen sollen, und sind 
entsprechend stärker oder schwächer zu belasten. Bezeichnet: 

d den Durchmesser des um die drei Litzen beschriebenen 

Kreises, 
u den Seilumfang (d. i. die Länge eines das Seil umspan- 
nenden Fadens), 
6 die Dicke jeder der drei Litzen, 

80 ist zunächst: 

d = 2,15 d 

u = 6,14 5 

und kann genommen werden, wenn noch P die Belastung be- 
zeichnet: 

für lose geschlagene Seile 

die Spannung im Querschnitt zu */3*? worauf man erhält: 

d = 1,2 VF I 

w = 3,42VP (275) 

P= 0,7 d'i = 0,085 M» J 
für fest geschlagene Seile 
die Spannung im Querschnitt zu 2*, worauf sich ergibt: 

d = VP ] 

M = 2,85 VF (276) 

P= d^ = 0,125 m2 I 
Eine Reihe von Werthen nach diesen Formeln gibt die unten 
iblgende Tabelle. 

Der Bruchmodel liegt für gut geschlagene Seile aus zuver- 
lässigem Material bei 8 bis 9* für lose Seile, und 12 bis 13* für 
festgeschlagene Seile, wobei nicht zu vergessen ist, dass der Quer- 
schnitt des Seiles = der Summe der Querschnitte seiner Litzen ist. 
Der Halbmesser R der Rollen und Trommeln, um welche die 
Seile geschlungen werden, wenn sie laufende Seile sind, soll bei 



614 Eigengewicht der Hanfseile. 

den losen Seilen nicht weniger als 3 bis 4d, bei den festen nicht 
weniger als 6 bis 8ti, gemessen bis zur Seilmitte, betragen. Bei 
ganz starkem Gebrauch wie bei den Fördermaschinen der Gruben 
geht man mit R nicht unter 25 d. 

Flache Hanfseile werden aus 4 bis 6 runden Seilen zusam- 
mengenäht, deren jedes auf beziehlich auf Vi bis ^g der Last zu 
berechnen ist, wobei jedoch eine sorgfältige Anfertigung voraus- 
gesetzt ist. 



§. 275. 

Gewicht der Hanfseile und Einfluss desselben. 

Das Gewicht Gq auf den laufenden Meter ist im Durchschnitt: 
bei den lose geschlagenen Seilen: 

Go = 0,00071 rf2 (277) 

bei den festen Seilen: 

ffo = 0,00106 rf» (278) 

oder auch bei losen und festen (und ausserdem runden oder 
flachen, drei- oder \4erlitzigen) Seilen: 

r - ^ 

' ■"" lüOO \ (279) 

woraus P = 1000 Go 

Die beiden letzten Formeln zeigen, dass man die Tragkraft 
eines Seiles von übrigens bekannter Material- und Anfertigungs- 
güte aus seinem Gewicht bestimmen kann. Nach (279) trägt 
nämlich ein Seil bei Vernachlässigung der Wirkung seines Eigen- 
gewichtes lOOOmal so viel als es pro laufenden Meter wiegt 

Will man das Eigengewicht des senkrecht herabhängenden 
Seiles berücksichtigen, was in der Regel unnöthig ist, so hat man 

in den Formeln (275) bis (276) für P den Werth . zu 

1 — 

1000 

setzen, wobei L die Seillänge in Meter angibt. Für L = lOOO" 

wird dann d unendlich gross, d. h. das Seil wird dann schon durch 

sein Eigengewicht auf seine ganze Tragkraft beansprucht. 

Die Länge von 1000*" kann die Traglänge des Seiles genannt 

werden. 



Dreilitzige Hanfseile. 615 

Hat das Seil eine grössere Länge als die Traglänge, so bean- 
sprucht sein eigenes Gewicht es über die statthafte Grenze hin- 
aus. Bei einer Länge von 5000 bis 6000™ wird das Seil durch sein 
eigenes Gewicht zerrissen, weshalb man diese Länge die Zerreiss- 
länge nennen kann. 

Bei einem ganz in Wasser getauchten Seil (Ankertau, Senk- 
bleischnur) steigen Trag- und Zerreisslänge auf und über das 
Doppelte der obigen Zahlen. 



§, 276. 

Tabelle über die dreilitzigen Hanfseile. 



Seil 


Lose S 


eile 




Feste 


Seile 


• 


d 


u 


P 


B 


^0 


P 


B 


Oo 














Haspel 


Förderung 




10 


28,5 


70 


30 


0,071 


100 


60 


250 


0,106 


12 


34 


101 


36 


0,102 


144 


72 


300 


0J53 


15 

• 


43 


158 


45 


0,160 


225 


90 


376 


0,239 


20 


57 


280 


60 


0,284 


400 


120 


500 


0,424 


25 


71 


438 


75 


0,444 


625 


150 


625 


0,663 


30 


86 


630 


90 


0,64 


900 


180 


750 


0,96 


35 


100 


858 


105 


0,87 


1225 


210 


875 


1,30 


40 


114 


1120 


120 


1,14 


1600 


240 


1000 


1,70 


45 


128 


1418 


135 


1,44 


2025 


270 


1125 


2,15 


50 


145 


1750 


150 


1,78 


2500 


300 


1250 


2,65 


55 


160 


2118 


165 


2,15 


3025 


380 


1375 


3,21 


60 


171 


2520 


180 


2,56 


3600 


360 


1500 


3,82 


65 


185 


2958 


195 


3,00 


4225 


390 


1625 


4,48 


70 


200 


3430 


210 


3,48 


4900 


420 


1750 


6,19 


75 


214 


3938 


225 


4,00 


5625 


450 


1876 


6,96 


80 


228 


4480 


240 


4,54 


6400 


480 


2000 


6,78 


90 


257 


5670 


270 


5,75 


8100 


540 


2250 


8,59 


100 


285 


7000 


300 


7,10 


10000 


600 


2500 


10,60 



6 ! Drahtseile. 

Beispiele. Ein Flaschenzugseil für 450^ Zuglast ist als lose- 
geschlagenes Seil auszuführen und erhält nach Spalte 3y Zeile 5 eine Dicke 
d = 25'nm^ ferner einen BoUenhalbmesser von wenigstens 75«»"» , und bei 
150"* Länge ein Gewicht von 150.0,414 = ti6fi^. — Ein festgeschlagenes 
Seil von 50""» Durchmesser kann nach Spalte 6, Zeile 10 mit 2500^ be- 
lastet werden und tciegt pro laufenden Meter 2ß5^, Besässe dasselbe Seil 
400^ herabhängende Länge, so wäre die anzuhängende Last zu vermin- 
dern auf (l — j~^ 2500 = 0ß.2500 = loOOt. 



B. Drahtseile 
§. 277. 

Bunde Eisendrahtseile. 

Die Eisendrahtseile werden am häufigsten 36drähtig gemacht, 
und dabei aus G Litzen von je G Drähten zusammengesetzt. 
Nennt man: 

Ä die Drahtdicke, 
i die Drahtzahl, 
P die dem Seile anzuhängende Last, 

so nehme man: 



^= 7,115« (281) 



woraus bei i = 3G wird: 

ö = j^VP (282) 

P = 25G 5-^ (283) 

und gleichzeitig r/ = 8 d ist. Die Dehnungsspannung, welche hier- 
bei in den Drahtquerschnitten eintritt, ist 9\ eine bei uns sehr häufig 
vorkommende Beanspruchung; in Frankreich nimmt man meistens 
nur 8*^ Belastung. Die Biegung um die Trommeln wirkt hier gerade 
60 ein, wie es beim Drahtseiltrieb erörtert w^urde. Der Trommel- 
halbmesser B darf deshalb ja nicht zu klein gewählt werden. Setzt 



Runde und flache Drahtseile. 617 

man die Summe der Dehnungs- und der Biegungsspannung = 27^ 
wobei die Biegungsspannung also = 18^ wii-d, so darf [vergl. 
Formel (160)] der Rollenhalbmesser nicht kleiner genommen wer- 
den als folgende Formel angibt: 

^ = 555 (284) 

R 

was bei 36drähtigen Seilen -r = nahe 70 liefert*). 

Beispiel Ein Förderseil von 42 Drähten erhält bei 2100^ Last 
nach (280) eine Drahtdicke d = 41/^7^ = 4 ^^ = 2y65^nm, Jjas 36- 

drähtige Seil erhielte nach (282) die Drahtdicke d = ^^ = 2ß6mm, 

Im ersteren. Falle wäre der Seiltrommel ein Halbmesser von wenigstens 
555 . 2,65 = HTOmm zu geben ; im zweiten Falle würde R nicht kleiner 
als 555 . 2y86 = 1587^^»* genommen werden dürfen. 



§. 278. 

Flache oder Banddrahtseile. 

Für grosse Lasten eignen sich die flachen oder Bandseile darum 
sehr gut, weil sie verhältnissmässig kleinere Trommeln erhalten 
dürfen, als die runden, und weil das Seil beim Aufwickeln mit 
seiner Mittellinie stets in einer Ebene bleibt. Am gebräuchlichsten 
sind die aus 6 Strähnen von je 24 Drähten gebildeten Bandseile, 
bei denen somit i = 144 ist, und welche entweder durch querge- 
nälite Drälite oder durch flache Stifte zusammengehalten werden. 
Zur Berechnung dienen die obigen Formeln (280) bis (284). Es 
verdient bemerkt zu werden, dass die flachen Förderseile trotz ihrer 
angeführten Vortheile lange nicht so häufig angewandt werden wie 
die runden, was man wohl der geringen Haltbarkeit der Querver- 
bindung der Strähne zuschreiben muss. 

Beispiel. Obige 2100* Last würden bei einem 144drähtigen Band- 
seil nach (280) eine Drahtdicke d = |V/:?^=:i,45'«'«, und nach (284) 
einen Rollenhalbmesser R z=: 555 . 1^43 = 794mm verlangen. 

♦) In der Praxis der Gruben fördermaschinen findet man noch sehr häufig 
R kleiner genommen. 



618 Eigengewicht der Drahtseile. 



§. 279. 

Gewicht der Drahtseile und BinfliiR8 desselben. 

Ein Eisendrahtseil von i Drähten von der Dicke d hat pro 
laufenden Meter ein Gewicht Gq : 

Go = 0,007 iö2 (285) 

woraus für i = 36 hervorgeht: 

öo= j (286) 

Beispiel. Demnach wiegt das obige 36drähtige Seil von 2,66^*^ 

2 86^ 
Drahtdicke pro laufenden Meter —^ — := ^,04*. 

Aehnlich wie bei den Hanfseilen ist auch hier das laufende 
Gewicht der zulässigen Belastung proportional, und zwar ergibt 
sich auch hier : 

r -JL. 1 

^ ~ 1000 l (287) 

P = 1000 Go\ 

Ein Drahtseil wiegt also bei gleicher Länge und Belastung 
(ungefähr) ebensoviel als ein Hanfseil, welches nach unseren obi- 
gen Formeln berechnet ist; man kann also hier wie dort aus dem 
Gewichte des Seiles (gutes Material vorausgesetzt) auf seine Trag- 
kraft direkt schliessen. 

Die Traglänge eines Drahtseiles ist nach (287) = 1000™; 
die Zerreisslänge liegt bei 5000 bis 6500"». Will man das Eigen- 
gewicht eines herabhängenden Seiles bei Bestimmung von dessen 

Dicke berücksichtigen, so hat man wieder statt P dessen j— 



1 — 



1000 

fachen Werth einzufuhren. — Bei einem in Wasser gesenkten Seile 
werden Trag- und Zerreisslänge etwa auf das ^^^/gfache erhöht 

Beispiel. Hätte der Schacht für das oben berechnete Grubenseil 
von 2100i Tragkraft eine Tiefe von 400*, so würde man statt 2100^ eine 

Last von - — -;r-. = _ ^ = 3500^ einzuführen haben, wofür die Draht- 
1 — 0,4 OjO 



Runde und flache Drahtseile. 



619 



dicke wesentlich gesteigert werden muss. — Ein eiserner Senkhleidraht 
oder ein Telegraphentau würde durch sein eigenes Gewicht zerrissen, wenn 
er 1% . 6500^ =: circa 6200"* tief ins Meer gesenkt würde. Die Meeres- 
tiefe von 3000^, welche hei dem atlantischen Kabel in Betracht kam, ist 
hiernach dem Tau noch nicht gefährlich gewesen. 



. §. 280. 

Tabelle über die Eisendrahtseile. 



D« 
Dicke 


iht- 
Nr. 


Runde 36er Seile 


Flache 6mal 24er Seile 


B 

(Minim.) 


d 


P 


^0 


d 


h 


P 


^0 


(fmm 


engl. 


mm. 


Kil. 


Kil. 


mm. 


mm. 


Kil. 


Kil. 


mm. 


1 


20 


8,0 


256 


0,25 


6,0 


36,0 


1024 


1,00 


555 


1,2 


19 


9,6 


369 


0,36 


7,2 


43,2 


1474 


1,45 


666 


1,4 


18 


11,2 


502 


0,49 


8,4 


50,4 


2007 


1,98 


777 


1,6 


17 


12,8 


655 


0,64 


9,6 


63,6 


2621 


2,58 


888 


1,8 

1 


16 


14,4 


829 


0,81 


10,8 


64,8 


3317 


3,27 


999 


2,00 


15 


16,0 


1024 


1,00 


12,0 


72,0 


4095 


4,03 


1110 


' 2,25 


14 


18,0 


1296 


1,26 


13,5 


81,0 


5183 


5,10 


1249 


! 2,50 


13 


20,0 


1600 


1,56 


15,0 


90,0 


6399 


6,30 


1388 


i 2,75 


12 


22,0 


1936 


1,39 


16,5 


99,0 


7743 


7,62 


1526 


3,00 

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